Dang11 giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình

1

Website: tailieumontoan.com
CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
XI. Dạng 11: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình
A. Bài tốn
Bài 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện
tích khơng đổi; ngồi ra nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình
vng. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu.
Bài 2: Một người mang trứng ra chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau: Ngày thứ nhất

1
1
số trứng cịn lại. Ngày thứ hai bán được 16 trứng và
số trứng còn lại.
8
8
1
Ngày thứ ba bán được 24 trứng và
số trứng còn lại. Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán
8
bán được 8 trứng và

hết trứng. Biết số trứng bán được mỗi ngày đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng người đó bán được là
bao nhiêu và bán hết trong mấy ngày ?
Bài 3: Một người đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Nếu người đó đi nhanh hơn
mỗi giờ 10km thì tới B sớm hơn dự định 36 phút; nếu người đó đi chậm hơn mỗi giờ 10km thì tới B
muộn hơn dự định 54 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km?
Bài 4: Tìm tất cả các tam giác vng có số đo các cạnh là số ngun và hai lần số đo diện tích bằng
ba lần số đo chu vi.

Bài 5: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hịa.Sau đó 5 phút, Bình và Cường khởi hành từ Biên Hòa
về Sài Gòn.Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận tốc
của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD  6 km ; Vận tốc của An
3
bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng
vận tốc của Cường
4
Bài 6: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc
DB , tổng cộng dài 30 km . Một người đi từ A đến B rồi đi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút.
Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc (cả đi lẫn về) là 10 km / h ; vận tốc xuống
dốc (cả đi lẫn về) là 20 km / h ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang 15 km / h .
Bài 7: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa .Sau đó 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên
Hòa về Sài Gòn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận
tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD  6 km ; Vận tốc của
An bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng

3
vận tốc của Cường
4

Bài 8: Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,35 điểm. Kết quả
cụ thể được ghi trong bằng sau, trong đó có ba ô bị mờ ở chữ số hàng đơn vị khơng đọc được (tại vị
trí đánh dấu *).
Điểm số của mỗi lần bắn 10 9 8 7 6 5
Số lần bắn
2* 40 1* 1* 9 7
Em hãy tìm lại các chữ số hàng đơn vị trong ba ơ đó.
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

2

Website: tailieumontoan.com
Bài 9: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hịa .Sau đó 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên
Hòa về Sài Gòn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận
tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD  6 km ; Vận tốc của
3
An bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng
vận tốc của Cường
4
Bài 10: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình là 40 km/h. Lúc đầu ô tô đi
với vận tốc đó, khi cịn 60 km nữa thì mới được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm
vận tốc 10km/h trên qng đường cịn lại. Do đó ơ tơ đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính
qng đường AB.
Bài 11: Cho tam giác vng có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số
đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó.
Bài 12: Trường trung học phổ thơng A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đoàn
26 – 3 . Biết rằng có n đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng
một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào. Kết thúc
giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa và tổng số điểm của các đội là
336. Hỏi có tất cả bao nhiêu đội bóng tham gia?
B. Lời giải
Bài 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện
tích khơng đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình
vng. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu.
Lời giải
Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là x ; y với ( x  1 ; y  4
)
Nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích khơng đổi nên ta có pt

 x  1 .  y  2   xy

(1)

Nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vng nên ta
có pt
x  3  y  4 � x  y  7 (2)

Thế (2) vào (1) ta có:

 y  8 .  y  2   y.  y  7 
� y  16 ; x  9

Vậy diện tích thửa ruộng ban đầu là: 16.9=144 ( m 2 )
Bài 2: Một người mang trứng ra chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau: Ngày thứ nhất

1
1
số trứng còn lại. Ngày thứ hai bán được 16 trứng và
số trứng còn lại.
8
8
1
Ngày thứ ba bán được 24 trứng và
số trứng còn lại. Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán
8
bán được 8 trứng và

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

3

Website: tailieumontoan.com
hết trứng. Biết số trứng bán được mỗi ngày đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng người đó bán được là
bao nhiêu và bán hết trong mấy ngày ?
Lời giải
Gọi x là số trứng bán được  x �N , x  8  , thì:

x 8
8
x 8�
�
x �
16  8 
�
Số trứng bán được trong ngày thứ hai là :
8 �
�
16 
8
Số trứng bán được trong ngày thứ nhất là : 8 

