Bai tap bien doi bieu thuc can bac hai

Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

A.
1.
2.

3.

4.
5.

CHUYÊN ĐỀ : RÚT GỌN, CHỨNG MINH BIỂU THỨC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số. (Rút gọn phân thức)
Chứng minh đẳng thức (thường dùng các phương pháp sau)
Biến đổi trực tiếp từ vế phức tạp bằng vế còn lại.
Biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh
Xét hiệu VT – VP = 0
Phân tích đa thức thành nhân tử.
Đặt nhân tử chung
Dùng hằng đẳng thức
Nhóm các hạng tử
Phối hợp các phương pháp …
Nếu đa thức P(x) có nghiệm x = a thì P(x) chia hết cho x – a. Tức là P(x) = (x – a).Q(x)
Trong đó Q(x) là đa thức thương có bậc ít hơn 1 bậc so với bậc của P(x)
Các công thức biến đổi căn thức bậc hai

Nếu x =

x 0
 2
a  x a

Điều kiện để

A có nghĩa (xác định) là A ≥ 0
 A nÕu A 0

A = |A| = - A nÕu A  0
2

Hằng đẳng thức

Với A, B khơng âm ta có

A.B = A . B

 A

và

2

 A 2 A

A
A

Với A ≥ 0, B > 0 ta có B = B
Đa thừa số ra ngoài, vào trong dấu căn (B ≥ 0)
 A B nÕu A 0

A 2 B = |A| B =  A B nÕu A  0
 A 2 B nÕu A 0

2

B
A
=  A B nÕu A  0

Khử mẫu biểu thức lấy căn
Trục căn thức ở mẫu

A
AB
B = | B | (A.B ≥ 0 và B  0)
A
A B

Với B > 0, ta có

B=

Với A ≥ 0, A  B2 ta có
( A B ;

A B và

A B;

B
C
C( A B )
A B = A  B 2

A  B là những cặp bt liên hợp)
1


Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

Tổng quát:

n

a xác định với mọi giá trị của a là số thực nếu n lẻ; a 0 nếu n là số chẵn.

n.m m
n
Công thức : a  a ( với m, n là các số tự nhiên)
6. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Phân thức các đa thức sau thành nhân tử.
a/ A = x2 – 6x + 8

b/ B = x3 – 3x + 2
c/ x5 + x4 + 1.
Giải.
a/ Tách -6x hoặc 8 hoặc cả -6x và 8 sau đó nhóm để xuất hiện nhân tử chung hoặc HĐT
A = x2 – 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x – 4)
b/ B = x3 – x – 2x + 2 = … = (x – 1)2(x + 2)
c/ x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1 = … = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1)

4x 2  x  5
4 x 3  x 2  17x  15
3
x2  x  5
Ví dụ 2. Cho các biểu thức P = x  1
Q=
a/ Tìm x để giá trị của P và Q được xác định.
b/ Rút gọn P và Q.
Giải.
a/
- Giá trị của P được xác định  x3 + 1  0  (x + 1)(x2 – x + 1)  0.
Mà x2 – x + 1 = (x – 1/2)2 + 3/4  0  x  x  -1.
- Giá trị của Q được xác định  x2 – x + 5  0
Mà x2 – x + 5 = (x – 1/2)2 + 19/4  0  x  Q xác định  x.
b/

4 x 2  4 x  5x  5 (x  1)(4 x  5)
4x  5
3
3
2
x 1

x 1
P=
=
= x  x 1

4 x 3  4x 2  20x  3x 2  3x  15 (x 2  x  5)(4x  3)
x2  x  5
x2  x  5
Q=
=
= 4x + 3
Ví dụ 3. Cho biểu thức
5x
1 
x 1
 2



: 2
2
A = 1 -  1  2x 4x  1 1  2x  4x  4x  1
a/ Tìm x để giá trị của A được xác định.
b/ Rút gọn A.
c/ Tìm các giá trị nguyên của x sao cho A cũng là số nguyên.
Giải.

a/ Giá trị của A được xác định 

4 x 2  1  0


x  1  0
4 x 2  4 x  1  0


1
x   , x 1
2


x  1 (2 x  1) 2
2x  1
2
.

