01 đại cương về phương trình đặng việt hùng image marked

Tài liệu khóa học TỐN 10 (PT và Hệ PT)

01. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1 [ĐVH]. Tìm tập xác định của phương trình:
a)

x 1  x  3  2

c)

3 x  2 

1
2x  3

x  4 1 x

b)

2
x 1

d)

5
x  x 5
2



5
x  x2  5

4

Lời giải:

x 1  0
x  1
a) Điều kiện xác định: 

 x  3 . Vậy D  3;    .
x  3  0
x  3
b) Vì x  4  4  0, x nên điều kiện xác định:

1  x  0  x  1  x  1. Vậy D  R \ 1;1 .

2

3 x  2  0
2
x 


c) Điều kiện: 
3 . Vậy D   ;  \ 1 .
3

x 1  0

 x  1
d) Vì:

x2  5  x2  x  x  5   x

Do đó x  x 2  5  0 nên điều kiện xác định chỉ là:





x 2  5  0  x 2  5  x  5  x   5 hoặc x  5 . Vậy D  ;  5    5;   .
Ví dụ 2 [ĐVH]. Tìm điều kiện xác định của các phương trình:
1
2x
 3 x
a)  x 2  2 x  2
b) 2
x
x 4
x2
x4
 x2  5x  2
 1 x
c)
d)
2
x2
x 1
Lời giải:

a) Vì x 2  2 x  2   x  1  1  0, x nên điều kiện là mọi x  0 .
2

 x2  4  0
 x2  4
 x 2  2
b) Điều kiện: 


3  x  0
x  3
x  3

x  2  0
x  4
c) Điều kiện: 

: không tồn tại x.
1  x  0
x  1
d) Vì x 2  1  1  0, x nên phương trình xác định với mọi x.

Ví dụ 3 [ĐVH]. Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm:
a)
c)

x  x
3 x
 x  x 3
x 3

b) 3 x  x  2  2  x  6
d) x  x  1   x


Lời giải:

x  0
x  0
x   x . ĐK: 

 x0
 x  0
x  0

a)

Thế x  0 vào phương trình: 0  0 (đúng). Vậy tập nghiệm S  0 .
b) 3 x  x  2  2  x  6

x  2  0
x  2
ĐK: 

x2
2  x  0
x  2
Thế x  2 vào phương trình: 6 – 0 = 0 + 6 (đúng).
Vậy tập nghiệm: S  2 .
3 x

 x  x  3 . ĐK:
c)
x 3

x  3
x  3


x  3  0  x  3
x  3  0
x  3



Vậy không tồn tại giá trị x nào nên S   .
Ví dụ 4 [ĐVH]. Giải các phương trình:
a) x  x  1  2  x  1
c)

x

2 x 5

b) x  x  1  0,5  x  1

3
x 5

d)

x

2 x 5

2
x 5

Lời giải:
a) Với ĐK: x  1 thì phương trình tương đương với x  2 (chọn). Vậy S  2 .
b) Với ĐK: x  1 thì phương trình tương đương với x  0,5 (loại). Vậy S   .
x
 3  x  6 (chọn). Vậy S  6 .
2
x
d) Với ĐK: x  5 thì phương trình tương đương với  2  x  4 (loại). Vậy S   .
2

c) Với ĐK: x  5 thì phương trình tương đương với

Ví dụ 5 [ĐVH]. Giải các phương trình:
1
2x 1

a) x 
x 1 x 1
c)  x 2  3 x  2  x  3  0

b) x 

1

2x  3

x2 x2

d)  x 2  x  2  x  1  0
Lời giải:

a) Với điều kiện x  1, ta có: x 

x  1
1
2x 1

 x2  x  1  2x 1  
. Chọn nghiệm x  2 .
x 1 x 1
x  2

b) Với điều kiện x  2, ta có: x 

1
2x  3

 x 2  x  1  2 x  3  x  2 (loại). Vậy phương trình
x2 x2

vơ nghiệm.
c) Với điều kiện x  3 , ta có x  3 là một nghiệm. Nếu x  3 thì

x  3  0 . Do đó:

x  1
 3x  2  x  3  0  x 2  3x  2  0  
(loại).
x  2
Vậy phương trình có một nghiệm là x  3 .

x

2

d) Với điều kiện x  1 . Ta có x  1 là một nghiệm nên x  1 thì
tương đương:

x  1  0 nên phương trình


 x  1
x2  x  2  0  
. Chọn nghiệm x  2. Vậy phương trình có 2 nghiệm x  2; x  2.
x  2
Ví dụ 6 [ĐVH]. Giải các phương trình
3x 2  x  2
 3x  2
a)
3x  2

4
x2  3


b) 2 x  3 
.
x 1 x 1

Lời giải:
a) Điều kiện x 

2
, ta có:
3

3x 2  x  2
 3x  2  3x 2  x  2  3x  2  3x 2  4 x  0  x  3x  4   0
3x  2

x  0
4

. Chọn nghiệm x  .
x  4
3
3

b) Điều kiện x  1, ta có 2 x  3 

x  1
4
x2  3
.


