Phuong phap quy nap toan hoc

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC
Bài tốn: Chứng minh mệnh đề đúng với

n n0  n  *  n 1

B1) Kiểm tra mệnh đề đúng với n= n0 ( nghĩa là thay n= n0 vào xem mệnh đề có đúng không)
B2) Giả sử mệnh đề đúng với n=k n0 ( nghĩa là khi thay n=k ta có giả thiết mệnh đề đúng- gọi
là giả thiết quy nạp). Chứng minh mệnh đề đó đúng với n=k+1
=> mệnh đề đúng với n n0
n
VD1: Chứng minh rằng 3  2n  19, n 3

VD2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì
3
2
a) 2n  3n  7 n chia hết cho 6.
5
c) 6n  n chia hết cho 5

3
2
b) n  12n  4n chia hết cho 3
n
d) 7  21n  8 chia hết cho 9

*
VD3: Chứng minh rằng n   ta có

a)
c)

3  4  5  ...   n  2  

n  n  5
2

12  2 2  ...  (n  1)2  n2 

VD4: Cho tổng:

Sn 

b)

n(n  1)(2n  1)
6

5  8  11  ...   3n  2  

n  3n  7 
2

1 2
n 3 2n  3
 2  ...  n  
4 4.3n
3
d) 3 3

1
1

1
1


 ... 
1.3 3.5 5.7
(2n  1)(2n  1)

a) Tính S1 ; S2 ; S3 .
b) Dự đốn cơng thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Bài tập tự luyện:
*
Bài 1: Chứng minh rằng n  

a)
c)

3  5  7  ...   2n  1 n  n  2 

2  7  12  ...   5n  3 

n  5n  1
2

n 1
2 n 1
g) 11  12
chia hết cho 133
n
i) 4  15n  1 chia hết cho 9

Bài 2: Chứng minh rằng n 2
n 1
b) 2  2n  3

Bài 3: Cho tổng:
a) Tính S1 ; S2 ; S3 .

Sn 

2  6  10  ...   4n  2  2n 2

1 1 1
1 2n  1
   ...  n  n
2
2
d) 2 4 8
3
2
f) n  6n  2n chia hết cho 3

n
e) 13  1 chia hết cho 6

n
a) 3  3n  1

b)

1
1
1
1


 ... 
1.2 2.3 3.4
n( n  1)

h)

16 n  15n  1 chia hết cho 225

3
j) n  11n chia hết cho 6


b) Dự đốn cơng thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp qui nạp.