2 hàm số bậc NHẤT và bậc HAI ngọc huyền LB image marked

Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

Chủ đề 2

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
1. Đại cương về hàm số

Trong chương trình mơn Tốn THCS, học sinh đã nắm được các khái niệm

2. Hàm số bậc nhất

hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số y  ax 2 , hàm số đồng biến, hàm số nghịch

3. Hàm số bậc hai

biến. Chủ để này ôn tập và bổ sung các khái niệm cơ bản về hàm số, tập xác
định, đồ thị của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, khái niệm
hàm số chẵn, hàm số lẻ, xét chiều biến thiên của hàm số và áp dụng vào việc
khảo sát các hàm số bậc nhất, bậc hai.


§1. Đại cương về hàm số
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa hàm số
Cho một tập hợp khác rỗng D   . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt

tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f  x  ; số f  x  đó
gọi là giá trị của hàm số f tại x. Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x
gọi là biến số hay đối số của hàm số f, tập các giá trị của hàm số gọi là tập giá trị

của hàm số. Ta viết y  f  x  .

STUDY TIP
+ Biểu thức

A x
B  x

xác định khi và chỉ
khi

A x, B  x

xác

định

và

B  x  0 .
+

Biểu
A x

khi

thức

xác định

và

chỉ

khi

A x  0
+

Biểu

A x
B  x

2. Tập xác định của hàm số
Tập xác định của hàm số y  f  x  là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị
của biểu thức f  x  được xác định, hay nói đơn giản là ta có thể tính được

y  f  x .
Các bước tìm tập xác định của hàm số y  f  x  :
+ Bước 1: Tìm điều kiện của x để biểu thức f  x  xác định;
+ Bước 2: Viết kết quả tìm được ở bước 1 dưới dạng tập hợp.

thức

xác định

LOVEBOOK.VN | 1

Chủ đề 1: Mệnh đề - Tập hợp
khi

và

chỉ

The Best or Nothing

khi

A  x  xác định và
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số sau:

B  x  0 .
+

Biểu

a) y 

thức

A x  B  x

c) y 

xác định khi và chỉ
khi

A x  0

3
;
x 1
3  2x
x2 1

b) y  5  2 x ;
d) y  x  2  x  2 .

;

và

B  x  0

Lời giải
a) Biểu thức

3
xác định khi và chỉ khi x  1  0  x  1 . Vậy D   \ 1 .
x 1

5  2x xác định khi và chỉ khi 5  2 x  0  x 

b) Biểu thức
STUDY TIP
Cho a là một số dương.

5

D   ;  .
2


+ x2  a  x  a
c)

x  a
;

 x   a
+ x2  a  x  a

 a x a

5
. Vậy
2

Biểu

thức

3  2x
x2 1

xác

định

khi

và

chỉ

khi

x  1
.
x2 1  0  x2  1  x  1  
 x  1
Vậy D   ; 1  1;   .
Chú ý: Lời giải sai: x 2  1  0  x 2  1  x  1 .
d) Biểu thức

x  2  x  2 xác định khi và chỉ khi

x  2  0
 x  2

 x2.

x  2  0
x  2
Vậy D   2;   .
3. Đồ thị của hàm số

Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập D. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp

G 

các điểm có tọa độ  x; f  x   với x  D , gọi là đồ thị của hàm số f . Nói

cách khác, M  x0 ; y0    G   x0  D và y0  f  x0  .
LOVEBOOK.VN | 2


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

2 x  1 khi x  2
Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số y  f  x   
đi qua điểm nào sau
3 khi x  2
đây?
A.  0; 3

B.  3;7 

C.  2; 3

D.  0;1

Lời giải
Với x  0  2 thì y  f  0   2.0  1  1 .
Vậy đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm  0;1 .

Đáp án D.
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  xác định trên đoạn  3;8 có đồ thị là đường gấp
khúc được cho như trong hình dưới đây:

Dựa vào đồ thị hàm số, hãy chỉ ra:
a) f  3 ;
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  3;8 ;
c) Dấu của f  x  trên khoảng 1; 4  .

