PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ bản và PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT với một hàm số LƯỢNG GIÁC đặng việt đông file word

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Phương trình sinx = sinα
 x = α + k2π
(k ∈ Z)
a) sin x = sinα ⇔ 
 x = π − α + k2π
b)
c)
d)
e)

sin x = a. Ñieà
u kieä
n: − 1 ≤ a ≤ 1.
 x = arcsina + k2π
sin x = a ⇔ 
(k ∈ Z)
 x = π − arcsina + k2π

sinu = − sin v ⇔ sinu = sin(−v)

π

sinu = cosv ⇔ sinu = sin − v÷
2 

 π
sinu = − cosv ⇔ sinu = sin v − ÷

2

Các trường hợp đặc biệt:

sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)

sin x = 1 ⇔ x =
sin x = − 1 ⇔ x = −

π
+ k2π (k ∈ Z)
2

π
+ k2π (k ∈ Z)
2

sin x = ± 1 ⇔ sin2 x= 1 ⇔ cos2 x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ (k ∈ Z)
2

2. Phương trình cosx = cosα
a) cos x = cosα ⇔ x = ± α + k2π (k ∈ Z)
cos x = a. Ñieà
u kieä

n : − 1 ≤ a ≤ 1.
b)
cos x = a ⇔ x = ± arccosa + k2π (k ∈ Z)
c) cosu = − cosv ⇔ cosu = cos(π − v)
π

d) cosu = sin v ⇔ cosu = cos − v÷
2 
π

e) cosu= − sinv ⇔ cosu = cos + v÷
2 
Các trường hợp đặc biệt:
π
cos x = 0 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z)
2
cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z)
cos x = − 1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z)
cos x = ± 1 ⇔ cos2 x = 1 ⇔ sin2 x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)

3. Phương trình tanx = tanα
a) tan x = tanα ⇔ x= α + kπ (k ∈ Z)
Trang 1


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
b)
c)

Lượng giác – ĐS và GT 11

tan x = a ⇔ x = arctana + kπ (k ∈ Z)
tanu = − tanv ⇔ tanu = tan(−v)

π

tanu = cot v ⇔ tanu = tan − v÷
2 
π

e) tanu= − cot v ⇔ tanu = tan + v÷
2 
Các trường hợp đặc biệt:
tan x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
π
tan x = ± 1 ⇔ x = ± + kπ (k ∈ Z)
4
d)

4. Phương trình cotx = cotα
cot x = cotα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)
cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ (k ∈ Z)
Các trường hợp đặc biệt:
π
cot x = 0 ⇔ x = + kπ (k∈ Z)
2
π
cot x = ± 1 ⇔ x = ± + kπ (k ∈ Z)
4
5. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Có dạng at + b = 0 với a, b ∈ ¡ , a ≠ 0 với t là một hàm số lượng giác nào đó
b
Cách giải: at + b = 0 ⇔ t = − đưa về phương trình lượng giác cơ bản
a
6. Một số điều cần chú ý:
a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì
nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
π
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x ≠ + kπ (k ∈ Z).
2
x
≠
k
π (k ∈ Z)
* Phương trình chứa cotx thì điều kiện:
π
* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x ≠ k (k ∈ Z)
2
* Phương trình có mẫu số:
• sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z)
π
• cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ (k ∈Z)
2
π
• tan x ≠ 0 ⇔ x ≠ k (k ∈ Z)
2
π
• cot x ≠ 0 ⇔ x ≠ k
(k ∈ Z)
2

b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra
điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm
3. Giải các phương trình vô định.
c) Sử dụng MTCT để thử lại các đáp án trắc nghiệm
Trang 2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

- HỌC SINH KHÔNG LỆ THUỘC VÀO VIỆC SỬ DỤNG MTCT ĐỂ THỬ LẠI
CÁC ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM.
- HỌC SINH CẦN NẮM ĐƯỢC MẤU CHỐT CỦA VIỆC GIẢI TỰ LUẬN
- CÁC CÂU HỎI HẠN CHẾ MTCT CHẲNG HẠN:
+ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN MỘT ĐOẠN HAY
KHOẢNG
+ SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC.
+ TỔNG CỦA CÁC NGHIỆM TRÊN MỘT ĐOẠN HAY KHOẢNG
+ TỔNG, HIỆU, TÍCH…CỦA CÁ NGHIỆM DƯƠNG HOẶC ÂM
NHỎ NHẤT (LỚN NHẤT)…
PHẦN I: B– BÀI TẬP
Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
 x = y + kπ
( k ∈¢) .
A. sin x = sin y ⇔ 
 x = π − y + kπ
 x = y + k 2π

( k ∈ ¢) .
B. sin x = sin y ⇔ 
x
=
π
−
y
+
k
2
π

 x = y + k 2π
( k ∈ ¢) .
C. sin x = sin y ⇔ 
 x = − y + k 2π

 x = y + kπ
( k ∈ ¢) .
D. sin x = sin y ⇔ 
 x = − y + kπ
Câu 2: Phương trình s inx = sin α có nghiệm là
 x = α + k 2π
;k ∈¢
A. 
 x = π − α + k 2π
 x = α + kπ
;k ∈¢ .
C. 
 x = −α + kπ

Câu 3: Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
A. sin x = 1 ⇔ x =

π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
2

 x = α + kπ
;k ∈¢ .
B. 
 x = π − α + kπ
 x = α + k 2π
;k ∈ ¢ .
D. 
 x = −α + k 2π
B. sin x = 1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢ .

C. sin x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢ .

D. sin x = 1 ⇔ x =

Câu 4: Nghiệm của phương trình sin x = −1 là:
A. x = −

π
+ kπ .
2

B. x = −

π
+ k 2π .
2

Câu 5: Phương trình sin x = 0 có nghiệm là:
Trang 3

C. x = kπ .

π
+ kπ , k ∈ ¢ .
2
D. x =

3π
+ kπ .
2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. x =

π
+ k 2π .
2

B. x = kπ .

Lượng giác – ĐS và GT 11

C. x = k 2π .

D. x =

π
+ kπ .
2

Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
A. sin x = −1 ⇔ x = −

π
+ k 2π .
2

B. sin x = 0 ⇔ x = kπ .

C. sin x = 0 ⇔ x = k 2π .

D. sin x = 1 ⇔ x =

 2x π 
− ÷ = 0 (với k ∈ ¢ ) có nghiệm là
Câu 7: Phương trình sin 
 3 3
2π k 3π
+
A. x = kπ .
B. x =
.

3
2
π
π k 3π
C. x = + kπ .
D. x = +
.
3
2
2
1
Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x = là:
2
A. x =

π
+ k 2π .
3

B. x =

π
+ kπ .
6

C. x = kπ .

π
+ k 2π .
2

D. x =

π
+ k 2π .
6

1
π
π
có nghiệm thỏa mãn − ≤ x ≤ là :
2
2
2
5π
π
π
π
+ k 2π
A. x =
B. x = .
C. x = + k 2π .
D. x = .
6
6
3
3
2
Câu 10: Nghiệm phương trình sin 2 x =
là:

2
π
π


 x = 4 + k 2π
 x = 4 + kπ
( k ∈¢ ) .
( k ∈¢ ) .
A. 
B. 
3
π
3
π
x =
x =
+ k 2π
+ kπ


4
4
π
π


 x = 8 + kπ
 x = 8 + k 2π
( k ∈¢ ) .

