De Toan 9 nam 20162017

UBND HUYỆN HỊA BÌNH
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Đề gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2016-2017
MƠN: TỐN LỚP 9
Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)

ĐỀ
Câu 1 (5.0 điểm)
3
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có a  5a là số nguyên chia
hết cho 6
b) Tìm số tự nhiên n sao cho n + 24 và n – 65 là hai số chính phương.
Câu 2 (5.0 điểm)
a) Giải phương trình sau:
3x  8  6 3x  1  3 x  8  6 3x  1 3x  4

b) Giải hệ phương trình sau:
 x  y  z 7
 2
2
2
 x  y  z 21
 xz  y 2


Câu 3 (5.0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15.
b) Cho a > 1, b > 1, c > 1. Chứng minh rằng:

a
b
c


6
a 1
b 1
c 1

Câu 4 (5.0 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường kính BC. A là một điểm trên đường tròn (A
khác B và C). Hai tiếp tuyến vẽ từ A và B cắt nhau tại P. Gọi H là hình chiếu của A
lên BC, E là giao điểm của PC và AH.
a) Chứng minh E là trung điểm của AH.
b) Tính AH theo R và khoảng cách PO = d
--- HẾT ---


UBND HUYỆN HỊA BÌNH
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(HDC gồm 03 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2016-2017
MƠN: TỐN LỚP 9
Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1 (5.0 điểm)



a) Ta có
(0.5đ)
Do a – 1, a , a + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 2,
một số chia hết cho 3
(0.5đ)
a3  5a  a3  a  6a  a  1 .a.  a  1  6a

2;3 1
a  1 .a.  a  1 6
Mà  
nên 
Mặt khác, ta có 6a  6

a

Vậy

3

 6a  6

(0.5đ)

¿
n+24=k 2
b) Ta có: n −65=h2

¿{
¿
n k 2  24

2
n h  65
2

(0.5đ)
(0.5đ)

(0.5đ)

(0.25đ)
(0.25đ)

2

 k  24 h  65
⇔ ( k − h ) ( k +h ) =89=1 . 89

(0.5đ)
k  h 89

k  h 1 (vì k + h > k – h)
 k 45
 
 h 44
2

Vậy n = 45 – 24 = 2001

(0.25đ)
(0.5đ)
(0.25đ)

Câu 2 (5.0 điểm)
a) 3x  8  6 3x  1  3x  8  6 3x  1 3 x  4


1
x

( 3 x  1  3)  ( 3 x  1  3) 3 x  4
3)
(ĐK:
2

2

(0.5đ)


3 x  1  3  3 x  1  3 3 x  4 ( I )

+)

3 x  1  3 0 

10

x
3

10
x
(I)  2 3 x  1 3 x  4 ( 3 )
 9 x 2  12 x  20 0

(0.25đ)
(0.25đ)
(0.25đ)


2
 (3x  2)  16 0 (vô nghiệm)
1
10
x 
3
x

1

3

0
 3
3
+)
(I)  6 3 x  4

2
x

3 (TMĐK)

Vậy nghiệm của phương trình là
(0.25đ)

(0.25đ)
(0.25đ)
(0.25đ)
(0.25đ)
x

2
3

 x  y  z 7
 2
2
2
 x  y  z 21

2
b)  xz  y
(I)
Từ x+ y+ x=7 ⇒ x+ z=7 − y ⇔ x 2+ z2 =( 7 − y )2 − 2 xz
Mà: x 2+ y 2 + z 2=21 ⇒ x 2+ z2 =21− y 2
2
zx= y

Nên PT (*) ⇔ 21 − y 2= (7 − y )2 − 2 xz=( 7 − y )2 − 2 y 2
2
2
⇔ 21 − y =49 −14 y − y

(*)

(0.5đ)
(0.25đ)
(0.25đ)
(0.25đ)

⇔ 14 y =28
⇔ y =2

(0.25đ)
¿
x+ z =5
Thay y = 2 vào hệ (I) ta có hệ sau: xz=4
¿{
¿

Giải
hệ
trên
ta
được
(0.25đ)
Vậy hệ PT có nghiệm là: (1;2;4) , (4;2;1)

(0.5đ)
x=1 , z =4

x=4 , z =1

(0.25đ)

Câu 3 (5.0 điểm)
Ta có: C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15
= x2 + 2(2 – y)x + 2y2 – 2y + 15
= x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10
x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10
– y)2 + (y + 1)2 + 10
10 với mọi x, y
ìï x + 2 - y = 0
ïí
ï y +1= 0

Dấu “=” xảy ra  ïỵ

hoặc

(0.5đ)
(0.5đ) =
(0.5đ) = (x + 2
(0.5đ)

ìï x = - 3
ïí
ïï y = - 1

ỵ

(0.25đ)
Vậy minC = 10 khi x = – 3, y = – 1.
(0.25đ)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a – 1 và 1, ta được:
a
 a 1
(a  1)  1  2 (a  1).1  2
a
2
a

1
Do đó:
(1)

Chứng minh tương tự, ta được:

(0.5đ)
(0.5đ)


b
2
b 1
(2)
c
2
c


1
và
(3)

(0.5đ)
(0.5đ)
a
b
c


6
a 1
b 1
c 1

Từ (1), (2) và (3) suy ra:
Dấu “=” xảy ra  a = b = c = 2.
Câu 4 (5.0 điểm)
Vẽ hình đúng

P

(0.25đ)
(0.25đ)
(0.25đ)

A

E
B

O

H

C

a) Ta có: AH // PB ( Vì AH và PB cùng vng góc với BC)


EH CH

PB OB

 EH .CB CH .PB (1)

AC// PO ( Vì AC và PO cùng vng góc với AB)
Nên AHC PBO (g.g)


AH CH

PB BO

 AH .BO PB.CH

(2)
Từ (1), (2) suy ra EH.CB = AH.BO

Mà CB = 2BO nên AH = 2 EH
Vậy E là trung điểm của AH

(0.5đ)
(0.25đ)
(0.5đ)
(0.25đ)

2
2 R  HC  .HC
b) Ta có: AH HB.HC = 

EH .CB  EH .CB

AH 2  2 R 
.
PB  PB


( vì

HC 

(0.5đ)
EH .CB
PB )

AH .CB  AH .CB

 2R 

.
2
PB

 2 PB
=
( AH = 2EH c/m ở câu a)
2
2
 4 PB . AH  4 R.PB  AH .2 R  . AH .2 R
2

2

2

2

 4 PB . AH 8 R .PB. AH  4 R . AH
 PB 2 . AH 2 R 2 .PB  R 2 . AH
  R 2  PB 2  . AH 2 R 2 .PB
2

2

Mà PB d  R

2

2

(0.5đ)
(0.25đ)

(0.25đ)
(0.25đ)
(0.25đ)
(0.25đ)
(0.25đ)
(0.25đ)
(0.25đ)


 AH 

2R2
. d 2  R2
d2

(0.25đ)

* Ghi chú: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó.
--- HẾT ---