  2 x  3 x  1  4  x 2  x  2  0  
x 1 x 1
 x  2

Chọn nghiệm x  2 .
Ví dụ 7 [ĐVH]. Giải phương trình bằng cách bình phương 2 vế :
a)

x  3  9  2x

b) x  1  x  3

c) 2 x  1  x  2

d) x  2  x  2
Lời giải:

a) x  3  9  2 x  x  3  9  2 x  x  4. Thử lại thấy x  4 nghiệm đúng.
Vậy phương trình có nghiệm x  4 .
x  2
2
b) x  1  x  3  x  1   x  3  x 2  7 x  10  0  
.
x  5
Thử lại, x  2 khơng thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm x  5.
x  0
2
2
c) 2 x  1  x  2  4  x  1   x  2   3 x 2  12 x  0  

.
x  4
Thử lại, cả hai đều nghiệm đúng. Vậy phương trình có hai nghiệm x  0; x  4.
d) x  2  x  2   x  2    2 x  1  3 x 2  3  x  1.
2

2

Thử lại, chỉ có x  1 nghiệm đúng.
Vậy phương trình có nghiệm x  1 .
Ví dụ 8 [ĐVH]. Giải các phương trình
a) x  1  2 x

b) x  1  x  2

c) x  2  x  2

d) x  2  x  2
Lời giải:

1

x
 1 

a) D  R, ta có: x  1  2 x   x  1  4 x  3 x  2 x  1  0 
3 . Vậy S   ;1 .

 3 
x  1

2

2

2


x  2
x  2
 x  2  0

b) D  R, ta có: x  1  x  2  

3 . Vậy S   .
2
2  
4 x  3  x 
 x  1   x  2 

4

 x  2
 x  2  0
c) Với điều kiện x  2 thì phương trình x  2  x  2  
.
 2
2
 x  2   x  2
 x  3x  6  0
Vì Δ  0 nên phương trình vơ nghiệm.

d) Với điều kiện x  2 thì phương trình
x  2
 x  2  0
x  2
5  17

.
x2 x2  
 2

2
5  17 . Chọn nghiệm x 
2
x

5
x

2

0
x

2

x

2
x








2

Ví dụ 9 [ĐVH]. Giải các phương trình
x
x

a)
x 1
x 1
c)

x
2 x



x
2 x

b)
d)

x2
x 1

x 1
x2



x2
x 1



1 x
x2

Lời giải:
a) Với điều kiện: x  1 thì phương trình tương đương: x  x  x  0 . Kết hợp thì x  1 .
Vậy S  1;    .
b) Với điều kiện: x  1 thì phương trình tương đương: x  2  x  2  x  2 (chọn) .
Vậy S   2;    .
c) Với điều kiện: x  2 thì phương trình tương đương: x   x  x  0 (chọn). Vậy S   ; 0 .
d) Với điều kiện: x  2 thì phương trình tương đương: x  1  1  x  x  1. Kết hợp thì khơng tồn
tại x. Vậy S   .
Ví dụ 10 [ĐVH]. Chứng minh các phương trình sau vơ nghiệm
3x  1
 x 3
a)
b) x  4  x  3  x  4
x  2
Lời giải:

 x  2  0

x  2
a) Điều kiện: 

: Không tồn tại x. Vậy D   nên S  .
x  3  0
x  3
b) Điều kiện: x  4 thì phương trình tương đương:  x  3  x  3 (loại) nên phương trình vơ
nghiệm.
Ví dụ 11 [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
x
m
x
x


a)
b)
x2 x2
x  m x 1
Lời giải:
x
m

. Với điều kiện x  2 thì phương trình tương đương x  m .
x2 x2
Biện luận: Nếu m  2 thì phương trình vơ nghiệm.
Nếu m  2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x  m .

a)

x  m  0
 x  m
x
x

. Điều kiện: 

x  m x 1
x 1  0
 x  1
Xét m  1 thì phương trình có nghiệm và mọi x  1
 x  m
Xét m  1 thì điều kiện: 
, phương trình tương đương:
 x  1
b)

x x 1  x x  m  x





x  1  x  m  0  x  0 (Vì

x 1  x  m )

Do đó, với m  0 thì phương trình vơ nghiệm.
Với m  0, m  1 thì phương trình có nghiệm x  0 .

Vậy m  0 : phương trình vô nghiệm.
m  0 và m  1: x  0; m  1: mọi x  1 đều là nghiệm.
Ví dụ 12 [ĐVH]. Xét quan hệ tương đương của các cặp phương trình:
2
5
5
 6 và x  x  1  2  6  x  1
a) x 
b) x 2   4  và x 2  4
x 1
x
x
c) 2 x  1  3 và 2 x 2  x  3 x

d) x  1  2 và  x  1  4
2

Lời giải:
a) Với điều kiện x  1 thì phương trình đầu tương đương x  x  1  2  6  x  1  x 2  7 x  8  0
Vì x  1 khơng phải là nghiệm của phương trình.

x 2  7 x  8  0 nên hai phương trình tương đương.
b) Với điều kiện x  0 thì phương trình đầu tương đương với: x 2  4  x  2 (chọn).
Vậy hai phương trình tương đương.
c) Khơng tương đương, vì x  0 là nghiệm phương trình thứ hai nhưng khơng là nghiệm của phương
trình thứ nhất.
d) Khơng tương đương, vì x  1 là nghiệm của phương trình thứ hai nhưng khơng là nghiệm của
phương trình thứ nhất.

Ví dụ 13 [ĐVH]. Xác định tham số m để các cặp phương trình sau tương đương:

mx
 3m  1  0
a) x  2  0 và
x3
b) x 2  9  0 và 2 x 2   m  5  x  3  m  1  0
Lời giải:
a) Phương trình x  2  0 có nghiệm x  2
mx
 3m  1  0 có nghiệm x  2 khi 2m  3m  1  0  m  1. Thử lại với m  1
Phương trình
x3
x
 2  0 và có nghiệm duy nhất x  2.
thì phương trình
x3
Vậy hai phương trình tương đương khi m  1 .
b) Phương trình x 2  9  0 có hia nghiệm x  3 và x  3 .
Ta có: x  3 là nghiệm của phương trình: 2 x 2   m  5  x  3  m  1  0 khi:


0  0
18  3  m  5  x  3  m  1  0

 m 5.

m  5
18  3  m  5  x  3  m  1  0
Với m  5 phương trình sau trở thành:

2 x 2  18  0  x 2  9  0  x  3. Vậy với m  5 hai phương trình đã cho tương đương.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x  1.