( k ∈¢ ) .
C. 
D. 
 x = 3π + kπ
 x = 3π + k 2π


8
8
Câu 11: Nghiệm của phương trình sin ( x + 10° ) = −1 là
A. x = − 100° + k 360° .
B. x = − 80° + k180° .
C. x = 100° + k 360° .
D. x = −100° + k180° .
1
 x +π 
Câu 12: Phương trình sin 
÷ = − có tập nghiệm là
2
 5 
Câu 9: Phương trình sin x =

11π

x
=
+ k10π

6
A. 

(k ∈ ¢ ) .
 x = − 29π + k10π

6

Trang 4

11π

x
=
−
+ k10π

6
B. 
(k ∈ ¢ ) .
 x = 29π + k10π

6


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
11π

 x = − 6 + k10π
C. 
(k ∈ ¢) .
29
π

x = −
+ k10π

6

Lượng giác – ĐS và GT 11

11π

 x = 6 + k10π
D. 
(k ∈ ¢ ) .
29
π
x =
+ k10π

6

Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 2 x =

3
trong khoảng ( 0;3π ) là
2
C. 6 .

B.  2 .
π

sin  x + ÷ = 1

2

Câu 14: Nghiệm phương trình
là
A. 1 .

A. x =

π
+ k 2π .
2

B. x = −

π
+ k 2π .
2

D. 4 .

C. x = kπ .

D. x = k 2π .

Câu 15: Phương trình: 1 + sin 2 x = 0 có nghiệm là:

π
π
+ kπ .
C. x = − + k 2π .

4
4
π

Câu 16: Số nghiệm của phương trình: sin  x + ÷ = 1 với π ≤ x ≤ 5π là
4

A. x = −

π
+ k 2π .
2

B. x = −

A. 1.

B. 0.

D. x = −

C. 2.

π

Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin  4 x − ÷–1 = 0 là:
3

π
π

7π
π
π
+k .
A. x = + k ; x =
B. x = k 2π ; x = + k 2π .
8
2
24
2
2
D. x = π + k 2π ; x = k

C. x = kπ ; x = π + k 2π .

π
+ kπ .
2

D. 3.

π
.
2

3 + 2sin x = 0 có nghiệm là:
π
π
π
2π

+ k 2π .
A. x = + k 2π ∨ x = − + k 2π .
B. x = − + k 2π ∨ x =
3
3
3
3
π
2π
π
4π
+ k 2π .
+ k 2π .
C. x = + k 2π ∨ x =
D. x = − + k 2π ∨ x =
3
3
3
3
Câu 19: Nghiệm của phương trình sin 3 x = sin x là:
π
π
π
A. x = + kπ .
B. x = kπ ; x = + k . C. x = k 2π .
D.
2
4
2
π

x = + kπ ; k = k 2π .
2
1
Câu 20: Phương trình sin 2 x = − có bao nhiêu nghiệm thõa 0 < x < π .
2
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 4 .
π

Câu 21: Số nghiệm của phương trình sin  x + ÷ = 1 với π ≤ x ≤ 3π là :
Câu 18: Phương trình



A. 1 .

B. 0 .

4

C. 2 .

π

Câu 22: Nghiệm của phương trình 2sin  4 x − ÷− 1 = 0 là:
3


Trang 5

D. 3 .


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. x = kπ ; x = π + k 2π .

B. x =

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
π
7π
π
+k ; x=
+k .
8
2
24
2

π
π
+ k 2π .D. x = π + k 2π ; x = k .
2
2
1
 x +π 

Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin 
÷ = − là
2
 5 
11π
11π


+ k10π
+ k10π
x =
x = −
C. x = k 2π ; x =

6
A. 
 x = −29π + k10π

6
11π

 x = − 6 + k10π
C. 
 x = − 29π + k10π

6

6
B. 
 x = 29π + k10π


6
11π

 x = 6 + k10π
D. 
 x = 29π + k10π

6

( k ∈¢ )

( k ∈¢ ) .

(

)

(

( k ∈¢ )

( k ∈¢ )

)

ο
ο
ο
Câu 24: Phương trình 2sin 2 x − 40 = 3 có số nghiệm thuộc −180 ;180 là:

A. 2 .

C. 6 .

B. 4 .

(

D. 7 .

)

π

2
Câu 25: Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau sin  3x − 9x − 16x − 80  = 0 .
4

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 26: Nghiệm của phương trình sin 2 x = 1 là:
A. x = k 2π .

B. x =

π
+ kπ .

2

C. x = π + k 2π .

Câu 27: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x = m có nghiệm:
A. m ≤ 1 .
B. m ≥ −1 .
C. − 1 ≤ m ≤ 1 .
Câu 28: Phương trình 2sin x − m = 0 vô nghiệm khi m là
A. − 2 ≤ m ≤ 2 .
B. m < −1 .
C. m > 1 .
m>2.
Câu 29: Nghiệm của phương trình cos x = 1 là:
A. x = kπ .

B. x =

π
+ k 2π .
2

Câu 30: Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng

π
+ kπ .
2
π
C. cos x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + k 2π .
2

Câu 31: Phương trình: cos 2 x = 1 có nghiệm là:
π
A. x = + k 2π .
B. x = kπ .
2
Câu 32: Nghiệm của phương trình cos x = −1 là:
π
A. x = π + kπ .
B. x = − + k 2π .
2
A. cos x ≠ 1 ⇔ x ≠

Câu 33: Nghiệm phương trình cos x =
Trang 6

1
là:
2

C. x = k 2π .

D. x =

π
+ k 2π .
2

D. m ≤ −1 .
D. m < −2 hoặc

D. x =

π
+ kπ .
2

π
+ kπ .
2
π
D. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + k 2π .
2
B. cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

C. x = k 2π .

D. x =

π
+ kπ .
2

C. x = π + k 2π .

D. x =

3π
+ kπ .
2

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
π


 x = 6 + k 2π
 x = 6 + k 2π
( k ∈¢ ) .
A. 
B. 
 x = 5π + k 2π
 x = − π + k 2π


6
6
π
π


 x = 3 + k 2π
 x = 3 + k 2π
( k ∈¢ ) .
C. 
D. 
 x = 2π + k 2π

 x = − π + k 2π


3
3
Câu 34: Nghiệm của phương trình 2 cos 2 x + 1 = 0 là:

( k ∈¢ ) .

( k ∈¢ ) .

π
π
π
2π
+ k 2π ; x = + k 2π .
+ k 2π .
B. x = − + k 2π ; x =
3
3
6
3
2π
2π
π
π
+ k 2π ; x = −
+ k 2π .
C. x =
D. x = + kπ ; x = − + kπ .

