04 bất đẳng thức cô si phần 2 đặng việt hùng image marked

04. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 2)

DẠNG 1. KĨ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNG

Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:
ab bc ca



a  b  c 
Phép cộng: 
2
2
2
2a  b  c   a  b   b  c   c  a 

abc  ab bc ca ,
Phép nhân:  2 2 2
a b c  ab bc ca 

a, b, c  0

Ví dụ 1 [Svip]. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

bc ca ab


 abc
a
b
c

Hướng dẫn giải:
Ta có:
bc ca ab 1  bc ca  1  ca ab  1  ab bc 


         
a
b
c
2 a
b  2 b
c  2 c
a


bc ca
ca ab
ab bc
. 
.

.
 abc
a b
b c
c a

Ví dụ 2 [Svip]. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1 .
bc ca ab



 a  b  c 3
Chứng minh rằng
a
b
c
Hướng dẫn giải:

 bc
b  c c  a a  b 2 bc 2 ca 2 ab
ca
ab 






 2



a
b
c
a
b
c
a

b
c


 bc
ca   ca
ab   ab
bc 



 



  b
  c

a
b
c
a

 
 

2



bc ca
2
a b

ca ab
2
b c

 

2 a b c 

ab bc
c a

 

a b c 

a b c



 a  b  c  33 a b c  a  b  c  3
bc ca ab


 a  b  c 3
Vậy
a

b
c

Ví dụ 3 [Svip]. Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b, p 
1
a)  p  a  p  b  p  c   abc
8

abc
. Chứng minh rằng
2


b)

1
1
1
1 1 1


 2   
pa pb pc
a b c

Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
 p  a  p  b  p  c  

 p  a  p  b   p  b  p  c   p  c  p  a 

 p  a    p  b .  p  b   p  c .  p  c   p  a 

2
2
2
2 p  a  b  2 p  b  c  2 p  c  a  1

.
.
 abc
2
2
2
8

b) Ta có:
1
1
1
1 1
1  1 1
1  1 1
1 
  
  



 




p  a p  b p  c 2  p  a p  b  2  p  b p  c  2  p  c p  a 
1
1
1



 p  a  p  b   p  b  p  c   p  c  p  a 
1
1
1


 p  a    p  b  p  b   p  c  p  c   p  a 
2
2
2
1 1 1
 2   
a b c


DẠNG 2. KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ

Ví dụ 1 [Svip]. Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b.
a
b
c



3
Chứng minh rằng
(1)
bca cab abc
Hướng dẫn giải:
yz

a  2
b  c  a  x  0

zx


Đặt: c  a  b  y  0  b 
2
a  b  c  z  0


x y

c  2


Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành

yz zx x y



2x
2y
2z

Ta có:

y z z x x y 1 y x 1 z x 1 z y


           
2x
2y
2z
2 x y 2 x z 2 y z 

Hay

a
b
c


3
bca cab abc

2
2

y x 2
. 

x y 2

z x 2
. 
x z 2

(đpcm)

Ví dụ 2 [Svip]. Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b.
Chứng minh rằng

a2
b2
c2


 a  b  c (1)
bca cab abc
Hướng dẫn giải:

z y
. 3
y z


yz

a  2
b  c  a  x  0


zx


Đặt: c  a  b  y  0  b 
2
a  b  c  z  0


x y

c  2

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
 y  z 2   z  x 2   x  y 2  x  y  z
4x
4y
4z
Ta có:
2
2
2
 y  z    z  x    x  y   yz  zx  xy  1  yz  zx   1  zx  xy   1  xy  yz 






4x
4y

4z
x
y
z 2 x
y  2 y
z  2 z
x 


Hay

yz zx
zx xy
xy yz
. 
. 
.
 zx y
x y
y z
z x

a2
b2
c2


 a  b  c (đpcm)
bca cab abc

abc
.
2
p

 p  a  p  b  p  c 

Ví dụ 3 [Svip]. Cho ABC , AB  c, BC  a, CA  b, p 
Chứng minh rằng

1

 p  a

2



1

 p  b

2



1

 p  c 2

(1)

