bai tap tam giac va tu giac boi duong hoc sinh gioi lop 8

CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC VÀ TỨ GIÁC.
I.
LÝ THUYẾT.
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, HB = c’, HC =
b’. Khi đó ta có các hệ thức sau:
+) a2 = b2 + c2 (Định lý Pythagore);
+) b2 = ab’; c2 = ac’;
+) h2 = b’.c’
+) ah = bc ;
1
1 1
 2 2
2
b c
+) h
+) MA = MB = MC = BC/2, với AM là đường trung tuyến.
+) Nếu góc C bằng 300 thì BC = 2AB.
+) Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh,
bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vng.
2. Một số cơng thức trong tam giác thường:
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a, AM là đường trung tuyến, AD là đường phân giác.
Khi đó ta có :
+)

+)

AM 2 

AD 

AB 2  AC 2 BC 2

2
4 (công thức đường trung tuyến).

2bcCos
bc

A
2
(Công thức đường phân giác);

+) a b  c  2bc cos A (Định lý Cosin trong tam giác);
2

2

2

a
b
c


2 R
+) sin A sin B sin C
, R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ( Định lý sin trong
tam giác).


Bất đẳng thức Erdös – Mordell

Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác (M không nằm trên biên cua tam giác). Gọi da, db, dc
theo thứ tự là khoảng cách từ M  BC, CB, AB. Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
MA+MB+MC  2(da+db+dc)
Đẳng thức xảy ra  ABC đều và M là tâm của tam giác.
3. Một số công thức tính diện tích tam giác:
Cho tam giác ABC, AB = c, AC = b, BC = a; R, r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội
tiếp tam giác, ta có:
1
1
1
SABC  aha  bhb  chc
2
2
2
+)
;

+) SABC

1
1
1
bc sin A  acsinB  ab sin C
2
2
= 2
;
 p.r với p là nửa chu vi.

+)

SABC 

abc
4R .

1
SABC  bc
2 .
+) Nếu tam giác ABC vng tại A thì
II.
BÀI TẬP.
Dạng bài tập liên quan đến tính tốn (Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng…)

0 
0
Bài 1. Cho tam giác ABC có B 45 ; C 30 . Chứng minh rằng AB : BC : AC  2 : (1  3) : 2 .
2
2
2
Bài 2. Cho tam giác ABC có góc A bằng 600. Chứng minh rằng BC  AB  AC  AB.AC .
Bài 3. a. Chứng minh công thức đường trung tuyến trong tam giác.
a. Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là đường phân giác của góc A, biết AB = 3cm;

12 2
AD 
cm

7
. Tính BD.
b. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên BC lấy các điểm D, E sao cho BD = DE = EC. Biết AD =
10, AE = 15. Tính BC.
Bài 4. a. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là điểm nằm trong tam giác sao cho MA=2cm,
MB=3cm; AMC=1350. Tính MC.
b. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là điểm nằm trong tam giác sao cho MA:MB:MC=2:3:1.
Tính số đo góc AMC.
Bài 5. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD, hai đường phân giác của góc A và góc D cắt nhau
tại I, hai đường phân giác góc B và C cắt nhau tại J. Gọi H là trung điểm của AD, K là trung điểm của
BC. Cho biết AB = AD = 10cm, BC = 12cm, CD = 20cm. Tính IH, IJ, JK.
Bài 6. Cho hình thang cân ABCD có góc C = 600, đáy nhỏ AB bằng cạnh bên. Biết chu vi của hình
thang bằng 20cm. a. Tính các cạnh của hình thang;
b. Tính chiều cao của hình thang.
Bài 7. Cho tam giác ABC vng tại A có góc C = 300. E là trung điểm của AB. Từ E kẻ đường thẳng
vng góc với AB, cắt BC tại F.
a. Tứ giác AEFC là hình gì ?

b. Tính độ dài các cạnh của tứ giác đó, biết AB = 3cm

Bài 8. Cho hình thang ABCD vng tại A và B; AB = BC = AD/2 = 3cm.
a. Tính các góc của hình thang;

b. Chứng minh rằng AC vng góc với CD;

c. Tính chu vi của hình thang.
Bài 9. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), AB = 3cm; CD = 6cm; AD = 15cm. Vẽ hai đường cao
AH và BK. Tính DH, DK và AH.
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 5cm, BC = 13cm. Vẽ đường trung tuyến AM. I là trung
điểm của AM. Tia BI cắt AC tại D. Tính BI.

Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH, phân giác BD. Tính các góc của tam giác
ABC biết BD = 2 AH.
Bài 12. Tính độ dài đường trung bình của một hình thang biết rằng hai đường chéo của nó vng góc
với nhau và đường cao của nó bằng 10cm.
Bài 13. Cho tứ giác ABCD có góc C = 400, D = 800, AD = BC. E, F là trung điểm của AB và CD.
Tính góc EFD. (Đáp số: góc EFD = 700)



0
Bài 14. Cho tứ giác ABCD, có AB  3, BC 3, CD 2 3, AD 3 3, A 60 . Tính các góc cịn lại
của tứ giác ABCD.
Bài 15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4, góc ACB = 300, kẻ BH vng góc với AC. Gọi M, K
theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Tính tổng MB2 + MK2.
Bài 16. Cho hình chữ nhật ABCD có (AB > AD). AH vng góc với BD. Trên tia đối của tia AH lấy
điểm E sao cho AE = BD. Tính góc ECD.
Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy điêm D sao cho
HD = HA. Từ D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC tại E. M là trung điểm của BE. Tính góc
AHM.
Bài 18. Cho biết khoảng cách giữa chân đường vng góc kẻ từ một đỉnh xuống 2 cạnh của một hình
thoi bằng ½ độ dài đường chéo của nó. Tính các góc của hình thoi ấy.
Bài 19. Cho hình bính hành ABCD, các đường cao AE và AF. Biết AC = 25cm, EF = 24cm. Tính
khoảng cách từ A đến trực tâm H của tam giác AEF. (Hướng dẫn kẻ đường cao CN)
Bài 20. Cho hình bình hành ABCD, AB =2AB, góc D = 700. H là hình chiếu của B trên AD, M là
trung điểm của CD. Tính góc HMC.
Dạng bài tập chứng minh tính chất hình học.
Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE. Tia phân giác các góc ABD và ACE cắt nhau
tại O, cắt AC và AB lần lượt tại N và M. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. CMR:
c. BN và CM vng góc.

b. Tứ giác MNHK là hình thoi.

Bài 2. Cho tam gi¸c ABC . Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông ABGH , ACEF và BCIJ.
Gọi O1,O2, O3 lần lợt là tâm các hình vuông . M là trung ®iĨm cđa BC, D lµ trung ®iĨm cđa HF.
a. Chøng minh O1MO2 là tam giác vuông cân .
b. Tứ giác DO1MO2 là hình vuông .
c. Chứng minh HF = 2AM .
d. Chứng minh AD vuông góc với BC và AM vu«ng gãc víi HF
e. Chøng minh O1O2 = AO3 .
Bài 3. Chứng minh rằng trong hình thang bốn điểm sau thẳng hàng: trung điểm hai cạnh bên, 2 trung
điểm 2 đường chéo.
Bài 4. chứng minh rằng trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm của
hai đường chéo bằng nửa hiệu 2 đáy. Điều ngược lại có đúng khơng? Vì sao?
Bài 5. Cho tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất, O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . Trên cạnh
BC lấy M và N sao cho BM = BA, CN = CA. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O lên BC, CA, AB.
Chứng minh rằng:
a. Các tứ giác AMDF và AEDN là hình thang cân và MF = NE.
b. Tam giác OMN cân.
Bài 6. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Đường trung bình của hình thang cắt đường chéo BD và AC
theo thứ tự tại E và F. Tìm điều kiện của hình thang ABCD để ME = FE = FN.


Bài 7. Cho hình bình hành ABCD trong đó AD=2AB. Từ C kẻ CE vng góc với AB. Nối E với trung
điểm M của AD. Từ M kẻ MF vuông góc với CE; MF cắt BC tại N.
a. Tứ giác MNCD là hình gì?

b. Tam giác MEC là tam giác




b. Chứng minh: BAD 2 AEM .

Bài 8. Cho hình vng ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
a. CMR: CM vng góc với DN.
0

b. Dựng vào phía trong hình vng ABCD tam giác FAB cân tại F và có FAB 15 . CMR tam giác
CFD là tam giác đều.

