17 HSG Toan 9 Nguyen Van Dai

17 Bộ đề HSG Toán 9 các Tỉnh, TP HCM – Hà Nội

ĐỀ CHÍNH THỨC

Phần 4
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 - 2017
Mơn Tốn : Lớp 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
---------------------------

Đề số 1

Bài 1: (5,0 điểm)
 x2
x
1 
P 


:
x x  1 x  x 1 1  x 

Cho biểu thức:

x1
2

. Với x  0, x  1.

a. Rút gọn biểu thức P.

P

2
7 .

b. Tìm x để
c. So sánh: P2 và 2P.
Bài 2: (4,0 điểm)
2

2

2

a. Tìm x, y  Z thỏa mãn: 2 y x  x  y  1 x  2 y  xy
b. Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện:
2

1 1 1
 1 1 1
     2  2  2.
b c
a b c a
3
3
3

Chứng minh rằng: a  b  c chia hết cho 3.
Bài 3: (4,0 điểm)
2

2

a. Giải phương trình sau: 4 x  20 x  25  x  6 x  9 10 x  20
b. Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x 2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao
điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vng góc với CE và cắt AB tại F. L ấy M là trung điểm của
EF.
a. Chứng minh: CM vng góc với EF.
b. Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
c. Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của
hình vng ABCD
Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a
b
c
a




a b b c c a
b c

b


ca

c
a b

------------ Hết---------“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
Năm học: 2016 - 2017
Môn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 2
Bài 1 (6,0 điểm).
2m  16m  6

m

2
m

3
1. Cho biểu thức: P =

m 2

m  1

3
 2
m 3

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.
2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng
minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.
Bài 2 (5,0 điểm).
1 1
4
 
a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta ln có: x y x  y
2
b) Cho phương trình: 2 x  3mx 

 x1 

2  0 (m là tham số). Có hai nghiệm x1 và x2 . Tìm

x2 

2

 1  x12 1  x22 




x2 
 x1

2

giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
Bài 3 (2,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:

1
1
1
1 1
1
1
 2
 2
 

 
x  yz
y  xz z  xy 2  xy yz zx 
2

Bài 4 (7,0 điểm).
1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R. M là một điểm di
động trên cung nhỏ BC của đường trịn đó.

a. Chứng minh MB + MC = MA
b. Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi
S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn
2 3  S + 2S' 
3R
có đẳng thức: MH + MI + MK =

2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn



FD, lấy N trên tia DE sao cho MAN = BAC . Chứng minh MA là tia phân giác của góc NMF

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TỐN
Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 3

Câu 1. (3,0 điểm)
P

5 3  5

3

5  22

1. Tính giá trị biểu thức

 11  6 2

.

2
2
2
2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z 2, x  y  z 18 và xyz  1 .

Tính giá trị của

S

1
1
1



xy  z  1 yz  x  1 zx  y  1

Câu 2. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình: 2 2 x  1  x  3  5 x  11 0 .





 y 2  y x  1  1  x  1 0


2
 2
2. Giải hệ phương trình:  x  y  7 x  3 0.

Câu 3. (3,0 điểm)
2
2
1. Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x  y  xy  x  y 1 .

2. Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có

2 3 4...

 n  1

n 3

.

Câu 4. (7,0 điểm)

O
Cho tam giác nhọn ABC có AB  AC , nội tiếp đường tròn   và ngoại tiếp đường tròn

 I  . Điểm D thuộc cạnh AC sao cho

ABD  ACB
. Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp
 O

tam giác DIC tại điểm thứ hai là E và cắt đường tròn
tại điểm thứ hai là Q.
1. Đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BD tại P.
2. Chứng minh tam giác QBI cân;

3. Chứng minh BP.BI BE.BQ ; Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K là
trung điểm của JE. Chứng minh PK / / JB .
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học.
Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì ln có ít nhất
3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học
sinh.
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


----------Hết----------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÀ NẴNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
Mơn: TỐN
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề).