Theo bài ra ta có phương trình :

x 8�
�
x �
16  8 
�

x 8
8 �
�
8
 16 
8
8

Giải phương trình ta được: x = 392.
Vậy tổng số trứng bán được là 392 trứng
Số trứng bán được mỗi ngày là 8 

392  8
 56
8

Số ngày là 392 : 56 = 7 ngày.
Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một người đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Nếu người đó đi nhanh hơn mỗi giờ
10km thì tới B sớm hơn dự định 36 phút; nếu người đó đi chậm hơn mỗi giờ 10km thì tới B muộn
hơn dự định 54 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km?
Lời giải
Đổi 36 phút  0, 6h ; 54 phút  0,9h
Gọi vận tốc dự định là: v (km / h)(v  0)
Gọi thời gian dự định là: t (h)(t  0)
Nếu người đó đi thêm đc 10km mỗi giờ thì vận tốc là: (v  10)(km / h)
Khi đó người đó đến B sớm hơn dự định 36 phút nên thời gian người đó đi là: (t  0, 6)(h)
Vì qng đường AB khơng đổi nên ta có phương trình là: (v  10)(t  0, 6)  v.t (1)
Nếu người đó đi chậm hơn 10km mỗi giờ thì vận tốc là: (v  10)( km / h)
Khi đó người đó đến B muộn hơn dự định 54 phút nên thời gian người đó đi là: (t  0,9)(h)

Vì qng đường AB khơng đổi nên ta có phương trình là:
(v  10)(t  0,9)  v.t (2)
(v  10)(t  0, 6)  v.t
�
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: �
(v  10)(t  0,9)  v.t
�
vt  10t  0, 6v  6  v.t
�
��
vt  10t  0,9v  9  v.t
�
�10t  0, 6v  6
��
10t  0,9v  9
�
t  3, 6
�
��
�v  50
Vậy quãng đường AB là: 50.3, 6  180( km)
Bài 4: Tìm tất cả các tam giác vng có số đo các cạnh là số ngun và hai lần số đo diện tích bằng
ba lần số đo chu vi.
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


4

Website: tailieumontoan.com
Lời giải

Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh góc vng của  vng.
Khi đó: a, b, c  N và a  5; b, c  3

 a 2 b 2  c 2
(1)
Ta có hệ phương trình: 
 bc 3(a  b  c) ( 2)
(1):
a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c)

a2 + 6a + 9 = (b + c)2 – 6(b + c) + 9

(a + 3)2 = (b + c – 3)2

a+3=b+c–3

a=b+c–6
(2):
bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6)

(b – 6)(c – 6) = 18
Nên ta có các trường hợp sau:
1. b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25
2. b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17
3. b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15
Bài 5: An khởi hành từ Sài Gịn đi Biên Hịa.Sau đó 5 phút, Bình và Cường khởi hành từ Biên Hịa
về Sài Gòn.Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận tốc
của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD  6 km ; Vận tốc của An
3
bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng

vận tốc của Cường
4
Lời giải
x
,
y
,
z
Gọi
là vận tốc của An, Bình, Cường
2
4
Suy ra y  x và z  x
3
3
Gọi S là quãng đường mà An đi được cho tới khi gặp cường.Kết hợp với CD  6 km suy ra quãng

đường mà An đã đi được cho tới khi gặp Bình là 39   S  6   33  S Theo đề bài ta có hệ phương
trình
�S 39  S 1

�x  4
12
x
�
�
3
Giải hệ này cho ta x  48 vậy vận tốc của An là 48km / h vận tốc của Bình là
�
�S  6  33  S  1

2
�x
12
x
�
3
�
32km / h vận tốc của Cường là 64km / h
Bài 6: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc
DB , tổng cộng dài 30 km . Một người đi từ A đến B rồi đi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút.
Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc (cả đi lẫn về) là 10 km / h ; vận tốc xuống
dốc (cả đi lẫn về) là 20 km / h ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang 15 km / h .
Lời giải

