Duong trung binh cua tam giac cua hinh thang

A/ KIEN THUC VA Ki NANG CAN NHG
1. Đường trung bình của tam giác

D

E

Định lí 1 : Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh

của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua

trung điểm cạnh thứ ba.

Định

nghĩa : Đường

B

=

trung bình của tam giác là đoạn

thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Định lí 2 : Đường

nửa cạnh ấy.

trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng

3. Đường trung bình của hình thang

A

Định li 3 : Đường thang đi qua trung điểm một cạnh

bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua

trung điểm canh bên thứ hai.

Định nghĩa : Đường trung bình của hình thang là đoạn

thẳng nối trung điểm hai cạnh bên eủa hình thang.

B

M

N

D

Cc

Định lí 4 : Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa

tổng hai đáy.

Œ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.

MN

Cho tam

giác

ABC

vuông tại

A

M

là

trung điểm

. AB tại N. Chứng
mỉnh rằng ÑN là trung điểm đoạn thẳng AB.

9. Cho tam giác ABC

BC.

Về

eân tại A. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC.

Chứng minh rằng BDEC

3. Cho

cạnh

hình thang ABCD

là hình thang cân.

(AB /CD). Gọi M,N,

K lần lượt là trung điểm của các đoạn

thang AD, BC, AC. Chứng minh rằng MK // AB ; M, N va K thang hang.

4. Cho tam giác ABC có BD và CE
là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Gọi M,N

lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng GB, GC.

Chứng minh rang DE // MN, DE = MN

Œ BÀI TẬP TRẮC NGHIEM
ð. Chọn eâu trả lời đúng :

Tinh x, y trén hinh bén trong dé AB // CD // EF // MN, AE
= EM
A.x=

= MD.
l4 em

; y = 233 em

B. x = 12 em; y = 22 cm
C. x = l4 em

; y = 20 em

D. x-= 14 em

; y = 34 em.

Qi BAI TAP NANG CAO
6. Cho tam giác ABC vuéng tai A. Vé AH
: BC tại H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng AH, CH. Chiing minh rang MN

¡ AB và BM

: AN.

1. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E lần lượt trên các cạnh BC, AB sao cho BD

BE = 2AE. Goi M la giao diém ctia AD va CE. Chitng minh rang MA = MD.

= CD,

8. Cho hinh thang vuéng ABCD

(A =D =90°). M la trung diém canh BC. Chiing minh rang tam gide MAD can.
9. Cho tứ giác ABCD e6 AD - BC. Đường thẳng đi qua trung điểm M va N ciia cae
cạnh AB và CD

cất AD và

BC lần

lượt
ở E và

E.

Chiing minh rang AEM = MFB
2 BAI THI CHON

HOC

SINH GIOI TOAN

10. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm eủa AD, BC.

Tìm điều kiện của tứ giác để EF = oc


Bài l:

Cho hình thang ABCD

(AB//CD). M là trung điểm của

AD,

N là trung điềm của BC. Gọi I. K theo thứ tự là giao điểm của MN với
BD, AC. Cho biết AB = §em, CD = 16. Tinh d6 dai cac doan MI, IK, KN.
HD: - MI, KN lan lwot 1a cac dwrong trung binh ctia nhitng A

- Hay tinh MI, KN?

(MI =

nao?

~Vi sao?

4cm, KN = 8cm)

- Dé tinh IK ta can tinh doan nao? Vi sao?

- Hãy tinh MN? Tinh IK?

"

ms

C

Bài 2: Cho A_ ABC. các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M. theo thứ tự là
trung điểm của BE, CD. Goi I, K theo thứ tự là trung điểm của MN

C/m rang MI = IK = KN.
A
E

D

M

N

B

Cc

HD: - Hãy c/m tứ giác EDCB là hình thang.

- MN như thế nào so với ED2 Vì sao? => MI// ED, KN//ED.
=> MI= KN

1
1
-ED
= 7BC)

- Hay tinh MK? (MK = 2 BC)
_IK= MK -MI= 2BC - + BC = TBC
Vậy MI = IK =KN.

vớiBD,

CE.