Đề số 4
Bài 1. (2,0 điểm)

a 1 a a  1 a2  a a  a  1
M


a
a a
aa a
Cho biểu thức:
với a > 0, a  1.
a) Chứng minh rằng M  4.
6
N
M nhận giá trị nguyên?
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x  3 , y 6  x và y mx có đồ thị lần lượt là
các đường thẳng (d1), (d2) và (Dm). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng (Dm)
cắt hai đường thẳng (d 1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hồnh độ âm
cịn điểm B có hồnh độ dương?
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên

trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2) . Tìm
hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

Q

1
1 .

OM 2 ON 2

Bài 3. (2,0 điểm)
17x  2y 2011 xy

a) Giải hệ phương trình: x  2y 3xy.

b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:
Bài 4. (3,0 điểm)

1
x  y  z  z  x  (y  3).
2

Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên
(C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường
thẳng vng góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C )
tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AMAN khơng đổi.
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.

Bài 5. (1,0 điểm)
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
---HẾT---

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2010 - 2011
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề).

Đề số 5
Bài 1. (3 điểm) Chứng minh rằng:
87
1
1
1
88


 

89
45
2 1

3 2
2011 2010

Bài 2. (3 điểm)
3
Tìm phần dư của phép chia đa thức p(x) cho (x  1)(x 1) biết p(x) chia cho x  1 thì
3
2
dư 1, p(x) chia cho x  1 thì dư x  x  1 .

Bài 3. (3 điểm) Giải phương trình:
3

x  1 x 3  15x 2  75x  131

Bài 4. (3 điểm) Cho a, b, c là 3 số thực dương. Chứng minh rằng :
a
b
c
3



b  c  2a
c  a  2b
a  b  2c 2

Bài 5. (3 điểm)
  
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB = c, BC = a, CA = b. Các góc A, B,C thỏa


 
mãn C 2A  B . Chứng minh rằng: c2 < 2a2 + b2.

Bài 6. (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là điểm bất kì thuộc cung
BC khơng chứa điểm A (M không trùng với B và C). Gọi A ', B ',C ' lần lượt là hình chiếu
vng góc của M trên BC, CA, AB.
a. Chứng minh rằng: A ', B ',C ' thẳng hàng.
BC
CA
AB


b. Chứng minh rằng: MA ' MB' MC '

Bài 7. (2 điểm)
Cho hình bình hành ABCD và n = 4k + 1 (k nguyên dương) đường thẳng, mỗi đường
thẳng đó chia hình bình hành ABCD thành hai hình thang có tỷ số diện tích là m (m là số
dương cho trước). Chứng minh rằng có ít nhất k + 1 đường thẳng trong số n đường thẳng nói
trên đồng quy. (Hình bình hành cũng được xem như là hình thang).
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


--- Hết ---

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Năm học: 1999 - 2000
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề).

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 6
2
Bài 1: Cho phương trình x  x  a 0 ( a là tham số)
a, Gọi x1; x2 là các nghiệm thực dương của phương trình. Tìm GTLN của biểu



1 
1 
P  1  x1  1 
  1  x1  1 





x
x
2
2





thức









b, Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để phương trình có và chỉ có nghiệm hữu tỉ.
c, Tìm tất cả các giá trị a nguyên để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn
x13  1  4 x22   x23  1  4 x12   4

chia hết cho 6.

Bài 2:
5
5
3
3
a, Tìm tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn x  y x  y x  y
b, Giải phương trình

x

2

 1  y 2  3  z 2  27  72 xyz

Bài 3:
a, Chứng minh đẳng thức

12  22  ...  n 2 

n  n  1  2n  1
6

12  2 2  ...  n 2
n
b, Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất lớn hơn 1 sao cho
là số chính

phương.
Bài 4:
Cho tam giác ABC, các đường trịn (O), (I), (J) đơi một tiếp xúc với nhau, (O) đi
qua B,C; (I) đi qua C,A, (J) đi qua A,B. Biết rằng tam giác có các đỉnh là ABC đồng
dạng với tam giác có các đỉnh là OIJ. Tính số đo các góc của tam giác ABC.
Bài 5:
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AC=b, BC=a khơng đổi. Trên cạnh AB về
phía ngồi tam giác dựng hình vng ABDE. Gọi O là tâm hình vuông; M,N lần lượt là
trung điểm của AC và BC. Tìm GTLN của tổng OM+ON khi góc ACB thay đổi.
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


……… Hết ……

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2000 - 2001
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề).