B. x  1.

2x
3
5  2
là:
x 1
x 1
C. x  1.
2

D. x  .

Câu 2 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình x  1  x  2  x  3 là
A. x  3.
B. x  2.
C. x  1.
D. x  3.
x2  5
 0 là
Câu 3 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình x  2 
7x
A. x  2.
B. x  7.
C. 2  x  7.

Câu 4 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x  0.
C. x  0 và x 2  1  0.

1
 x 2  1  0 là
x
B. x  0.
D. x  0 và x 2  1  0.

x2
8

Câu 5 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
là
x2
x2
A. x  2.
B. x  2.
C. x  2.

Câu 6 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x  3 và x  2.
C. x  3 và x  2.
Câu 7 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x  2 hoặc x  2.
C. x  2 hoặc x  2.
Câu 8 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x   \ 0;  2 .

C. x    2;5 \ 0;  2 .

B. x    4;3 \  1 .

Câu 10 [ĐVH]: Tập xác định của phương trình
A. D   2;    .

D. x  2.

1
 x  3 là
x 4
B. x  2.
D. x  3.
2

1
là
x2
B. x  2 hoặc x  2.
D. x  2 hoặc x  2.
x2  4 

x2
3
là

x  2x
5 x

B. x    2;5  \ 0 .
2

D. x    ;5  \ 0;  2 .

Câu 9 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x    4;    .

D. 2  x  7.

x

x4
2
là

2
x 1
3 x
C. x    ;3 .
x2 1 3
 x  2 là
x 1
B. D   0;    \ 1 .

D. x   \  1 .


C. D   0;    .

D. D   0;    \ 1; 2 .

1
3  2x
là

x
2x  4
3
B. x  2, x  0 và x  .
2

Câu 11 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình x 
A. x  2 và x  0.
3
C. x  2 và x  .
2

D. x  2 và x  0.

Câu 12 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
1
A. x   .
2
1
C. x   và x  0.
2

2x 1
 0 là

x  3x
1
B. x   và x  3.
2
2

D. x  3 và x  0.
1
x 1

.
x 1
x
C. x  1.

Câu 13 [ĐVH]: Tìm điều kiện xác định của phương trình
A. x  0.

B. x  1.

Câu 14 [ĐVH]: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
x 2  3x  2
x2  7 x  6
 0.
 0.
A.
B. 2 x  3  6.
C.
x4
1 x

D. x  0 và x  1.

D.

2x 1
 1.
x

Câu 15 [ĐVH]: Cho hai phương trình x  1 1 và x 2  3 x  2  0  2  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. (1) là hệ quả của (2).
B. (2) là hệ quả của (1).
C. 1   2 
D. x  1 là nghiệm chung của hai phương trình.
Câu 16 [ĐVH]: Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng dạng phương trình.
B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm.
D. Tất cả đều đúng.
Câu 17 [ĐVH]: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2  4  0 ?
A.  2  x    x 2  2 x  1  0.
B.  x  2   x 2  3 x  2   0.
C.

x 2  3  1.

D. x 2  4 x  4  0.

Câu 18 [ĐVH]: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2  3 x  0 ?
1

1
 3x 
.
A. x 2  x  2  3 x  x  2.
B. x 2 
x 3
x 3
C. x 2 x  3  3 x x  3.

D. x 2  x 2  1  3 x  x 2  1.

Câu 19 [ĐVH]: Phương trình nào sau đây khơng tương đương với phương trình x 
A. x 2  x  1.

B. 2 x  1  2 x  1  0.

C. x x  5  0.

D. 7  6 x  1  18.

Câu 20 [ĐVH]: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 3 x  x  2  x 2  3 x  x 2  x  2.

B.

x  1  3x  x  1  9 x 2 .

1
 1?
x

C. 3 x  x  2  x 2  x  2  3 x  x 2 .

D.

2x  3
2
 x  1  2 x  3   x  1 .
x 1

Câu 21 [ĐVH]: Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

B. x 2  1  0 

x  1  2 1  x  x  1  0.

C. x  2  x  1   x  2    x  1 .
2

2

x 1
 0.
x 1

D. x 2  1  x  1.

Câu 22 [ĐVH]: Chọn cặp phương trình khơng tương đương trong các cặp phương trình sau:

2
A. x  1  x 2  2 x và x  2   x  1 .
B. 3 x x  1  8 3  x và 6 x x  1  16 3  x .
C. x 3  2 x  x 2  x 2  x và x 3  2 x  x.
D. x  2  2 x và x  2  4 x 2 .
Câu 23 [ĐVH]: Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

x  2  1  x  2  1.

x  x  1
 1  x  1.
x 1
D. x  3  9  2 x  3 x  12  0.

B.

C. 3 x  2  x  3  8 x 2  4 x  5  0.

Câu 24 [ĐVH]: Cho phương trình 2 x 2  x  0. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào
khơng phải là hệ quả của phương trình đã cho?
x
 0.
A. 2 x 
B. 4 x3  x  0.
1 x
C.  2 x 2  x    x  5   0.
2

2

D. 2 x3  x 2  x  0.

Câu 25 [ĐVH]: Cho hai phương trình: x  x  2   3  x  2  1 và

x  x  2
 3  2.
x2

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2).
B. Phương trình (1) và (2) là hai phương trình tương đương.
C. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (1).
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 26 [ĐVH]: Tập nghiệm của phương trình
A. S  0.
B. S  .

x 2  2 x  2 x  x 2 là
C. S  0;2.

