02 phương trình bậc nhất đặng việt hùng image marked

Tài liệu khóa học TỐN 10 (PT và Hệ PT)

02. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Ví dụ 1 [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình:
a) m  x  m   x  m  2
b)  m 2  2  x  2m  x  3
Lời giải:
a) m  x  m   x  m  2  mx  x  m 2  x  2   m  1 x   m  1 m  2  . Biện luận:
Nếu m  1 thì phương trình: 0 x  0 nên có nghiệm với mọi x.
Nếu m  1 thì phương trình có nghiệm duy nhất: x  m  2 .
Vậy m  1: S  R; m  1: S  m  2 .
b)  m 2  2  x  2m  x  3   m 2  1 x  2m  3.
Vì m 2  1  0, m nên phương trình ln có nghiệm duy nhất x 

2m  3
.
m2  1

Ví dụ 2 [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình
a) m  x  m  3  m  x  2   6
b) m 2  x  1  m  x  3m  2 
Lời giải:
a) m  x  m  3  m  x  2   6  mx  m 2  3m  mx  2m  6  0.x  m 2  5m  6

 0.x   m  2  m  3 .
Với m  2 và m  3, phương trình vơ nghiệm
Với m  2 hoặc m  3, phương trình nghiệm đúng với mọi x.
b) m 2  x  1  m  x  3m  2   m 2 x  m 2  m  3mx  2 x   m 2  3m  2  x  m 2  m

  m  1 m  2  x  m  m  1 . Biện luận:

Với m  1 và m  2, phương trình có nghiệm x 

m
.
m2

Với m  1, phương trình nghiệm đúng với mọi x.
Với m  2, phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 3 [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) m 2  x  1  1   2  m  x
b)

 m  2  x  3  2m  1
x 1


Lời giải:
a) m  x  1  1   2  m  x  m x  m  1  2 x  mx
2

2

2

  m 2  m  2  x  1  m 2   m  1 m  2  x    m  1 m  1 . Biện luận:

Nếu m  1 và m  2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x  

m 1
m2

Nếu m  1 thì mọi x đều là nghiệm của phương trình.
Nếu m  2 thì phương trình vơ nghiệm.
b) Với điều kiện x  1 thì phương trình

 m  2  x  3  2m  1
x 1

  m  2  x  3   2m  1 x  1   m  1 x  4  2m

(1)

Với m  1 phương trình (1) vơ nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
4  2m
Với m  1 phương trình (1) có nghiệm x 
. Nghiệm này thỏa mãn điều kiện x  1 khi và
m 1
chỉ khi:
4  2m
 1  2m  4  m  1  m  5.
m 1
Vậy, khi m  1 hoặc m  5 phương trình vơ nghiệm.
4  2m
Khi m  1 và m  5 phương trình có nghiệm là x 
.
m 1
Ví dụ 4 [ĐVH]. Giải và biện luận theo tham số m các phương trình:
a) m  m  6  x  m  8 x  m 2  2
b) 3m  x  1  9m 2 x
Lời giải:

a) Phương trình tương đương:

m  m  6  x  m  8 x  m 2  2   m 2  6m  8  x  m 2  m  2   m  2  m  4  x   m  1 m  2  .

Biện luận:
Với m  2 và m m  4 , phương trình có nghiệm x 

m 1
.
m4

Với m  2, mọi x đều là nghiệm của phương trình.
Với m  4, phương trình vơ nghiệm.
b) Ta có: 3m  x  1  9m 2 x  9m 2 x  x  1  3m   9m 2  1 x  1  3m   3m  1 3m  1 x  1  3m
Nếu m  

1
1
thì phương trình có nghiệm duy nhất x 
.
3
3m  1

1
thì phương trình 0 x  0 : có nghiệm x tùy ý.
3
1
Nếu m   thì phương trình 0 x  2 : vô nghiệm.
3
1

1
1
1 

Vậy: m   : S  ; n  : S  R; m   : S  
.
3
3
3
 3m  1 

Nếu m 

Ví dụ 5 [ĐVH]. Tìm điều kiện để phương trình sau có tập nghiệm R
a)  m3  2m 2  m  2  x  m 2  3m  2


b)  a  2b  1 x  a  b  2
Lời giải:

a) Phương trình  m3  2m 2  m  2  x  m 2  3m  2 có tập nghiệm R khi:
3
2
 m  1  m 2  m  2   0
m  1
m  2m  m  2  0
 m  1 m  1 m  2   0




.
 2
m  2
 m  1 m  2   0
m  3m  2  0
 m  1 m  2   0

b) Phương trình  a  2b  1 x  a  b  2 có tập nghiệm R khi:

a  2b  1  0
a  2b  1
a  1
.



a  b  2  0
a  b  2
b  1
Ví dụ 6 [ĐVH]. Tìm điều kiện để phương trình

a)  m 2  m  4  x  2 x  m  3 nhận mọi x   0;1 làm nghiệm.
b) a 2 x  a  x  b   b có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.
Lời giải:

a) Phương trình tương đương   m  m  6  x  3  m .
2

Vì phương trình nhận mọi x   0;1 làm nghiệm nên phương trình có tập là R, do đó

m 2  m  6  0
 m  3.