Đề số 6

Câu 1:
a, Giải phương trình

x 2  3  x 2  8 5 x

3
2

8 x  12 x y  9 y  12 x 0
 2
b, Giải hệ phương trình 3 y  2 xy 1

Câu 2:
ax  y  z 1

 x  ay  z a
 x  y  az a 2


Cho hệ phương trình:
a, Giải hệ phương trình với a = 2
b, Tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm ngun

c, Tìm số thực a 1 sao cho hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn tổng A  x  y  z
đạt GTNN.
Câu 3:
4
2
2
2
Chứng minh rằng nếu phương trình x  2ax  b  c 0 chỉ có đúng hai nghiệm
phân biệt thì a > 0 và

a 8 8  c8  b8 

a  1 b 1

a là một số nguyên. Gọi
Câu 4: Hai số nguyên dương a, b thỏa mãn điều kiện b
d là UCLN(a,b). Chứng minh rằng d  a  b

Câu 5:
Cho tứ giác ABCD, đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường trịn đường
kính CD tại điểm M khác với giao điểm của hai đường chéo của tứ giác. Gọi P là trung
điểm AB, Q là trung điểm CD. Đường tròn tâm O 1 đi qua 3 điểm A,M,C cắt PQ tại
điểm thứ hai K; đường tròn tâm O2 đi qua 3 điểm D,M,B cắt PQ tại điểm thứ hai L.
Chứng minh rằng:
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


a, Bốn điểm O1,P,Q,O2 thuộc đường tròn.
b,

MK  ML  AB  CD

Câu 6:
Điểm P thay đổi trên các cạnh của tam giác ABC vng tại A. Tìm vị trí của P
sao cho tổng PA + PB + PC có GTNN.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2001 - 2002
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề).

Đề số 7
Câu 1:
x  1 x  2 x  3 x  4 24





a, Giải phương trình 
4
3
b, Tìm tất cả các số tự nhiên n để n  6n  11n  6n
Câu 2:
1 x 2  x 1
 2

3
a, Chứng minh rằng với mọi số thực x ta ln có 3 x  x  1
x2  x 1
2
b, Tìm tất cả số nguyên x,y để giá trị của phân thức x  x  1 là một số nguyên.

Câu 3: Giải hệ phương trình:

 x 3  y 3 x  4
 3
 2 y  z 6 y  6
3 z 3  x 9 z  8


Câu 4:
a, Cho tam giác ABC, gọi O là tâm đường tròn bàng tiếp cạnh BC của tam giác ABC. D
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D cùng nằm
trên một đường tròn.
b, Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vng. Tìm GTNN của biểu thức
P

 a  b  b  c  c  a 
abc

Bài 5
Cho tam giác ABC có góc A tù, đường trịn (O) đường kính AB cắt đường trịn (O’)
đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) và (O’)
lần lượt tại M và N sao cho A nằm giữa M và N.
a) Chứng minh C, H, B thẳng hàng và tứ giác BCNM là hình thang vng.
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.

b) Chứng minh rằng:
c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh bốn điểm A, H,
K, I cùng thuộc một đường tròn cố định.
d) Xác định vị trí của đường thằng (d) để diện tích tam giác HMN lớn nhất.
….……… Hết ……………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2011 - 2012
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề).

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 8
Câu I (4đ)
æ x- 1
æ 3 x - 1 +1
x +8 ử
ữ
ỗ
ỗ
ữ
+
:
ỗ

ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗx - 3 x - 1 - 1
10
x
3+ x - 1
è
ø
è
Cho biểu thức P =

1
x-

ư
÷
÷
÷
÷
1ø

1. Rút gọn P

√
4

2. Tính giá trị của P khi x =
Câu II (4đ)

3+2 √2 4 3− 2 √2
−
3 −2 √ 2
3+2 √ 2

√

Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A
và B là giao điểm của d và (P).
1. Tính độ dài AB.
2. Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho
CD = AB.
Câu III (4đ)
2

1. Giải hệ phương trình

¿

x
+x=2
y
y2
1
+ y= .
x
2

¿{
¿

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320
Câu IV (6đ)
Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD,
BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại
tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng:
1. ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
2. KH

AM.

