1 cung và góc lượng giác 14tr đặng việt đông image marked

Chương 6

LƯỢNG GIÁC
CHUN ĐỀ 1
CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC

§1: GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Đơn vị đo góc và cung trịn, độ dài cung trịn
a) Đơn vị rađian: Cung trịn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1
rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian
1 rađian cịn viết tắt là 1 rad.
Vì tính thơng dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và
góc.
b) Độ dài cung trịn. Quan hệ giữa độ và rađian:
Cung trịn bán kính R có số đo a ( 0 £ a £ 2p ) , có số đo a 0 ( 0 £ a £ 360 ) và có độ dài là l thì:
l = Ra =

pa
a
a
.R do đó =
180
p
180

ỉ 180 ư÷ 0
p
rad .
Đặc biệt: 1 rad = ỗỗ
ữ ,1 =

ỗố p ứữ
180
2. Gúc v cung lng giác.
a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường trịn trên đó ta đã chọn một chiều
chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều
quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.
Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou,Ov lần lượt cắt đường
v
0

tròn tại U và V . Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om chuyển động
theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng
chuyển động theo một chiều trên đường tròn.
 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia
Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu
là Ou , tia cuối là Ov . Kí hiệu (Ou,Ov )


+

V
M

O
-

Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm
V thì ta nói điểm M ó vch nờn mt cung lng giỏc im

U

m
u

ỵ





u U , điểm cuối V . Kí hiệu là UV
Tia Om quay đúng một vịng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p ), quay
hai vịng thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm một phần tư vòng
p
25
ta nói nó quay góc -900 (hay - ), quay theo chiều âm ba vịng bốn phần bảy(
vịng) thì nói
2
7
25
50p
nó quay gúc - .3600 (hay )
7
7
ỵ

Ta coi s o ca gúc lượng giác (Ou,Ov ) là số đo của cung lượng giác UV

c) Hệ thức Sa-lơ.

 Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có:

Sđ (Ou,Ov ) + Sđ (Ov,Ow ) = Sđ (Ou,Ow ) + k 2p ( k Î Z )
Sđ (Ou,Ov ) - Sđ (Ou,Ow ) = Sđ (Ow,Ov ) + k 2p ( k Ỵ Z )

Trang 1/13




Với ba điểm tùy ý U ,V ,W trên đường trũn nh hng ta cú :

ỵ

ỵ

ỵ

ỵ

ỵ

ỵ

SUV + SVW = SUW + k 2p ( k Ỵ Z )
SđUV - SđUW = SđWV + k 2p ( k Ỵ Z )
Câu 1:

Góc có số đo 108o đổi ra radian là
3


A. .
B. .
5
10

C.

3
.
2

D.


4

.

Lời giải
Chọn A.
Cách 1: áp dụng công thức đổi độ ra rad  
Cách 2:
3
tương ứng 108o .
5

tương ứng 18o .
10
3

tương ứng 270o .
2

. tương ứng 45o .
4
Câu 2:

Biết một số đo của góc  Ox, Oy  
A.  Ox, Oy  
C.  Ox, Oy  

3
 k .
2



2

n.
.
180

3
 2001 . Giá trị tổng quát của góc  Ox, Oy  là
2

B.  Ox, Oy     k 2 .
D.  Ox, Oy  

 k .


2

 k 2 .

Lời giải
Chọn A.
Câu 3:

Góc có số đo
A. 240o .

2
đổi sang độ là
5
B. 135o .

C. 72o .

D. 270o .

Lời giải
Chọn C.
Áp dụng công thức đổi rad sang độ n 
Câu 4:

Góc có số đo
A. 15o .


9

đổi sang độ là
B. 18o .

Chọn C.
Áp dụng công thức đổi rad sang độ n 

Câu 5:

 .180
.


C. 20o .
Lời giải

D. 25o .

 .180
.


 180o
n .
 20o.
9 
Cho  Ox, Oy   22o30 ' k 360o . Với k bằng bao nhiêu thì  Ox, Oy   1822o30 ' ?

A. k .

B. k  3.

C. k  5.
Lời giải

D. k  5.
Trang 2/13


Chọn D.
 Ox, Oy   1822o30 '  22o30 ' 5.360o  k  5 .
Câu 6:

Góc có số đo


24

đổi sang độ là

A. 7 o .

B. 7 o30 ' .

C. 8o .

D. 8o30 ' .

Lời giải
Câu 7:

Chọn B.
áp dụng công thức đổi rad sang độ n 
n

Câu 8:

 .180
.


 180o
.
 7,5o  7 o30 '.
24 

Góc có số đo 120o đổi sang rađian là góc

3
A. .
B. .
10
2


C. .
4
Lời giải

D.

2
.
3

Chọn D.
120o. 2
o
120 

.
180o
3
Câu 9:

Số đo góc 22o30 đổi sang rađian là:

7
A. .
B.
.
8
12


C. .
6
Lời giải


D. .
5

Chọn A.
22o30. 
 .
180o
8
o
Câu 10: Đổi số đo góc 105 sang rađian bằng
5
7
A. .
B.
.
12
12
22o30 

Chọn B.
105o. 7
o
105 

.
180o
12
Câu 11: Giá trị k để cung  

A. k  4.


2

Chọn D.

9
12
Lời giải

C.

D.

5
.
8

 k 2 thỏa mãn 10    11 là

B. k  6.

D. k  5.

19
21
19
21
 k 2 


k
 k 5.
2
2
2
4
4
Câu 12: Cho hình vng ABCD có tâm O và một trục  l  đi qua O . Xác định số đo của các góc giữa
10    11  10 



C. k  7.
Lời giải

 k .2  11 

tia OA với trục  l  , biết trục  l  đi qua đỉnh A của hình vng.
A. 180o  k 360o .

