06 hàm số bậc hai phần 2 đặng việt hùng image marked

Chuyên đề: Hàm số bậc nhất, bậc hai

06. HÀM SỐ BẬC HAI (Phần 1)

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC 2 – PARABOL

Ví dụ 1 [ĐVH]: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a) y  x 2  6 x
b) y   x 2  4 x  5
Lời giải:
2
a) y  x  6 x
- Bảng biến thiên:

- Đồ thị:
+) TXĐ: D  .
+) Tọa độ đỉnh: I  3; 9  . Trục đối xứng: x  3.
+) Sự biến thiên: a  1  0 nên hàm số nghịch biến trên  ;3 và đồng biến trên  3;   .
+) Giao điểm với trục tung:  0;0  . Giao điểm với trục hoành  0;0  ;  6;0  .

b) y   x 2  4 x  5
- Bảng biến thiên:

- Đồ thị:
+) TXĐ: D  .
+) Tọa độ đỉnh: I  2;9  . Trục đối xứng: x  2.


+) Sự biến thiên: a  1  0 nên hàm số đồng biến trên  ; 2  và nghịch biến trên  2;   .
+) Giao điểm với trục tung:  0;5  . Giao điểm với trục hồnh  1;0  ;  5;0  .

Ví dụ 2 [ĐVH]: Cho  P  : y  2 x 2  4 x  6
a) Tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng, vẽ  P 
b) Tìm x sao cho y  0 .
Lời giải:
a) Tọa độ đỉnh: I  1;8  . Trục đối xứng: x  1.
- Đồ thị:
+) TXĐ: D  .
+) Tính biến thiên: a  2  0 nên hàm số đồng biến trên  ; 1 và nghịch biến trên  1;   .
+) Giao điểm với trục tung:  0;6  . Giao điểm với trục hoành  3;0  ; 1;0  .

b) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có: y  0  3  x  1.
Ví dụ 3 [ĐVH]: Cho  P  : y 
a) Vẽ đồ thị.

1 2
x  x4.
2


b) Biện luận số nghiệm phương trình:
a) TXĐ: D  .

1 2
x  x  m  0.
2
Lời giải:

9

- Tọa độ đỉnh: I  1;   . Trục đối xứng: x  1.

2

1
- Tính biến thiên: a   0 nên hàm số nghịch biến trên  ; 1 và đồng biến trên  1;   .
2
- Giao điểm với trục tung:  0; 4  . Giao điểm với trục hoành  4;0  ;  2;0  .

- Đồ thị:

b) Ta có:

1 2
1
x  x  m  0 *  x 2  x  4  m  4.
2
2

Như vậy số nghiệm của phương trình * chính bằng số giao điểm của ĐTHS y 

1 2
x  x  4 và
2

đường thẳng y  m  4.
Do vậy, ta có các trường hợp:
9
1
1
 TH1: m  4    m  . Đường thẳng y  m  4 không cắt ĐTHS y  x 2  x  4 nên
2

2
2
phương trình vơ nghiệm.
9
1
1
 TH2: m  4    m  . Đường thẳng y  m  4 tiếp xúc ĐTHS y  x 2  x  4 nên
2
2
2
phương trình có nghiệm kép x  1.
9
1
1
 TH3: m  4    m  . Đường thẳng y  m  4 cắt ĐTHS y  x 2  x  4 tại 2 điểm
2
2
2
phân biệt nên phương trình có 2 nghiệm.
Ví dụ 4 [ĐVH]: Cho  P  : y  2 x 2  3 x  1
a) Vẽ đồ thị  P  .
b) Xác định m để phương trình 2 x 2  3 x  1  m khơng có nghiệm; có hai nghiệm; có 3 nghiệm; có 4
nghiệm.
a) TXĐ: D  .

Lời giải:

3
 3 1
- Tọa độ đỉnh: I  ;   . Trục đối xứng: x  .