3
3
3
3
π


Câu 35: Phương trình cos  2 x − ÷ = 0 có nghiệm là
2

π kπ
A. x = +
.
B. x = π + kπ .
C. x = kπ .
D. x = k 2π .
2 2
π

Câu 36: Nghiệm phương trình cos  x + ÷ = 1 là:
2

π
π
A. x = + k 2π .
B. x = − + k 2π .
C. x = kπ .
D. x = k 2π .
2
2

Câu 37: Phương trình lượng giác: 2cos x + 2 = 0 có nghiệm là
π
3π
5π
π




+ k 2π
+ k 2π
 x = + k 2π
x =
x =
 x = + k 2π
A. x = −

4
A. 
.
 x = 3π + k 2π

4

4
B. 
.
 x = −3π + k 2π

4

Câu 38: Nghiệm phương trình: cos 2 x =

π

 x = 4 + kπ
B. 
.
 x = − π + kπ

4
π

 x = 8 + k 2π
D. 
.
 x = − π + k 2π

8

Câu 39: Nghiệm của phương trình cos x = −

π
+ k 2π .
3

4
D. 
.
 x = −π + k 2π


4

2
là
2

π

 x = 4 + k 2π
A. 
.
 x = − π + k 2π

4
π

 x = 8 + kπ
C. 
.
 x = − π + kπ

8

A. x = ±

4
C. 
.
 x = −5π + k 2π


4

B. x = ±

Trang 7

1
là:
2

π
+ k 2π .
6

C. x = ±

2π
+ k 2π .
3

D. x = ±

π
+ kπ .
6


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Câu 40: Nghiệm của phương trình cos x +

3
= 0 là:
2

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
π
2π
+ k 2π .
+ k 2π .
C. x = + k 2π .
D. x = ±
3
6
3
π

Câu 41: Số nghiệm của phương trình: 2 cos  x + ÷ = 1 với 0 ≤ x ≤ 2π là
3

A. 0 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 3 .
Câu 42: Phương trình 2cos x − 3 = 0 có họ nghiệm là
π
π
A. x = ± + kπ ( k ∈ ¢ ) .

B. x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
3
3
π
π
C. x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
D. x = ± + kπ ( k ∈ ¢ ) .
6
6
Câu 43: Giải phương trình lượng giác : 2 cos 2 x − 3 = 0 có nghiệm là
π
π
π
π
A. x = ± + k 2π .
B. x = ± + k 2π .
C. x = ± + kπ .
D. x = ± + k 2π .
6
12
12
3
x
Câu 44: Giải phương trình lượng giác: 2 cos + 3 = 0 có nghiệm là
2
5π
5π
5π
5π
+ k 4π .

+ k 4π .
+ k 2π .
+ k 2π .
A. x = ±
B. x = ±
C. x = ±
D. x = ±
6
3
6
3
3
Câu 45: Giải phương trình cos x = cos
.
2
3
3
A. x = ±
B. x = ± arccos
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
2
2
π
π
C. x = ± arccos + k 2π ; k ∈ ¢ .
D. x = ± + k 2π ; k ∈ ¢ .
6
6
x

Câu 46: Nghiệm của phương trình cos = cos 2 (với k ∈ ¢ ) là
3
A. x = ± 2 + kπ .
`
B. x = 3 2 + k 6π .
C. x = ± 2 + k 4π .
D. x = ±3 2 + k 6π .
Câu 47: Nghiệm của phương trình cos 3 x = cos x là:
π
A. x = k 2π .
B. x = k 2π ; x = + k 2π .
2
π
π
C. x = k .
D. x = kπ ; x = + k 2π .
2
2
Câu 48: Phương trình 2 2 cos x + 6 = 0 có các nghiệm là:
5π
π
+ k 2π ( k ∈¢ ) .
A. x = ±
B. x = ± + k 2π ( k ∈¢ ) .
6
6
5π
π
+ k 2π ( k ∈¢ ) .
C. x = ±

D. x = ± + k 2π ( k ∈¢ ) .
3
3
π
Câu 49: Phương trình cos 4 x = cos có nghiệm là
5
A. x =

5π
+ kπ .
6

B. x = −

Trang 8


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π

 x = 20 + k 2π
 ( k ∈ ¢ ) .
B. 
 x = − π + k 2π

20
π

π

 x = 20 + k 2
  ( k ∈ ¢ ) .
D. 
x = − π + k π

20
2

π

 x = 5 + k 2π
 ( k ∈ ¢ ) .
A. 
 x = − π + k 2π

5
π
π

 x= 5 +k 5
  ( k ∈ ¢ ) .
C. 
x = − π + k π

5
5

x

Câu 50: Giải phương trình lượng giác 2 cos  ÷+ 3 = 0 có nghiệm là:
2
5π
5π


 x = 3 + k 2π
 x = 6 + k 2π
( k ∈¢ ) .
( k ∈¢ ) .
A. 
B. 
 x = − 5π + k 2π
 x = − 5π + k 2π


3
6
5π
5π


x
=
+
k
4
π
x
=

+ k 4π


6
3
( k ∈¢ ) .
( k ∈¢ ) .
C. 
D. 
 x = − 5π + k 4π
 x = − 5π + k 4π


6
3
π

Câu 51: Số nghiệm của phương trình 2 cos  x + ÷ = 1 với 0 ≤ x ≤ 2π là
3

A. 3 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 1 .
x π
Câu 52: Số nghiệm của phương trình cos  + ÷ = 0 thuộc khoảng ( π ,8π ) là
2 4
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .

D. 1 .
 π π
π

− ; ÷
2 cos  x − ÷− 2 = 0
Câu 53: Nghiệm của phương trình
trong khoảng  2 2  là
3

 −π −7π 
 7π 
A.  ;
B.   .
.
 12 12 
 12 
2
Câu 54: Phương trình 2 cos x = 1 có nghiệm là
A. x = k

π
.
4

B. x = ±

π
+ kπ .
4

π 
C.   .
12 
C. x = k

π
.
2

 π 7π 
D.  ;  .
12 12 
D. vô nghiệm.

π
Câu 55: Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2cos(x − ) = 1 trên (−π; π)
3
2π
π
4π
7π
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3

Câu 56: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos π(3− 3+ 2x − x2 ) = −1.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
1
2
Câu 57: Giải phương trình cos 2 x = .
4

Trang 9


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
π
π
2π
+ k 2π , x = ± + kπ ; k ∈ ¢ .
+ kπ ; k ∈ ¢ .
B. x = ± + kπ , x = ±
6
3
6
3
π

π
π
π
C. x = ± + kπ , x = ± + kπ ; k ∈ ¢ .
D. x = ± + kπ , x = ± + kπ ; k ∈ ¢ .
6
3
6
2
Câu 58: Phương trình cos x − m = 0 vô nghiệm khi m là:
 m < −1
A. 
.
B. m > 1 .
C. − 1 ≤ m ≤ 1 .
D. m < −1 .
m > 1
A. x = ±

Câu 59: Cho phương trình:
A. m < 1 − 3 .

. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:
B. m > 1 + 3 .

C. 1 − 3 ≤ m ≤ 1 + 3 .
D. − 3 ≤ m ≤ 3 .
Câu 60: Phương trình m cos x + 1 = 0 có nghiệm khi m thỏa điều kiện
 m ≤ −1
A. 

.
B. m ≥ 1.
C. m ≥ −1.
m ≥ 1
Câu 61: Phương trình cos x = m + 1 có nghiệm khi m là
A. − 1 ≤ m ≤ 1 .
B. m ≤ 0 .
C. m ≥ −2 .

m ≤ 1
D. 
 m ≥ −1
D. − 2 ≤ m ≤ 0 .

π
+ kπ là nghiệm của phương trình nào sau đây:
2
A. sin x = 1 .
B. sin x = 0 .
C. cos 2 x = 0 .
D. cos 2 x = − 1 .
Câu 63: Cho phương trình: 3 cos x + m − 1 = 0 . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
Câu 62: Cho x =

A. m < 1 − 3 .

B. m > 1 + 3 .

C. 1 − 3 ≤ m ≤ 1 + 3 .

D. − 3 ≤ m ≤ 3 .

π

Câu 64: Cho phương trình cos  2 x − ÷− m = 2 . Tìm m để phương trình có nghiệm?
3

A. Không tồn tại m.
B. m ∈ [ −1;3] .
C. m ∈[ −3; −1] .
D. mọi giá trị của m.
π
2 x
Câu 65: Để phương trình cos  − ÷ = m có nghiệm, ta chọn
2 4
A. m ≤ 1 .
B. 0 ≤ m ≤ 1 .
C. − 1 ≤ m ≤ 1 .
2π
+ k 2π là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?
Câu 66: Cho biết x = ±
3
A. 2cos x − 1 = 0.
B. 2cos x + 1 = 0.
C. 2sin x + 1 = 0.