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


Câu V (2đ)
. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:

x
y
z
3
+
+
=
1+ y + zx 1+ z + xy 1+ x+ yz x + y + z

PHỊNG GD&ĐT LỤC NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC

Với 0 ≤ x ; y ; z ≤1

ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2016 - 2017
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề

Đề số 9
Câu 1 (4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức


x
2) Cho


xy  x  
A  x  1 
 1 :  1 
 xy  1 1  xy
 

 

xy  x
xy  1

x 1 


xy  1 



với x  0; y  0; xy 1 .



3  1 . 3 10  6 3
21  4 5  3

, tính giá trị biểu thức



P  x2  4 x  2



2017

.

Câu 2 (5,0 điểm)
1) Cho x



2 1
2  1 là một nghiệm của phương trình: ax2 + bx + 1 = 0. Với a, b là các số

hữu tỉ. Tìm a và b.
2) Cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh P20 – 1 chia hết cho 100.
3) Cho a, b, c là độ dài của 3 cạnh một tam giác, chứng minh rằng:
a 4  b 4  c 4  2a 2b 2  2a 2c 2  2b 2c 2

Câu 3 (4,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên x sao cho x3 – 3x2 + x + 2 là số chính phương.
2) Giải phương trình:

x2 + 3x + 2 x + 2 = 2x + x +

6
+5
x

Câu 4 (6,0 điểm)

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


Cho hình thoi ABCD có AB = BD = a. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N, trên tia đối
của tia DB lấy điểm K sao cho AN + DK = 2a. Gọi giao điểm của CN với BD và AD thứ tự là
I và M. Tia BM cắt ND tại P.
1) Chứng minh IC.CN = IN.CM.
2) Chứng minh DM.BN = a2 từ đó tính số đo góc BPD.
3) Tìm vị trí điểm N và K để diện tích tứ giác ADKN lớn nhất.
Câu 5 ( 1,0 điểm)
1 1 1
 

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a 5 + b5 + c5 + a b c ≥ 6.

------ HẾT -----PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
LỘC NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2011 - 2012
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề).

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 10

Bài 1(2.0đ):
a/ Cho a,b,c các số dương thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 và ab +
bc + ca = 9. Tính (a + b + c)2 rồi suy ra a + b + c .

x
b/ Cho x, y các số thực sao cho
1
x2 y 2  2 2
x y là số nguyên.
Bài 2(2.0đ): a/ Cho biểu thức : A =
b/ Tìm x, biết :

2

1
1

y
y và
x các số nguyên. Chứng minh rằng :

3

2  3 . Tính A2 và A  2

3x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14 4  2 x  x 2
2

Bài 3(2.5đ): Cho hàm số y  x  1 có đồ thị (d).
a/ Đơn giản hàm số (bỏ dấu

và dấu

)

b/ Vẽ đồ thị (d) của hàm số tìm được ở câu (a)
0
 
Bài 4(1.0đ): Cho tam giác ABC có C  B 90 và AH là đường cao của tam giác. Chứng

minh rằng : AH2 = BH.CH.
Bài 5(2.5đ):
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm trên nửa đường
trịn đó (M khác A và B). Tiếp tuyến với đường tròn O tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By với

nửa đường tròn lần lượt tại C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC .
a/ Chứng minh MN // AC
b/ Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM. Khi dó
ứng với vị trí nào của M.

PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
PHÙ NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2009 - 2010
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề).

Đề số 11
Câu 1: ( 6,0 điểm)
1) Giải phương trình:

x  2  3 2x  5  x  2 

2x  5 2 2

2
2
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1  4x  4x  4x  12x  9

Câu 2: ( 3,0 điểm)
Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n  2 thì
thể là một số nguyên.

S

3 8 15
n2  1
 
 ... 
4 9 16
n2
không

Câu 3: ( 3,0 điểm)
Trong một cuộc đua xe môtô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ, người thứ
hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai
đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của
ba tay đua môtô trên.
Câu 4: ( 3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm.
Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Câu 5: ( 5,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
1) Chứng minh: nếu điểm M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC.
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = MA + MB + MC ( khi M thuộc cung nhỏ AB).
Hết

PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
KRƠNG NĂNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2008 - 2009
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề).

