Chuyen de Hinh

ĐỂ DOWNLOAD ĐỦ BỘ CHUYÊN ĐỀ GV NHẤN GIỮ PHÍM Ctrl VÀ CLICK TẠI ĐÂY
Chủ đề 1. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐƯỜNG TRONG BÀI TỐN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM.
 Phương trình đường thẳng.



n

0
n


 Véctơ
được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng
nếu giá của véctơ vng góc với .
 

u

0
u


 Véctơ
được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng
nếu giá của véctơ
song song hoặc

.
trùng với


M  x0 ; y0 
n  A; B 

 Đường thẳng
đi qua
nhận véctơ
làm
véctơ pháp tuyến có phương trình  : Ax  By  Ax0  By0 gọi là
phương trình tổng quát của đường thẳng  .



M  x0 ; y0 
u  a; b

Đường thẳng
đi qua
nhận véctơ
làm véctơ
 x  x0  at
 t  R

y  y0  bt
chỉ phương có phương trình 
trình tham số của đường thẳng  .



gọi là phương

1 : a1 x  b1 y  c1 0
Cho
hai
đường
thẳng
và
2 : a2  b2 y  c2 0 . Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 1 và 2 là nghiệm của hệ phương
 a1 x  b1 y  c1 0
 1

a x  b2 y  c2 0.
trình  2

x ;y
A x ;y .
Nếu hệ (1) có nghiệm duy nhất  0 0  thì hai đường thẳng cắt nhau tại  0 0 
Nếu hệ (1) vơ số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau.
Nếu hệ (1) vơ nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau.





 Phương trình đường trịn.
C
I a; b 
 Đường trịn   tâm 



 x  a

2

Cho

đường

bán kính R  0 có phương trình

2

  y  b  R2 .

 C  :  x  a

2

 : Ax  By  C 0

thẳng
2

2

  y  b  R .

và

đường

tròn

C
Tọa độ giao điểm của  và   là

 x  a  2   y  b 2  R2
 2

Ax

B
y

C

0

nghiệm của hệ phương trình 
 Nếu hệ (2) có hai nghiệm phân biệt thì  cắt (C) tại hai điểm khác nhau.




Nếu hệ (2) có nghiệm kép thì  tiếp xúc với (C).
C .
Nếu hệ (2) vơ nghiệm thì  khơng cắt  


1. Sự tương giao của hai đường thẳng trong bài tốn tìm tọa độ điểm.

3 
M  ;0 
 2  là trung điểm đoạn
 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có
AC . Phương trình các đường cao AH , BK lần lượt là 2 x  y  2 0 và 3 x  4 y  13 0 . Xác

định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .
Định hướng:
Viết được phương trình đường thẳng AC
vng góc với BK .
Suy ra

 A

 AC  AH  C

đi qua M

và

.

Viết phương trình đường thẳng BC đi qua C và vng góc
với

AH   B  BC  BK

.

Lời giải.
Đường thẳng AC đi qua M và vng góc với BK nên có phương trình 4 x  3 y 6 .

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

4 x  3 y 6
 A  0;2 

2 x  y  2

3 
M  ;0 
 2  là trung điểm AC suy ra C  3;  2  .
Từ

Đường thẳng BC đi qua C và vng góc với AH nên có phương trình x  2 y  1 0 .

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

 x  2 y  1
 B   3;1

3 x  4 y  13

A  0; 2  , B  -3;1 , C  3;-2 

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là


A 4;  1

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh 
phương trình
2
x

3
y

12

0
2
x

3
y

0
đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt là
và
. Xác định tọa

độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC.
Định hướng:

 B

 BH  BM

-

Tọa độ điểm

-

Viết phương trình đường thẳng AC đi qua A và vng góc
với BH .

Suy ra tọa độ

 M

 AC  BM  C

Lời giải.
Gọi BH , BM lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ B.