D. m ≥ 0 .

D. 2sin x − 3 = 0.

π
+ k 2π là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ?
3
A. 2 cos x − 3 = 0.
B. 2cos x − 1 = 0.
C. 2sin x + 1 = 0.
D. 2sin x − 3 = 0.
Câu 68: Nghiệm của phương trình sin 3 x = cos x là:
π
π
π
π
A. x = + k ; x = + kπ .
B. x = k 2π ; x = + k 2π .
8
2
4
2
π
π
C. x = kπ ; x = + kπ .
D. x = kπ ; x = k .
4
2
Câu 67: Cho biết x = ±

Trang 10


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 69: Nghiệm của phương trình cos x + sin x = 0 là:

π
+ kπ .
4
Câu 70: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4 x + cos5 x = 0 theo thứ tự
A. x = −

là:

π
+ kπ .
4

B. x =

π
+ kπ .
6

π
π
; x= .
18
2
π
π

C. x = − ; x = .
18
6

C. x = kπ .

D. x =

π
2π
; x=
.
18
9
π
π
D. x = − ; x = .
18
3

A. x = −

B. x = −

π
π
Câu 71: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5x + ) = cos(2x − ) trên [0; π]
3
3
7π

4π
47π
47π
A.
B.
C.
D.
18
18
8
18

x
o
Câu 72: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos  + 15 ÷ = sin x . Khi đó
2

o
o
A. 290 ∈ X .
B. 250 ∈ X .
C. 220o ∈ X .

D. 240o ∈ X .

Câu 73: Trong nửa khoảng [ 0; 2π ) , phương trình cos 2 x + sin x = 0 có tập nghiệm là
 π π 5π 
 −π π 7π 11π 
 π 5π 7π 
 π 7π 11π 

;
 . C.  ; ;  .
.
A.  ; ;  .
B.  ; ;
D.  ; ;
6 2 6 
 6 2 6 6 
6 6 6 
2 6 6 
Câu 74: Số nghiệm của phương trình sin x = cos x trong đoạn [ −π ; π ] là
A. 2.
B. 4.
C. 5.
Câu 75: Nghiệm của phương trình sin x.cos x = 0 là:
A. x =

π
+ k 2π .
2

B. x = k

π
.
2

C. x = k 2π .

D. 6.

D. x =

Câu 76: Các họ nghiệm của phương trình sin 2 x − cos x = 0 là
π
2π π
−π
2π π
; + k 2π ; k ∈ ¢ .
+k
; + k 2π ; k ∈ ¢ .
A. + k
B.
6
3 2
6
3 2
π
2π −π
−π
2π −π
;
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
+k
;
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
C. + k
D.
6
3 2
6

3 2
Câu 77: Nghiệm phương trình: 1 + tan x = 0 là

π
π
+ kπ .
C. x = + k 2π .
4
4
π


Câu 78: Họ nghiệm của phương trình tan  x + ÷+ 3 = 0 là
5

8π
8π
8π
A.
B. −
C. −
+ kπ ; k ∈ ¢ .
+ kπ ; k ∈ ¢ .
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
15
15
15
x
Câu 79: Phương trình tan x = tan có họ nghiệm là
2

A. x =

π
+ kπ .
4

B. x = −

A. x = k 2π ( k ∈¢ ) .
C. x = π + k 2π ( k ∈¢ ) .

Câu 80: Nghiệm của phương trình
Trang 11

B. x = kπ ( k ∈¢ ) .
D. x = −π + k 2π ( k ∈¢ ) .

3 + 3 tan x = 0 là:

π
+ k 2π .
6

D. x = −

D.

π
+ k 2π .
4

8π
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
15


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. x = π + kπ .
3

B. x = π + k 2π .
2

Câu 81: Phương trình

3 + tan x = 0 có nghiệm là

π
+ kπ .
3
π
2π
+ k 2π .
C. x = + k 2π ; x =
3
3
A. x =

Câu 82: Phương trình lượng giác:
A. x =

π
+ kπ .
3

C. x = − π + kπ .
6

D. x = π + kπ .
2

π
+ kπ .
3
π
4π
+ k 2π .
D. x = − + k 2π ; x =
3
3
B. x = −

3.tan x + 3 = 0 có nghiệm là

B. x = −

Câu 83: Phương trình tan

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
+ k 2π .
3

C. x =

π
+ kπ .
6

D. x = −

π
+ kπ .
3

x
= tan x có nghiệm là
2

A. x = k 2π , k ∈ ¢ .

B. x = kπ , k ∈ ¢ .

C. x = π + k 2π , k ∈ ¢ .

D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 84: Nghiệm của phương trình 3 tan 3x − 3 = 0 (với k ∈ ¢ ) là
π kπ

π kπ
π kπ
A. x = +
.
B. x = +
.
C. x = +
.
9 9
3 3
3 9
Câu 85: Nghiệm của phương trình tan x = 4 là
A. x = arctan 4 + kπ .
B. x = arctan 4 + k 2π .
C. x = 4 + kπ .

D. x =

D. x =

π kπ
+
.
9 3

π
+ kπ .
4

Câu 86: Họ nghiệm của phương trình tan 2 x − tan x = 0 là:

−π
π
π
+ kπ , k ∈ ¢.
A.
B. + kπ , k ∈ ¢.
C. + kπ , k ∈ ¢.
6
3
6
Câu 87: Phương trình lượng giác: 3.tan x − 3 = 0 có nghiệm là

D. kπ , k ∈ ¢.

π
π
π
+ k 2π .
C. x = + kπ .
D. x = − + kπ .
3
6
3
3π 

Câu 88: Giải phương trình 3 tan  3 x +
÷= 0 .
5 

π

π
π
π
A. x = + k ; k ∈ ¢ .
B. x = − + k ; k ∈ ¢ .
8
4
5
4
π
π
π
π
C. x = − + k ; k ∈ ¢ .
D. x = − + k ; k ∈ ¢ .
5
2
5
3
x
Câu 89: Nghiệm của phương trình 3tan − 3 = 0 trong nửa khoảng [ 0; 2π ) là
4
 π 2π 
 3π 
 π 3π 
 2π 
A.  ;  .
B.   .
C.  ;  .
D.   .

3 3 
2 
2 2 
 3 
A. x =

π
+ kπ .
3

B. x = −

Câu 90: Phương trình tan ( 2 x + 12°) = 0 có nghiệm là
A. x = −6° + k 90°, ( k ∈¢ ) .