Lời giải
a) f  3  2 ;
LOVEBOOK.VN | 3


Chủ đề 1: Mệnh đề - Tập hợp

The Best or Nothing

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  3;8 là 2 , đạt được tại x  3 hoặc
x  2;

c) f  x   0 với mọi x  1; 4  .
* Sự tương giao của các đồ thị:
Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  có đồ thị lần lượt là  C1  và  C2  .
Các bước tìm tọa độ giao điểm của  C1  và  C2  :
+ Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm của  C1  và  C2  :

f  x   g  x  (*).
+ Bước 2: Giải phương trình (*).
+ Bước 3:

- Nếu (*) vơ nghiệm: Kết luận hai đồ thị khơng có giao điểm.
- Nếu (*) có n nghiệm thì hai đồ thị có n giao điểm. Thay các nghiệm của (*) vào
một trong hai biểu thức f  x  hoặc g  x  để tìm tung độ các giao điểm (thường
ta thay vào các biểu thức đơn giản hơn) rồi chuyển sang bước 4.
+ Bước 4: Viết tọa độ của các giao điểm.

Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đồ thị hai hàm số y  3 x  1 và

y  3 x .
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm:
Ta có

3 x  1  3  x (*).

3  x  0
0  x  3
3x  1  3  x  

3 x  1  9  6 x  x
2 x  6 x  8  0

 x  1  x  1.
Vậy (*) có nghiệm duy nhất x  1 .
LOVEBOOK.VN | 4


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

Thay x  1 vào hàm số y  3  x ta được y  2 .
Vậy đồ thị hai hàm số đã cho có một giao điểm duy nhất có tọa độ là 1; 2  .
4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
* Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập D.

Giá trị lớn nhất

x  D : f  x   M
M  max f  x   
D
x0  D : f  x0   M

Giá trị nhỏ nhất

x  D : f  x   m
m  min f  x   
D
x0  D : f  x0   m

* Các bước tìm giá trị lớn nhất của hàm số (tương tự cho tìm giá trị nhỏ
nhất):
+ Bước 1: Tìm tập xác định D (nếu đề bài chưa cho).
+ Bước 2: Chứng minh x  D : f  x   M .
+ Bước 3: Chỉ ra tồn tại x0  D sao cho f  x0   M .
+ Bước 4: Kết luận M  max f  x  .
D

STUDY TIP
Khi tìm GTLN,

GTNN của hàm số,
nhất định phải chỉ
ra đẳng thức xảy ra
khi nào rồi mới kết
luận.

Ví dụ 5: Cho hàm số f  x  

1
x2 x 2

. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên

tập xác định của nó.
Lời giải
 x  0
 x  0

 x0.
Điều kiện xác định: 
2
 x  2 x  2  0
 x  1  1  0





Do đó D   0;   .

LOVEBOOK.VN | 5


Chủ đề 1: Mệnh đề - Tập hợp

Ta có x  0 : x  2 x  2  2 
Vậy max f  x  
0; 

The Best or Nothing

1
x2 x 2



1
1
. Mặt khác f  0   .
2
2

1
.
2

Lời giải sai: Ta có x  2 x  2 





1

2

x 1 1  1  f  x 

x2 x 2

 1 . Do

đó giá trị lớn nhất của hàm số là 1.
Lời giải này sai do đẳng thức f  x   1 không xảy ra với bất cứ giá trị nào của x.
Thật vậy, f  x   1  x  1  0  x  1 , vơ lí.
5. Tính chẵn, lẻ của hàm số
* Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên tập D.

STUDY TIP
Tập xác định của
một hàm số chẵn
(lẻ) là một tập đối
xứng.

Định nghĩa

Đồ thị

Hàm số chẵn

 x  D
x  D : 
 f   x   f  x 

Đối xứng qua trục Oy

Hàm số lẻ

 x  D
x  D : 
 f   x    f  x 

Đối xứng qua gốc O

* Nhận xét: Trong các khẳng định dưới đây, ta coi hai hàm số là có cùng tập xác
định. Khi đó ta có:
- Tổng của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
- Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ.
- Tích của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
- Tích của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn.
- Tích của một hàm số lẻ và một hàm số chẵn là một hàm số lẻ.
* Lưu ý: Tập D có tính chất x  D   x  D là một tập đối xứng qua điểm
x  0 , và thường được gọi là tập đối xứng.

LOVEBOOK.VN | 6


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

* Các bước chứng minh hàm số y  f  x  là hàm số chẵn (hoặc là hàm số
lẻ):
+ Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số (nếu chưa cho). Chỉ ra D là tập đối
xứng.
+ Bước 2: Chứng minh x  D thì f   x   f  x  (hoặc f   x    f  x  ).

Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số f  x   1  x  1  x là hàm số lẻ.