2
b/ A = 1 – 4 x  1 x  1 = 1 – 2 x  1 = 2 x  1
c/ A nguyên  2x – 1 là Ư(2) tức là 2x – 1 =  1 hoặc 2x – 1 =  2  x = 0 thoả mãn.
 xy x y
x 2  y 2  2 xy
1

. 3

:
2 2
3
Ví dụ 4. Cho B =  x  y x  y  3x y  6 x y  3xy x  y (với x, y  0, x  y)
2

Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

a/ Rút gọn B.
b/ Tìm điều kiện giữa x và y để B > 0.
Giải.
4 xy
x y
4( x  y )
.
.(
x

y
)
2
2
a/ Rút gọn B ta được B = x  y 3xy(x  y)
= 3(x  y )
4( x  y )
2
b/ B > 0  3(x  y ) > 0.
Mà x, y  0 và x  y  3(x + y)2 > 0  B > 0  4(x – y) > 0  x > y.
Ví dụ 5. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng :
a/ a3 + b3 + c3 = 3abc.
b/ (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4).

Giải.
a/(Dùng phương pháp sử dụng giả thiết)
Ta có a + b + c = 0  a + b = -c  (a + b)3 = (-c)3.
 a3 + b3 + 3ab(a + b) = -c3
 a3 + b3 + c3 = 3ab(-a – b) = 3abc (đpcm)
b/ (Dùng phương pháp biến đổi một vế)
Ta có a4 + b4 + c4 = a2.a2 + b2.b2 + c2.c2 = a2(b + c)2 + b2(c + a)2 + c2(a + b)2.
= 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 + 2abc(a + b + c)
= (a2 + b2 + c2)2 – a4 – b4 – c4 + 0.
Ví dụ 6. Cho biểu thức





2

 x y
x 3  y 3 
x  y  xy

A

:
 x y
y  x 
x y

a.
Tìm những điều kiện của x và y để biểu thức A xác định.

b.
Rút gọn biểu thức A
c.
Chứng minh A ≥ 0
d.

So sánh A với

A

Giải.
a. Để biểu thức A xác định <=> x; y 0; x y .
xy
b. Rút gọn biểu thức A = x  xy  y .
c. Ta thấy tử thức luôn luôn 0 .
Và mẫu x + y d. Ta có ( x 

xy = ( x 

y ) 2  xy > 0  A  0

y ) 2  0  x + y – 2 xy  0  x + y –
xy

Mà x + y –

xy > 0 (theo câu b)  x  xy  y  1
3

xy 

xy


Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

Mặt khác có x  y nên dấu “=” không xảy ra . Vậy 1 > A  0
A.

Nếu A = 0  A =

A >0

Nếu 0 < A < 1  1 -

A (1 -

A)>0

A - A > 0 hay A <

A

Vậy A  A
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1. Tính hoặc rút gọn:

a) 3 2  4 18  2 32  50

b) 5 48  4 27  2 75  108

c) 2 24  2 54  3 6  150

d) 125  2 20  3 80  4 45

e) 2 28  2 63  3 175  112

3
g)
2

i)

2

3



3 3 2

f)



l)


16
 7  : 7
7


15  5 5  2 5

3 1
2 5 4

2 8  12

q) 18  48

w) 17  12 2



8
32
18
5
 14
9
25
49



325  117  2 208 : 13
15  6
35  14

10  15
8  12

o)

5  27
30  162

32 3 2 2

 2 3
3
2 1
r)



 5 2 5
  5 3 5

 2  . 
 2 

2 5
  3 5


t) 
 14  7
15  5 
1


 :
1 2
1 3  7  5
v) 

3
2
1


5  2 2 2
3 2

3 2 2



n)

 5 5   5 5 
 1
 1 
 .
1  5   1  5



s)

u)

3
396
2

 16
1
4 
3
6
 2
. 3
3
27
75 

j)

 8
32
18  1
5
 14
 6
 .