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

2 x  3 y  12 0
 B   3;2 

2 x  3 y 0

Đường thẳng AC đi qua A và vng góc với BH nên có phương trình 3 x  2 y  10 0.

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

2 x  3 y 0
 M  6;  4 


3 x  2 y  10 0

C 8;  7 
Do M là trung điểm AC suy ra tọa độ điểm 

Vậy

B  -3; 2  , C  8;-7 

M  2;0 
 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Điểm
là trung điểm của
AB. Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7 x  2 y  3 0 và
6 x  y  4 0 . Viết phương trình đường thẳng AC.

Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm

 A

 AH  AM  B

.

-Viết phương trình đường thẳng BC đi qua B và vng
góc với AH .
-Tìm tọa độ

 N

 BC  AN  C

.


-Viết được phương trình đường thẳng AC đi qua A ,C .
Lời giải.
Gọi AN , AH lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ A.

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trìn

7 x  2 y  3 0
 A  1;2 

6 x  y  4 0

AB  B  3;  2 
Từ M là trung điểm

Đường thẳng BC đi qua B và vng góc với AH nên có phương trình x  6 y  9 0
7 x  2 y  3 0
3

 N  0;  

2
x  6 y  9 0

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình 

C  3;  1
Từ N là trung điểm BC suy ra tọa độ điểm 

Khi đó phương trình ta có phương trình đường thẳng AC : 3 x  4 y  5 0.

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, đường thẳng BC có phương
M   1;  1
trình x  y  4 0 , điểm
là trung điểm của đoạn AD. Xác định tọa độ các đỉnh của
E  1;1
hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AB đi qua điểm 
.
Định hướng:
- Viết phương trình AB đi qua E và vng góc với BC .
- Suy ra

 B

 AB  BC

.

- Viết phương trình AD đi qua M và vng góc với AB .
- Suy ra

 A

 AB  AD  D  C

.

Lời giải.
Đường thẳng AB đi qua E và vng góc với BC nên có phương trình x  y  2 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

 x  y  2
 B  1;3 

 x  y 4

Đường thẳng AD đi qua M và song song với BC nên có phương trình x  y  2 0


 x  y  2
 A   2;0 

x  y  2
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 

Do M là trung điểm của AD nên tọa độ điểm D là
Đường thẳng DC đi qua D và vng góc với BC nên có phương trình x  y  2 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
Vậy

 x  y 4
 C  3;1 


 x  y 2

A  0;2  , B  1; 3  , C  3;1 , D  0;-2 

A  1;2 
 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh 
và tâm
1 
I  ;0 
 2  . Xác định tọa độ các đỉnh cịn lại của hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng BC đi qua

điểm

M  4;  3  .

Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm C đối xứng với A qua I .
-Viết phương trình BC đi qua C , M .
-Viết phương trình AB đi qua A và vng góc BC .
-Suy ra

 B

 AB  BC  D

.

Lời giải.
C 2;  2 
Từ I là trung điểm AC  tọa độ điểm 

Phương trình đường thẳng BC : x  2 y  2 0
Đường thẳng AB đi qua A và vng góc với BC nên AB : 2 x  y  4 0.

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

 x  2 y  2 0
 B   2;0 

2 x  y  4 0

D 3;0 
Từ I là trung điểm BD  Tọa độ điểm 

Vậy

B  -2; 0  , C  2;-2  , D  3; 0  .


0


 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vng ABCD có B C 90 . Phương
trình các đường thẳng AC và DC lần lượt là x  2 y 0 và x  y  3 0 . Xác định tọa độ các đỉnh

 3 3
M   ; 
 2 2 .
của hình thang ABCD, biết trung điểm cạnh AD là

Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm

 C

 AC  CD

.