3

m

0


b) a 2 x  a  x  b   b   a 2  a  x  ab  b  a  a  1 x  b  a  1
Điều kiện phương trình có ít nhất 2 nghiệm phân biệt là phương trình có vơ số nghiệm

a  a  1  0
a  1
Tức là 
.

a  b  0
b  a  1  0
Ví dụ 7 [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) (m 2  2) x  2m  x  3.
b) m( x  m)  x  m  2.
Lời giải:
a) (m 2  2) x  2m  x  3  x(m 2  2  1)  2m  3  (m 2  1).x  2m  3  x 
Vậy phương trình có 1 nghiệm là x 

2m  3
m2  1

2m  3
m2  1

b) m( x  m)  x  m  2  x(m  1)  m 2  m  2  (m  1) x  (m  1)(m  2)
TH1: Nếu m  1 thì (1) : 0  0  PT đã cho có vơ số nghiệm thỏa mãn
TH2: Nếu m  1 thì (1) : x  m  2
Vậy:
+) nếu m  1 thì PT đã cho có vơ số nghiệm thỏa mãn
+) nếu m  1 thì PT đã cho có 1 nghiệm là x  m  2
Ví dụ 8 [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) m( x  m  3)  m( x  2)  6.

(1)


b) m 2 ( x  1)  m  x(3m  2).
Lời giải:

m  2
a) m( x  m  3)  m( x  2)  6  mx  m  3m  mx  2m  6  m  5m  6  0  

m  3
2

2

Do đó,
+) nếu m  2 hoặc m  3 thì PT đã cho có vơ số nghiệm
m  2


+) nếu 
thì PT đã cho vơ nghiệm!
m  3
b) m 2 ( x  1)  m  x(3m  2).

 m 2 x  m 2  m  (3m  2) x  (m 2  3m  2).x  m(m  1)  (m  2)(m  1).x  m(m  1) (1)
TH1: Nếu m  1 thì (1) trở thành : 0  0 ; do đó, PT đã cho có vơ số nghiệm
TH2: Nếu m  2 thì (1) trở thành : 0  2 vơ lí! do đó, PT đã cho vơ nghiệm!
m  1
m

TH3: Nếu 
thì (1) trở thành x 
m2
m  2
Vậy
+) nếu m  1 thì PT đã cho có vơ số nghiệm
+) nếu m  2 thì PT đã cho vơ nghiệm!
m  1
m

+) nếu 
thì PT đã cho có 1 nghiệm là x 
m2
m  2
Ví dụ 9 [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) (m 2  m) x  2 x  m 2  1.
b) (m  1) 2 x  (2m  5) x  2  m.
Lời giải:
2

2

2

a) (m  m) x  2 x  m  1  (m  m  2).x  m 2  1  (m  1)(m  2).x  (m  1)(m  1) (1)
TH1: Nếu m  1 thì (1) trở thành : 0  0 ; do đó, PT đã cho có vơ số nghiệm
TH2: Nếu m  2 thì (1) trở thành : 0  3 ; do đó, PT đã cho vơ nghiệm!
m  1
m 1

TH3: Nếu 
thì (1) trở thành x 
m2
m  2
Vậy
+) nếu m  1 thì PT đã cho có vơ số nghiệm
+) nếu m  2 thì PT đã cho vơ nghiệm!
m  1
m 1

+) nếu 
thì PT đã cho có 1 nghiệm là x 
m2
m  2
b) (m  1) 2 x  (2m  5) x  2  m  (m 2  2m  1  2m  5).x  m  2  (m 2  4).x  m  2 (2)
TH1: Nếu m  2 thì (2) trở thành : 0  0 ; do đó, PT đã cho có vơ số nghiệm
TH2: Nếu m  2 thì (2) trở thành : 0  4 vơ lí!; do đó, PT đã cho vơ nghiệm!

m  2
1

TH3: Nếu 
thì (2) trở thành : x 
m2
m  2
Vậy
+) nếu m  2 thì PT đã cho có vơ số nghiệm
+ nếu m  2 thì PT đã cho vơ nghiệm!
m  2
1