STUDY TIP
Để chứng minh hàm số

y  f  x  không phải là
hàm số chẵn, ta cần chỉ
ra: Hoặc D không phải
là tập đối xứng (tức là

x0  D mà  x0  D ),
hoặc x0  D sao cho

f   x0   f  x0 

(chỉ

cần chỉ ra một trong hai
điều kiện là đủ). Tương
tự như vậy đối với hàm
số lẻ.

Lời giải

Tập xác định D   1;1 là tập đối xứng.
Ta có x   1;1 : f   x   1  x  1    x   





1 x  1 x   f  x .

Vậy f là hàm số lẻ.
Ví dụ 7: Xét tính chẵn, lẽ của các hàm số sau:
a) f  x   x 2  x  1 ;

b) g  x  

1

 x  2

2

Lời giải
a) Tập xác định D   là tập đối xứng.
Ta có f  1  1; f 1  3  f  1  f 1 và f  1  f 1 .
Vậy hàm số f  x  không chẵn, không lẻ.
b) Tập xác định D   \ 2 . Dễ thấy D không phải là một tập đối xứng.
Thật vậy với x  2 thì  x  2  D . Vậy hàm số g  x  không chẵn, không lẻ.
* Nhận xét: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ,
chẳng hạn hai hàm số ta vừa xét trong ví dụ trên.

LOVEBOOK.VN | 7


Chủ đề 1: Mệnh đề - Tập hợp

The Best or Nothing

6. Sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
Định nghĩa

y  f  x  đồng

x1 , x2  K , x1  x2

biến trên K

 f  x1   f  x2 

y  f  x

x1 , x2  K , x1  x2

nghịch biến trên
K

 f  x1   f  x2 

Điều kiện tương đương

x1 , x2  K , x1  x2


f  x2   f  x1 
0
x2  x1

x1 , x2  K , x1  x2


f  x2   f  x1 
0
x2  x1

Đồ thị
Đi lên từ trái sang phải
(theo chiều tăng của đối
số)
Đi xuống từ trái sang phải
(theo chiều tăng của đối
số)

Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các
khoảng nghịch biến của hàm số. Kết quả xét chiều biến thiên của hàm số được
tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.
Các bước lập bảng biến thiên của hàm số y  f  x  :
+ Bước 1: Tìm tập xác định (nếu đề bài chưa cho);
+ Bước 2: Lập rồi rút gọn tỉ số

f  x2   f  x1 

;
x2  x1

+ Bước 3: Xét dấu tỉ số thu được ở bước 2, từ đó suy ra các khoảng biến thiên
của hàm số;
+ Bước 4: Ghi kết quả thu được vào bảng biến thiên.

Ví dụ 8: Lập bảng biến thiên của hàm số f  x   x 2 .
Lời giải
Tập xác định: D   .
Ta có x1 , x2   và x1  x2 ,

f  x2   f  x1  x22  x12

 x2  x1 . Do đó:
x2  x1
x2  x1

+ Nếu x1  0, x2  0 thì x2  x1  0  Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0  .
LOVEBOOK.VN | 8


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

+ Nếu x1  0, x2  0 thì x2  x1  0  Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   .
Từ đó ta có bảng biến thiên:

Lưu ý: Hàm số f  x   c với c là hằng số được gọi là hàm số hằng (hay hàm số

không đổi). Đồ thị của hàm số f  x   c là đường thẳng đi qua điểm A  0; c  và
song song hoặc trùng với trục Ox.
Ta có thể suy ra chiều biến thiên của hàm số dựa vào đồ thị. Chẳng hạn, cho hàm
số y  f  x  xác định trên  có đồ thị được cho như trong hình dưới đây:

Khi đó hàm số có bảng biến thiên như sau:

Nhận xét:
* Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  cùng xác định trên K .

LOVEBOOK.VN | 9


Chủ đề 1: Mệnh đề - Tập hợp

The Best or Nothing

+ Nếu f  x  và g  x  cùng đồng biến (cùng nghịch biến) trên K thì f  x   g  x 
đồng biến (nghịch biến) trên K.
+ Nếu f  x  đồng biến (nghịch biến) trên K thì kf  x  đồng biến (nghịch biến)
trên K với mọi k  0, kf  x  nghịch biến (đồng biến) trên K với mọi k  0 .