B. x = −6° + k180°, ( k ∈¢ ) .

C. x = −6° + k 360°, ( k ∈¢ ) .

D. x = −12° + k 90°, ( k ∈¢ ) .

Trang 12


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 91: Nghiệm của phương trình tan(2 x − 150 ) = 1 , với −900 < x < 90 0 là
A. x = −300

B. x = −600
C. x = 300
D. x = −600 , x = 300

3π
π

trên khoảng  ; 2π ÷
11
4

A. 1.
B. 2.
C. 3.
2
Câu 93: Giải phương trình: tan x = 3 có nghiệm là
π
π
A. x = − + kπ .
B. x = ± + kπ .
C. vô nghiệm.
3
3
Câu 94: Nghiệm phương trình 1 + cot x = 0 là:
π
π
π
A. x = + kπ .
B. x = − + kπ .
C. x = + k 2π .

4
4
4
Câu 95: Nghiệm của phương trình cot x + 3 = 0  là:
π
π
π
A. x = − + kπ .
B. x = − + kπ .
C. x = + k 2π .
3
6
3
Câu 96: Phương trình lượng giác: 3cot x − 3 = 0 có nghiệm là
π
π
π
A. x = + kπ .
B. x = + kπ .
C. x = + k 2π .
6
3
3
Câu 97: Phương trình lượng giác: 2 cot x − 3 = 0 có nghiệm là
π

 x = 6 + k 2π
π
3
A. 

B. x = arc cot
+ kπ . C. x = + kπ .
6
2
 x = −π + k 2π .

6
π

Câu 98: Nghiệm của phương trình cot  x + ÷ = 3 là
4

π
π
π
A. x = + kπ .
B. x = + kπ .
C. x = − + kπ .
12
3
12
π
Câu 99: Giải phương trình 3 cot(5 x − ) = 0 .
8
π
π
π
π
π
A. x = + kπ ; k ∈ ¢ .

B. x = + k ; k ∈ ¢ .
C. x = + k ; k ∈ ¢ .
8
8
5
8
4
π
π
x = + k ;k ∈¢ .
8
2
x
0
Câu 100: Nghiệm của phương trình cot( + 10 ) = − 3 (với k ∈ ¢ ) là
4
0
0
A. x = −200 + k 360 .
B. x = −2000 + k 7200 .
C. x = −200 + k 3600 .
D. x = −1600 + k 7200 .
Câu 101: Giải phương trình tan x = cot x
π
π
π
A. x = + k ; k ∈ ¢ .
B. x = − + kπ ; k ∈ ¢ .
4
2

4
π
π
π
C. x = + kπ ; k ∈ ¢ .
D. x = + k ; k ∈ ¢ .
4
4
4
Câu 92: Số nghiệm của phương trình tan x = tan

Trang 13

D. 4.
D. x =

π
+ kπ .
3

D. x = −

D. x =

π
+ k 2π .
4

π
+ kπ .

6

D. Vô nghiệm.

D. x =

π
+ kπ .
3

D. x =

π
+ kπ .
6

D.


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Câu 102: Phương trình tan x.cot x = 1 có tập nghiệm là
 kπ

A. T = ¡ \  ; k ∈ ¢  .
B. T = ¡
 2

C. T = ¡ \ { π + kπ ; k ∈ ¢} .
D. T = ¡
Câu 103: Giải phương trình tan 3 x tan x = 1 .

π
π
+ k ;k ∈¢ .
8
8
π
π
x = + k ;k ∈¢ .
8
2
A. x =

B. x =

π
π
+ k ;k ∈¢ .
4
4

C. x =

Câu 104: Nghiệm của phương trình tan 3 x.cot 2 x = 1 là

π
, k ∈ ¢.
2
C. kπ , k ∈ ¢.

B. −

A. k

Lượng giác – ĐS và GT 11

π

\  + kπ ; k ∈ ¢  .
2

.

π
π
+ k ;k ∈¢ .
8
4

D.

π
π
+ k , k ∈ ¢.
4
2

D. Vô nghiệm.
Câu 105: Nghiệm của phương trình tan 4 x.cot 2 x = 1 là
A. kπ , k ∈ ¢.

C. k

B.

π
, k ∈ ¢.
2

π
π
+ k , k ∈ ¢.
4
2

D. Vô nghiệm.

Câu 106: Phương trình nào sau đây vô nghiệm
A. tan x = 3 .

B. cot x = 1 .

C. cos x = 0 .

π
π


Câu 107: Phương trình: tan  − x ÷+ 2 tan  2 x + ÷ = 1 có nghiệm là:
2
2




π
+ k 2π ( k ∈ ¢ )
4
π
π
C. x = + k ( k ∈ ¢ )
4
2
A. x =

Trang 14

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
4
π
D. x = ± + kπ ( k ∈ ¢ )
4
B. x =

D. sin x =

4
.
3

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

(

)

Câu 1: Phương trình ( sin x + 1) sin x − 2 = 0 có nghiệm là:
A. x = −
C. x =

π
+ k 2π ( k ∈ ¢ ) .
2

π
+ k 2π .
2

π
π
+ k 2π , x = − + kπ ( k ∈ ¢ ) .
4
8
π
D. x = ± + k 2π .
2

B. x = ±

(

)

Câu 2: Phương trình s in2x. 2sin x − 2 = 0 có nghiệm là

π
π


x = k 2
x = k 2


π
π

A.  x = + k 2π .
B.  x = + kπ .
4
4


 x = 3π + k 2π
 x = 3π + kπ


4

4
Câu 3: Nghiệm của phương trình 2.sin x.cos x = 1 là:

π
+ kπ .
4
Câu 4: Giải phương trình 4sin x cos x cos 2 x + 1 = 0
π
A. x = − + k 2π ; k ∈ ¢ .
8
π
π
C. x = − + k ; k ∈ ¢ .
8
4
A. x = k 2π .

B. x =


 x = kπ

π
C.  x = + k 2π .

4

3π
x =
+ k 2π


4
C. x = k

π
.
2

π

x = k 2

π
D.  x = + k 2π .
4

 x = − π + k 2π

4
D. x = kπ .

π
+ kπ ; k ∈ ¢ .
8
π
π
D. x = − + k ; k ∈ ¢ .
8
2
B. x = −

Câu 5: Giải phương trình cos x(2 cos x + 3) = 0 .
π
5π
π
5π
+ kπ ; k ∈ ¢ .
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
A. x = + kπ , x = ±
B. x = + kπ , x =
2
6
2
6
π
5π
π
2π
+ k 2π ; k ∈ ¢ .
+ k 2π ; k ∈ ¢
C. x = + kπ , x = ±
D. x = + kπ , x = ±
2
6
2
3
Câu 6: Nghiệm của phương trình sin 4 x − cos 4 x = 0 là
π
π
π

3π
π
+ k 2π .
A. x = − + kπ .
B. x = + k .
C. x =
D. x = ± + k 2π .
4
4
2
4
4
2
2
Câu 7: Phương trình nào tương đương với phương trình sin x − cos x − 1 = 0 .
A. cos 2 x = 1 .
B. cos 2 x = − 1 .
C. 2 cos 2 x − 1 = 0 .
D.
2
(sin x − cos x) = 1 .
Câu 8: Phương trình 3 − 4 cos 2 x = 0 tương đương với phương trình nào sau đây?
1
1
1
1
A. cos 2 x = .
B. cos 2 x = − .
C. sin 2 x = .
D. sin 2 x = − .