Hướng dẫn giải:
Ta có: p  a 

bca
 0 . Tương tự: p  b  0; p  c  0
2

p  a  x  0

Đặt:  p  b  y  0  p  x  y  z
p  c  z  0

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau

1
1
1
x yz
 2  2 
2
xyz
x
y
z

Ta có
1
1

1 1 1
1  1 1
1  1 1
1 
 2  2   2  2    2  2    2  2 
2
2 x
x
y
z
y  2 y
z  2 z
x 

1 1
1 1
1 1
1
1
1 x yz
. 2 
. 2 




2
2
2
2

xy yz zx
xyz
x y
y z
z x
1
1
p



(đpcm)
2
2
 p  b   p  c   p  a  p  b  p  c 


Hay

1

 p  a 2

Ví dụ 4 [Svip]. Cho bốn số dương x; y; z; t .
Chứng minh

x3
y3
z3
t3




 1.
x3  3 yzt y 3  3 xzt z 3  3 xyt t 3  3 xyz
Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có


x3
y3
z3
t3



x3  3 yzt y 3  3 xzt z 3  3 xyt t 3  3 xyz
x3
y3
z3
t3
x3  y 3  z 3  t 3




1
x3  y 3  z 3  t 3 y 3  x3  z 3  t 3 z 3  x3  y 3  t 3 t 3  x3  y 3  z 3 x3  y 3  z 3  t 3
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.



x3  y 3  x 2  y 2
Ví dụ 5 [Svip]. Cho hai số thực dương x; y  1 . Chứng minh rằng
 8.
 x  1 y  1
Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có
x 2  x  1
y 2  y  1
x3  y 3  x 2  y 2
x2
y2




 x  1 y  1  x  1 y  1  x  1 y  1 y  1 x  1

2

x2
y2
.

y 1 x 1

2 xy

 x  1 y  1



2 xy
x  1. y  1

2 xy
2 xy
8 xy


8
1. x  1.1. y  1 x  1  1 . y  1  1 xy
2
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi hai số cùng bằng 2.


Ví dụ 6 [Svip]. Cho bốn số thực dương a; b; c; d .
abcd
16abcd

 5.
Chứng minh bất đẳng thức
4
 a  b  b  c  c  d  d  a 
abcd
Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
abcd

16abcd

4
 a  b  b  c  c  d  d  a 
abcd



ab
bc
cd
d a
16abcd
 4
 4
 4

2 abcd 2 abcd 2 abcd 2 abcd  a  b  b  c  c  d  d  a 
4

 55

ab
bc
cd
d a
16abcd
.
.
.

.
2 4 abcd 2 4 abcd 2 4 abcd 2 4 abcd  a  b  b  c  c  d  d  a 

 55

 a  b  b  c  c  d  d  a  .
16abcd

16abcd
5
 a  b  b  c  c  d  d  a 

Dấu đẳng thức xảy ra khi bốn số bằng nhau.

Ví dụ 7 [Svip]. Cho ba số thực dương a; b; c . Chứng minh a 3  b3  c3  a  b  c  2a 2  2b 2  2c 2 .
Hướng dẫn giải:
 a 3  a  2a 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b3  b  2b 2  a 3  b3  c3  a  b  c  2a 2  2b 2  2c 2 .
 c 3  c  2c 2


Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số cùng bằng 1.
Ví dụ 8 [Svip]. Cho ba số thực dương a; b; c . Chứng minh 5a 2  4b 2  7c 2  2ab  6bc  8ca .
Hướng dẫn giải:


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có
a 2  b 2  2ab
 2 2

2
2
2
2
2
b  c  2bc  3b  3c  6bc  5a  4b  7c  2ab  6bc  8ca .
c 2  a 2  2ca  4c 2  4a 2  8ca