B. Các dạng toán điển hình
Dạng 1

Tìm tập xác định của hàm số
Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số y 

STUDY TIP
Khơng rút gọn biểu

thức của hàm số
khi tìm tập xác
định của nó.

x 1
.
 x  1  x 2  4 

A. D   \ 2

B. D   \ 2

C. D   \ 1; 2

D. D   \ 1; 2
Lời giải

x 1  0
 x  1
Điều kiện xác định:  2
. Vậy D   \ 1; 2 .

 x  2
x  4  0
Đáp án D.
Lưu ý: Nếu rút gọn y 
thì biểu thức ban đầu

1
rồi khẳng định D   \ 2 là sai. Vì với x  1

x 4
2

x 1
khơng xác định.
 x  1  x 2  4 

Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số y 
STUDY TIP
+     0;  
+ *   0;  
+ R   ;0
+ R*   ;0 

A. D   0;  

B. D   \ 1; 2

x
là:
x  3x  2
2

C. D   \ 1; 2

Lời giải

x  0
x  0


Điều kiện xác định  2
 x  1 .
 x  3x  2  0
x  2

LOVEBOOK.VN | 10

D. D   0;  


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

Vậy D    \ 1; 2 .
Đáp án C.
Đồ thị của hàm số

Dạng 2

Ví dụ 3: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số y 
A. M  0; 1

B. M  2;1

C. M  2;0 

x2
?
x  x  1

D. M 1;1

Lời giải
Với x  2 thì y  0 . Vậy điểm M  2;0  thuộc đồ thị hàm số đã cho.
Đáp án C.
Ví dụ 4: Đường cong trong hình nào dưới đây khơng phải là đồ thị của một hàm
số dạng y  f  x  ?

STUDY TIP
Một đường thẳng
song song hoặc
trùng với trục Oy
cắt đồ thị hàm số

y  f  x

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Đường cong trong hình D khơng phải là đồ thị của một hàm số dạng y  f  x  vì
mỗi giá trị x  0 ứng với hai giá trị phân biệt của y.

nhiều

nhất tại một điểm.

LOVEBOOK.VN | 11


Chủ đề 1: Mệnh đề - Tập hợp

The Best or Nothing

Đáp án D.
Ví dụ 5: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số y  f  x  có tập xác định là  .

a) Tìm số nghiệm của phương trình f  x   1 .
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f  x   m  0 có
3 nghiêm phân biệt.
A. 3; 2; 1

B. 4; 3; 2; 1

C. 3; 2; 1;0

D. 2

Lời giải
a) Phương trình f  x   1 là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm
số y  f  x  và y  1 .
Đồ thị hàm số y  1 là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng 1.

LOVEBOOK.VN | 12


Cơng Phá Tốn - Lớp 10
STUDY TIP
Số giao điểm của
đồ thị hai hàm số

y  f  x
y  g  x

và
là

nghiệm
phương

f  x  g  x

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y  1 cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại một
điểm duy nhất.
Vậy phương trình f  x   1 có nghiệm duy nhất.

số
của
trình

More than a book

Đáp án B.
b) Ta có: f  x   m  0  f  x   m (*).
(*) là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y  f  x  và

y  m . Đồ thị hàm số y  m là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục
tung tại điểm có tung độ bằng m.
Phương trình f  x   m  0 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng

y  m cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại ba điểm phân biệt.
Quan sát trên đồ thị hàm số y  f  x  ta thấy nếu 4  m  0 thì đường thẳng

y  m cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại ba điểm phân biệt.
Vậy các giá trị nguyên cần tìm của m là 3; 2; 1 .
Đáp án A.

LOVEBOOK.VN | 13


Chủ đề 1: Mệnh đề - Tập hợp

The Best or Nothing

Ví dụ 6: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số y  f  x  có tập xác định là  .

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình f  x   0 .
A. S   0; 2    5;6 
B. S   ; 2    0; 2    5;6 
C. S   2;0    2;5 
D. S   2;0    2;5    6;   .

Lời giải
Quan sát trên đồ thị ta thấy f  x   0  x   ; 2    0; 2    5;6  (đồ thị của
hàm số nằm hồn tồn phía dưới trục hồnh).
Vậy S   ; 2    0; 2    5;6  .
Đáp án B.