2
2
2
2
Câu 9: Nghiệm của phương trình sin x. 2 cos x − 3 = 0 là :

(

Trang 15

)


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

 x = kπ
 x = kπ
( k ∈¢ ) .
A. 
. ( k ∈¢ )
B. 
π
π
 x = ± + k 2π
 x = ± + kπ
6
6



 x = k 2π
π
k ∈¢ ) .
(
C. 
D. x = ± + k 2π ( k ∈¢ ) .
π
 x = ± + k 2π
6
3

Câu 10: Phương trình (sin x + 1)(2 cos 2 x − 2) = 0 có nghiệm là
A. x = − π + k 2π , k ∈ ¢ .
2
C. x =

B. x = − π + kπ , k ∈ ¢ .
8

π
+ kπ , k ∈ ¢ .
8

D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 11: Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos 2 x = 0 là:

π
π

.
C. x = k .
2
8
Câu 12: Cho phương trình cos x.cos 7 x = cos3 x.cos 5 x ( 1)
A. x = kπ .

B. x = k

D. x = k

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ( 1)
A. sin 5 x = 0 .
B. cos 4 x = 0 .
C. sin 4 x = 0 .
sin 3 x
= 0 thuộc đoạn [2π ; 4π ] là
Câu 13: Số nghiệm của phương trình
cos x + 1
A. 2 .
B. 6 .
C. 5 .

π
.
4

D. cos 3x = 0 .

sin 2 x − 1

= 0 là
2.cos x − 1
π

x
=
+ k 2π , k ∈ ¢

3π
4
+ k 2π , k ∈ ¢ .
A. x = −
B. 
.
4
 x = 3π + k 2π , k ∈ ¢

4
π
π
C. x = + kπ , k ∈ ¢ .
D. x = + k 2π , k ∈ ¢ .
4
4
6
6
4
4
2
Câu 15: Giải phương trình 4 ( sin x + cos x ) + 2 ( sin x + cos x ) = 8 − 4 cos 2 x

D. 4 .

Câu 14: Tất cả các nghiệm của phương trình

π kπ
π kπ
+
, k∈¢ .
B. x = ± +
, k∈¢ .
3 2
24 2
π kπ
π kπ
C. x = ± +
, k∈¢ .
D. x = ± +
, k∈¢ .
12 2
6 2
Câu 16: ìm số nghiệm x∈  0;14 nghiệm đúng phương trình : cos3x − 4cos2x + 3cos x − 4 = 0
A. x = ±

A. 1
B. 2
C. 3
sin
x
.cos

x
1
+
tan
x
1
(
) ( + cot x ) = 1 .
Câu 17: Giải phương trình
A. Vô nghiệm.

B. x = k 2π , k ∈ ¢ .

C. x =

D. 4
kπ
2

D. x = kπ , k ∈ ¢ .

, k∈¢ .

 π 69π 
2
Câu 18: Số nghiệm thuộc  ;
÷ của phương trình 2sin 3 x. 1 − 4sin x = 1 là:
14
10




(

Trang 16

)


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. 40 .

B. 32 .
π
2π


Câu 19: Phương trình tan x + tan  x + ÷+ tan  x +
3
3


A. cot x = 3.
B. cot 3 x = 3.
Câu 20: Giải phương trình : sin 4 x + cos 4 x = 1

π
π
+k , k∈¢ .
4

2
π
C. x = ± + k 2π , k ∈ ¢ .
4
A. x =

Lượng giác – ĐS và GT 11

C. 41 .

D. 46 .


÷ = 3 3 tương đương với phương trình:

C. tan x = 3.
D. tan 3 x = 3.

π
+ kπ , k ∈ ¢ .
4
π
D. x = k , k ∈ ¢ .
2
B. x = −

Câu 21: Giải phương trình sin x.cos x.cos 2 x = 0
π
A. kπ .
B. k .

2
Câu 22: Nghiệm của phương trình cos x cos5 x =

C. k

π
.
4

1
cos 6 x (với k ∈¢ ) là
2
kπ
C. x =
.
4

D. k

π
.
8

kπ
π kπ
.
D. x = +
.
2
8 4

7
6
6
Câu 23: Phương trình sin x + cos x =
có nghiệm là:
16
π
π
π
π
π
π
π
π
A. x = ± + k .
B. x = ± + k .
C. x = ± + k .
D. x = ± + k .
3
2
4
2
5
2
6
2
4 x
4 x
Câu 24: Phương trình sin 2 x = cos − sin
có các nghiệm là;

2
2
π
2π
π
π
π
π
π




x = 6 + k 3
 x = 3 + kπ
x = 4 + k 2
 x = 12 + k 2
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
 x = π + k 2π
 x = 3 π + k 2π
 x = π + kπ
 x = 3π + kπ





2
4
2
2
3
 π
3
3
Câu 25: Các nghiệm thuộc khoảng  0; ÷ của phương trình sin x.cos 3x + cos x.sin 3x = là:
8
 2
π 5π
π 5π
π 5π
π 5π
,
,
A. ,
.
B. ,
.
C.
.
D.
.
6 6
8 8

12 12
24 24
5
4 x
4 x
Câu 26: Các nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2π ) của phương trình: sin + cos = là:
2
2 8
π 5π 9π
π 2π 4π 5π
π π 3π
π 3π 5π 7π
;.
A. ; ;
B. ; ; ;
.
C. ; ;
.
D. ; ; ;
.
6 6 6
3 3 3 3
4 2 2
8 8 8 8
π

2
Câu 27: Phương trình 2sin  3 x + ÷ = 1 + 8sin 2 x.cos 2 x có nghiệm là:
4


π
π
π
π




 x = 6 + kπ
 x = 18 + kπ
 x = 12 + kπ
 x = 24 + kπ
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
 x = 5π + kπ
 x = 5π + kπ
 x = 5π + kπ
 x = 5π + kπ




12
24

6
18
sin 3 x cos 3 x
2
+
=
Câu 28: Phương trình
có nghiệm là:
cos 2 x sin 2 x sin 3 x
A. x =

π
+ kπ .
8

B. x =

Trang 17


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

π
π
π
π
π
+k .
C. x = + k .
D. x = + kπ .

6
3
3
2
4
3
3
3
3
Câu 29: Phương trình sin x + cos x + sin x.cot x + cos x. tan x = 2sin 2 x có nghiệm là:
π
π
π
3π
+ k 2π .
A. x = + kπ .
B. x = + kπ .
C. x = + k 2π .
D. x =
8
4
4
4
A. x =

π
π
+k .
8
4

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 30: Phương trình

B. x =

sin 4 x + cos 4 x 1
= ( tan x + cot x ) có nghiệm là:
sin 2 x
2

π
π
π
+ k 2π .
C. x = + k .
D. Vô nghiệm.
3
4
2
Câu 31: Cho phương trình cos 2 x.cos x + sin x.cos 3 x = sin 2 x sin x − sin 3 x cos x và các họ số thực:.
π
π
I. x = + kπ , k ∈ ¢ .
II. x = − + k 2π , k ∈ ¢ .
4
2
π
2π

π
4π
III. x = − + k
, k ∈ ¢ . IV. x = + k
, k∈¢ .
14
7
7
7
A. x =

π
+ kπ .
2

B. x =

Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là
A. I, II.
B. I, III.
C. II, III.
D. II, IV.
2
0
2
0
0
Câu 32: Cho phương trình cos x − 30 − sin x − 30 = sin x + 60 và các tập hợp số thực:

(

)

(

)

(

)

I. x = 300 + k1200 , k ∈ ¢ . II. x = 600 + k1200 , k ∈ ¢ .
III. x = 300 + k 3600 , k ∈ ¢ . IV. x = 600 + k 3600 , k ∈ ¢ .
Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình
A. Chỉ I.
B. Chỉ II.
C. I, III.
D. I, IV.
π
x
x