Đề số 11
Bài 1: (2,5 điểm)
a/ Chứng minh rằng : 3n4 – 14n3 + 21n2 – 10n 24 với mọi n  N
b/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên n lẻ thì :
n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8
Bài 2: (2,5 điểm)Rút gọn biểu thức:
a) A = 4  2 3  4  2 3
b) B = 4  10  2 5  4  10  2 5
Bài 3 : (3 điểm)
a) Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh rằng :
1  a  b 1  a  b  ab

2
2  a b

b) Cho x + y = 1 và x, y đều khác 0. Tìm giá trị lớn nhất của :
1
3
A = x  y  xy
3

Bài 4: (3 điểm) Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – 6m + 10 = 0 (1) (x là ẩn)
a) Xác định m để phương trình có nghiệm.

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của (1), lập một phương trình bậc hai theo y có hai
nghiệm là y1 = x1–2x2, y2 = x2 – 2x1.
Bài 5: (3 điểm) )Giải phương trình:
a)

3

2  x  x  1  1 0

b) x + y + z + 4 = 2 x  2 + 4 y  3 + 6 z  5
Bài 6: (3 điểm) Cho đường trịn tâm O bán kính R và hai điểm A, B nằm ngồi đường trịn sao
cho OA = 2R. Tìm điểm M trên đường trịn để AM + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 7: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O v à đi ểm M ở trên đ ường trịn đ ó. Đường trịn tâm M
cắt đường tròn tâm O tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi C là điểm ở trên đường tròn tâm M
và ở miền ngồi đ ường trịn tâm O. Đường thẳng AC cắt đường tròn tâm O ở D.
Chứng minh: MD vng góc với BC.

PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
NINH HỊA
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2009 - 2010
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề).

Đề số 12
Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức:
Q

x

Bài 2: (4đ) Cho biểu thức

5

3

29  12 5 = cotg450

4  x  1  x  4  x  1 
1 
 1 

 x  1
x 2  4  x  1

a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức Q
Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu

M

y x 1 x y 4
xy

x 2  yz
y 2  xz

x  1  yz  y  1  xz 

với x  y, yz 1, xz 1, x 0, y 0, z 0
1 1 1
x yz   
x y z
thì

Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ
góc 450 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F.
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


1
SDMEF  SDABC
4
Chứng minh rằng:

Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngồi đường trịn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với
đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các
trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
CÂM THỦY
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2011 - 2012
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề).

Đề số 13
Bài 1 ( 3,0 điểm)
2ab
2
Cho các số dương: a; b và x = b  1 . Xét biểu thức P =
1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P.
2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.

ax  a x 1

a  x  a  x 3b

Bài 2 (3,0 điểm)

Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:
Bài 3 ( 3,0 điểm)

 x 3  3x  2 2  y
 3
y  3y  2 4  2z
 z 3  3z  2 6  3x


3 5
3 5

Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a = 2 ; b = 2 .
1. Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn)
2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


3. Chứng minh S n – 2 =
chính phương.



 

5 1 


2


n


 


n
5  1 
 
2  



2

. Tìm tất cả các số n để S n – 2 là số

Bài 4 (5,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ
đường trịn (O1) đường kính AE và đường trịn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngồi
MN của hai đường trịn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2).
1. Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng
EF vng góc với đường thẳng AB.
2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường trịn (O) đường kính AB. Đường thẳng
MN cắt đường tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng
CD.
Bài 5: (4đ):
Cho DABC đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là E , F , N .
AB AC 2 AM


AN
a) Chứng minh : AE AF

b) Giả sử đường thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN
cắt AB tại P đường thẳng KM cắt AC tại Q. Chứng minh PQ//BC.
Bài 6: (2 điểm) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :
2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2b  b 2 c  c 2 a

------------- HẾT-----------PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THANH OAI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2013 - 2014
Môn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề).

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 14

 x y
x y 
x  y  2xy 
P 

: 1 


 1  xy
1  xy 
1  xy  

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:
.
a) Rút gọn biểu thức P.

x
b) Tính giá trị của P với

2

2 3 .

Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm số:

y 

1
3
x
2
2 và y  x .
a) Vẽ đồ thị (D) và (L).
b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông.
4

3

2

Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x  5x  38x  5x  6 0 .
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vng ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M
và cắt đường thẳng DC ở I.

1
1
1



2
AI 2 a 2 .
Chứng minh rằng: AM
Bài 5: (6 điểm)
Cho hai đường tròn ( O ) và ( O / ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO / cắt đường tròn ( O ) và
( O ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E  ( O )
và F  ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng:
/

a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.
b) MN  AD.
c) ME.MA = MF.MD.
---------- Hết ----------

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
KIM THÀNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2012 - 2013
Môn thi: Tốn
Thời gian: 120 phút, (khơng kể thời gian giao đề).

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 15
Bài 1: (4,0 điểm)
2 x 9

x


5
x

6
a) Rút gọn biểu thức A =

x  3 2 x 1

x  2 3 x

b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.
x

Hãy tính giá trị biểu thức: A =

(1  y 2 )(1  z 2 )
(1  z 2 )(1  x 2 )
(1  x 2 )(1  y 2 )

y

z
(1  x 2 )
(1  y 2 )
(1  z 2 )

Bài 2: (3,0 điểm)
a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012
3

3

Tính f(a) tại a = 16  8 5  16  8 5
b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương?
“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.


Bài 3: (4,0 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) 1  x  4  x 3
2
b) x  4 x  5 2 2 x  3

Bài 4: (3,0 điểm)
a) Tìm x; y thỏa mãn:





2 x y  4  y x  4  xy

b) Cho a; b; c là các số thuộc đoạn
rằng: a + b + c  0

  1; 2

thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh

Bài 5: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.
KC AC 2  CB 2  BA2
 2
2
2
a) Chứng minh: KB CB  BA  AC
1
b) Giả sử: HK = 3 AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3

c) Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?

PHỊNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TRỰC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2016 - 2017
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 120 phút, (không kể thời gian giao đề).

Đề số 16

Bài 1 (4,0 điểm).
5 3

1) Rút gọn biểu thức: A =

2  3 5



3
2

5
3

5

x2  x
x2  x
A

x  x 1 x  x 1
2) Cho

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình
1) Giải phương trình :

x2 x 1  x 2 x 1 

x 3
2

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.

2
2
2) Giải phương trình: 2 x  5 x 12  2 x  3x  2 x  5 .
Bài 3 (3,0 điểm).

1) Chứng minh rằng với k là số ngun thì 2016k + 3 khơng phải là lập phương
của một số nguyên.
2
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x  25  y ( y  6)
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa
đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vng góc của C trên AB, D
là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH.
·

·

a) Chứng minh CIJ = CBH
b) Chứng minh D CJH đồng dạng với D HIB
c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2
d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn
nhất.
a
b
c


2
b c
ca

a b
.

Bài 5 (2,0 điểm). Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng

-------------------HẾT--------------------

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
PHÚ LUONG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2016 - 2017
Môn thi: Tốn
Thời gian: 120 phút, (khơng kể thời gian giao đề).

Đề số 17
Bài 1 (2,0 điểm)
x2  x
2 x  x 2  x  1


; x  0, x 1
x

x

1
x
x


1
1) Rút gọn biểu thức: P =
2 3

2) Rút gọn biểu thức: B =
Bài 2 (2,0 điểm)
1) Giải phương trình:

2  2 3



2
2

3
2

x2 x 1  x 2 x 1 

x 3
2

3

.

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.

2) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì số A =

n  n  1  n  2   n  3  1

là số chính

phương.
Bài 3 (2,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho :
 abc n 2 - 1

cba (n  2) 2
Với n  Z ; n >2

2) Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 . Chứng minh rằng:
52  3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho D ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vng góc với AB,
AC. Chứng minh rằng:
3
EB  AB 


1) FC  AC 
2) BC . BE . CF = EF3
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn : x + y + z = 2016. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
A

thức:

x
y
z


x  2016x  yz y  2016y  zx z  2016z  xy

“Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức thọ, Hà Tĩnh.