9
25
49
 2
k) 

p)

6

h)

16
1
4
3
6
3
27
75

 1


7

m)

10 28  2 275  3 343 

3 2 2

1
6 2 4
 175 
3 2
x) 8  7

17  2 2

5  3  29  12 5
y)
(LHP)
z) 6  2 5  29  12 5
Bài 2. Rút gọn các biểu thức (giả sử các biểu thức đã cho đều có nghĩa)

a4 a 4 4 a

a 2
a 2
a)


c)

x

y



2

 4 xy

x y



a  b  2 ab

a b
b)



d)

x yy x
xy

4

x
x


y

y

2

2

a b
a b

 4 xy
 4 xy

.

x y



x y



2




Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

 a a   a a 
 1 
 .  1 

a

1
a  1 



e)

 a a b b


a

b
g) 

  a b
ab  . 

  a b 

 1 a a
  1 a a

 a  .


 1 a
  1 a
1 a2
i)

k)

x 2

x 3


a 2 a  
3a  a 
 3 
 .  3 

a 2  
3 a  1 

f)



2

x y



2

 x y
x x y y
.


x y
x y  y x  x  y

h)


a


x 1
x2
x 1


j) x  1 x x  1 x  x  1
 x1


x


1
l) 

x 1
x1
3
x 2
x  5 x 6

x 1  
1 
 .  x 

x  1 
x

a a b b

 x 1
x
1  x1



:
2
x x  1 x  x  1 1  x 

m)

n)





a  b . a  b 

2 b
ab

a  b a b



Bài 3: Thực hiện phép tính

1 1 3 1 4 4 8 1


):
2/ 2 2 2 3 5 5 15 8
HD: Dùng chia đa thức cho đơn thức -- >Rg
(

1/ ( 12  3 15  4 135 ) 3 .
HD: Nhân căn thức, đa ra ngoài dấu căn
3/ 2 40 12  2

 1 1


5 4
5
:2 5

20


5
 5 2

4
5

4/ 

75  3 5 48

2  3  6  8 4
2 3 4
5/
6/ (
HD: Phân tích tử thành nhân tử -- > Rg với mẫu

6  3 3 5 2 

1
8 )2 6  5 3
2

2 3 6
216  1




 6
3
8

2

7/ 8  2 7  8  2 7
8/ 
HD: Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng một tổng, hiệu.
12 6

5

9/ 7  2 6  7  2 6
HD: Dùng công thức trục căn thức ở mẫu

10/ 4 

11

5
11/ 3  2 2  6  4 2
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức
a. A =

b. B =

3 52 3 3

12/

5 3

1
3 7



5 3
5

6



3

7 2



2 2

5

h.



5 1
51

1 1

20  5
5
2
g. 5

52 3

4  8. 2  2  2 . 2 

3



1
 4,5  12,5
2

7 5
2

Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------







c. C = 4  15 . 10 





d. D = 3 
e. M =

6 . 4



5 3 5  3 5

3 5 

3

5



5

n.

7

24  1

12  2 6

3 1 1

5/ M =

52 6

1

10/ C =

4



2  1 3

6/ N = 5  2
Bài 6: Rút gọn biểu thức sau
a. A =

3 1
1

b. B = ( 3 

5





2 2 1
21
1

3 5

3 5
c. C =

10  3  5
2 3

d. D =

29  12 5

4

15  2 3 

5

5 2 6

 2 3
2
2  3 
2 3 



2
6
2 3 
2
:

2 3 4

3

4  15 

9/ M =

5 2 6



6

(5  2 6)(49  20 6) 5  2 6
9 3  11 2
8/ B =

4/ D =

3

2

3

3

3 1  1



5

7/ A =

7  24  1



52 6

150  1,6 . 60  4,5 2

1
48  2 75  ( 3  1) 2
l. 2

1



3

3/ C =

3

3
2
3
6 2
4
3
2
m. 2

4  5 3  5 48  10 7  4 3

1

2/ B =

k. 0,1 200  2 0,08  0,4 50

2

f. N = 6,5  12  6,5 
Bài 5: Rút gọn biểu thức
1/ A =

15

2  2 3 +

):



4  10  2 5 + 4 

2
11/

5

3



1
2 5



5

2

3

Bài 7: Tìm giá trị của x để biểu thức có nghĩa

2 3.