4
4
Câu 33: Phương trình sin x − sin  x + ÷ = 4sin cos cos x có nghiệm là
2
2
2

3π

3π
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
+k , k∈¢ .
A. x =
B. x =
4
8
2
3π
3π
π
+ kπ , k ∈ ¢ .
+k , k∈¢ .
C. x =
D. x =
12
16
2
7
6
6
Câu 34: Phương trình sin x + cos x =
có nghiệm là:
16

π
π
π
π

+k , k∈¢ .
B. x = ± + k , k ∈ ¢ .
3
2
4
2
π
π
π
π
C. x = ± + k , k ∈ ¢ .
D. x = ± + k , k ∈ ¢ .
5
2
6
2
sin
x
.cos
x
(1
+
tan
x
)(1
+
cot
x
)
=

1
Câu 35: Giải phương trình
.
kπ
A. Vô nghiệm.
B. x = k 2π , k ∈ ¢ .
C. x =
, k∈¢ .
D.
2
Câu 36: Trong nửa khoảng [ 0; 2π ) , phương trình sin 2 x + sin x = 0 có số nghiệm là:
A. x = ±

A. 4.

x = kπ ,

k∈¢ .

B. 3.
C. 2.
D. 1.
6
6
sin x + cos x
=m
π  π
Câu 37: Để phương trình
có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện:


tan  x + ÷tan  x − ÷
4 
4


Trang 18


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

1
A. −1 ≤ m < − .
4

B. − 2 ≤ m ≤ − 1.

C. 1 ≤ m ≤ 2.

Lượng giác – ĐS và GT 11
D.

1
≤ m ≤ 1.
4

π
π


2

Câu 38: Để phương trình: 4 sin  x + ÷.cos  x − ÷ = a + 3 sin 2 x − cos 2 x có nghiệm, tham số a
3
6




phải thỏa điều kiện:
1
1
A. −1 ≤ a ≤ 1 .
B. −2 ≤ a ≤ 2 .
C. − ≤ a ≤ .
D. −3 ≤ a ≤ 3 .
2
2
a2
sin 2 x + a 2 − 2
Câu 39: Để phương trình
có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
=
1 − tan 2 x
cos 2 x




a >1
a > 2
a > 3

a > 4
.
.
.
.
A. 
B. 
C. 
D. 
a
≠
3
a
≠
3
a
≠
3
a
≠
3









Trang 19


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
 x = y + kπ
( k ∈ ¢) .
A. sin x = sin y ⇔ 
 x = π − y + kπ
 x = y + k 2π
( k ∈ ¢) .
B. sin x = sin y ⇔ 
 x = π − y + k 2π

 x = y + k 2π
( k ∈ ¢) .
C. sin x = sin y ⇔ 
 x = − y + k 2π
 x = y + kπ
( k ∈ ¢) .
D. sin x = sin y ⇔ 
 x = − y + kπ
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

 x = y + k 2π

( k ∈ ¢)
Áp dụng công thức nghiệm sin x = sin y ⇔ 
x
=
π
−
y
+
k
2
π

Câu 2: Phương trình s inx = sin α có nghiệm là
 x = α + k 2π
;k ∈¢
A. 
 x = π − α + k 2π
 x = α + kπ
;k ∈¢ .
C. 
 x = −α + kπ
Hướng dẫn giải:
Chọn A
 x = α + k 2π
s inx = sin α ⇔ 
( k ∈Z) .
 x = π − α + k 2π
Câu 3: Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
A. sin x = 1 ⇔ x =

π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
2

 x = α + kπ
;k ∈¢ .
B. 
 x = π − α + kπ
 x = α + k 2π
;k ∈¢ .
D. 
 x = −α + k 2π

B. sin x = 1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢ .

C. sin x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ¢ .

D. sin x = 1 ⇔ x =

π
+ kπ , k ∈ ¢ .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đáp án đúng là A, các đáp án còn lại sai vì thiếu họ nghiệm hoặc sai họ nghiệm.
Câu 4: Nghiệm của phương trình sin x = − 1 là:
A. x = −

π

+ kπ .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn A

sin x = −1 ⇔ x = −

B. x = −

π
+ k 2π , k ∈ ¢ .
2

Trang 20

π
+ k 2π .
2

C. x = kπ .

D. x =

3π
+ kπ .
2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

Câu 5: Phương trình sin x = 0 có nghiệm là:
A. x =

π
+ k 2π .
2

B. x = kπ .

C. x = k 2π .

D. x =

π
+ kπ .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
A. sin x = −1 ⇔ x = −

π
+ k 2π .
2

B. sin x = 0 ⇔ x = kπ .

C. sin x = 0 ⇔ x = k 2π .

D. sin x = 1 ⇔ x =

π
+ k 2π .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
sin x = 0 ⇔ x = kπ , ( k ∈¢ ) .

 2x π 
− ÷ = 0 (với k ∈ ¢ ) có nghiệm là
Câu 7: Phương trình sin 
 3 3
2π k 3π
+
A. x = kπ .
B. x =
.
3
2
π
π k 3π
C. x = + kπ .
D. x = +
.
3

2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D
2x π
2x π
π k 3π
 2x π 
sin 
− ÷= 0 ⇔
− = kπ ⇔
= + kπ ⇔ x = +
(k ∈ ¢ )
3 3
3 3
2
2
 3 3
1
Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x = là:
2
A. x =

π
+ k 2π .
3

B. x =

π

+ kπ .
6

C. x = kπ .

D. x =

π
+ k 2π .
6

D. x =

π
.
3

Hướng dẫn giải:
Chọn D

π
π


x = + k 2π
x = + k 2π


1
π

6
6
sin x = ⇔ sin x = sin ⇔ 
⇔
( k ∈¢) .
π
5
π
2
6
 x = π − + k 2π
x =
+ k 2π


6
6
1
π
π
Câu 9: Phương trình sin x = có nghiệm thỏa mãn − ≤ x ≤ là :
2
2
2
5π
π
π
+ k 2π
A. x =
B. x = .

C. x = + k 2π .
6
6
3
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1
π 
Ta có sin x = ⇔ sin x = sin  ÷
2
6

Trang 21


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

π
π


 x = 6 + k 2π
 x = 6 + k 2π
⇔
⇔
( k ∈¡ ) .
 x = π − π + k 2π
 x = 5π + k 2π



6
6

π
π
π
π π
π
1
1
+ kπ . Do − ≤ x ≤ nên − ≤ + k 2π ≤ ⇔ − ≤ k ≤ .
6
2
2
2 6
2
3
6
π
Vì k ∈ ¡ nên ta chọn được k = 0 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x = .
6
5π
π
π
π 5π
π
2
1

+ k 2π . Do − ≤ x ≤ nên − ≤
+ k 2π ≤ ⇔ − ≤ k ≤ − .
Trường hợp 2: x =
6
2
2
2 6
2
3
6
Vì k ∈ ¡ nên ta không chọn được giá trị k thỏa mãn.
π
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = .
6
2
sin 2 x =
2 là:
Câu 10: Nghiệm phương trình
π
π


 x = + k 2π
 x = + kπ
Trường hợp 1: x =

4
( k ∈¢ ) .
A. 
3

π
x =
+ k 2π

4
π

 x = 8 + kπ
( k ∈¢ ) .
C. 
 x = 3π + kπ

8
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

4
( k ∈¢ ) .
B. 
3
π
x =
+ kπ

4
π

 x = 8 + k 2π
( k ∈¢ ) .
D. 

 x = 3π + k 2π

8

π
π


x = + kπ
2 x = + k 2π


π
8
4
2 ⇔ sin 2 x = sin   ⇔
⇔ 
( k ∈¡ ) .