4
 4 8
3

- Tính biến thiên: a  2  0 nên hàm số nghịch biến trên  ;  và đồng biến trên
4


3

 ;   .
4



1 
- Giao điểm với trục tung:  0;1 . Giao điểm với trục hoành  ;0  ; 1;0  .
2 
- Đồ thị:

b) Ta vẽ đồ thị hàm số y  2 x 2  3 x  1 dựa trên đồ thị  P  : y  2 x 2  3 x  1 bằng cách:
 Giữ nguyên phần đồ thị  P  ở bên phải trục tung và những điểm trên trục tung.
 Lấy đối xứng phần đồ thị  P  ở bên phải trục tung qua trục tung.
- Đồ thị hàm số y  2 x 2  3 x  1:

Khi đó, số nghiệm của phương trình 2 x 2  3 x  1  m đúng bằng số giao điểm của đường thẳng

y  m với đồ thị hàm số y  2 x 2  3 x  1.
Vì vậy, ta có các kết luận:
1

 2 x 2  3 x  1  m vô nghiệm khi và chỉ khi m   .
8
 1
 2 x 2  3 x  1  m có hai nghiệm khi và chỉ khi m  1;      .
 8
2
 2 x  3 x  1  m có ba nghiệm khi và chỉ khi m  1.
 1 
 2 x 2  3 x  1  m có bốn nghiệm khi và chỉ khi m    ;1 .
 8 

khi x  0
 x
Ví dụ 5 [ĐVH]: Cho hàm số y  f  x    2
 x  2 x khi x  0
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Xác định m để phương trình f  x   m có 3 nghiệm phân biệt.


Lời giải:
a) Ta vẽ đồ thị hàm số y   x khi x  0 và đồ thị hàm số y   x 2  2 x khi x  0, được đồ thị như
hình vẽ:

b) Để phương trình f  x   m có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số

y  f  x  tại 3 điểm phân biệt.
Dựa vào đồ thị hàm số, ta suy ra: 0  m  1.
Vậy để phương trình f  x   m có 3 nghiệm phân biệt thì 0  m  1.
Ví dụ 6 [ĐVH]: Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số :
a) y  x 2  2 x

b) y  0,5 x 2  x  1  1
Lời giải:
a) Ta vẽ đồ thị hàm số y  x  2 x.
+) TXĐ: D  .

2
2 1
.
+) Tọa độ đỉnh: I  
;   . Trục đối xứng: x  
2
2
 2

2
+) Sự biến thiên: a  1  0 nên hàm số nghịch biến trên  ; 
 và đồng biến trên
2 

2





+) Giao điểm với trục tung:  0;0  . Giao điểm với trục hoành  0;0  ;  2;0 .
+) Đồ thị hàm số y  x 2  2 x.

Từ đồ thị hàm số y  x 2  2 x, suy ra đồ thị hàm số y  x 2  2 x bằng cách:



2
;   .
 
 2



 Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  x 2  2 x ở bên trên trục hoành và những điểm trên trục
hoành.
 Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  x 2  2 x ở bên dưới trục hoành qua trục hoành.
- Đồ thị hàm số y  x 2  2 x :

Bảng biến thiên của hàm số y  x 2  2 x :

2
0,5 x  x  2 khi x  1
b) y  0,5 x  x  1  1  
.
2
0,5 x  x khi x  1
2

- Ta vẽ đồ thị hàm số y  0,5 x 2  x  2 khi x  1 và đồ thị hàm số y  0,5 x 2  x khi x  0, được đồ
thị như hình vẽ:

Bảng biến thiên của hàm số y  0,5 x 2  x  1  1:

Ví dụ 7 [ĐVH]: Cho  P  : y  x 2  4 x  3
a) Vẽ đồ thị  P  . Suy ra đồ thị y  g  x   x 2  4 x  3
b) Tìm m để phương trình x 2  4 x  3  m có 8 nghiệm phân biệt.
a) Ta vẽ đồ thị hàm số  P  : y  x  4 x  3.

Lời giải:

2

+) TXĐ: D  .
+) Tọa độ đỉnh: I  2; 1 . Trục đối xứng: x  2.
+) Tính biến thiên: a  1  0 nên hàm số nghịch biến trên  ; 2  và đồng biến trên  2;   .
+) Giao điểm với trục tung:  0;3 . Giao điểm với trục hoành 1;0  ;  3;0  .
+) Đồ thị hàm số  P  : y  x 2  4 x  3 :