D. S  2.

Câu 27 [ĐVH]: Phương trình x  x 2  1 x  1  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

Câu 28 [ĐVH]: Phương trình
A. 0.

B. 1.

C. 2.

 x  3  5  3 x   2 x 
2

D. 3.

3 x  5  4 có bao nhiêu nghiệm?

C. 2.

D. 3.

Câu 29 [ĐVH]: Phương trình x3  4 x 2  5 x  2  x  2  x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 30 [ĐVH]: Phương trình  x 2  6 x  17  x 2  x 2  6 x có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Câu 31 [ĐVH]: Tìm tập nghiệm S của phương trình
A. S  2 .

B. S  2;3 .

Câu 32 [ĐVH]: Phương trình x 
A. 0.

B. 1.

x 2  3x . 4  x 2
 0.
x  x  2

C. S  3 .

D. S  .

1
2x 1

có bao nhiêu nghiệm?
x 1 x 1
C. 2.

D. 3.

Câu 33 [ĐVH]: Phương trình  x 2  3 x  2  x  3  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 34 [ĐVH]: Phương trình  x 2  x  2  x  1  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 35 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình x  x  2  3  x  2 là
A. x  2.
B. x  3.
C. x  2.
D. x  3.
Câu 36 [ĐVH]: Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình x 2  3 x  0.
A. x 2  2 x  1  3 x  2 x  1.
B. x 2 x  3  3 x x  3.
1
1
C. x 2  3 x  3  3 x  3 x  3.
D. x 2  x   2  .
x
x

Câu 37 [ĐVH]: Phương trình 4 x 
A. 2.

B. 1.

3
3
  x2 
có bao nhiêu nghiệm?
x3
x3
C. 3.
D. 0.

Câu 38 [ĐVH]: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
A. 1  x 2  x  1  x 2  2  x  2.

B.

C. x 2  1  x  1.

D.  x  2   0  x  2.

x   x  x  0.
2

Câu 39 [ĐVH]: Cho phương trình f  x   g  x  xác định với mọi x  0. Trong các phương trình
dưới đây, phương trình nào khơng tương đương với phương trình đã cho?
A. k . f  x   k .g  x  , với mọi số thực k  0.
B.  x 2  1 . f  x    x 2  1 .g  x  .

C.

x 2  2 x  3. f  x   x 2  2 x  3.g  x  .

D.

f  x
x



g  x
x

.

Câu 40 [ĐVH]: Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình x 2  1?
A. x  1.
B. x 2  3 x  4  0.
C. x 2  3 x  4  0.

D. x 2  x  1  x .

Câu 41 [ĐVH]: Trong các cặp phương trình sau, cặp phương trình nào tương đương với nhau?
A. x  2 và x  2  0.
B. x  2  1 và x  2  1.
C. x 2  3 x  2  0 và x 2  3 x  2  0.

D. 2 x  1  0 và

 x  2  2 x  1  0.
x 1

Câu 42 [ĐVH]: Cho phương trình x 2  2mx  m  2  0 với tham số m. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm (nếu
có) của phương trình. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Khi m  3 thì x1  x2  4 2.
B. Khi m  2 thì x1  x2  4.


D. Tồn tại giá trị của m để x1  x2 .

C. Khi m  1 thì x1  x2  2 2.

Câu 43 [ĐVH]: Phương trình nào sau đây là phương trình hệ quả của phương trình

2x  4  x2  4

?
2 x
x2

B.  x  2   0.

A.  5 x  6  x  4   x 2  4  x  .

2

D.  x  2  2 x  4    x  2    x 2  4  .

C. x 2  6 x  8  0.

Câu 44 [ĐVH]: Phương trình x 2  3 x tương đương với phương trình nào sau đây?
1
1
 3x 
.
A. x 2  x  2  3 x  x  2.
B. x 2 
x 3
x 3
C. 2 x 2  x  1  6 x  x  1.
D. x 2 . x  3  3 x. x  3.
Câu 45 [ĐVH]: Cho phương trình

x  1  x  1 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Phương trình 1 có tập xác định là 1;   .
B. Phương trình 1 tương đương với phương trình x  1   x  1 .
2

C. Tập xác định của phương trình 1 chứa đoạn  1;1.
D. Phương trình 1 vơ nghiệm.
Câu 46 [ĐVH]: Cho phương trình f  x   0 có tập nghiệm S1  m;2m  1 và phương trình

g  x   0 có tập nghiệm S 2  1;2. Tìm tất cả giá trị m để phương trình g  x   0 là phương trình hệ
quả của phương trình f  x   0.
3
A. 1  m  .
2

B. 1  m  2.

3
D. 1  m  .
2

C. m .

Câu 47 [ĐVH]: Phương trình f  x   g  x  tương đương với phương trình nào trong các phương
trình sau?
A. f  x   g  x  .

B. f  x   g  x  .

C. f  x    g  x  .

D. f  x   g  x   0.

2

2

2

2

Câu 48 [ĐVH]: Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:
2 x 2  mx  2  0 1 và 2 x3   m  4  x 2  2  m  1 x  4  0  2  .
A. m  2.

B. m  3.

1
C. m  .
2

D. m  2.

Câu 49 [ĐVH]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:
mx 2  2  m  1 x  m  2  0 1 và  m  2  x 2  3 x  m 2  15  0  2  .
A. m  5.