5

a.

4x  1 

5x  2

b.

1

2x  1

1 x

c.

2x  x 2  3

5

2 3 .
3

5

10  3 
2
2

3

1 1 3
2
4 1
 
4,5 
50 ) :
5
15 8
12/ ( 2 2 2

1 6



10  2 5

5 .

3
2

3 5

3.

h.

3

5



1
1
1
1
1
1
 2  1  2  2  ........  1 


2
2
2
3
3
4
2002
20032 .
e. E =
1
1
1

 ........ 
2 3
99  100 .
f. M = 1  2
1

6

3

5

3 5


Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

1
a. N = 1 

2



1
2

3

1

 ........ 
1

Bài 8: Cho biểu thức : A = ( 1 
a. Rút gọn biểu thức.

x

99 
1



1 x

100 .
):(

1
1



x

1
1 x

)

1
1

x.

b. Tính giá trị của biểu thức khi x = 7 + 4 3 .
 a a  1 a a 1 a  2


 a a  a a :a 2

Bài 9: Cho biểu thức: B = 

.
a. Tìm giá trị của a để biểu thức xác định ?
b. Rút gọn biểu thức ?
c. Với giá trị nguyên nào của a thì biểu thức là số nguyên ?

x
Bài 10: Cho biểu thức C =
a. Rút gọn biểu thức.

x1



2x 

x

x

x .

b. Tính giá trị của biểu thức khi x = 3 + 8 .
c. Với giá trị nào của x thì biểu thức C > 0 ; C < 0 ; C = 0.

a 3



3

a

Bài 11: Cho biểu thức A = 2 a  6 2 a  6 .
a. Tìm giá trị của a để biểu thức xác định ?.
b. Rút gọn biểu thức ?
c. Với giá trị nào của a thì biểu thức A > 1 ; A < 1 ?
d. Tìm giá trị của a để biểu thức có giá trị bằng 4?

a

a
a
a a
):(

)
b

a
a

b
a

b
a

b

2

ab
Bài 12: Cho biểu thức B = (
.
a. Tìm giá trị của a; b để biểu thức xác định?
b. Rút gọn biểu thức?
a 1

b
4 thì biểu thức có giá trị bằng 1. Hãy tìm giá trị của a; b?
c. Biết khi


a
Bài 13: Cho biểu thức N =
a. Rút gọn biểu thức.

ab  b



b
ab  a



a b
ab

.

b. Tính giá trị của biểu thức khi a = 4  2 3 ; b =
a a 1

c. CMR nếu b b  5 thì N có giá trị khơng đổi?

2 a 3 b
Bài 14: Cho biểu thức : A =

ab  2 a  3 b  6
7



4 2 3 .

6

ab

ab  2 a  3 b  6 .


Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

a. Rút gọn biểu thức ?
b  81

b
b. CMR nếu A = b  81 thì khi đó a là một số nguyên chia hết cho 3?

15 x  11
Bài 15: Cho biểu thức B = x  2 x  3
a. Rút gọn biểu thức ?



3 x 2
1

x



2 x 3
x 3 .

1
b. Tìm x để biểu thức có giá trị bằng 2 ?
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức?

b ) 2  4 ab

( a

a b

Bài 16: Cho biểu A =

a. Rút gọn biểu thức.

b. Tính giá trị của biểu thức khi a =



a b b a
ab

;
a > 0 ; b > 0.