LOVEBOOK.VN | 14


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y  x 2 và

y  2 x  3  m 2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt A  x A ; y A  và B  xB ; yB  sao cho
biểu thức T  x A xB  2  x A  xB   2 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
A. 0

B. 4

C. 7

D. 9

Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:

x 2  2 x  3  m 2  x 2  2 x  m 2  3  0 (*).
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt

 (*) có hai nghiệm phân biệt   '  0  4  m 2  0  m 2  4 (**).
Khi đó x A và xB là hai nghiệm của (*).

 x A  xB  2
Theo Viet ta có 
. Do đó T  m 2  3  2.2  2  m 2  9 .
2
 x A . xB  m  3
Ta có 0  m 2  4  9  m 2  9  5  5  m 2  9  9 .
Vậy 5  T  9 với mọi m thỏa mãn (**); T  9  m  0 .
Vậy với m  0 thì T đạt giá trị lớn nhất bằng 9.
Đáp án D.
Dạng 3

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
(Phần này chỉ mang tính chất giới thiệu. Chủ đề “Bất đẳng thức” sẽ viết kĩ hơn
về nội dung này)

LOVEBOOK.VN | 15


Chủ đề 1: Mệnh đề - Tập hợp

The Best or Nothing

Ví dụ 8: Cho hàm số y  f  x  xác định trên đoạn  2;3 có đồ thị được cho
như trong hình dưới đây:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f  x  trên đoạn  2;3 .
Tính M  m .
A. M  m  0

B. M  m  1

C. M  m  2

D. M  m  3

Lời giải
Quan sát trên đồ thị ta thấy M  3 (ứng với x  3 ), m  2 (ứng với x  2 ).
Vậy M  m  1 .
Đáp án B.
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x 2   x  3 .
2

A. 0

B.

9
2

C.

9
2

D.

3
2

Lời giải
Tập xác định D   .
2

9 9
3 9 9


+ x   : f  x   2 x 2  6 x  9  2  x 2  3 x     2  x     .
4 2
2 2 2


+ f  x 

9
3
x .
2
2

LOVEBOOK.VN | 16


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

Vậy min f  x  


More than a book

9
.
2

Đáp án B.
Lời giải sai: x   : x 2   x  3  0 . Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.
2

Lời giải này sai do đẳng thức f  x   0 không xảy ra với bất cứ giá trị nào của x.

x  0
x  0
Thật vậy, f  x   0  
, vơ lí.

x  3  0
x  3
Ví dụ 10: Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
y

2x
. Tính m 2  M 2 .
x 1
2

1
2

B. m 2  M 2  2

C. m 2  M 2  1

D. m 2  M 2  4

A. m 2  M 2 

Lời giải
Tập xác định D   .
Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có x   :
x2  1  2 x 

2x
2x
 1  1  2
 1;
2
x 1
x 1

2x
2x
 1  x  1; 2
1  x 1.
x 1
x 1
2

Vậy m  min y  1; M  max y  1  m 2  M 2  2 .


R

Cách 2: (Sử dụng tập giá trị của hàm số)
Gọi y0 là một giá trị bất kì thuộc tập giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phải tồn
tại một giá trị x sao cho y0 

2x
 y0 x 2  2 x  y0  0
x 1
2

(*). Ta coi (*) là

phương trình ẩn x, tham số y0 .
LOVEBOOK.VN | 17


Chủ đề 1: Mệnh đề - Tập hợp

The Best or Nothing

+ Nếu y0  0 thì x  0 .
+ Nếu y0  0 thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi  '  1  y02  0  1  y0  1 .
Kết hợp hai trường hợp ta có 1  y0  1; y0  1  x  1; y0  1  x  1 .
Vậy m  min y  1; M  max y  1  m 2  M 2  2 .




Đáp án B.
Dạng 4

Tính chẵn, lẻ của hàm số
Ví dụ 11: Các hình dưới đây là đồ thị của các hàm số cùng có tập xác định là  .
Trong các đồ thị đó, đâu là đồ thị của một hàm số chẵn?

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Quan sát các đồ thị, ta thấy chỉ có đồ thị ở hình D là đối xứng qua trục Oy, do đó
nó là đồ thị của một hàm số chẵn.
Đáp án D.

LOVEBOOK.VN | 18


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

STUDY TIP
- Hàm đa thức chỉ gồm
các số hạng chứa x bậc
chẵn là hàm chẵn.
- Hàm đa thức chỉ gồm
các số hạng chứa x bậc lẻ
là hàm lẻ.
- Hàm đa thức gồm cả
các số hạng chứa x bậc
chẵn và các số hạng chứa
x bậc lẻ thì khơng chẵn
khơng lẻ.