-Gọi N là trung điểm của CD , viết phương trình đường thẳng MN .
-Tìm tọa độ điểm

 N

CD  MN  D  A

-Viết phương trình đường thẳng AB, BC.
-Suy ra tọa độ điểm B .
Lời giải.
 x  y  3 0
 C  2;  1

x  2 y 0
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 

Gọi N là trung điểm của DC, đường thẳng MN qua M song song với AC
nên MN : 2 x  4 y  9 0
Tọa

độ

điểm

N

là

nghiệm

Do N là trung điểm DC, suy ra

D   1;  4 

của

hệ

phương

trình

 x  y 3
1 5
 N  ; 

2
x

4
y


9
 2 2


M là trung điểm AD, suy ra

A   2;1

Đường thẳng AB qua A song song với DC nên có phương trình x  y  3
Đường thẳng BC qua C vng góc với DC nên có phương trình x  y 1

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
Vậy

A  -2;1 , B  -1; 2  , C  2;-1 , D  -1;-4 

 x  y  3
 B   1;2 

 x  y 1


 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Biết phương trình
đường thẳng AB : x  y  5 0 và trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng x  3 y  6 0 ,
xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Định hướng:
-Viết phương trình đường thẳng MO .
M OM  BC
-Tìm tọa độ  

.
BC   B  BC  AB
-Viết phương trình
.
BC

C
-Từ M là trung điểm
tọa độ điểm ,từ O là trung điểm AC  A
Lời giải.
Đường thẳng MO đi qua O và song song với AB nên có
phương trình x  y 0.
Tọa độ điểm

là nghiệm của hệ phương trình

M

 x  y 0
3 3
 M ; 

 2 2
 x  3 y  6 0
Đường thẳng BC đi qua M và vng góc với AB nên có
phương trình x  y  3 0 .

Tọa độ điểm

B

là nghiệm của hệ phương trình

 x  y  5 0
 B   1;4 

 x  y  3 0

C 4;  1
Từ M là trung điểm BC  tọa độ điểm 
A  4;1 , D  1;  4  .
Từ O là trung điểm BC  tọa độ các điểm 

Vậy

A  -4;1 , B  -1; 4 ,C  4;- 1 , D  1;-4  .

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vng ABCD (vng tại A và B). Gọi
M   3;3  , N
lần lượt là trung điểm của AD và AB. Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang
vng ABCD, biết phương trình các đường thẳng BD : 7 x  3 y  2 0, CN : x  3 y 0 và đường
thẳng AB đi qua điểm

E   3;1

.

Định hướng:
N CN  MN
-Viết phương trình đường thẳng MN . Suy ra  

.
AB   B  BD  AB  A
-Viết phương trình đường thẳng
-Viết phương trình đường thẳng BC . Suy ra tọa độ điểm

 C

 BC  CN

.


Lời giải.
Đường thẳng MN đi qua M song song với BD nên MN : 7 x  3 y  12 0.
 x  3 y 0
 3 1
 N   ; 

7 x  3 y  12 0
 2 2
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình 
Phương trình đường thẳng AB : x  y  2 0
7 x  3 y  2 0
 B  1;  3 

 x  y  2 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
AB  A   4;2  .
Từ N là trung

Phương trình đường thẳng BC : x  y  4 0.

 x  3 y 0
 C  6;2 

x  y  4 0

C
Tọa độ điểm
là nghiệm của hệ phương trình
Phương trình đường thẳng AD : x  y  6 0

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình

 x  y  6 0
 D   2;4 

7 x  3 y  2 0

A  -4; 2  , B  1;-3  ,C  6;2  , D  -2; 4  .

Vậy

4 1
G ; 
 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , có trọng tâm  3 3  .
Phương trình đường thẳng BC là x  2 y  4 0, phương trình đường thẳng BG
là
7 x  4 y  8 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Định hướng:
B  BC  BG
-Tìm  
.
M  AG  BC
-Viết phương trình AG , tìm  
.
-Sử dụng tính chất trọng tâm suy ra A .