+) nếu 
thì PT đã cho có 1 nghiệm là x 
m2
m  2
Ví dụ 10 [ĐVH]. Tìm giá trị của m, n để các phương trình sau có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm,
nghiệm đúng với mọi x thuộc R?
a) (m  2) x  n  1.
b) (m 2  2m  3) x  m  1.
Lời giải:
a) (m  2) x  n  1.
Để PT có nghiệm duy nhất thì m  2  0 hay m  2 .
m  2  0 m  2


Để PT vô nghiệm thì 
.


n  1  0
n  1
m  2  0 m  2


Để PT có nghiệm đúng với mọi x thuộc R thì 
.

n  1  0
n  1
b) (m 2  2m  3) x  m  1   m  1 m  3 x  m  1.
Xét  m  1 m  3  0
+) Nếu m  1  0.x  0 (Ln đúng) nên PT có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.
+) Nếu m  3  0.x  4 (vơ lí) nên PT vơ nghiệm)
m  1
1

Khi  m  1 m  3  0 hay 
thì PT có nghiệm duy nhất x 
.
m

3
m  3
Ví dụ 11 [ĐVH]. Tìm giá trị của m, n để các phương trình sau có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm,
nghiệm đúng với mọi x thuộc R?
a) (mx  2)( x  1)  (mx  m 2 ) x.
b) (m 2  m) x  2 x  m 2  1.

Lời giải:





a) (mx  2)( x  1)  (mx  m ) x  mx   m  2  x  2  mx 2  m 2 x  x m 2  m  2  2 .
2

2

1 7
2
suy ra nghiệm x  2
.
2
m m2
Do 2  0 nên không tồn tại m để PT có nghiệm với mọi x thuộc R.

Để PT có nghiệm duy nhất thì m 2  m  2  0 hay m 

Cịn để PT vơ nghiệm thì m 2  m  2  0 hay m 





1 7
.
2

b) (m 2  m) x  2 x  m 2  1  m 2  m  2 x  m 2  1   m  1 m  2  x   m  1 m  1
m  1
m 1

PT có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi  m  1 m  2   0  
, khi đó nghiệm là x 
.
m2
m  2
 m  1 m  2   0

PT vô nghiệm  
 m2.
 m  1 m  1  0

 m  1 m  2   0

PT có vơ số nghiệm  
 m  1
 m  1 m  1  0


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
x  1 3x  5 2 x 2  3


có nghiệm
x2 x2
4  x2

15
B. x  .
C. x  5.
4

Câu 1 [ĐVH]: Phương trình
A. x  

15
.
4

3x  3
4

 3 có nghiệm
2
x 1 x 1
10
10
B. x  1 hoặc x   . C. x  .
3
3

D. x  5.

Câu 2 [ĐVH]: Phương trình
A. x  1 hoặc x 

10

.
3

D. x  1.

Câu 3 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình  3m 2  4  x  1  m  x có nghiệm duy nhất
A. m  1.

B. m  1.

C. m  1.

D. m  0.

Câu 4 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình  4m  5  x  3 x  6m  3 có nghiệm
A. m  0.

1
B. m   .
2

1
C. m   .
2

D. m  .

2 x  3m x  2

 3 vô nghiệm

x2
x 1
7
4
7
4
A. m  .
B. m  .
C. m  hoặc m  .
D. m  0.
3
3
3
3
Câu 6 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình  4m  5  x  2  x  2m có nghiệm đúng với

Câu 5 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình

mọi x  .
A. m  0.

B. m  2.

C. m  .

D. m  1.


Câu 7 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình  m  2  x  4  4 x  m có nghiệm âm.
2

A. m  0.

B. m  4.

Câu 8 [ĐVH]: Phương trình
A. m  0.
C. m  0; m  3.

C. 0  m  4.

m  0
D. 
.
m  4

m  x 2 x  3 9m  9
có nghiệm âm. Khi đó giá trị m thỏa mãn.


m  3 m  3 m2  9
B. m  0 với m  3; m  9.
D. 3  m  9.

Câu 9 [ĐVH]: Tìm tất cả các giá trị m để phương trình m 2  x  m   x  m có nghiệm với mọi m
A. m  1.
C. m  0 hoặc m  1.

B. m  0 hoặc m  1.
D. m  

Câu 10 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình  m  1 x  4m  x  2m 2 có nghiệm đúng
2

với mọi x  .
A. m  0.

B. m  2.

Câu 11 [ĐVH]: Phương trình
A. m  1 hoặc m  0.
C. m  1 và m  0.