More than a book

Ví dụ 12: Cho các hàm số
(I) y  3 x  2

(II) y  x 2  5 x  2018

(III) y  5 x3  3 x 2  x  1

(IV) y  x 4  x 2  1

Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số chẵn?
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải
(I), (II) và (III) là các hàm khơng chẵn, khơng lẻ, chỉ có (IV) là hàm chẵn. Do đó
B là đáp án đúng.
Đáp án B.
Ví dụ 13: Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập đối xứng. Trên D, xét các hàm
1
1
 f  x   f   x   và G  x    f  x   f   x   . Khẳng định nào
2
2
dưới đây đúng?

số F  x  

A. F  x  và G  x  là các hàm số chẵn trên D.
B. F  x  và G  x  là các hàm số lẻ trên D.
C. F  x  là hàm số chẵn và G  x  là hàm số lẻ trên D.
D. F  x  là hàm số lẻ và G  x  là hàm số chẵn trên D.
Lời giải

F  x  và G  x  đều xác định trên tập đối xứng D.

Ta có x  D : F   x  

1
1
 f   x   f  x     f  x   f   x    F  x 
2
2

Vậy F  x  là hàm số chẵn trên D.
Lại có x  D : G   x  

1
1
 f   x   f  x      f  x   f   x    G  x 
2
2

LOVEBOOK.VN | 19


Chủ đề 1: Mệnh đề - Tập hợp

The Best or Nothing

Vậy G  x  là hàm số lẻ trên D.
STUDY TIP
Cho hàm số y  f  x 

Đáp án C.
Nhận xét:

xác định trên tập đối
xứng D.

+ Dễ thấy hàm số H  x   f  x   f   x  cũng là một hàm số chẵn, hàm số

+

K  x   f  x   f   x  cũng là một hàm số lẻ.

1
 f  x   f   x  
2
là hàm số chẵn trên D;

F  x 

+
1
 f  x   f   x  
2
là hàm số lẻ trên D;

G  x 

+ Mọi hàm số xác định
trên một tập đối xứng đều
biểu diễn được một cách
duy nhất thành tổng của
một hàm số chẵn và một

hàm số lẻ.

Từ

nhận

xét

này

dễ

thấy

các

hàm

số

f1  x   2  x  2  x ,

f 2  x   3 x  2  3 x  2 , f3  x   x 2  3 x  7  x 2  3 x  7 … là các hàm số
chẵn, các hàm số f 4  x   2  x  2  x , f5  x   x 2  3 x  7  x 2  3 x  7 ,

f 6  x   3 x  2  3 x  2 , … là các hàm số lẻ.
+ Ta có f  x   F  x   G  x  . Vậy f  x  luôn biểu diễn được thành tổng của
một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. Ta chứng minh rằng biểu diễn này là duy
nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại biểu diễn f  x   M  x   N  x  với M  x  là hàm
chẵn và N  x  là hàm lẻ thì ta có f   x   M   x   N   x   M  x   N  x  .

Suy ra M  x  
N  x 

1
 f  x   f   x    F  x  và
2

1
 f  x   f   x    G  x  .
2

LOVEBOOK.VN | 20


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

Dạng 5

More than a book

Sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 14: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?
A.  ;0 

B. 1;  

C.  2; 2 

D.  0;1

Lời giải
Ta thấy trong khoảng  0;1 , mũi tên có chiều đi xuống. Do đó hàm số nghịch
biến trong khoảng  0;1 .
Đáp án D.
Ví dụ 15: Hàm số y  f  x   x 4  2 x 2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A.  1;0 

B.  1;1

C.  0;1

D. 1;  

Lời giải
Tập xác định: D   .
Cách 1: x1 , x2  , x1  x2 ta có
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
f  x2   f  x1   x2  x1   2  x2  x1   x2  x1  x2  x1   2  x2  x1 



x2  x1
x2  x1
x2  x1

  x2  x1   x22  x12  2  .

Ta thấy với x1 , x2   0;1 thì x1  x2  0 và 0  x12 , x22  1

 x12  x22  2  x12  x22  2  0 , do đó  x2  x1   x22  x12  2   0 .