Lời giải.
Tọa

độ

điểm

B

là

nghiệm

của

hệ

phương

trình

 x  2 y  4 0
 B  0;  2 

7 x  4 y  8 0

Đường thẳng AG đi qua G và vng góc với BC nên có phương trình
2 x  y 3
Tọa

độ

trung

điểm

2 x  y 3
 M  2;  1

 x  2 y  4 0

M

của

BC

là

nghiệm

của

hệ


C 4;0 
Từ đó suy ra tọa độ điểm 
3 xG  x A  xB  xC
 A  0;3 

3 yG  y A  yB  yC


Từ
A  0; 3  , B  0;-2  ,C  4; 0  .

Vậy

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng BC và
M  2;1
đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình x  y  1 0, x  2 y  2 0; Điểm
thuộc
C
.
ABC
.
đường cao kẻ từ
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm B . Nhận xét BM  BC .

N  BH  MN
-Viết phương trình MN , tìm  
.
C
BC
I
-Suy ra
, viết phương trình
. Tìm
-Viết phương trình AI , AC , suy ra A .
Lời giải.
Tọa độ điểm

B

là nghiệm của hệ phương trình

 x  y  1 0
 B  0;  1

 x  2 y  2 0


 BM  2;2 


BM.uBC 0  BM  BC

uBC  1;  1
Lúc đó

Phương trình đường thẳng qua M và song song với BC có phương trình  : x  y  3 0.
 x  y  3 0
8 1
 N ; 

x

2
y

2

0
3 3
Tọa độ giao điểm N  BH   là nghiệm của hệ 
7
x y
3
Đường thẳng đi qua N vng góc với BC cắt BC tại C và có phương trình
7

2 5
 x y
3  C ; 

3 3

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình  x  y  1 0
1 4

5
I  ; 
AI : x  y 
3
3


BC
3
Trung điểm của
là
. Phương trình đường thẳng
1
AC : 2 x  y 
AC
C
3
Đường thẳng
đi qua
và vng góc với BH nên


5

 x  y  3
 4 11 
 A ;

9 
9

2 x  y  1
3
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình 
 4 11 
 2 5
A  ;-  , B  0;-1 ,C  ;-  .
9 9 
 3 3
Vậy 

 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A. Biết phương trình các
đường thẳng AB,BC lần lượt là x  7 y  14 0 và 2 x  y  2 0. Viết phương trình cạnh AC,
M  4;0  .
biết đường thẳng AC đi qua
Định hướng:
B  AB  BC
-Tìm  
.
-Viết phương trình MN , AH .
N  MN  AB  I
-Tìm  
.
H  AI  BC  C
-Viết phương trình AI , tìm  
.
-Viết được phương trình AC .
Lời giải.
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

 x  7 y  14 0

 B  0;2 

 2 x  y  2 0

Gọi H là trung điểm của BC. Đường thẳng  đi qua M song song với BC cắt AB tại N và cắt AH
tại I. Ta có:
Phương trình đường thẳng  : 2 x  y 8
 x  7 y  14 0
 14 12 
 N ; 

2 x  y  8 0
 5 5 
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ 
 17 6 
I ; 
Do tam giác ABC cân tại A, suy ra I là trung điểm của MN, nên  5 5 
Đường thẳng AH đi qua I và vng góc với BC nên có phương trình x  2 y  1 0

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình
Từ đó suy ra tọa độ điểm

C  2;  2 

 x  2 y  1 0
 H  1;0 

2 x  y  2 0

và phương trình đường thẳng

AC : x - y - 4 = 0


ABCD  AB / / CD 
 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân
. Biết tọa độ các
A  8;2  , B   4;6  , D   6;  8  .
điểm 
Xác định tọa độ đỉnh C.

Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm E , viết phương trình EF .
F CD EF
-Viết phương trình CD , suy ra  
.
C
-Suy ra
.
Lời giải.
E  6;4 
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Khi đó 
và
 EF  AB

 EF  CD

Đường thẳng CD đi qua D và song song với AB nên có phương trình x  y  2 0.
Đường thẳng EF đi qua E và vng góc với AB nên có phương trình x  y  2 0.
 x  y  2 0

 F  0;  2 

x  y  2 0
Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ phương trình 

Từ F là trung điểm CD, suy ra tọa độ điểm

C  6; 4 

N 3;2 
 Bài . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD. Điểm 
là trung điểm
M   2;2 
P  2;  1
cạnh BC, các điểm
và
lần lượt nằm trên cạnh AB và DC sao cho AM CP .
Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Định hướng:
-Chứng minh AMCP là hình bình hành nên
-Tìm tọa độ I  C .

 I

 MP  AC

là tâm của hình chữ nhật.

-Viết phương trình AB , BC ,CD  B ,C .

-Từ đó suy ra D .
Lời giải.
 AM / / CP


AM CP

Ta có
tứ giác AMCP là hình bình hành. Gọi
 1
 I  0; 
 2
I  MP  AC suy ra I là trung điểm của MP

Phương trình đường thẳng AB qua M và song song với NI nên
có phương trình x  2 y  6


Phương trình đường thẳng BC qua N và vng góc với BC nên có phương trình 2 x  y 8
 x  2 y  6
 B  2;4 

2 x  y 8
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 
Phương trình đường thẳng DC qua P và song song với AB nên có phương trình x  2 y 4
 x  2 y 4
 C  4;0 

2 x  y 8
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 

Từ I là giao điểm của hai đường chéo, suy ra
Vậy

A   4;1  , D   2;  3 

A  -4;1 , B  2; 4 ,C  4; 0  , D  -2;-3  .

Bài 24. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0. Đường thẳng BC
song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0. Trung điểm AC là M(1; 1). Viết phương trình các
cạnh của tam giác ABC.
Định hướng:
Biết đường cao BH và trung điểm M của AC ta viết ngay được đường thẳng AC. Xác định được tọa độ của A
là giao của AC và d. Từ đó sử dụng tính chất trung điểm ta xác định được tọa độ của C. Vận dung quan hệ
song song giữa d và BC ta viết được phương trình của BC. Từ đó xác định được tọa độ đỉnh B là giao của BH
và BC. Tiếp theo ta dễ dàng viết được phương trình của AB đi qua hai điểm đã biết tọa độ.
Lời giải.

+ AC đi qua M và vng góc với BH nên nhận vectơ chỉ phương uBH (1;  1) của BH làm vectơ pháp tuyến
nên có phương trình 1( x  1)  1( y  1) 0  x  y 0 .

 x 
 x  y 0
 

 x  4 y  2 0
 y 

A là giao của AC và d nên tọa độ của A là nghiệm của hệ

2
3  A  2 ; 2 
 3 3
2


3
.

 xC 2 xM  x A
8 8
 C ; 

y 2 y M  y A
3 3
M là trung điểm của AC nên  C
.
8
8


1  x    4  y   0  x  4 y  8 0
3
3

+ BC đi qua C song song với d nên BC: 
.
 x  y  3 0
 x  4
 

 B(  4;1)

x  4 y  8 0
 y 1
B là giao của BH và BC nên tọa độ của B là nghiệm của hệ 
.
x 4
y 1

 x  2 y  2 0
2
2
 4   1
3
+ AB đi qua các điểm A và B 3
.


2. Sự tương giao của đường thẳng và đường tròn trong bài tốn tìm tọa độ điểm.

 Bài 2.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có tọa độ các đỉnh
A   3;2 
C 3;0 
và 
. Xác định tọa độ các đỉnh cịn lại của hình vng ABCD.
Định hướng:
-Tìm tọa độ trung điểm I của AC .
1
R  AC
2

.
-Viết phương trình đường thẳng BD . Suy ra tọa độ B , D là giao điểm của BD và đường trịn.