B. m  5; m  4.

C. m  4.

D. m  5.

Tài liệu khóa học TỐN 10 (PT và Hệ PT)

01. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNHhầy

Câu 1 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x  1.

B. x  1.

2x
3
5  2

là:
x 1
x 1
C. x  1.
2

D. x  .


HD: ĐKXĐ: x 2  1  0  x  . Chọn D.
Câu 2 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình x  1  x  2  x  3 là
A. x  3.
B. x  2.
C. x  1.
D. x  3.
x 1  0
x  1


HD: ĐKXĐ:  x  2  0   x  2  x  3. Chọn D.
x  3  0
x  3


Câu 3 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x  2.

B. x  7.
x


2

0

x  2
HD: ĐKXĐ: 

. Chọn D.
7  x  0
x  7
Câu 4 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x  0.
C. x  0 và x 2  1  0.

x2  5
 0 là
7x
C. 2  x  7.
x2 

D. 2  x  7.

1
 x 2  1  0 là
x
B. x  0.
D. x  0 và x 2  1  0.

x  0
x  0


HD: ĐKXĐ:  2
   x  1  x  1. Chọn C.
x 1  0
  x  1

Câu 5 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x  2.
B. x  2.
HD: ĐKXĐ: x  2  0  x  2. Chọn D.
Câu 6 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x  3 và x  2.
C. x  3 và x  2.
x  3  0
 x  3
HD: ĐKXĐ:  2

. Chọn A.
 x  2
x  4  0
Câu 7 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x  2 hoặc x  2.
C. x  2 hoặc x  2.

x2
8

là
x2
x2

C. x  2.

1
 x  3 là
x 4
B. x  2.
D. x  3.
2

1
là
x2
B. x  2 hoặc x  2.
D. x  2 hoặc x  2.
x2  4 

x  2
x  2  0
x  2

HD: ĐKXĐ:  2
  x  2  
. Chọn D.
 x  2
x  4  0
  x  2

Câu 8 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
A. x   \ 0;  2 .

C. x    2;5 \ 0;  2 .

x2
3
là

x  2x
5 x
B. x    2;5  \ 0 .
2

D. x    ;5  \ 0;  2 .

D. x  2.


x  2  0
x   2
 2  x  5
 2

. Chọn B.
HD: Điều kiện:  x  2 x  0   x  0; x   2  
x  0
5  x  0
x  5



Câu 9 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình

A. x    4;    .

B. x    4;3 \  1 .

x4
2
là

2
x 1
3 x
C. x    ;3 .

D. x   \  1 .

x  4  0
x   4
 4  x  3
 2

. Chọn B.
HD: Điều kiện:  x  1  0   x  1; x  1  
 x  1; x  1
3  x  0
x  3



A. D   2;    .

x2 1 3
 x  2 là
x 1
B. D   0;    \ 1 .

C. D   0;    .

D. D   0;    \ 1; 2 .

Câu 10 [ĐVH]: Tập xác định của phương trình

x

x  0
x  0
HD: Điều kiện: 

 D   0;    \ 1 . Chọn B.
x 1  0
x  1
1
3  2x
là

x
2x  4
3
B. x  2, x  0 và x  .
2

Câu 11 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình x 
A. x  2 và x  0.
3
C. x  2 và x  .
2

D. x  2 và x  0.

 x  2
2 x  4  0

3


HD: ĐKXĐ: 3  2 x  0   x  . Chọn B.
2
x  0


 x  0

Câu 12 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình
1
A. x   .
2
1
C. x   và x  0.
2

2x 1

 0 là
x  3x
1
B. x   và x  3.
2
2

D. x  3 và x  0.

1

x   2
1

2 x  1  0

x  
HD: ĐKXĐ:  2
 x  0  
2 . Chọn C.
x

3
x

0

 x  3
 x  0



1
x 1

.
x 1
x
A. x  0.
B. x  1.
C. x  1.
D. x  0 và x  1.
x 1  0
 1
0


HD: Phương trình xác định khi:  x  1
  x  1  x  1. Chọn B.
 x  1  0; x  0
x  0


Câu 13 [ĐVH]: Tìm điều kiện xác định của phương trình


Câu 14 [ĐVH]: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
x 2  3x  2
x2  7 x  6
2x 1
 0.

 0.
 1.
A.
B. 2 x  3  6.
C.
D.
x
x4
1 x
x  4
x  4  0
x 2  3x  2

HD: Xét phương trình:
0 2
   x  1 (vô nghiệm)
x4
 x  3x  2  0
 x  2

2 x  3  0
39
Xét phương trình: 2 x  3  6  
 x  . Chọn B.
2
2
2 x  3  6
Câu 15 [ĐVH]: Cho hai phương trình x  1 1 và x 2  3 x  2  0  2  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. (1) là hệ quả của (2).
B. (2) là hệ quả của (1).

C. 1   2 
D. x  1 là nghiệm chung của hai phương trình.
HD: Xét phương trình: x  1  x 2  1  x   1

x  1
Xét phương trình: x 2  3 x  2  0  
x  2
Vậy cả hai phương trình đều có nghiệm chung: x  1. Chọn D.
Câu 16 [ĐVH]: Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng dạng phương trình.
B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm.
D. Tất cả đều đúng.
HD: Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm. Chọn C.
Câu 17 [ĐVH]: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2  4  0 ?
A.  2  x    x 2  2 x  1  0.
B.  x  2   x 2  3 x  2   0.
C. x 2  3  1.
D. x 2  4 x  4  0.
HD: Phương trình x 2  4  0 có tập nghiệm: S  2; 2 .
Xét từng đáp án:

 x  2
Đáp án A:  2  x    x 2  2 x  1  0  
(loại).
x  1 2
 x  1
Đáp án B:  x  2   x 2  3 x  2   0  
(loại).
 x  2