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


5

Website: tailieumontoan.com
s2

C

D

s3

s1

A

B

AB=30 km

Gọi AC  s1 ; CD  s2 ; BD  s3 s1  0; s2  0; s3  0
Ta có: s1  s2  s3  30  km  .
Gọi vận tốc lên, vận tốc ngang, xuống lần lượt là v1 ; v2 ; v3 .
53
 h.
Thời gian đi và về là: 4h 25�
12
s1 s2 s3 s1 s2 s3 53
Theo đề bài, ta có phương trinh:      
v1 v2 v3 v3 v2 v1 12
�1 1 � �1 1 � 2 s
53
� s1 �  � s3 �  � 2 
�v1 v3 � �v1 v3 � v2 12
53
�1 1 � �1 1 � 2s
� s1 �  � s3 �  � 2 
10 20 � �20 10 � 15 12
�
53
�1 1 � 2 s
�  s1  s3  �  � 2 
10 20 � 15 12
�

2s
3
53
�
 30  s2  2 
20
15 12
� s2  5  km 

Vậy quãng đường ngang CD là 5  km  .
Bài 7: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hịa .Sau đó 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên
Hòa về Sài Gòn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận
tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD  6 km ; Vận tốc của
An bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng

3
vận tốc của Cường
4

Lời giải
Gọi x, y, z là vận tốc của An , Bình , Cường
2
4
Suy ra y  x và z  x
3
3
Gọi S là quãng đường mà An đi được cho tới khi gặp cường .Kết hợp với CD  6 km suy ra quãng
đường mà An đã đi được cho tới khi gặp Bình là 39   S  6   33  S Theo đề bài ta có hệ phương
trình

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038


6

Website: tailieumontoan.com
�S 39  S 1

�x  4
12
x
�
�
3
Giải hệ này cho ta x  48 vậy vận tốc của An là 48km / h vận tốc của Bình
�
�S  6  33  S  1
2
�x
12
x
�
3
�
là 32km / h vận tốc của Cường là 64km / h
Bài 8:
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,35 điểm. Kết quả cụ thể
được ghi trong bằng sau, trong đó có ba ơ bị mờ ở chữ số hàng đơn vị không đọc được (tại vị trí
đánh dấu *).
Điểm số của mỗi lần bắn 10 9 8 7 6 5

Số lần bắn
2* 40 1* 1* 9 7
Em hãy tìm lại các chữ số hàng đơn vị trong ba ơ đó.
Lời giải
Tổng các số tại các ô bị mờ số là 100   40  9  7   44
Tổng số điểm trong 100 lần bắn là 8, 35.100  835
Tổng số điểm tại các vị trí ơ khơng bị mất số là 9.40  6.9  5.3  449
Suy ra tổng số điểm bắn được tại vị trí các ơ bị mất là 835  449  386 , đây là số chẵn
Suy ra tại ơ 7 điểm số lần bắn chỉ có thể là số chẵn, vì vậy chỉ có 3 khả năng là 10, 12, 14.
Gọi x, y lần lượt là số lần bắn được 10 điểm và 8 điểm
; 20
 x 30;10 x 20
Điều kiện: x, y ΣN�
Trường hợp 1: Ô 7 điểm nhận giá trị 10, khi đó theo đề bài ta có hệ phương trình.
�
x  y  34
� x  y  34
�x  22
�
��
��
thỏa điều kiện
�
10 x  8 y  316
�y  12
�449  10 x  8 y  70  835 �
Trường hợp 2: Ơ 7 điểm nhận giá trị 12, khi đó theo đề bài ta có hệ phương trình
�
x  y  32
� x  y  32