-Viết phương trình đường trịn tâm I , bán kính

Lời giải.
I 0;1
của đường chéo AC là   . Đường thẳng

BD đi qua I và nhận véc-tơ AC  6;  2  làm véc-tơ pháp tuyến
nên có phương trình 3 x  y  1 0.

Trung điểm I

Phương trình đường trịn tâm I , bán kính

R

AC
 10
2

là

2

x2   y  1 10.

Tọa độ các điểm B, D
 3 x  y  1 0


 2
2
 x   y  1 10

Vậy

là nghiệm của hệ phương trình

 B   1;  2  , D  1;4 

 B  1;4  , D   1;  2 

B  -1;-2  , D  1; 4

hoặc

B  1; 4 , D  -1;-2 

A  5;2 
 Bài 2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh 
, chân đường cao
 1 1
I   ; .
H

2;

1
 , tâm đường tròn ngoại tiếp  3 3  Tìm tọa độ các đỉnh B và C.

kẻ từ A là điểm 


Định hướng:
-Viết phương trình đường thẳng BC .
-Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
-Suy ra tọa độ điểm B ,C là giao của BC và đường tròn.

Lời giải.


Đường thẳng BC
x  y  1 0.

đi qua H

và nhận véc-tơ

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2

AH  3;  3 

có tâm I

làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

và bán kính

R  IA 

221
3

nên có phương trình

2

1 
1
221

 x  3  y 3  9

 

.
x  y  1 0

 B   4;  3  , C  3;4 

2
2

1 
1
221  
 B  3;4  , C   4;3 
 x     y   
3 

3
9
Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ 

Vậy

B  -4;-3  ,C  3; 4

hoặc

B  3; 4  ,C  -4;-3 

A  3;0 
 Bài 2.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có tọa độ các đỉnh 
và
B   1;  3 
. Xác định tọa độ các đỉnh cịn lại của hình vng ABCD, biết đỉnh D có tung độ dương.

Định hướng:
-Viết phương trình đường thẳng AD .
-Viết phương trình đường trịn tâm A ,bán kính R  AB .
-Tìm tọa độ điểm D là giao của AD và đường trịn.
C  BC  CD
-Viết phương trình BC , CD . Suy ra  
.

Lời giải.




Đường thẳng AD
2 x  3 y  6 0 .

đi qua A

và nhận véc-tơ

AB  2;  3 

làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

2

x  3   y2 13
Đường trịn tâm A bán kính R  AB  13 có phương trình 
.

 2 x  3 y  6 0


2
2
x

3

y

13





Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình

 D  0;2 

 D   6;  2  , vì yD  0  D  0;2  .

Lúc đó:
Phương trình đường thẳng DC : 3 x  2 y  4 0 và phương trình đường thẳng BC : 2 x  3 y  7 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
Vậy

3 x  2 y  4 0
 C  2;  1 

2 x  3 y  7 0

C  2;-1 , D  0; 2 

 Bài 2.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung điểm của đoạn BC là
3

M  ; 2
H   2;1
2
 , chân đường cao kẻ từ đỉnh C

là
; phương trình đường cao
BK : 7 x  6 y  15 0. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết B có tung độ âm.
Định hướng:
-Viết phương trình đường trịn tâm M , bán kính MH ngoại tiếp tứ giác
BCKH .
-Tìm tọa độ giao điểm BK và đường trịn. Suy ra C .
-Viết phương trình AB , AC  A

Lời giải.

Đường trịn tâm M

bán kính

R  MH 

85
2

ngoại tiếp tứ giác BCKH

và có phương trình

2

3
85
2


 x  2    y  2  4 .



7 x  6 y  15 0
B   3;  1


2

3
85    3 39 
2
;  , lo¹i
 B 
 x     y  2  
2
4

  17 17 
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 


Do M là trung điểm BC , suy ra tọa độ điểm

C  6;  3 

.