Đáp án C: x 2  3  1  x  2 (nhận).
Đáp án D: x 2  4 x  4  0  x  2. (loại). Chọn C.
Câu 18 [ĐVH]: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2  3 x  0 ?
1
1
 3x 
.
A. x 2  x  2  3 x  x  2.
B. x 2 
x 3
x 3
C. x 2 x  3  3 x x  3.
D. x 2  x 2  1  3 x  x 2  1.
HD: Phương trình x 2  3 x  0 có tập nghiệm: S  0;3 .
Xét từng đáp án:

x  2
Đáp án A: x 2  x  2  3 x  x  2   2
 x  3 (loại).
x

3
x



x  3  0
1
1
 3x 

 2
 x  0 (loại).
x 3
x 3
 x  3x
 x  3
Đáp án C: x 2 x  3  3 x x  3  
 x  3 (loại).
 x( x  3) x  3  0
x  0
Đáp án D: x 2  x 2  1  3 x  x 2  1  x 2  3 x  
x  3
Chọn D.
Đáp án B: x 2 

Câu 19 [ĐVH]: Phương trình nào sau đây khơng tương đương với phương trình x 
A. x 2  x  1.

B. 2 x  1  2 x  1  0.

C. x x  5  0.

D. 7  6 x  1  18.

1
 1?
x

1
 1 vơ nghiệm.

x
Dễ thấy đáp án C đúng vì: x x  5  0  x  5. Chọn C.

HD: Phương trình x 

Câu 20 [ĐVH]: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 3 x  x  2  x 2  3 x  x 2  x  2.
C. 3 x  x  2  x 2  x  2  3 x  x 2 .

x  1  3x  x  1  9 x 2 .
2x  3
2
 x  1  2 x  3   x  1 .
D.
x 1
B.

HD: Chọn A (đây là thao tác chuyển vế).
B sai vì chưa đặt điều kiện cho vế phải khơng âm.
C, D sai vì chưa đặt điều kiện cho biểu thức dưới căn.
Câu 21 [ĐVH]: Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

B. x 2  1  0 

x  1  2 1  x  x  1  0.

C. x  2  x  1   x  2    x  1 .
2

2

x 1
 0.
x 1

D. x 2  1  x  1.

HD: Chọn D.
Câu 22 [ĐVH]: Chọn cặp phương trình khơng tương đương trong các cặp phương trình sau:
2
A. x  1  x 2  2 x và x  2   x  1 .
B. 3 x x  1  8 3  x và 6 x x  1  16 3  x .
C. x 3  2 x  x 2  x 2  x và x 3  2 x  x.
D. x  2  2 x và x  2  4 x 2 .
HD: Chọn D vì chưa đặt điều kiện cho vế phải không âm.
Câu 23 [ĐVH]: Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

x  2  1  x  2  1.

C. 3 x  2  x  3  8 x 2  4 x  5  0.

x  x  1
 1  x  1.
x 1
D. x  3  9  2 x  3 x  12  0.

B.

HD: Ta có: x  2  1  x  2  1
x  x  1
2
2
 1  x  1 (đúng), 3 x  2  x  3   3 x  2    x  3  8 x 2  4 x  5  0 (đúng)
x 1
x  3  9  2 x  x  3  9  2 x  3 x  12  3 x  12  0 (đúng).
Đáp án sai là A. Chọn A.


Câu 24 [ĐVH]: Cho phương trình 2 x 2  x  0. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào
khơng phải là hệ quả của phương trình đã cho?
x
 0.
A. 2 x 
B. 4 x3  x  0.
1 x
C.  2 x 2  x    x  5   0.
2

2

D. 2 x3  x 2  x  0.

x  0
HD: Ta có: 2 x  x  0  x  2 x  1  0  
.
x  1

2

2

x  0
x  1
x
2x  2x2  x
Phương trình 2 x 
0
0

.
2
x  1
1 x
1 x
x

2
x

0


2
x  0
3
2
Phương trình 4 x  x  0  x  4 x  1  0  
x   1


2
2
2
2 x  x  0
2
Phương trình  2 x 2  x    x  5   0  
(vơ nghiệm) suy ra phương trình
x  5  0

 2x

2

 x    x  5   0 khơng tương đương với phương trình đã cho. Chọn C.
2

2

Câu 25 [ĐVH]: Cho hai phương trình: x  x  2   3  x  2  1 và

x  x  2
 3  2  . Khẳng định nào
x2

sau đây là đúng?
A. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2).
B. Phương trình (1) và (2) là hai phương trình tương đương.
C. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (1).
D. Cả A, B, C đều sai.
x  x  2

 3  x  x  2   3  x  2  nên phương trình (1) là phương trình hệ quả của
HD: Ta có:
x2
phương trình (2). Chọn A.
Câu 26 [ĐVH]: Tập nghiệm của phương trình
A. S  0.
B. S  .

x 2  2 x  2 x  x 2 là
C. S  0;2.

D. S  2.

x  0
HD: Phương trình  x 2  2 x  2 x  x 2  0  
. Chọn C.
x  2
Câu 27 [ĐVH]: Phương trình x  x 2  1 x  1  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
HD : Điều kiện x  1

B. 1.

C. 2.

D. 3.

x  0
x  1  0   x  1
 x  1

Khi đó phương trình  x  x  1 x  1

Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x  1. Chọn B.
Câu 28 [ĐVH]: Phương trình
A. 0.

B. 1.

 x  3  5  3 x   2 x 
2

3 x  5  4 có bao nhiêu nghiệm?