C. m  0 hoặc m  2.

D. m  .

3 x  m  m x  2m

 2 có nghiệm âm. Khi đó giá trị m thỏa mãn.
x
x 1
B. m  1 hoặc m  0.
1  m  0

D. 
1 .
m   2

Câu 12 [ĐVH]: Với điều nào của m thì phương trình  m 2  3 x  2m 2  x  4m vô nghiệm.

A. m  0.

B. m  2 hoặc m  2.

C. m  2.

D. m  4.

Câu 13 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình 2  m 2  1 x  5  3 vô nghiệm ?
A. m  1.

B. m  1; m  2.

C. m  1

D. m  1; m  1.

Câu 14 [ĐVH]: Phương trình  m 2  3m  2  x  m  3  2 có nghiệm đúng với mọi x  . Khi đó giá
trị m thỏa mãn.
A. m  2.

B. m  1.

m  1
C. 
.
m  2

D. Đáp số khác.

Câu 15 [ĐVH]: Phương trình  m 2  3m  2  x  m  3  2 có hai nghiệm. Khi đó giá trị m thỏa mãn
là
A. m  1.

B. m  2.

m  1
C. 
.
m  2

Tài liệu khóa học TỐN 10 (PT và Hệ PT)

02. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Câu 1 [ĐVH]: Phương trình

x  1 3x  5 2 x 2  3


có nghiệm
x2 x2
4  x2

D. Đáp số khác.


15
15
B. x  .

C. x  5.
D. x  5.
.
4
4
HD: Điều kiện x  2
x  1 2  x   3 x  5  x  2  2 x 2  3

PT 


  x  1 2  x    3 x  5  x  2   2 x 2  3
2
 x  2  2  x   2  x  x  2  4  x

A. x  

 2 x 2  4 x  12  2 x 2  3  x 

15
. Chọn B.
4

3x  3
4

 3 có nghiệm
2
x 1 x 1
10

10
B. x  1 hoặc x   . C. x  .
3
3

Câu 2 [ĐVH]: Phương trình
10
.
3
HD: Điều kiện x  1

A. x  1 hoặc x 

D. x  1.

10

x

PT  3 x  3  4  x  1  3  x  1  3 x  7 x  10  0 
3

 x  1
Loại nghiệm x  1 . Chọn C.
2

2

Câu 3 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình  3m 2  4  x  1  m  x có nghiệm duy nhất
A. m  1.

B. m  1.
2
HD : PT   3m  3 x  m  1

C. m  1.

D. m  0.

Để PT có nghiệm duy nhất thì 3m 2  3  0  m  1 . Chọn A.
Câu 4 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình  4m  5  x  3 x  6m  3 có nghiệm
1
B. m   .
2
HD: PT   4m  2  x  6m  3

A. m  0.

1
C. m   .
2

D. m  .

1

m

 4m  2  0

2


Để phương trình vơ nghiệm thì 
6
m

3

0

m   1

2
Do đó khơng tồn tại m để PT vơ nghiệm. Vậy phương trình ln có nghiệm với mọi m   . Chọn D.
2 x  3m x  2

 3 vô nghiệm
x2
x 1
7
4
C. m  hoặc m  .
D. m  0.
3
3

Câu 5 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình

7
4
A. m  .

B. m  .
3
3
HD: Điều kiện 1  x  2
PT   2 x  3m  x  1   x  2  x  2   3  x  2  x  1  x  7  3m   10  3m

1

Để PT đã cho vơ nghiệm thì:
7
3
7

m  3
4
 m  . Chọn C.
TH2: PT(1) có nghiệm nhưng không thỏa điều kiện  
3
10  3m  1; 2
 7  3m

TH1: PT(1) vô nghiệm  7  3m  0  10  3m  m 

Câu 6 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình  4m  5  x  2  x  2m có nghiệm đúng với
mọi x  .


A. m  0.
B. m  2.
HD: PT   m  1 2 x  1  0

C. m  .

D. m  1.

Do đó với m  1 thì có vơ số nghiệm x   . Chọn D.
Câu 7 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình  m  2  x  4  4 x  m có nghiệm âm.
2

A. m  0.

B. m  4.

C. 0  m  4.

HD: PT   m 2  4m  x  4  m

m  0
D. 
.
m  4

Để PT vô nghiệm thì m 2  4m  0  4  m  m  0
Do đó, để PT ln có nghiệm thì m  0 .
Xét m  4  PT có vơ số nghiệm x   , tức là vẫn có nghiệm âm (thỏa)
4m
Xét 0  m  4  PT có nghiệm duy nhất x  2
 m  0  m  0 . Chọn A.
m  4m
Câu 8 [ĐVH]: Phương trình

m  x 2 x  3 9m  9
có nghiệm âm. Khi đó giá trị m thỏa mãn.


m  3 m  3 m2  9
B. m  0 với m  3; m  9.
D. 3  m  9.