Bai 3: Cho hinh thanh ABCD (AB//CD, AB <

CD). Goi M, N là lượt là

trung điểm của AD, CD. Goi I, K là giao điểm của MN với BD và AC.
C/m rằng IK = (CD - AB)
A

B

M

N

D

&

HD: - Cím MK là đường trung bình của A
- C/m MI là đường trung bình của A
- Tính hiệu MK

- MI => IK = 2(CD

ACD

=> MK=

2DC

ABD => MI= 2AB
- AB)

Bài 4: Cho BD là đường trung tuyến của A_ ABC, E

là trung điểm của đoạn

thang AD, F là trung điểm của đoạn thẳng DC. M là trung điểm của cạnh AB,
N là trung điểm của cạnh BC
C/m rằng:
a) ME // NF

b) ME = NF.

ù
E
M
B

Cho hình vẽ như hình bên

* Xét ABDC

Chứng minh rằng AI = IM.

ta có :

e« MB=MC (gi)
e EB=ED (gt)
=> ME là Đường trung bình của ABDC_

=> ME // CD hay ME // ID (định lí 2)
* Xét AAEMI ta có :

e DA=DE (gt)
se ME// DI (cmt)
=> AI = IM ( định lí 1)

( đpcm).

(định nghĩa)

D
N

©


-

_ Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K theo thứ tự lần lượt là trung điễm của AD, BC, BD.

Chứng minh ba điễm E, K, F thăng hàng.

Ƒj_

`

* Xét hình thang ABCD

có:

e EA=ED (gt)
e FB=EC (gt)
=> EF là Đường trung bình của hình thang
ABCD.
=> EF // AB

(1)

* Xét AABD ta có :
e EA=ED (gt)
e KB =KD (gt)
=> EK là Đường trung bình của AABD.
=> EK//AB

(2)

Từ(1) và (2):
=> EF trùng EK (cùng //AB)

Hay 3 diém E, K, F thang hang (đpcm).

Bai7:

Cho hinh thang ABCD (AB // CD), E là trung điểm của AD, F là trung điễm của BC.

EF cắt BD ở I, cắt AC ở K.

a) Chứng minh rằng: AK = KC, BI = ID.

b) Cho AB = 6cm, CD = 10cm. Tinh cac dé dai El, KF, IK.

Đường thắng


a) Chứng minh: AK = KC, BI = ID.
* Xét hình thang ABCD, ta có:

e EA=ED (gt)
e FB=FC (gt)
=> EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

=> EF // AB // DC.
* Xét AADC, ta có :
e EA=ED
e

EF //DC

(gt)
(cmt) hay EK // DC

=> KA= KC
* Chứng minh tuong tu ta duoc: |B = ID.

b) Tính các độ dài EI, KF, IK: biết AB = 6cm, CD = 10cm.
Ta có :
El = AB/2 = 3cm (vì El là đường trung bình AABD)
EK = DC/2 = 5cm (vì EK là đường trung bình AADC)

Mặt khác : EK = ElI + IK =>lK = EK - El = 5 - 3 = 2cm.
EF = (AB + DC)/2 = 8cm (vì EK

là đường trung bình của hình thang ABCD)

Mà : EF = EK + KF => KF = EF - EK =8 - 5 = 3cm.

Kết luận:
e

El= 3cm.

e

KF=3cm.

e

IK=2 cm.

Bài§: Tứ giác ABCD có AB=CD. Chứng minh rằng đường thăng đi qua trung điểm của 2
đường chéo tạo với AB và CD các góc bằng nhau.
Trong tir giac ABCD, A’, B', C’, D' thu tu la trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD,
ABC. Chứng minh răng bốn đường thăng AA', BB', CC! DD' đồng quy.
Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thăng

vng góc với HM, Cắt AB và AC theo thứ tự ở E và E.

a) Trên tia đôi của HC, lây điểm D sao cho HD=HC. Chứng minh răng E là trực tâm của tam giác DBH
b) Chứng minh HE=HF
Bài l1: Tư giác ABCD cóa B và C năm trên đường trịn có đường kính là AD. Tính độ dài CD

biết răng AD=8§, AB=BC=2

Cho tam giác ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyên. Kẻ MK vng góc với AB ở K. Từ A kẻ
đường thăng vng góc với CK, cắt MK ở I. CMR: IM = IK.
Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau, đoạn thăng nỗi trung điểm của hai
đường chéo băng nửa hiệu hai đáy.
Gial:


D

C

Gia su hinh thang ABCD co AB // CD, AB< CD.