LOVEBOOK.VN | 21


Chủ đề 1: Mệnh đề - Tập hợp

The Best or Nothing

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1 .
Cách 2: Sử dụng chức năng TABLE của máy tính cầm tay tính giá trị hàm số
trên đoạn  0;1 với STEP = 0,2.
Ta thấy trên khoảng  0;1 giá trị của hàm số giảm dần. Suy ra hàm số nghịch
biến trên khoảng  0;1 .
Đáp án C.
Ví dụ 16: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Đặt h  x   5 x  f  x  . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. h  3  h 1  h  2 

B. h 1  h  2   h  3

C. h  2   h 1  h  3

D. h  3  h  2   h 1
Lời giải

Quan sát trên bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng

 0; 4  , suy ra hàm số

y   f  x  đồng biến trên khoảng  0; 4  .

Mặt khác hàm số y  5 x đồng biến trên  ;   .
Do đó hàm số h  x   5 x  f  x  đồng biến trên khoảng  0; 4  .
Suy ra h 1  h  2   h  3 .
Đáp án B.

LOVEBOOK.VN | 22


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

Ví dụ 17: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới đây.

a) Số nghiệm của phương trình f  x   3  0 là
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

b) Phương trình f  x   2m  0 có ba nghiệm phân biệt khi
A. 1  m 

3
2

B. 1  m 

3
2

C.

3
 m 1
2

D.

3
 m 1
2

Lời giải
a) f  x   3  0  f  x   3 .

Từ bảng biến thiên ta suy ra đường thẳng y  3 có hai điểm chung phân biệt
với đồ thị hàm số y  f  x  . Do đó phương trình f  x   3 có hai nghiệm.
Đáp án C.
b) f  x   2m  0  f  x   2m (*). Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
khi đường thẳng y  2m cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại ba điểm phân biệt.
Muốn vậy thì ta phải có 3  2m  2  2  2m  3  1  m 

3
.
2

Đáp án A.

LOVEBOOK.VN | 23


Chủ đề 1: Mệnh đề - Tập hợp

Dạng 6

The Best or Nothing

Xác định biểu thức của hàm số
Ví dụ 18: Cho hai hàm số f  x   x 2  5 và g  x   x3  2 x 2  1 . Tính tổng các
hệ số của hàm số f  g  x   .
A. 18

B. 19

C. 20

D. 21

Lời giải
Cách 1: f  g  x     x3  2 x 2  1  5  x 6  4 x5  4 x 4  2 x3  4 x 2  6 .
2

Vậy tổng các hệ số của f  g  x   là 1  4  4  2  4  6  21 .
Cách 2: Áp dụng kết quả: “Cho đa thức P  x   an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 . Khi
đó tổng các hệ số của P  x  là P 1 ”, ta có tổng các hệ số của f  g  x   là

f  g 1  mà g 1  4 nên f  g 1   42  5  21 .
Đáp án D.
Ví dụ 19: Cho hàm số y  f  x  xác định trên  thỏa mãn x   :

f  x  1  x 2  3 x  2 . Tìm biểu thức f  x  .
A. f  x   x 2  5 x  2

B. f  x   x 2  5 x  2

C. f  x   x 2  x  2

D. f  x   x 2  x  2
Lời giải

Ta có x   : f  x  1  x 2  3 x  2   x  1  5  x  1  2 .
2

Do đó f  x   x 2  5 x  2 .
Đáp án A.

LOVEBOOK.VN | 24


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Câu 3: Cho hàm số y  f  x  xác định trên

Xem đáp án chi tiết tại trang 76

khoảng  ;   có đồ thị như hình dưới đây.

Câu 1: Cho hàm số y  f  x  xác định trên
khoảng  ;   có đồ thị như hình vẽ dưới
đây.

a) Phương trình f  x   1  0 có bao nhiêu
nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2?
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  0; 2 
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;0 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;0 
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;3
Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào có
đồ thị trùng với đồ thị hàm số y  x  2 ?
A. y 

B.



x2

 x  2
y



2

2

x2

C. y  x  x  1  2  x 2
x2  x  2
D. y 
x2

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

b) Tìm tập nghiệm của bất phương trình

f  x  2 ?
A.  1;  

B.  1;  

C.  ; 1

D.  ; 1

Câu 4: Cho 4 hàm số sau:
(I): y  x  x  2 
(III): y 

x 2
;
x2

(II): y  2 x 2  5 x ;
(IV): y 

x 2
.
x 2

Trong 4 hàm số trên, có bao nhiêu hàm số
chẵn?
A. 1

B. 2

C. 3

Câu 5: Đường cong trong hình sau đây là đồ
thị hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

LOVEBOOK.VN | 25