A. m  0.
C. m  0; m  3.
HD: Điều kiện m  3
PT   m  x  m  3   2 x  3 m  3  9m  9  x  9  m   9m  m 2  x  9  m   m  9  m 
Để PT vơ nghiệm thì 9  m  0  9m  m 2 (vơ nghiệm). PT đã cho ln có nghiệm.
Với m  9 , PT có vơ số nghiệm, tức là vẫn có nghiệm âm (chọn)
9m  m 2
m0
Với m  9 , PT có duy nhất 1 nghiệm x 
9m
Vậy m  0; m  3 là giá trị cần tìm. Chọn C.

Câu 9 [ĐVH]: Tìm tất cả các giá trị m để phương trình m 2  x  m   x  m có nghiệm với mọi m
A. m  1.
C. m  0 hoặc m  1.
HD: PT  x  m 2  1  m  m3

B. m  0 hoặc m  1.
D. m  

Để PT đã có vơ nghiệm thì m 2  1  0  m  m3 (khơng xảy ra)

Vậy PT đã cho ln có nghiệm với mọi m . Chọn D.
Câu 10 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình  m  1 x  4m  x  2m 2 có nghiệm đúng
2

với mọi x  .
A. m  0.
B. m  2.
2
HD: PT   m  2m  x  2m 2  4m

C. m  0 hoặc m  2.

D. m  .

m  0
Để PT có nghiệm đúng với mọi x   thì  m 2  2m   0  2m 2  4m  
. Chọn C.
m  2

Câu 11 [ĐVH]: Phương trình
A. m  1 hoặc m  0.
C. m  1 và m  0.

3 x  m x  2m

 2 có nghiệm âm. Khi đó giá trị m thỏa mãn.
x
x 1
B. m  1 hoặc m  0.
1  m  0


D. 
1 .
m



2

3 x  m x  2m

 2   m  1 x  m
x
x 1
Với m  1 thì phương trình vơ nghiệm.

HD: PT 


Với m  1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x 

m  0
m
m
x0
. Chọn A.

0
m 1
m 1

 m  1

Câu 12 [ĐVH]: Với điều nào của m thì phương trình  m 2  3 x  2m 2  x  4m vô nghiệm.
A. m  0.
B. m  2 hoặc m  2.
2
HD: PT   m  4  x  2m 2  4m

C. m  2.

D. m  4.

Để PT đã cho vô nghiệm thì m 2  4  0  2m 2  4  m  2 . Chọn C.
Câu 13 [ĐVH]: Với điều kiện nào của m thì phương trình 2  m 2  1 x  5  3 vô nghiệm ?
A. m  1.

B. m  1; m  2.

 m 2  1 x  1
HD: PT  2  m  1 x  5  3  
 m 2  1 x  4

2

C. m  1

D. m  1; m  1.

1
 2

2
m  1  0  1
Để PT đã cho vơ nghiệm thì cả PT(1) và PT(2) đều vơ nghiệm   2
 m  1 .
m  1  0  4
Chọn C.

Câu 14 [ĐVH]: Phương trình  m 2  3m  2  x  m  3  2 có nghiệm đúng với mọi x  . Khi đó giá
trị m thỏa mãn.
A. m  2.

B. m  1.

m  1
C. 
.
m  2

 m 2  3m  2  x  m  3  2
 m 2  3m  2  x  5  m
HD: PT  

 m 2  3m  2  x  m  3  2
 m 2  3m  2  x  1  m



D. Đáp số khác.

1
 2

Để PT đã cho có nghiệm đúng với mọi x   thì hoặc PT(1) có nghiệm đúng với mọi x   hoặc
 m 2  3m  2  5  m  0
x


PT(1) có nghiệm đúng với mọi
 2
 m  1 . Chọn B.
 m  3m  2  1  m  0
Câu 15 [ĐVH]: Phương trình  m 2  3m  2  x  m  3  2 có hai nghiệm. Khi đó giá trị m thỏa mãn
là
A. m  1.

B. m  2.

m  1
C. 
.
m  2

 m 2  3m  2  x  m  3  2
 m 2  3m  2  x  5  m
HD: PT  

 m 2  3m  2  x  m  3  2
 m 2  3m  2  x  1  m




D. Đáp số khác.

1
 2

Để PT có đúng 2 nghiệm thì mỗi PT(1) và PT(2) phải có đúng duy nhất một nghiệm
 m 2  3m  2  0  1  m  2 . Chọn C.