2567 ; b = 3 + 2 2 .
2

1  x2  1
 1




2
1

x
1

x



Bài 17: Cho biểu thức B =
a. Tìm giá trị của x để biểu thức có nghĩa.
b. Rút gọn biểu thức.
c. Giải phương trình theo x khi B = - 2.
2 x x

x x1
Bài 18: Cho biểu thức B = 

1  x2
.


x 2
:
x  1  x  x  1 .
1

a. Rút gọn biểu thức.

b. Tính giá trị của

x 1

:

A khi x = 5 + 2 6 .

1

2
Bài 19: Cho biểu thức A = x x  x  x x  x .
a. Rút gọn biểu thức ?
b. Coi A là hàm số đối với x hãy vẽ đồ thị của hàm số A.

(

a a b b



ab ) : (a  b) 

2 b

a b
a b.
Bài 20: Cho biểu thức: B =
a. Tìm giá trị của a; b để biểu thức có nghĩa ?
b. CMR giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào a; b ?
1   1
 1



 
x

1
x


1
x

1



Bài 21: Cho biểu thức: A =
:
a. Rút gọn biểu thức?

1



x 1  .

a2  b2
b. Tính giá trị của biểu thức khi x = 2ab và b > a > 0.
mn

Bài 22: Cho biểu thức : A =

n
mn
:


m  n  mn m  mn

8

m



mn  n  .


Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

a. Rút gọn biểu thức ?
b. Tính giá trị của biểu thức khi m = 7 + 2 6 và n = 7 - 2 6 .

 x 1
 
xy  x


 1 :  1 
 xy  1 1  xy
 
 
Bài 23: Cho biểu thức : P = 
a. Rút gọn biểu thức ?
1

1

6
x
y
b. Cho
Tìm giá trị lớn nhất của P .

xy  x
xy  1



x  1 
xy  1 
.

 1
 
2 x
2 x

 : 1 


 x  1 x x  x  x  1 

x

1

 
.
Bài 24: Cho biểu thức : P = 
a. Tìm giá trị của x để biểu thức xác định ?
b. Rút gọn biểu thức ?
c. Tìm giá trị của x sao cho P < 0 ?

x2  x

1 

2x  x

x .
Bài 25: Cho biểu thức : B = x  x  1
a. Rút gọn biểu thức ?
b. Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 2 ?
B
c. Giả sử x > 1 . CMR : B = 0.
d. Tìm giá trị nhỏ nhất của B ?

2mn
2mn 
1
 m
 1 2

m

2

2

1 n
1  n 
n
Bài 26: Cho biểu thức : A = 
.với m  0; n 1
a. Rút gọn biểu thức ? Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức khơng phụ thuộc vào n ?
b. Tính giá trị của biểu thức với m = 56  24 5 .
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ?

 1  a a
 1  a a
 a  

 
1

a
1

a

Bài 27: Cho biểu thức: A = (1 – a2) :  
a. Rút gọn biểu thức A?
b. Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 ?
c. Với giá trị nào của a thì

A A


a    1
 
.

?

a b1
Bài 28: Cho biểu thức : B = a  ab
a. Hãy đơn giản biểu thức B ?



b
b
b 



2 ab  a  ab a  ab  .
a

b. Tính giá trị của biểu thức khi a = 6 + 2 5 ?
c. Hãy so sánh B với – 1 ?
1
1
a b 

 




 : 1 

a

a

b
a

a

b
a

b



.
Bài 29: Cho biểu thức A =
9


Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

a. Đơn giản biểu thức A ?
b. Tìm giá trị của b biết

A A

.

c. Tìm giá trị của A khi a = 5 + 4 2 ; b = 2 + 6 2 .
 a 1

 a  1
Bài 30: Cho biểu thức A = 
a. Rút gọn biểu thức ?


1 
 4 a   a 

a 1
a .

a1

6
b. Tính giá trị của biểu thức khi a = 2  6 .
c. Tìm giá trị của a để A  A .
Bài 31: CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào biến :
 2 x
x  2 x x x x  1




; a  0; a 1.
 x  2 x 1 x  1 
x


a. B =

2x
b. M = x  3 x  2



5 x
x 4 x 3



x  10
x 5 x 6

; x 0


1
1
a2 1   1 


. 1  


2  
1

a
a  (với a > 0, a ≠ 1)
2

2
a
2

2
a

c. 