Ta có sin 2 x =
 ÷
4
2
 x = 3π + kπ
 2 x = π − π + k 2π


4
8
Câu 11: Nghiệm của phương trình sin ( x + 10° ) = −1 là

A. x = − 100° + k 360° .
B. x = − 80° + k180° .
C. x = 100° + k 360° .
D. x = −100° + k180° .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: sin ( x + 10° ) = −1 ⇔ sin ( x + 10°) = sin ( −90° )
⇔ x + 10° = −90° + k 360° ⇔ x = −100° + k 360°, k ∈ Z .
 x +π
Câu 12: Phương trình sin 
 5

Trang 22

1

÷ = − có tập nghiệm là
2



– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

11π

 x = 6 + k10π
A. 
(k ∈ ¢) .

29
π
x = −
+ k10π

6

11π

 x = − 6 + k10π
B. 
(k ∈ ¢ ) .
29
π
x =
+ k10π

6

11π

x
=
−
+ k10π

6
C. 
(k ∈ ¢) .
 x = − 29π + k10π


6

11π

x
=
+ k10π

6
D. 
(k ∈ ¢ ) .
 x = 29π + k10π

6

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

π
11π
 x +π

= − + k 2π
x=−
+ k10π


1
 x +π 

5
6
6
sin 
=
−
⇔
⇔
( k ∈ ¢ ).


÷
x
+
π
7
π
29
π
2
 5 

x =
=
+ k 2π
+ k10π
 5

6
6

Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 2 x =
A. 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

B.  2 .

3
trong khoảng ( 0;3π ) là
2
C. 6 .

D. 4 .

π
π


2
x
=
+
k
2
π
x
=
+ kπ



3
3
6
⇔
,k ∈Z ⇔ 
, k ∈Z.
Ta có: sin 2 x =
2
 2 x = 2π + k 2π
 x = π + kπ


3
3
 Cách 1: Dựa vào đường tròn lượng giác ta có số nghiệm của phương trình là 6.
Cách 2: Giải lần lượt:
π
1
17
0 < + kπ < 3π ⇔ − < k < ⇒ k = 0,1, 2 .
6
6
6
π
1
8
0 < + kπ < 3π ⇔ − < k < ⇒ k = 0,1, 2 .
3
3
3

Mỗi họ nghiệm có 3 nghiệm thuộc ( 0;3π ) nên PT có 6 nghiệm thuộc ( 0;3π ) .
π

sin  x + ÷ = 1
2

Câu 14: Nghiệm phương trình
là
A. x =

π
+ k 2π .
2

B. x = −

π
+ k 2π .
2

C. x = kπ .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
π
π π

Từ sin  x + ÷ = 1 ⇔ x + = + k 2π ⇔ x = k 2π .
2
2 2


Câu 15: Phương trình: 1 + sin 2 x = 0 có nghiệm là:
A. x = −

π
+ k 2π .
2

B. x = −

Hướng dẫn giải:
Trang 23

π
+ kπ .
4

C. x = −

π
+ k 2π .
4

D. x = k 2π .

D. x = −

π
+ kπ .
2

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Chọn B.

Lượng giác – ĐS và GT 11

−π
π
+ k 2π ⇔ x = − + kπ .
2
4
π

Câu 16: Số nghiệm của phương trình: sin  x + ÷ = 1 với π ≤ x ≤ 5π là
4

A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
π
π π
π

sin  x + ÷ = 1 ⇔ x + = + k 2π ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) .
4
4 2

4

π
3
19
Mà π ≤ x ≤ 5π ⇒ π ≤ + k 2π ≤ 5π ⇔ ≤ k ≤ ⇒ k ∈ { 0;1; 2} .
4
4
8
Vậy phương trình có 3 nghiệm trong [ π ;5π ] .
π

Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin  4 x − ÷–1 = 0 là:
3

π
π
7π
π
π
+k .
A. x = + k ; x =
B. x = k 2π ; x = + k 2π .
8
2
24
2
2
π
C. x = kπ ; x = π + k 2π .

D. x = π + k 2π ; x = k .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
π π
π
π


4 x − = + k 2π
x = +k


π
π 1


3 6
8
2
2sin  4 x − ÷–1 = 0 ⇔ sin  4 x − ÷ = ⇔ 
⇔
( k ∈¢)
π
π
7
π
π
3
2

3




 4 x − = π − + k 2π
x =
+k


3
6
24
2
Câu 18: Phương trình 3 + 2sin x = 0 có nghiệm là:
π
π
π
2π
+ k 2π .
A. x = + k 2π ∨ x = − + k 2π .
B. x = − + k 2π ∨ x =
3
3
3
3
π
2π
π
4π

+ k 2π .
+ k 2π .
C. x = + k 2π ∨ x =
D. x = − + k 2π ∨ x =
3
3
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
π

x
=
−
+ k 2π
3
3
 π ⇔
( k ∈¢) .
3 + 2sin x = 0 ⇔ sin x = −
⇔ sin x = sin  − ÷ 
2
 x = 4π + k 2π
 3

3
Câu 19: Nghiệm của phương trình sin 3 x = sin x là:
π
π

π
A. x = + kπ .
B. x = kπ ; x = + k . C. x = k 2π .
D.
2
4
2
π
x = + kπ ; k = k 2π .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Từ 1 + sin 2 x = 0 ⇔ 2 x =

Trang 24


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Lượng giác – ĐS và GT 11

 x = kπ
3x = x + k 2π
 x = kπ
sin 3 x = sin x ⇔ 
⇔
⇔
( k ∈¢) .
 x = π + kπ
x

=
π
−
x
+
k
2
π
2
x
=
π
+
k
2
π



2
1
Câu 20: Phương trình sin 2 x = − có bao nhiêu nghiệm thõa 0 < x < π .
2
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 4 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1

 π
Ta có sin 2 x = − ⇔ sin 2 x = sin  − ÷
2
 6
π

 2 x = − 6 + k 2π
⇔
 2 x = π + π + k 2π

6
π

 x = − 12 + kπ
⇔
( k ∈¡ ) .
 x = 7π + kπ

12
π
π
1
13
Trường hợp 1: x = − + kπ . Do 0 < x < π nên 0 < − + kπ < π ⇔
12
12
12
12
11π

Vì k ∈ ¡ nên ta chọn được k = 1 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x =
.
12
7π
7π
7
5
+ kπ . Do 0 < x < π nên 0 <
+ kπ < π ⇔ − < k < .
Trường hợp 2: x =
12
12
12
12
7π
Vì k ∈ ¡ nên ta chọn được k = 0 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x =
.
12
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
π

Câu 21: Số nghiệm của phương trình sin  x + ÷ = 1 với π ≤ x ≤ 3π là :
4

A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

π
π π

Ta có sin  x + ÷ = 1 ⇔ x + = + k 2π
4
4 2


π
+ k 2π ( k ∈ ¡ ) .
4
π
3
11
Do π ≤ x ≤ 3π nên π ≤ + k 2π ≤ 3π ⇔ ≤ k ≤ .
4
8
8
⇔ x=

Vì k ∈ ¡ nên ta chọn được k = 1 thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm x =
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x =

Trang 25

9π
.
4

9π

.
4