�x  23
�
��
��
loại
�
10 x  8 y  316
�y  9
�449  10 x  8 y  84  835 �
Trường hợp 3: Ô 7 điểm nhận giá trị 14, khi đó x = 20 và y = 10 suy ra
Tổng số điểm bắn được là:
20.10  9.40  8.10  7.14  6.9  5.7  827 không phù hợp
Vậy chữ số hàng đơn vị tại các ô 10 điểm, 8 điểm, 7 điểm lần lượt là 2, 2, 0
Bài 9: An khởi hành từ Sài Gịn đi Biên Hịa .Sau đó 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên
Hịa về Sài Gòn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận
tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD  6 km ; Vận tốc của
3
An bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng
vận tốc của Cường
4
Lời giải
Gọi x, y, z là vận tốc của An , Bình , Cường
2
4
Suy ra y  x và z  x
3
3
Gọi S là quãng đường mà An đi được cho tới khi gặp cường .Kết hợp với CD  6 km suy ra quãng
đường mà An đã đi được cho tới khi gặp Bình là 39   S  6   33  S Theo đề bài ta có hệ phương
trình

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038


7

Website: tailieumontoan.com
�S 39  S 1

�x  4
12
x
�
�
3
Giải hệ này cho ta x  48 vậy vận tốc của An là 48km / h vận tốc của Bình
�
�S  6  33  S  1
2
�x
12
x
�
3
�
là 32km / h vận tốc của Cường là 64km / h
Bài 10: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình là 40 km/h. Lúc đầu ơ tơ đi
với vận tốc đó, khi cịn 60 km nữa thì mới được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm
vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ơ tơ đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính
quãng đường AB

Lời giải
Gọi x là quãng đường AB (x>0)
Quãng đường ô tô đi với vận tốc ban đầu là :
Quãng đường ô tô đi với vận tốc tăng lên là
Thời gian ô tô đi lúc ban đầu là:

x
 60
2

x
 60
2

x  120
80

Thời gian ô tô đi lúc tăng vận tốc là:

x  120
100

Theo đề bài ta có phương trình:
x  120 x  120 x


1
80
100
40

Giải phương trình được x = 280 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy quãng đường AB dài 280 km.
Bài 11: Cho tam giác vng có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số
đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó.
Lời giải
Gọi độ dài các cạnh của tam giác vuông là a, b, c (a là độ dài cạnh huyền).
Theo giả thiết và định lý Pitago, ta có:
�
a b  c  bc  1
�
�2 2
2
�
�b  c  a  2
� b2  c2  2bc  2 a b  c  a2
�  b  c  1   a  1 �  b  c  1   a  1  0
2

2

2

2

� (b  c  1 a  1)(b  c  1 a  1)  0
� (b  c  a)(b  c  a  2)  0
�
b c 2  a
��

a b  c  0  loa�
i
�
Thế a = b + c - 2 vào (2) ta được:
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


8

2 +bc - 2b - 2c =0 �  b-2  c  2  2

Website: tailieumontoan.com

Vì b, c là các số nguyên dương nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp b - 2
c-2
B
c
a
Kết luận
1
1
2
3
4
5
Nhận
2
2
1

4
3
5
Nhận
3
-1
-2
1
0
-1
Loại
4
-2
-1
0
1
-1
Loại
Vậy tam giác cần tìm có các cạnh là 3; 4; 5.
Bài 12: Trường trung học phổ thơng A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đoàn
26 – 3 . Biết rằng có n đội tham gia thi đấu vịng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng
một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào. Kết thúc
giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa và tổng số điểm của các đội là
336. Hỏi có tất cả bao nhiêu đội bóng tham gia?
Lời giải
Gọi số trận hịa là x ( x �N * ) � tổng số điểm của các trận hịa là 2x, (1 trận hịa có 2 đội, mỗi đội
được 1 điểm)
Theo giả thiết số trận thắng là 4x � tổng số điểm của các trận thắng là 12x
Tổng số điểm các đội là 336 � 2x + 12x = 336 � x = 24
Vậy ta có tất cả 24 + 4.24 = 120 trận đấu diễn ra

Từ giả thiết có n đội, mỗi đội đấu với n – 1 đội còn lại nên số trận đấu diễn ra là n(n – 1) , nhưng
đây là tính cả trận lượt đi và lượt về, giả thiết mỗi đội đấu với nhau đúng 1 lần nên tổng số trận
n(n  1)
giảm đi một nửa, do đó có tất cả
trận đấu
2
n(n  1)
 120 � n(n  1)  240 � n  16, (n  15 loại)
Do đó:
2
Vậy có tất cả 16 đội bóng tham gia.

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038