L K lần lượt là trung điểm hai đường chéo BD, AC
Gọi F là trung điểm của BC
Trong tam giác ACB ta có:
K là trung điểm của cạnh AC
F là trung điểm của cạnh BC
Nên KF là đường trung bình của A BDC
= KF // AB va KF=S AB

KF=S AB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong tam giác BDC ta có:
I la trung điểm của cạnh BD
F là trung điểm của cạnh BC
Nên TF là đường trung bình của A BDC
= IF //CD va IF=5 CD

IF=> CD (tính chất đường trung bình của tam giác)

FK // AB ma AB // CD nén FK // CD
FI//CD (chứng minh trên)
Suy ra hai đường thăng FI và FA trùng nhau.

= I, K, F thang hang, AB < CD

FK < FL nên K năm giữa I và F

IF =IK + KF
= IK=IF-KF=1/2CD-1/2AB=CD-AB/2
Hình thang ABCD co AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Cac đường phân giác của các góc
ngoai dinh A va D cat nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cặt nhau tại N.
a) Chứng ninh răng MN // CD.
b) Tính độ dài MN theo a, b, c, d (a, b, c, d có cùng đơn vị đo)

a) Gọi M'° và N' là giao điểm của tia AM va BN với CD. Ta có:


M^=A^2 (so le trong)

A*1=A%2 (gt)
M^=A^I

Nén A ADM’

can tại D

DM la phan giac cua ~ ADM!
Suy ra: DM là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
=> AM=MM
'^=B^2 (so le trong)

B^1=B^2 (gÐ

Suy ra: '^=B^I nên A BCN' cân tại C
CN là phân giác của BCN^
Suy ra: CN là đường trung tuyên (tính chât tam giác cân)

= BN =NN’
Suy ra: MN là đường trung bình cua hinh thang ABN’M’
=> MN //MˆN' (tính chất đường trung bình hình thang)

Hay MN // CD
b) MN=AB+M'N’/2 (tinh chat duong trung binh cua hinh thang)

MN=AB+M'D+CD+CN'/2(1)

Ma M’D = AD, CN’ = BC. Thay vao (1):

MN=AB+A D+CD+BC2=a+d+c+b/2

Bài 15:Cho 2 điểm A và B năm cùng phía đơi với đường thắng d. Gọi C là trung điềm của AB. Kẻ
AD,BE,CH cùng vng góc với d. Biệt AD=4, BE=ó, Tính CHÍ ?
: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc BC/ BD =>
CMR: BIEE
Bài 17:
giác các
a, C/m:
b, Tính

DC. Kẻ BH và CK cùng vng góc với AD.

CK.

Cho tam giác ABC. Gọi LK theo thứ tự là chân các đường vng góc kẻ từ A đến đường phan
góc B và C.
IK//BC
độ dài IK theo các cạnh của tam giác ABC
Cho tam giác ABC. Điểm D thuộc AC/ AD =

AC, điểm E thuộc AB/ AE=1/3 AB. Gọi M là

trung điểm của BC. CMR: các đường thăng BD,CE, AM đông quy.

Bài 19: Cho tam giác ae
BK=BA. CMR:

CD

cân tại A, đường trung tuyến CD. Trên tia đối của tia BA lây điểm K/

=5 CK.

Bài 20: Tam giác ABC a
tai A, Duong cao AH. Gọi D,E theo thứ tự là trung điểm của BH,AH.
CMR: CE vng góc với AD
Bài 21: Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm các tia phân giác của các góc B và C, M là trung điểm của

BC. B. Biết góc BIM= 90 độ và BI =2 IM.
a, Tính góc BAC

b, Vẽ IH vng góc với AC. CMR BA=3 IH

m

Cho tam giác ABC có góc A =120 độ, AB=4,AC=6. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

: Cho điểm M thuộc đoạn thang AB. Trên cùng một nửa mặt phăng bờ AB, vẽ các tam giác đều

AMC,BMD. Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm của AD,BC. CMR: EFS

CD

Bài 24. Cho tam giác ABC có BC=a, các đường trung tuyén BD, CE. Lay cac diém M, N trén canh BC
sao cho BN=MN=NC. Goi I la giao diém cua AM va BD, K là giao điêm cua AN va CE. Tinh d6 dai IK

Bài 25. Trên đoạn thăng AB lây các điểm M và N (M năm giữa A và N). Vẽ về một phía của AB các

7

tam giác đều AMD, MNE, BNF. Goi G là trọng tâm của tam giác DÈ. Chứng minh rằng khoảng cách từ
G đến AB ko phụ thuộc vào vị trí của các điểm M,N trên đoạn thang AB
Bai 26)Cho tam giác ABC(AB < AC)có đường cao AH.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC,CA,AB.