C. 2.
 x  3
x  3
 x  32  5  3 x   0

HD : Điều kiện 
  5  3 x  0  
x  5
3 x  5  0
3 x  5  0
3



D. 3.

Thay x  3 vào phương trình đầu ta được 0  6  5 (vơ lí)
5
10
 4 (vơ lí)
Thay x  vào phương trình đầu ta được
3
3
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm. Chọn A.
Câu 29 [ĐVH]: Phương trình x3  4 x 2  5 x  2  x  2  x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
3
2
 x  2   x  2 x  1  0
 x  2  x  12  0
 x  4 x  5x  2  0
HD : Điều kiện 


2  x  0
2  x  0
2  x  0
x  2

 x  1
Với x  2  0  2  0 (vô lý)

Với x  1  0  1  3 (vô lý)
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm. Chọn A.
Câu 30 [ĐVH]: Phương trình  x 2  6 x  17  x 2  x 2  6 x có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 2.
B. 1.
2
HD: ĐK: 17  x  0   17  x  17.

C. 4.

D. 3.

x  0
2

x

6
x

0
  x  6
 x 2  6 x  17  x 2  x 2  6 x   x 2  6 x  ( 17  x 2  1)  0  
2
 17  x  1  0
 x  4
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là: S  0; 4 . Chọn D.
Câu 31 [ĐVH]: Tìm tập nghiệm S của phương trình
A. S  2 .

B. S  2;3 .

x 2  3x . 4  x 2
 0.
x  x  2

C. S  3 .

D. S  .

x  3  x  0
 x 2  3x  0
2  x  2


2
HD: ĐKXĐ: 4  x  0  
 2  x  0.
 x( x  2)  0
 x  2

 x  0
Phương trình đã cho tương đương với:
x  0
 x 2  3x  0
x  3x . 4  x  0  
  x  3 (loai )
2
 4  x  0
 x  2

2

2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  . Chọn D.
Câu 32 [ĐVH]: Phương trình x 
A. 0.
HD : Điều kiện x  1

B. 1.

1
2x 1

có bao nhiêu nghiệm?
x 1 x 1
C. 2.

D. 3.

x  1
x2  x  1 2x 1

 x 2  x  1  2 x  1  x 2  3x  2  0  
x 1
x 1
x  2
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x  2. Chọn C.
Khi đó phương trình 

Câu 33 [ĐVH]: Phương trình  x 2  3 x  2  x  3  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.


x  1
HD : Điều kiện x  3 khi đó phương trình   x  1 x  2  x  3  0   x  2
 x  3
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm duy nhất là x  3. Chọn B.
Câu 34 [ĐVH]: Phương trình  x 2  x  2  x  1  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
HD : Điều kiện x  1

B. 1.

C. 2.

D. 3.

 x  1
Khi đó phương trình   x  1 x  2  x  1  0  
x  2
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có 2 nghiệm x  1, x  2. Chọn C.
Câu 35 [ĐVH]: Điều kiện xác định của phương trình x  x  2  3  x  2 là
A. x  2.

B. x  3.
C. x  2.
D. x  3.
HD: Phương trình xác định khi x  2  0  x  2. Chọn C.
Câu 36 [ĐVH]: Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình x 2  3 x  0.
A. x 2  2 x  1  3 x  2 x  1.
B. x 2 x  3  3 x x  3.
1
1
C. x 2  3 x  3  3 x  3 x  3.
D. x 2  x   2  .
x
x
x

0

HD: Phương trình x 2  3 x  0  
x  3
Dựa vào điều kiện xác định suy ra các phương trình x 2  2 x  1  3 x  2 x  1 và
1
1
x 2 x  3  3 x x  3 , x 2  x   2  khơng nhận x  0 là nghiệm
x
x
2
3
3
Phương trình x  x  3  3 x  x  3  x 2  3 x. Chọn C.
Câu 37 [ĐVH]: Phương trình 4 x 

A. 2.
HD : Điều kiện x  3

B. 1.

3
3
  x2 
có bao nhiêu nghiệm?
x3
x3
C. 3.
D. 0.

x  0
Khi đó phương trình  4 x   x 2  
 x  4
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm duy nhất là x  0. Chọn B.
Câu 38 [ĐVH]: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
A. 1  x 2  x  1  x 2  2  x  2.

B.

C. x 2  1  x  1.

D.  x  2   0  x  2.

x   x  x  0.
2

HD : Phương trình 1  x 2  x  1  x 2  2 có điều kiện là 1  x 2  0  x 2  1
Do đó 1  x 2  x  1  x 2  2  x  2 là sai. Chọn A.
Câu 39 [ĐVH]: Cho phương trình f  x   g  x  xác định với mọi x  0. Trong các phương trình
dưới đây, phương trình nào khơng tương đương với phương trình đã cho?
A. k . f  x   k .g  x  , với mọi số thực k  0.
B.  x 2  1 . f  x    x 2  1 .g  x  .
C.

x 2  2 x  3. f  x   x 2  2 x  3.g  x  .

D.

f  x
x



g  x
x

.


f  x



g  x

có điều kiện xác định là  x  0  x  0

x
x
Phương trình f  x   g  x  xác định với mọi x  0 nên phương trình đã cho khơng tương đương với
HD : Phương trình

phương trình

f  x
x



g  x
x

. Chọn D.

Câu 40 [ĐVH]: Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình x 2  1?
A. x  1.
B. x 2  3 x  4  0.
C. x 2  3 x  4  0.
HD: Ta có: x  1  x  1  x 2  1. Chọn A.

