De thi chon HSG mon Toan lop 9 tinh Yen Bai nam hoc 2017 2018

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 9
Năm học 2017 - 2018

Thời gian: 150 phút
Ngày thi: 09/3/2018

Câu 1: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:

x

2





 4 x  1 x 2  x  1 6 x 2

.

 x 2  y 2 2

b) Giải hệ phương trình:  x  y  xy 1

Câu 2: (4,0 điểm)

 7.5
a) Chứng minh rằng:

2n



 12.6 n 19

với n   .

2
2
b) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: x  2 y  3 xy  y  5 0 .

Câu 3: (7,0 điểm)
Cho đường trịn tâm O có hai đường kính AB và CD vng góc với nhau, gọi
E là một điểm trên cung nhỏ AD ( E không trùng với A và D ), EC cắt OA tại M ,
trên tia AB lấy điểm P sao cho AP AC , tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai là Q .
a) Chứng minh: Tiếp tuyến của

 O

tại Q song song với AC .

b) Chứng minh: AM .C E  2.EA.OC .
DN
2ON

EA .
c) Gọi EB cắt OD tại N , chứng minh: ED
OM ON

d) Tìm vị trí của điểm E để AM DN đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4: (3,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: x  y  z 1 .
Chứng minh rằng:

x  2 y  z 4  1  x   1  y   1  z 

.

Câu 5: (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng cho 2018 điểm sao cho trong mỗi nhóm gồm 3 điểm bất kỳ
bao giờ cũng chọn được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng trong
2018 điểm đó có ít nhất 1009 điểm nằm trong một đường trịn có bán kính bằng 1.
________________Hết________________