Chương IV. §1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

CUỘC ĐỜI – SỰ NGHIỆP CỦA NHÀ TOÁN
HỌC CAUCHY
Là kĩ sư cầu đường –nhà toán học Pháp
Năm 1805, học trường Bách Khoa Paris,
ông đứng thứ 2/293 ứng viên

18 tuổi, vào trường ĐH Cầu Đường
Năm 1810, là 1 kỹ sư ở Cherbourg

Augustin-Louis
Cauchy
(1789-1857)

23 tuổi, Cauchy về Paris, 26 tuổi dành
hết thời gian cho Toán học, thành viên
Viện Hàn lâm khoa học Pháp
19 năm cuối đời có trên 500 cơng trình
tốn học kể cả cơ học, vật lý


Bài toán: Tại xã Quỳnh Lưu, huyện Nho Quan, Ninh Bình có một
trang trại. Chủ trang trại muốn ni thêm một bầy dê và ông đã mua
tôn về để làm hàng rào bảo vệ chúng. Nhưng ơng chỉ cịn 1.500.000đ
để mua loại tôn 61.000đ một tấm, mỗi tấm dài 1m, cao 1,6m. Ông
muốn xây dựng một hàng rào để bảo vệ các chú dê và cho các chú dê
một không gian rộng rãi, thoáng mát. Bạn hãy giúp chủ trang trại tìm
cách xây dựng hàng rào.
+ Lựa chọn mơ hình cho chuồng là hình chữ nhật.
+ Số tấm tơn mua được ứng với số tiền 1.500.000 đ là 24 tấm.
Ta có chu vi là 24 x 1 = 24m.
+ Gọi x là chiều rộng, y là chiều dài của chuồng

+ Ta có (x+y).2= 24 nên x+y =12.
gh

Từ đây ta có bài toán: Cho hai số x, y > 0 thỏa mãn x+y =12. Tìm x, y
để P = xy đạt giá trị lớn nhất.


BẤT ĐẲNG THỨC
I. ƠN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
3. Tính
1.
Khái chất
niệmcủa
bấtbất
đẳng
đẳng
thức
thức
(SGK)
2. 1BĐT hệ quả và BĐT tương đương (SGK)

2




với c > 0
với c < 0

3

4
5

�<� � à � <� ⇒ a +c < b+d
0< �< � � à 0< �< � ⇒ ac
6

0< �< b ⇔ √ �< √ �

2�

2�

0< �< b ⇔ � < �
2 �+1
2 �+1
� <�
3

3

�

BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng 1: Chứng minh BĐT dựa vào ĐN & tính chất cơ bản

1 ĐN: A > B  A – B > 0

2 Các bất đẳng thức luôn đúng

3

(a ± b)2 ≥ 0 với mọi a,b
Với
Một số kĩ thuật

•Phân tích đưa về tổng các bình phương hay tổng các số
khơng âm
•Nhân 2 vế với cùng một số
•Đánh giá


BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng 1: Chứng minh BĐT dựa vào ĐN & tính chất cơ bản
Bài 1

Chứng minh các bất đẳng thức

1. Chứng minh với mọi a, b
2. Chứng minh 2a(b+c) với mọi a, b, c
3. Chứng minh với mọi a, b R
4. Chứng minh với a, b 0


BẤT ĐẲNG THỨC
II. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ HỆ QUẢ
Bất đẳng thức Cô - si
Cho 2 số a, b khơng âm (a, b 0) ta có :

�+ �
≥ √ ��
2

hay

Dấu “=” xảy ra a = b
Hệ quả 1 :
Hệ quả 2 : (SGK)
Hệ quả 3 : (SGK)

với


BẤT ĐẲNG THỨC
III. BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Các tính chất :
 Với x ta có:
 với a > 0
 với a > 0
 với a, b

,

|�| ≥− �


BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô - si

 BĐT Cô – si cho 2 số a, b 0 :
 BĐT Cô – si cho 3 số a, b, c 0

�+�+� ≥ 3 √ ���

 BĐT Cô – si cho n số 0 :
�

3

� 1+ � 2+ …+ �� ≥ � √ � 1 � 2 … ��


BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: Chứng minh
1. a2 + b2 + ≥ 2( với
2. với
3. với


BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x 18
1) y   ; x  0
2 x
3) y 

x3 1

x

2

; x 0

x
2
2) y  
; x 1
2 x 1

x2  4x  4
4)y 
; x 0
x

3x
1
5) y 

; x1
2
x 1