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
x

x

x

 12   15   20 
Câu 1 [Svip]. Chứng minh rằng với mọi x   thì          3x  4 x  5 x
 5  4  3 
Câu 2 [Svip]. Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a  b  c  0 .
Chứng minh 8a  8b  8c  2a  2b  2c
Câu 3 [Svip]. Cho ba số thực dương a, b, c .
Chứng minh rằng

a2
2

2

3a  8b 14ab



b2
2

2

3b  8c 14bc



c2

1
 (a  b  c)
3c  8a 14ca 5
2

2

Câu 4 [Svip]. Cho a, b, c >0 thoả mãn: ab  bc  ca  1.
Chứng minh rằng

a
1  a2



b
1  b2

c



1  c2



3
2

Câu 5 [Svip]. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn: a 2  b 2  c 2  3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

a2
b2
c2


b 2  c 2  bc a 2  c 2  ac a 2  b 2  ab

Câu 6 [Svip]. Cho ba số x, y, z > 0 thoả x 2  y 2  z 2  xyz.
Tìm GTLN của biểu thức A 

x
y
z

 2
 2
.
x  yz y  xz z  xy
2

Câu 7 [Svip]. Cho a, b, c > 0, abc = 1.
Tìm GTLN của biểu thức P 

1
1
1
 2
 2
2
2
a  2b  3 b  2c  3 c  2a 2  3
2


Câu 8 [Svip]. Cho a ,b, c > 0 và a + b + c = 1.
Chứng minh rằng

1
2

ab  2c  2c



1
2

cb  2a  2



1
2

ac  2b  2b



1
ab  bc  ac

Câu 9 [Svip]. Cho

a, b, c > 0 và thỏa

mãn

04. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 2)

1
1
1
1



 2 . Chứng minh rằng abc  .
8
1 a 1 b 1 c

x

x

x

 12   15   20 
Câu 1 [Svip]: Chứng minh rằng với mọi x   thì          3x  4 x  5 x
 5  4  3 
Lời giải:
x
x
x
x
Đặt 3  a, 4  b, 5  c  a, b, c  0   12  ab, 20 x  bc, 15 x  ca.
ab ac bc
   abc
c
b
a
Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có

BĐT cần chứng minh 

(1)

ab bc
ab bc
bc ca
bc ca
ca ab
ca ab
 2
.  2b;
 2
.  2c;

2
.
 2a
c
a
c a
a b
a b
b
c
b c
ab bc ca
 ab bc ca 
 2     2a  b  c 
   a  b  c  (1) đúng.
a b 
c
a b

 c

BĐT được chứng minh, dấu "  " xảy ra  a  b  c hay 3x  4 x  5 x  x  0.
Câu 2 [Svip]:Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a  b  c  0 . Chứng minh 8a  8b  8c  2a  2b  2c
Lời giải:
a
b
c
a
Đặt 2  x, 2  y, 2  y  x, y, z  0   8  x3 , 8b  y 3 , 8c  z 3 và xyz  2a.2b.2c  2a b  c  20  1.
BĐT cần chứng minh  x3  y 3  z 3  x  y  z
Áp dụng BĐT Cơsi cho ba số dương ta có

(1)

x3  1  1  3 3 x3 .1.1  3 x; y 3  1  1  3 3 y 3 .1.1  3 y; z 3  1  1  3 3 z 3 .1.1  3 z

 x 3  y 3  z 3  6  3  x  y  z   x 3  y 3  z 3  x  y  z  2  x  y  z  3

(2)

Lại áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có x  y  z  3 3 xyz  3  x  y  z  3  0.
Khi đó từ (2)  x3  y 3  z 3  x  y  z  (1) đúng.
BĐT được chứng minh, dấu "  " xảy ra  x  y  z  1 hay 2a  2b  2c  1  a  b  c  0.
Câu 3 [Svip]: Cho ba số thực dương a, b, c .