D. x 2  x  1  x .

Câu 41 [ĐVH]: Trong các cặp phương trình sau, cặp phương trình nào tương đương với nhau?
A. x  2 và x  2  0.
B. x  2  1 và x  2  1.
C. x 2  3 x  2  0 và x 2  3 x  2  0.

D. 2 x  1  0 và

 x  2  2 x  1  0.
x 1

HD: Ta có :

x  2
 Xét đáp án A: x  2  
không tương đương với: x  2  0
x   2
x  3
x  3
 Xét đáp án B: ta có x  2  1  
không tương đương với: x  2  1  
x  1
x  3
( x  2)(2 x  1)
1
1
0 x .
 Xét đáp án D: ta có 2 x  1  0  x  tương đương với:
2
2
x 1
Chọn D.
Câu 42 [ĐVH]: Cho phương trình x 2  2mx  m  2  0 với tham số m. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm (nếu
có) của phương trình. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Khi m  3 thì x1  x2  4 2.
B. Khi m  2 thì x1  x2  4.

C. Khi m  1 thì x1  x2  2 2.

D. Tồn tại giá trị của m để x1  x2 .

HD: Ta có

x  3  2 2
 Với m  3, ta được x 2  6 x  1  0  
 x1  x2  4 2.
 x  3  2 2
x  0
 Với m  2, ta được x 2  4 x  0  
 x1  x2  4.
x  4
x  1 2
 Với m  1, ta được x 2  2 x  1  0  
 x1  x2  2 2.
x

1

2

2
 Để x1  x2 thì   0  m  m  2  0 (vơ nghiệm). Chọn D.
Câu 43 [ĐVH]: Phương trình nào sau đây là phương trình hệ quả của phương trình
A.  5 x  6  x  4   x 2  4  x  .
C. x 2  6 x  8  0.
HD: Ta có

2x  4  x2  4

?
2 x
x2

B.  x  2   0.
2

D.  x  2  2 x  4    x  2    x 2  4  .

2  x  0
x  2
2x  4  x2  4
2x  4 x2  4





. Chọn D.
 2
2
2 x
x2
2 x
2 x
2 x  4  x  4
x  2x  8  0

Câu 44 [ĐVH]: Phương trình x 2  3 x tương đương với phương trình nào sau đây?


1
1
 3x 
.
x 3
x 3
C. 2 x 2  x  1  6 x  x  1.
D. x 2 . x  3  3 x. x  3.
x 1  0
 x  1
HD: Ta có 2 x 2  x  1  6 x  x  1   2
 2
 x 2  3 x  0. Chọn C.
2 x  6 x
 x  3x  0

B. x 2 

A. x 2  x  2  3 x  x  2.

Câu 45 [ĐVH]: Cho phương trình

x  1  x  1 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Phương trình 1 có tập xác định là 1;   .
B. Phương trình 1 tương đương với phương trình x  1   x  1 .
2

C. Tập xác định của phương trình 1 chứa đoạn  1;1.
D. Phương trình 1 vơ nghiệm.
HD: Phương trình xác định khi: x  1  0  x  1.
x 1  0
x  1
Phương trình  

 x  3. Chọn C.
 2
2
 x  1  ( x  1)
 x  3x  0
Câu 46 [ĐVH]: Cho phương trình f  x   0 có tập nghiệm S1  m;2m  1 và phương trình

g  x   0 có tập nghiệm S 2  1;2. Tìm tất cả giá trị m để phương trình g  x   0 là phương trình hệ
quả của phương trình f  x   0.
3
3
A. 1  m  .
B. 1  m  2.
C. m .
D. 1  m  .
2
2
HD: Để phương trình g  x   0 là phương trình hệ quả của phương trình f  x   0 thì S 2  S1 do đó:
1  m  2
1  m  2
3




3  1  m  . Chọn D.
2
1  2m  1  2
1  m  2

Câu 47 [ĐVH]: Phương trình f  x   g  x  tương đương với phương trình nào trong các phương
trình sau?
A. f  x   g  x  .

B. f  x   g  x  .

C. f  x    g  x  .

D. f  x   g  x   0.

2

2

2

2

HD: Hai vế phương trình ban đầu khơng âm nên khi bình phương hai vế, ta sẽ được phương trình mới
tương đương với phương trình ban đầu. Chọn B.
Câu 48 [ĐVH]: Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:
2 x 2  mx  2  0 1 và 2 x3   m  4  x 2  2  m  1 x  4  0  2  .
A. m  2.

B. m  3.

1
C. m  .
2

 x  2
HD: Ta có (2)  ( x  2)(2 x 2  mx  2)  0   2
 2 x  mx  2  0
Do hai phương trình tương đương nên x  2 cũng là nghiệm của (1).
Thay x  2 vào (1), ta được: 2.(2) 2  m.(2)  2  0  m  3.
Với m  3, ta có:
 x  2
2
(1) trở thành: 2 x  3 x  2  0  
.
x  1

2

D. m  2.


 x  2
(2) trở thành: 2 x  7 x  4 x  4  0  ( x  2) (2 x  1)  0  
.
x  1

2

Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m  3 thỏa mãn. Chọn B.
3

2

2

Câu 49 [ĐVH]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:
mx 2  2  m  1 x  m  2  0 1 và  m  2  x 2  3 x  m 2  15  0  2  .
A. m  5.

B. m  5; m  4.

C. m  4.
2  m  1
m
m2

 2
HD: Hai phương trình trên tương đương khi
 *
m2
3
m  15
m  4
2
2
 3m  2  m  1 m  2   2m  6m  4  3m  2m  9m  4  0  
m  1


2
Thử lại điều kiện (*) suy ra m  4 . Chọn C.

D. m  5.