Từ đồ thị trên, suy ra đồ thị y  g  x   x 2  4 x  3 bằng cách:
 Giữ nguyên phần đồ thị  P  ở bên phải trục tung và những điểm trên trục tung.
 Lấy đối xứng phần đồ thị  P  ở bên phải trục tung qua trục tung.
- Đồ thị hàm số y  g  x   x 2  4 x  3 :


b) Từ đồ thị hàm số y  g  x   x 2  4 x  3, suy ra đồ thị hàm số y  x 2  4 x  3 bằng cách:
 Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  g  x  ở bên trên trục hoành và những điểm trên trục hoành.
 Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  g  x  ở bên dưới trục hoành qua trục hoành.
- Đồ thị hàm số y  x 2  4 x  3 :

Vậy để phương trình x 2  4 x  3  m có 8 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y  m phải cắt đồ thị
hàm số y  x 2  4 x  3 tại 8 điểm phân biệt, do đó 0  m  1.
Phương trình x 2  4 x  3  m có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0  m  1.
Ví dụ 8 [ĐVH]: Cho parabol  P  : y  ax 2  bx  c, a  0 . Xét dấu hệ số a và biệt thức Δ khi:

a)  P  hồn tồn nằm phía trên trục hồnh
b)  P  hồn tồn nằm phía dưới trục hoành
c)  P  cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục hồnh.
Lời giải:
a)  P  hồn tồn nằm phía trên trục hồnh nên ta có:

a  0
y  0, x    ax 2  bx  c  0, x    
.
2
Δ  b  4ac  0
b)  P  hồn tồn nằm phía dưới trục hồnh nên ta có:
a  0
y  0, x    ax 2  bx  c  0, x    
.
2
Δ  b  4ac  0


c)  P  cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục hồnh nên a  0 và phương

a  0
trình y  0 có hai nghiệm phân biệt. Do đó, ta có: 
.
2
  b  4ac  0
Ví dụ 9 [ĐVH]: Cho parabol  P  : x 2  3 x  2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  P  .
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 2  3 x  3  2m  0.
Lời giải:

 Xét hàm số f ( x)  x 2  3 x  2
 Tập xác định: D  
3 1
 Tọa độ đỉnh: I  ;  
2 4
 Bảng biến thiên:
x
3

2






f ( x)

 Bảng giá trị:
x

0

1

y

2

0

 Đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ sau:

3
2
1

4

1
4

2

3

0

2

 Phương trình đã cho trở thành: x 2  3 x  2  2m  1
()
Số nghiệm của () là số giao điểm của đồ thị y  f ( x) và đường thẳng y  2m  1
1
3
3
 Với 2m  1    m  thì () có nghiệm duy nhất x  .
4
8
2

1
3
 Với 2m  1    m  thì () có hai nghiệm phân biệt.
4
8
1
3
 Với 2m  1    m  thì () vơ nghiệm.
4
8
Ví dụ 10 [ĐVH]: Vẽ đồ thị hàm số  P  : y   x 2  5 x  6. Sử dụng đồ thị để biện luận theo m số
điểm chung của  P  và đường thẳng y  m.
Lời giải:
 Xét hàm số f ( x)   x  5 x  6
2


 Tập xác định: D  
 5 49 
 Tọa độ đỉnh: I  ; 
2 4 
 Bảng biến thiên:
x


f ( x)

5
2
49

4







 Bảng giá trị:

3
2
2
45
y
12
4
 Đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ sau:
x

5
2
49
4

3

12

7

2
45
4

 Biện luận số giao điểm của đồ thị y  f ( x) và đường thẳng y  m.
49
5
 Với m 
thì () có nghiệm duy nhất x  .
4
2
49
 Với m 
thì () vơ nghiệm.
4
49
 Với m 
thì () có hai nghiệm phân biệt.
4
Ví dụ 11 [ĐVH]: Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình:  x 2  4 x  m  0.
Lời giải:
2
Phương trình đã cho trở thành: m  x  4 x
()
2
 Xét hàm số f ( x)  x  4 x
 Tập xác định: D  
 Tọa độ đỉnh: I (2;  4)
 Bảng biến thiên:



x
2



f ( x)
4
 Bảng giá trị:
x
0
1
y

3
0
 Đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ sau:

2
4

3
3

4
0


 Số nghiệm của () là số giao điểm của đồ thị y  f ( x) và đường thẳng y  m.
 Với m   4 thì () có nghiệm duy nhất x  2.

 Với m   4 thì () có hai nghiệm phân biệt.
 Với m   4 thì () vơ nghiệm.