a)C/m NP la duong trung truc cua doan AH
b)C/m tir giac MNPH la hinh thang can.
bài 27)Cho tam giác ABC có chu vi 20cm.Gọi O là một điểm năm trong tam giác;D,E,F lần lượt là trung
điểm của OA;OB;OC.Tính chu vi tam giác DEF.
bài 28)Cho A ABC co AM là trung tuyến.Gọi I là trung điểm của AM gọi D là giao điểm của BI à AC.
a)C/m AD=>

.DC

b)So sánh độ dài BD và ID.

Bài 29: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM
a. Lay điểm D thuộc AC sao cho DC=2AD , go1 1 1a giao diém cia BD&AM . Chimg minh AI=MI
b. Goil la trung điểm AM. D là giao điểm của BI&AC . Chứng minh DC=2AD
: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BE ,CD cắt nhau tại G. Gọi LK theo thứ tự là trung
điêm của BG, CŒ. Chứng minh DE//IK
: tim x trong hình vẽ sau

B

ˆ

K

H

C

Bài 33 : Cho tam giác ABC vng tại B , góc A=60”, phân giác
tự là trung điểm của AD, AC, CD
a. Chứng minh BNMI là hình thang cân
b.. Tính các góc của hình thang cân trên

của góc A la AD , Goi M, N, I theo thứ

Bài 34 ; Cho tứ giác ABCD, gọi E,F,I theo thứ tự là trung điểm của AD,BC,CA , chứng minh ABCD 1a
hình thang khi LE,F thắng hàng

Bài 35 : Cho hình thang ABCD (AB//CD), Gọi E,F,I ,K theo thứ tự là trung điêm AD, BC,CA,BD.
độ dài các đoạn thăng EK, KI,IF biết
a. AB=12cm .CD=16cm
b. AB=8cm , CD=6cm
Bài 36 : Cho tam giác ABC , M&N theo thứ tư là trung điểm AB&AC
P sao cho NP=MN , chung minh
a. Chung minh MP=BC

b.

m

c.

tính

,Trén tia đơi của tia Mn lây điểm

CP//AB

MB=CP
: cho tam giác BAC, M

là trung điểm của Be, I là trung điểm của AM.. chứng minh BD=2AD

:Cho A ABC, gọi M, N, P lân lượt là trung điểm AB, AC và BC. Nối AP cắt MN tại I. C/m I là

trung điểm chung của AP và MN


Bài 39 :Cho AABC. Trên các cạnh AB, AC lây D, E sao cho AD=E AB; AB=> AC. DE cat BC tai F.
chứng minh

CF=S

BC

Bài 40 : AABC vuông tại A có AB = 8; BC = I7. Vẽ vào trong AABC một tam giác vng can DAB có
cạnh hun AB. Gọi E là trung điêm BC. Tính DE.

Bài 41: Cho hai điểm A và B năm cùng phía đối với đường thăng d. Gọi C là trung

điểm

của AB.

Bài 42: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM,

Dià

giao

Ke AD, BE, CH vuông góc với d. Cho biệt AD=4cm,
điểm ctia CI va AB. Chứng minh răng: AD =

BE=6cm. Tinh CH.

DB.

Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho BD => DC. Ké BH va CK vng góc với
AD. Chứng minh răng: BH

CK.

Bài 44: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6cm, AC=4cm. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho
CD =2cm. Qua C kẻ đường thắng vng góc với BC, cắt

cạnh

AC tại E. Tính độ dài DE (cm).

Bài 45: Cho tam giác ABC. Gọi I và K theo thứ tự là chân các đường vng góc kẻ từ A đến đường

phân giác các góc B và C.
a) Chứng minh răng : IK//BC.
b) Tinh d6 dai IK theo các cạnh của tam giác ABC.

Bài 46: Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB của A ABC. Về phía ngồi tam
giác, vẽ các đoạn thắng FK vng góc và bằng FA, EG vng góc và băng EA. Chứng minh rằng:

a)

Bài 47:

AKFD =ADEG.

b)_ ADKG là tam giác vuông cân.
Cho AABC. Các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho

AD =

AC, AE == AB

Gọi M là trung điểm của BC.

Chứng minh rằng các đường thăng BD, CE, AM đồng quy.