Chứng minh rằng

a2

3a2  8b2 14ab



b2



3b2  8c2 14bc
Lời giải:

c2

1
 (a  b  c) (1)
3c2  8a2 14ca 5

Phân tích. Nhìn vào dạng BĐT ta phán đốn ngay 3a 2  8b 2  14ab   ma  nb  với m, n  0.
2

Dấu "  " xảy ra  a  b   ma  na   3a 2  8a 2  14a 2  25a 2  m  n  5.
2

Đến đây ta nhẩm đốn và tìm được m  2, n  3.
Bây giờ ta sẽ đi vào lời giải của bài tốn. Với a, b  0 có
3a 2  8b 2  14ab  2a  3b  3a 2  8b 2  14ab   2a  3b 

2

 4a 2  9b 2  12ab  3a 2  8b 2  14ab  a 2  b 2  2ab  0   a  b   0

2

Điều này luôn đúng với a, b  0  0  3a 2  8b 2  14ab  2a  3b.
Tương tự 0  3b 2  8c 2  14bc  2b  3c; 0  3c 2  8a 2  14ca  2c  3a
a2
b2
c2


P
(2)
2a  3b 2b  3c 2c  3a
1
Ta sẽ chứng minh P   a  b  c  (3), với a, b, c  0.
5
Thật vậy, áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
 a2
b2
c2 
2


 2a  3b    2b  3c    2c  3a   
  a  b  c
 2a  3b 2b  3c 2c  3a 
 VT (1) 

 a  b  c   1 a  b  c  (3) đúng.
a2
b2

c2






2a  3b 2b  3c 2c  3a 5  a  b  c  5
2

Từ (2) và (3) ta có BĐT cần chứng minh, dấu "  " xảy ra  a  b  c.
Câu 4 [Svip]: Cho a, b, c >0 thoả mãn: ab  bc  ca  1 .
a
b
c
3



Chứng minh rằng
1  a2
1  b2
1  c2 2
Lời giải:
a
a
a
Với ab  bc  ca  1 thì



1  a2
ab  bc  ca  a 2
 a  b  a  c 

(1)

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có
a
a
a
a

2
.

ab ac
ab ac

2a

 a  b  a  c 



1 a
a 
 


 a  b  a  c  2  a  b a  c 

a

1 a
a 
 

(2)

2 ab ac 
1 a
b
1 b
b 
c
1 c
c 
 

;
 

Tương tự
(3)


1  b2 2  b  c b  a 
1  c2 2  c  a c  b 
a
b
c

1 ab bc ca  3


 


Từ (2) và (3) ta được
 .
1  a2
1  b2
1  c2 2  a  b b  c c  a  2
1
.
BĐT được chứng minh, dấu "  " xảy ra  a  b  c 
3

Khi đó từ (1) 

a

2

Câu 5 [Svip]: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn: a 2  b 2  c 2  3 .


a2
b2
c2



Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 2
b  c  bc a 2  c 2  ac a 2  b 2  ab
Lời giải:
2
b  c2
a2
a2
2 a2
2
 2 2


.
.
Có  b  c   0  b 2  c 2  2bc  0  bc 
b2  c2 3 b2  c2
2
b  c  bc
2
2
b c 
2
2
2
2
2
b
2 b
c
2 c

 . 2
; 2
 . 2
.
Tương tự ta cũng có 2 2
2
2
a  c  ac 3 c  a
a  b  ab 3 a  b 2
2  a2
b2
c2 
Do đó P   2 2  2
(1)

 A
3  b  c c  a2 a2  c2 

yzx 2 zx y 2 x yz
,b 
,c 
.
2
2
2

2 y z  x z  x y x y z  1 y z z  x x y
Khi đó A  
(2)