 2 xy
x y  2 x
y

.


 x y 2 x  y  x  y
y x

d. 

(với x, y > 0, x ≠ y)






a
1   1
2 

 :


 a  1 a  a   a  1 a  1 

Bài 32 : Cho biểu thức : K = 
.
a) Rút gọn biểu thức K ?
c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0.

b) Tính giá trị của biểu thức khi a = 3 + 2 3 .

 4 x
8x   x  1
2 

 :




2 x 4 x x 2 x
x  .
 
Bài 33: Cho biểu thức : P = 
a. Rút gọn biểu thức ?
b. Tìm giá trị của x để P = -1 ?
c. Tìm giá trị của m để với mọi x > 9 ta có m( x - 3)P > x +1 .


y  xy  
x
y
x  y


 x
 :

x  y   xy  y
xy  x
xy 


Bài 34: Cho biểu thức P =
.
a. Với giá trị nào của x; y thì biểu thức có nghĩa?
b. Rút gọn biểu thức ?

c. Tìm giá trị của biểu thức khi x = 3; y = 4 + 2 3 .

 x3  1
 x 3  1
 x(1  x 2 ) 2

 x  
 x  :
; x   2 ;1
2
x

1
x

1
x

2




Bài 35: Cho biểu thức : A =
.
10


Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

a. Rút gọn biểu thức ?
c. Tìm giá trị của x để A = 3.

b. Tính giá trị của biểu thức khi cho x =

62 2 .

 x 2
x
1 
x1

:


;x 
 x x  1 x  x 1 1  x 
2

Bài 36 Cho biểu thức : A = 
và x > 0.
a. Rút gọn biểu thức A .
b. CMR 0 < A < 2 .
2

 x 2
x 2  1 x 




 x  1 x  2 x  1   2 

Bài 37: Cho biểu thức P = 
.
a. Rút gọn biểu thức P ?
b. CNR nếu 0 < x < 1 thì P > 0 ?
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P ?
Bài 38: Rút gọn các biểu thức sau:

a. A =

a  b  c  2 ac  bc  a  b  c  2 ac  bc .

b. B =

x 2 2 x 3 

c. C =

x

x  1  4 x  3 ; với 3  x  4 .

x 2  4x  4 .

x y
x2y4

27
27
2
2
2
x  2 xy  y với x  y; y  0 , Tính giá trị A khi x = 7 và y = ( 7 )2003
d. A = y

e. * M =

x  12 x  2 

x  1 2 x  2

với x >2.

2
2
f. * N = x  x  1  x  x  1 .
HD: Viết biểu thức trong căn dưới dạng hằng đẳng thức rồi đưa ra ngoài dấu căn, chú ý khi
đưa biểu thức chữ ra ngoài dấu căn phải giá trị tuyệt đối.

x2 

x

Bài 39: Cho biểu thức : P = x  x  1
a/ Rút gọn biểu thức ?



2x  x
x



2(x  1)
x1 .
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P .

2 x
c/ Tìm giá trị của x để biểu thức Q = P nhận giá trị nguyên ? (chứng minh Q = 1)
 2x x  x  x x  x 
x 1
x






x  1  2x  x  1 2 x  1
x x1
Bài 40: Cho biểu thức M = 
a. Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa ?
b. Rút gọn biểu thức M ?
c. Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất ?
Bài 41 : Chứng minh các đẳng thức sau

1/

2 3  2

3 6

2 3 6



8 2

2/
11

216  1

 1,5
3  6


Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

4

3/

2  5 

2



4

2  5 

2

 14  7
15  5 
1


 1  2  1  3  : 7  5  2

4/ 

8

a b b a
1
:
a  b
ab
a b
5/

(a, b > 0, a ≠ b)

a  a 
a a 
1 
 1 
 1  a



a

1
a

1


6/ 
(a > 0, a ≠ 1)

a 2
a  2  a 1
2



 a  2 a  1 a  1 . a  a  1

7/ 

(với a > 0, a ≠ 1)
2

8/

a b

2  1
1 
:

 
ab  a
b



2 a 3 b
9/

ab  2 a  3 b  6

a


b



2

 1
(với a, b > 0, a ≠ b)