Bài 9. Cho hình vng ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Các đường thẳng DN và
CM cắt nhau tại I. dựng đường cao AH của tam giác IAD. CMR: Tam giác AID cân.
Bài 10. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (MA > MB). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các
tam giác đều AMC, BMD. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của MC, BC, MD, DA. Chứng
minh tứ giác EFIK là hình thang cân và CD = 2KF.
Bài 11. Cho tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất, O là giao điểm của các đường phân giác trong.
Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho BM = BA, CN = CA. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu
của O lên BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a. Các tứ giác AMDF và AEDN là các hình thang cân và MF=NE.
b. Tam giác OMN là tam giác cân.
Bài 12. Cho tứ giác ABCD gọi G là trung điểm của AD, E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng
AB  CD
2
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Từ đó suy ra thêm 1 cách chứng minh một tứ giác là
hình thang.
GE 

Bài 13. Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tam giác ABD vuông
cân tại A, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tam giác ACE vuông cân tại A. Gọi M, P,
Q theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, CE. Tam giác MPQ là tam giác gì? Vì sao?
Bài 14. Cho tứ giác ABCD, biết AD và BC cắt nhau tại E, AB và CD cắt nhau tại F.Các tia phân giác

của góc E và F cắt nhau tại I. Tính góc EIF theo A và C của tứ giác ABCD.

Bài 15. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF



BD
2

.

a. Chứng minh rằng AF = CE.
b. Tia AE cắt BC tại I, tia CF cắt AD tại K. Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BD, IK đồng quy.
Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB). Gọi I là trung điểm của AC, dựng đường thẳng
qua I vng góc với BC, dựng đường thẳng qua C vng góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau
tại M. dựng đường thẳng qua I vng góc với BM, đường thẳng này cắt BC tại H. Chứng minh rằng
A, M, H thẳng hàng.
Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, góc C = 300. Dựng tam giác đều ACD (D
và B khác phía đối với AC). Gọi K là hình chiếu vng góc của H trên AC. Đường thẳng qua H và
song song với AD cắt AB kéo dài tại M. Chứng minh rằng ba điểm M, K, D thẳng hàng.


Bài 18. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Giả sử D là điểm bên trong tam giác sao cho tam giác
ABD cân và góc ADB = 1500. Trên nửa mặt phẳng khơng chứa điểm D có bờ là đường thẳng AC lấy
điểm E sao cho tam giác ACE đều. Chứng minh rằng ba điểm B, D, E thẳng hàng.
Bài 19. Cho hình chữ nhật ABCD, M thuộc đoạn thẳng BD, lấy I đối xứng với C qua M. Gọi E và F
lần lượt là hình chiếu của I lên AD và AB. Chứng minh rằng E, F, M thẳng hàng.
Bài 20. Cho hình vng ABCD tâm O và điểm I ở trong hình vng sao cho tam giác AIB đều. Dựng
EB vng góc với IB sao cho I và E khác phía bờ BC và EB = IB. Dựng F sao cho AODF là hình
vng. Chứng minh: a. D, I, E thẳng hàng.

b. E, O, F thẳng hàng.
Bài 21. Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ các
tia Bx vng góc với AB và tia Cy vng góc với AC chúng cắt nhau tại D.
a. Tứ giác BHCD là hình gì?
b. Gọi E là điểm sao cho BC là đường trung trực của EH. chứng minh rằng tứ giác BCDE là hình
thang cân.
c. BD cắt EH tại K. Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác HCDK là hình thang cân.
Bài 22. Cho tam giác ABC có  A = α (600 < α < 1500). Vẽ ra phía ngồi tam giác ABC các tam giác
đều ABD và ACE. Gọi F là trung điểm của DE, G là trọng tâm của tam giác ACE, I là điểm trên tia
đối của tia FG sao cho FI = FG. Chứng minh rằng tam giác BIG là tam giác đều.
Bài 23. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BK và CL cắt nhau tại H. Một đường thẳng đi qua H
cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng HP = HQ khi và chỉ khi MP = MQ, với M là trung
điểm của BC.
Bài 24. Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của điểm A lên đường phân giác trong và
ngồi của góc B; E, F lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm A lên các đường phân giác trong và
ngồi của góc C.
a. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng.
b. Tính độ dài đoạn NF theo các cạnh của tam giác ABC.
Bài 25. Cho tam giác ABC nhọn, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
AB, BC, CA; Gọi R, S và T lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC.
a. Tứ giác MPTS là hình gì? Vì sao ?
b. Chứng minh rằng ba đường thẳng NR, MT và SP đồng quy.
c. Với điều kiện nào của tam giác ABC thì MR = RP = MS.
Bài 26. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra phía ngồi hình bình hành này các hình vng ABEF,
BCPQ, CDMN, ADHK. Gọi I, J, K, H lần lượt là tâm của các hình vng đó. Chứng minh rằng tứ
giác IJKH là hình vng.
Bài 27. Cho hình vng ABCD. M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ ME vng góc với
AB, MF vng góc với AD.
a. Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
b. Xác định vị trí của điểm M trên BD để tích ME.MF lớn nhất.