 3
 
3  2x
2y
z
y
z
 3 x

Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có

Đặt x  b 2  c 2 , y  c 2  a 2 , z  a 2  b 2  x, y, z  0   a 2 

yz zx x y  x y  y z   z x
x y
y z
z x


             2 .  2 .  2 .  6.
x
y
z
y x
z y
x z
 y x  z y x z

1
Khi đó từ (2)  A   6  3  1. Kết hợp với (1)  P  1.
3
Dấu "  " xảy ra  a  b  c  1. Vậy Pmin  1 đạt được khi a  b  c  1.
Câu 6 [Svip]: Cho ba số x, y, z > 0 thoả x 2  y 2  z 2  xyz.
x
y
z
 2
 2
Tìm GTLN của biểu thức A  2
.
x  yz y  xz z  xy
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có
x
y
z
x
y
z
A 2
 2
 2



x  yz y  xz z  xy 2 x yz 2 y xz 2 z xy
1 2
2

2  11 1 1 1 1 1
 


       
4  yz
zx
xy  4  y z z x x y 
1  1 1 1  xy  yz  xz x 2  y 2  z 2 1
    


2 x z y
2 xyz
2 xyz
2

Trong đó đã sử dụng BĐT quen thuộc  x  y    y  z    z  x   0  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx .
2

2

2

Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y  z  3 .
Câu 7 [Svip]: Cho a, b, c > 0, abc = 1.
1
1
1
 2

 2
Tìm GTLN của biểu thức P  2
2
2
a  2b  3 b  2c  3 c  2a 2  3
Lời giải:
1
1
1
1
1
 2

 .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2
.
2
2
2
a  2b  3 a  b  b  1  2 2ab  2b  2 2 ab  b  1
1
1
1
1
1
1
 .
; 2
 .
Tương tự 2

.
2
2
b  2c  3 2 bc  c  1 c  2a  3 2 ca  a  1
1
1
1
1



Dẫn đến P  
.
2  ab  b  1 bc  c  1 ca  a  1 


1
1
1


 1.
xy  y  1 yz  z  1 xz  x  1
Chứng minh bổ đề:
1
1
1
1
xyz
1






xy  y  1 yz  z  1 xz  x  1 xy  y  1 yz  z  xyz 1  x  1
y
1
xy
y
xy  y  1




1
xy  y  1 y  1  xy 1  xy  y xy  y  1

Bổ đề xyz  1 

Áp dụng điều này ta có P 

1
. Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số cùng bằng 1.
2

Câu 8 [Svip]: Cho a ,b, c > 0 và a + b + c = 1.
1
1
1

1
Chứng minh rằng



2
2
2
ab  2c  2c cb  2a  2 ac  2b  2b ab  bc  ac
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
ab  2c 2  2c  ab  2c 2  2c  a  b  c    a  2c  b  2c 
2
ab  2cb  ab  2ac   ab  2cb  ab  2ac 




ab



4ab

1



2

ab  2c  2c

Tương tự
Dẫn đến

2

2

ab

 ab  bc  ca 2

1
2

cb  2a  2
1
2

4  ab  bc  ca 
 ab  bc  ca 


4ab
ab

ab  2c  2c





bc

 ab  bc  ca 
1
2

cb  2a  2

2



;

1
2

ac  2b  2b
1
2

ac  2b  2b





ca

 ab  bc  ca 2
ab  bc  ca

 ab  bc  ca 

2



.

1
.
ab  bc  ac

1
Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  .
3

Câu 9 [Svip]: Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn

1
1
1


2
1 a 1 b 1 c

1
Chứng minh rằng abc  .
8

Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

1
1
1
b
c
b
c
 1
1


2
.
.
a 1
b 1
c 1 b 1 c 1
b 1 c 1

1
a
c
1

a
b
2
.
;
2
.
.
b 1
a 1 c 1 c 1
a 1 b 1
1
1
1
abc
1
.
.
 8.
 abc  .
Nhân từng vế thu được
a 1 b 1 c 1
8
 a  1 b  1 c  1

Tương tự

Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c 

1

.
2