ung dung so phuc trong luong giac

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ
PHỨC VÀ ỨNG DỤNG


1. Số phức dưới dạng lượng giác
a, Acgumen của số phức z ≠ 0
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số
đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một
acgumen của z.
CHÚ Ý
Nếu φ là một acgumen của z thì mọi acgumen của x có dạng φ + k2π, k ∈ 

b, Dạng lượng giác của số phức
ĐỊNH NGHĨA 2
Dạng z r (cos  isin ), trong đó r  0, được gọi là dạng lượng giác
của số phức z 0 . Còn dạng z a  bi (a, b  ) được gọi là dạng đại số của số
phức z.


Nhận xét:
- Để tìm dạng lượng giác r (cos  isin ) của số phức z a  bi (a, b  ) khác 0
cho trước, ta cần:
1) Tìm r: đó là mơ-đun của z, r  a 2  b 2 ; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến
điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức.
2) Tìm  : đó là 1 acgumen của z;  là số thực sao

a
b
cho cos  và sin   ; số  đó cũng là số đo 1 góc lượng giác của tia đầu
r

r
Ox, tia cuối OM
CHÚ Ý
1, z 1 khi và chỉ khi z cos  isin (  )
2, Khi z = 0 thì z r 0 nhưng acgumen của x không xác định ( acgumen của 0 là
số thực tùy ý).
3, Cần để ý đối với r  0 trong dạng lượng giác r (cos  isin ) của số phức z 0


VD1: Biết z ≠0 có một acgumen là φ.
1
Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: – z; z ; – z ; .
z


• z biểu diễn bởi OM thì –z biểu diễn bởi  OM nên có acgumen là 

´ biểu diễn bởi
�

 – �
´ biểu diễn bởi  OM '

  2k  1  .

 

• là –   2k . , vì
    –  �  +  2�� .
�à

nên có acgumen là     2k  1  .

¿  �∨¿ 2
1
¿

là một số thực nên

  −1

�

có cùng acgumen với  �
´


VD2
 cosgiác
 sin
• Số –1 có mơđun là 1 và một acgumen bằng p nên có dạngz lượng
là
1
• Số có môđun bằng 2 và một acgumen bằng φ thoả cos  và sin   .3
2

Lấy  

2




 
thì 1  3  2  cos    isin   
3
 3
 3 


• Số 0 có mơđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cosφ+ isinφ)


2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Định lý:
Nếu

Thì

z r (cos  i sin  )
z r (cos   i sin  ) (r…0, r …0)

zz rr [cos(   )  i sin(   )]
z r
 [cos(    )  i sin(    )] (khi r  0)
z r 


z1
3

3
5
5
VD : z1 2(cos
 isin ) và z2  2( sin
 icos ). Tính z1.z 2 và
4
4
12
12
z2
Với z  2 (cos   isin  ); z .z 2 2 (cos 5  isin 5 )
2
1 2

12
12
3 1
2 2 (
 i )  6  2.i
2 2

Và

6

6

z1
2

2
2
1
3
2
6

(cos
 isin )  2 ( 
i ) 

i
z2
3
3
2 2
2
2
2


3, Công thức Moa-vro và ứng dụng
a) Công thức Moa-vro
Với mọi số nguyên dương n:

 r (cos + i sin  )

n

r n (cos n  i sin n )

Khi r 1 ta có :

(cos  i sin  ) n cos n  i sin n
Cả 2 công thức trên đều gọi là công thưc Moa-vro


b) Ứng dụng vào lượng giác:
Công thức khai triển lũy thừa bậc 3 của nhị thức cos  i sin  cho ta:

(cos  i sin  )3 cos3  3cos  sin 2   i(3cos 2  sin   sin 3  )
Mặt khác theo công thưc Moa-vro:

(cos  i sin  )3 cos3  i sin 3
Từ đó suy ra:

cos3 cos3  3cos  sin 2  4 cos 3   3cos 
sin 3 3cos 2  sin   sin 3  3sin   4sin 3 
Tương tự, bằng cách đối chiếu công thức khai triển lũy thừa bậc n của nhị thức
costhức
 isinMoa-vro,

cos
n các lũy
với cơng
ta có thể biểu diễn
và
theo
sinn
thừa

 của
cos 
sin
và


c) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Từ công thức Moa-vro, dễ thấy số phức z r (cos  i sin  ), r  0 có 2 căn bậc hai là:








(cos  isin ) và  r (cos  isin )  r  cos (   )  isin(   ) 
2
2
2
2
2
2


Ví dụ:
Căn bậc hai của số phứcz 5  12i là kết quả nào sau đây?
A.z0 3  2i, z1  3  2i

B.z0 3  2i, z1  3  2i

C.z0 2  3i, z1  2  3i

D. Một kết quả khác.


Giải:
Gọi u  x  iy là căn bậc hai của z, ta có:

u 2  z  ( x  iy ) 2 5  12i
 x 2  y 2  2 xyi 5  12i
  x 3

2
2
 x  y 5
 y 2



  x  3
2 xy 12

  y  2
Vậy z 5  12i có hai căn bậc hai là z0 3  2i, z1  3  2i . Chọn phương án A.


II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
19

(1

i
)
1) Dùng công thức khai triển nhị thức
Niutơn 
0
2
4
16
C19  C19  C19  ...  C19
và cơng thức Moavrơ để tính

C

Hướng dẫn


1  i  2 (cos  isin )
4
4
n 19

19

k
0 0
1 1
2 2
18 18

19 19
(
1

i
)

C
ik

C
i

C
i

C
i

..
.

C
i

C
Ta có
 n
19
19

19
19
19 i
k 0

với phần thực là

C190  C192  C194  ...  C1916  C1918

19
19

(1  i )  2  cos
 i sin
4
4

19

19

với phần thực là
Vậy

0
19

19 
2
2


9
9

2


i
sin

2

2



 2
2 



−2 9  ¿ −512

 

2
19

4
19

16
19

18
19

C  C  C  ...  C  C  512

18
19


2) Tính:

 i 


 1 i 

2004

 5  3 3i 
; 

 1  2 3i 

21

Hướng dẫn

 i 


 1 i 

2004

 1 i 


 2 

2004

 2

 

 cos  isin  
4
4 
 2 

2004



21

 5  3 3i 
 
2
2
21
 isin

 ( 1  3i)  2  cos
3
3
 
 1  2 3i 





1
1002

2

(cos  isin ) 

1
21002

21

221 (cos14  isin14 ) 221

3) Cho số phức w 

1
(1  3i ) . Tìm các số nguyên dương n để wn
2

là số thực. Hỏi có số nguyên dương m để

w

m

là số ảo?

Hướng dẫn

1
4
4
4n
4n
n
w  (1  3i ) cos
 isin
 w cos
 isin
2
3

3
3
3
 

W là số thực khi ���
Khơng có m nào để

4� �
0 , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
3

w

m

là số ảo.