Đường thẳng AB đi qua B,H nên có phương trình 2 x  y  5 0.

Đường thẳng AC đi qua C vng góc với BK nên có phương trình 6 x  7 y  15 0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
Vậy

2 x  y  5 0
 A   1;3 

6 x  7 y  15 0

A  -1; 3  ,B  -3;-1 ,C  6;-3 

A  1;3 
 Bài 2.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh 
, trung điểm của
3

M  ; 2
2
 , phương trình đường thẳng đi qua chân các đường cao kẻ từ đỉnh B, C là
đoạn BC là
22 x  31 y  75 0. Xác định tọa độ đỉnh C, biết B có hồnh độ âm và BC  85 .

Định hướng:
1
R  BC
2
-Viết phương trình đường trịn tâm M , bán kính
.

-Tìm tọa độ điểm H là giao của HK và đường trịn.
-Viết phương trình AB  B là giao của AB và đường tròn. Suy ra
C.

Lời giải.

Đường tròn tâm M bán kính

R

BC
85

2
2 ngoại tiếp tứ giác BCKH (Với K , H lần lượt là hình chiếu
2

3
85
2

 x  2    y  2  4 .

của B trên AC và của C trên AB ) có phương trình 
2

 H   2;1
3
85
2

x

  y  2 



2
4    3 39 

H 
;

  17 17 
22 x  31 y  75 0

H
Tọa độ điểm
là nghiệm của hệ phương trình:

+) Với

H   2;1

phương trình đường thẳng AB : 2 x  y  5 0 .


2

3
85

2
x


   y  2   4  B   3;  1
2



C 6;  3 
2
x

y
 5 0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 
. Suy ra 

 3 39 
H
; 
+) Với  17 17 
phương trình đường thẳng AB : 6 x  7 y  15 0
2

3
85
2
 x     y  2  
2

4  B  6;  3 


6 x  7 y  15 0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 
, loại.

Vậy

C  6;-3 

 Bài 2.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường trịn tâm
I . Gọi H là hình chiếu của A trên BC , K là hình chiếu vng góc của B trên AI . Giả sử
A  2;5  , I  1;2 
, điểm B có hồnh độ âm và đường thẳng HK có phương trình x  2 y 0 . Tìm toạ
độ các điểm B, C .
Định hướng:
-Viết phương trình AI .
-Tìm tọa độ điểm K là giao của AI và HK .
-Viết phương trình BK , phương trình ngoại tiếp tam giác ABC .
Suy ra B .
-Viết phương trình đường trịn đường kính AB , suy ra H là giao của HK và đường tròn .
-Viết phương trình BC . Suy ra tọa độ B ,C là giao của BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Lời giải.
 x  2 y 0
2 1
 K  ; .

3 x  y 1
5 5

Phương trình đường thẳng AI : 3 x  y  1 0 . Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ 

Phương trình đường thẳng BK : x  3 y 1

2

Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác

2

ABC :  x  1   y  2  10.


 x  3 y 1


2
2
 x  1   y  2  10

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình


B   2;1 

  14 3 
 B  ;    lo¹i 
5
  5

2

Phương trình đường trịn đường kính

AB : x2   y  3  8

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình
Phương trình đường thẳng

 x  2 y 0

 2
2
 x   y  3  8


H  2;1

 H  2 ; 1   K  lo¹ i 
  5 5 

BC : y  1 0.

 y  1 0


2
2
 x  1   y  2  10
C

Tọa độ điểm
là nghiệm của hệ phương trình

Vậy


C  4;1

 C   2;1  B  lo¹i 


B  -2;1 ;C  4;1

 Bài 2.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hàng ABCD . Phương trình đường trịn

 C  :  x 

2

2

5 
1
5
 x   ;

2 
2
2


đường kính AB là
đường thẳng đi qua B vng góc với AC có
x

y

2

0
phương trình
. Xác định tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD , biết điểm B có tung
M  0;  4  .
độ âm và đường thẳng CD đi qua điểm

Định hướng:
C
- Tìm tọa độ điểm B , H là giao của BH và đường tròn   .
- Tâm I là trung điểm của AB  A .