6

ab

ab  2 a  3 b  6



a 9
a 9

a b
a b
2b
2 b



a  b (a, b ≥ 0, a ≠ b)
10/ 2 a  2 b 2 a  2 b b  a
 a a b b



a


b
11/ 

2

 a  b 
 1
ab  

a

b


(a, b ≥ 0, a ≠ b)


A



2

a  b  4 ab a b  b a

a b
ab

Bài 43 : Cho biểu thức
1. Tìm điều kiện để A có nghĩa

2. Khi A có nghĩa, chứng tỏ giá trị của A khơng phụ thuộc vào a

Bài 44 : Cho biểu thức
1. Rút gọn B

 2 x 1
 1  x 3
x

B 

 1  x 
3
x

x

1
x

1




x

 với x ≥ 0 và x  1

2. Tìm x để B = 3


x
x  9   3 x 1 1 
 :

C 




9

x
x 
 3 x
 x 3 x
Bài 45 : Cho biểu thức
với x > 0 và x  9
1. Rút gọn C
2. Tìm x sao cho C < -1

P

x 1 2 x
2 5 x


4 x
x 2

x 2

Bài 46 : Cho biểu thức
1. Rút gọn P nếu x ≥ 0 ; x  4

Bài 47 : Cho biểu thức

2. Tìm x để P = 2

1   a 1
 1
Q 


 : 
a

1
a

  a2

1. Rút gọn Q với x > 0 , a  4 và x  1
12

a 2

a  1 

1

2. Tìm giá trị của a để Q = 6


Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

3. Tìm giá trị của a để Q dương

a2  a
2a  a
M
1 
a  a 1
a
Bài 48 : Cho biểu thức
với a > 0
1. Rút gọn M
2. Tìm a để M = 2
6x  1  x 2  36
 6x  1
N  2
 2

2
x

6

x
x

6
x

 12x  12
Bài 49 : Cho biểu thức
1. Rút gọn N với x  0, x  6 và x  -6
1 1 a



2. Tính N với x =
1 1 a

Bài 50 : Cho biểu thức B = 1  a  1  a 1  a  1  a
1. Rút gọn biểu thức B
2. Chứng minh biểu thức B luôn dương với mọi a



94 5

1
1 a

x 4  x3  x 1
4
3

2
Bài 51 : Cho biểu thức
C = x  x  3x  2 x  2
1. Rút gọn biểu thức C
2. Tìm các giá trị của x để C = 2
 x 5 x
 
25  x

 
 x  25  1 :  x  2 x  15 
 
Bài 52 : Cho biểu thức D = 

x 3

x 5

x  5 
x  3 

1. Rút gọn biểu thức D
2. Tìm các giá trị nguyên của x để D là số nguyên
x
2 
 x 1 x 1   1


 2


 :

x

1
x

1
x

1
1

x
x

1




Bài 53 : Cho biểu thức E =
1. Rút gọn biểu thức E
3. Tìm giá trị của x để E = -3

2. Tính giá trị của biểu thức E khi x =

4 2 3

 1  x 3


x(1  x 2 ) 2   1  x 3



 
:

x

x

 1 x
 1  x
1  x2





Bài 54: Cho biểu thức F =
1. Rút gọn biểu thức F
2. Tính giá trị của biểu thức F khi x =
3. Tìm giá trị của x để cho 3.F = 1

32 2

x 3 2 x1
x 2



x 2
x  1 x 3 x 2

Bài 55. Cho biểu thức : A =
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa và rút gọn A
b) Tìm x để A > 2
c) Tìm số nguyên x sao cho A là số nguyên
1   a 1
 1