-Viết phương trình AC ,CD  C .


AB
 DC  D .
-Từ
Lời giải.
AC.

Gọi H

là hình chiếu vng góc của B trên

Tọa độ các điểm B, H là nghiệm của hệ phương trình
2
2

5 
1
5

 x     x   
 B   3;  1
2 
2
2 


 H   1;1
 x  y  2 0

tung độ âm.

, do điểm B

có


 5 1
I ; 

A   2;2 
Tâm  2 2  là trung điểm của BC . Suy ra

Đường thẳng AC đi qua H và vng góc với BH nên có phương trình x  y 0.
Đường thẳng CD đi qua M và song song với AB nên có phương trình 3 x  y  4 0.

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ
Từ đẳng thức
Vậy

 x  y 0
 C  1;  1

3 x  y  4 0

.



CD  AB  D  2;2 

A  -2;2  ;B  -3;-1 ;C  1;-1 ; D  2; 2 

 Bài 2.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Phương trình các đường thẳng chứa
đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt là x  2 y  13 0 và 13 x  6 y  9 0. Tìm tọa độ
I  5;1 .
các đỉnh B, C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 

Định hướng:
-Tìm tọa độ điểm A là giao của AH , AM .

-Gọi M là trung điểm của BC , viết phương trình IM , tìm tọa độ điểm M .
-Viết phương trình BC , viết phương trình ngoại tiếp tam giác ABC .
Suy ra tọa độ điểm B ,C là giao của BC và đường trịn.
Lời giải.
Tọa

độ

điểm

A

là

nghiệm

của

hệ

phương

trình

 x  2 y  13 0
 A   3;  8 

13 x  6 y  9 0

Gọi M là trung điểm BC. Đường thẳng IM đi qua I và song song với AH

nên có phương trình x  2 y  7
Tọa

độ

điểm

M

là

nghiệm

của

hệ

phương

trình

13 x  6 y  9 0
 M  3;5 

 x  2 y  7

Đường thẳng BC đi qua M và vng góc với AH nên có phương trình 2 x  y 11


Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính R  IA  85

 x  5

2

  y  1 85.

2 x  y 11



2
2
x  5    y  1 85



Tọa độ các điểm B,C là nghiệm của hệ phương trình

Vậy

nên có phương trình

2

B  2; 7  ,C  4; 3 

hoặc

B  4; 3  ,C  2; 7 

 B  2;7  , C  4;3 

 B  4;3  , C  2;7 

.

 Bài 2.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm
9 3
I ; 
 2 2  . Điểm M  3;0  là trung điểm của cạnh AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Định hướng :
-Viết phương trình AD .
-Từ diện tích hình chữ nhật suy ra độ dài AD .
-Viết phương trình đường trịn đường kính AD .
-Tìm tọa độ điểm A , D là giao của đường thẳng AD và đường tròn. Suy ra B ,C .

Lời giải.


 3 3
IM   ;  
 2 2  làm véc-tơ
Đường thẳng AD đi qua M, nhận véc tơ
pháp tuyến nên có phương trình x  y 3

Lại có

SABCD 4.SIAD 2.MI. AD  AD 

24
6. 2

Phương trình đường trịn tâm M, bán kính

 x  3

2

2 2

R

AD
 2
2

là

2

 y 2.

x  y 3

 x 2
 x 4
 

2


2
y

1
x

3

y

2


y  1

Tọa độ các đỉnh A, D là nghiệm của hệ phương trình 
và 

Từ đó suy ra tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là

  2;1 ,  5;4  ,  7;2  ,  4;  1  .