 :
a1
a   a  2

Bài 56. Cho biểu thức: B =

a) Tìm ĐKXĐ của B

b) Rút gọn B

13

a 2

a  1 

c) Tìm a sao cho

B

1
6


Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 57. Cho biểu thức: C =
a)
Tìm ĐKXĐ của C


 
a   1
2 a

 1:  1 
  .
  1  a    a  1  a  1 a  1



b) Rút gọn C








c) Với giá trị nào của a thì C nguyên

x2  x
2x  x
1 
x
Bài 58. Cho biểu thức: P = x  x  1

a) Rút gọn P, tìm x để P = 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

b) Giả sử x > 1. CMR:

 x3  1
  x3 1
 x 1 x
 x  .
 x : 2

x 1
  x 1
 x 2
Bài 59. Cho biểu thức: D = 

a) Rút gọn D

P  P 0

2

b) Tính giá trị của D khi x  6  2 2

c) Tìm x để A = 3


a
1   1
2 



 : 

a  1 a  a   a 1 a  1 

Bài 60. Cho biểu thức: E =

a) Tìm ĐKXĐ của E

b) Tính giá trị của E khi a 3  2 2

c) Tìm a sao cho E < 0


y  xy  
x
y
x y


 x 
 : 

x  y   xy  y
xy  y
xy 

Bài 61. Cho biểu thức F =

a) Tìm ĐK của x, y để F có nghĩa

b) Rút gọn F

c) Tính giá trị của F khi x = 3; y = 4  2 3
2
Bài 62 : Tìm x, biết a/ 1  4 x  4 x 5

d/

4 x  20  3 5  x 

c/ 10  3x 2  6

b/ 4  5 x 12

4
9 x  45 6
3

2
e/ x  9  3 x  3 0

4x  3
3
f/ x  1

g/ x  2 3
h/ x  1  5
Bài 64 : Tìm x để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm GTNN đó
a/ A =

x 4 2

b/ B = x  4 x  10
2

c/ C = x  x
d/ D = x  2 x  4  1
Bài 65 : Tìm x để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất ,tìm GTLN đó
1

a/ M = 3  x  1
b/ N = 6 x  x  1

c/ P = x 
Bài 66: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên
x2
a/A = x  5

x 3

3x  1
b/ B = 2  x

c/ C =
Bài 67: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1/ x x  x  x  1

x 1

2/ ab  2 a  3 b  6
14

x 2

2 x1

d/ D =
3/ 1  x 

2

x 3

 4 x


Trờng THCS Thái Thịnh KM HD

Lớp 9A (2010 – 2011)

-----------------------------------------------------------------------------------------2
5/ x  2 x  1  a

6/ a  a  2 ab  2 b

7/ x x  y y  x  y

8/ x 

9/ x  3 x  2

2
10/ x  3x y  2 y

11/ x  2 x  1

4/

ab 

a

b 1

13/  6 x  5 x  1

x 2

x3  2 x  x

12/

14/ 7 x  6 x  2

15/ x  4 x  3

17/ x  5 x  6

18/ 2a 

20/ 4a  4 a  1

2
21/ x  2  x  4

2
22/ x 

4
3
2
24/ x  4 x  4 x

2
25/ 3x  2 x  1

23/ 2a  5 ab  3b
Bài 68: So sánh.
a.4 7 và 3 13
d.3

12

và 2 16

g. 7  5 và

49

j.+ 21  5 và
m. 7 

19/ 3 a  2a  1

20 

6

1
1
6
82
7

4
và

c.

1 17
e. 2 2

f. 3 3  2 2 và 2

1
19
và 3

1 17
1
19
i. + 2 2 và 3

1
1
6
82
7
k.+ 4
và

n. 30 
48

x x 1

b.3 12 và 2 16

h.  2  11 và 3  5

2 và 1

p. 27  6  1 và

ab  6b

16/ 2a  ab  6b

29 và

29 

l. +
28

q. 5 2  75 và 5 3  50

15

6  20 và 1  5

o. 8  5 và
r. 5 

1
3 và 2

7 6