B. 90o  k 360o .

C. 90o  k 360o .
Lời giải

D. k 360o .

Chọn D.
Vì trục  l  đi qua đỉnh A và tâm O của hình vuông nên trục  l   OA nên số đo của các góc

giữa tia OA với trục  l  bằng 0o  k 360o  k 360o .
Trang 3/13


Câu 13: Một đường trịn có bán kính R 
A. 10 cm .

10





cm . Tìm độ dài của cung

B. 5cm .

C.

20

2
Lời giải

2

trên đường tròn.

cm .

D.

2
20

cm .

Chọn B.
Độ

 . ao

dài
.R 

của



cung


2

rad  90o

trên

đường

trịn

được

tính

bằng

cơng

thức:

10

 5cm .
180
180

Câu 14: Một đường trịn có bán kính R  10 cm . Độ dài cung 40o trên đường tròn gần bằng:
.90.

A. 7 cm .

B. 9 cm .

C. 11cm .

D. 13cm .

Lời giải

Chọn A .
Độ dài của cung 40o trên đường trịn được tính bằng cơng thức:
Câu 15: Góc 18o có số đo bằng rađian là


A.
.
B.
.
18
10

C.


360

 . ao
180

.R 


180

.40.10  7 cm .

D.  .

.

Lời giải
Chọn B.
Ta có: 1o 
Câu 16: Góc



18
A. 18o .


180

rad  18o  18.


180

rad 


10

rad .

có số đo bằng độ là:
B. 36o .

D. 12o .

C. 10o .
Lời giải

Chọn C.
o

o


 180 
  180 
o
Ta có: 1rad  
  rad   .
  10 .
18
  
 18  
Câu 17: Một đường trịn có bán kính 20 cm . Tìm độ dài của cung trên đường trịn đó có số đo
gần đúng đến hàng phần trăm).
A. 4,19 cm .
B. 4,18cm .

C. 95, 49 cm .


15

(tính

D. 95,50 cm .

Lời giải
Chọn B.
Độ

 . ao

dài
.R 

của

cung


15

rad  12o

trên

đường

trịn

được

tính

bằng

cơng

thức:



.12.20  4,18cm .
180
180
Câu 18: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm.
B. Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá 2 .
C. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn [0; 2 ] .

D. Số đo của một cung lượng giác là một số thực.
Trang 4/13


Lời giải
Chọn C.
Câu 19: Chọn điểm A 1;0  làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Tìm điểm
25
.
4
A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I .
B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II .
C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III .

D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ IV .
Li gii
Chn A.
ỵ
25
Theo gi thit ta cú: AM
 6 , suy ra điểm M là điểm chính giữa của cung phần
4
4
tư thứ I .
Câu 20: Một đường trịn có bán kính 15 cm . Tìm độ dài cung trịn có góc ở tâm bằng 300 là :
5
5
2

A.
.
B.
.
C.
.
D. .
2
3
5
3
Lời giải
Chọn B.
a
Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có l  R 

.R nên
180
a
 30
5
Ta có l 
.
.R 
.15 
180
180
3
Câu 21: Cho đường trịn có bán kính 6 cm . Tìm số đo ( rad ) của cung có độ dài là 3 cm :
A. 0,5 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn A.
a
Theo công thức tính độ dài cung trịn ta có l  R 
.R nên
180
l 3
Ta có     0,5 .
R 6
3
Câu 22: Góc có số đo 
được đổi sang số đo độ là :
16

A. 33o 45' .
B. 29o30 ' .
C. 33o 45' .
D. 32o55' .

cuối M của cung lượng giác có số đo

Lời giải
Chọn C.
Lời giải
o
o
3  3 180   135 
 180 
o
o
Vì 1rad  

.
 nên
 
  33.75  33 45'.
16  16    4 
  
Câu 23: Số đo radian của góc 30o là :




A. .

B. .
C. .
D.
.
6
4
3
16
Lời giải
Chọn A.



Vì 1o 
rad nên 30o  30.
 .
180
180 6
o

Trang 5/13


Câu 24: Số đo độ của góc
A. 60o .


4

là :

B. 90o .

C. 30o .
Lời giải

D. 45o .

Chọn D.
Theo công thức đổi đơn vị độ sang radial ta có số đo độ của góc


4

là 45o .

o

Câu 25: Số đo radian của góc 270 là :
A.  .

B.

3
.
2

C.

3
.

4

D. 

5
.
27

Lời giải
Chọn B.
Theo cơng thức đổi đơn vị số đo radian của góc 2700 là

3
.
2

Câu 26: Góc 63o 48' bằng (với   3,1416 )
A. 1,114 rad .

B. 

3
.
3

2.

C.

D. 1,113rad .

Lời giải
Chọn A.
Theo công thức đổi đơn vị, ta có số đo cung đã cho có số đo bằng

  3,1416 .
Câu 27: Cung trịn bán kính bằng 8, 43 cm có số đo 3,85 rad có độ dài là:
A. 

2
cm .
21

B. 32, 45 cm .

C.

1
cm .
2

6348
.  1.114 radial, với
180

D. 32,5 cm .

Lời giải
Chọn D.
Theo cơng thức tính độ dài cung ta có độ dài cung có số đo 3,85 rad

l  R.  8, 43.3,85  32, 4555 cm . Làm tròn kết quả thu được ta có đáp án là D.

là

Câu 28: Xét góc lượng giác  OA; OM    , trong đó M là điểm khơng làm trên các trục tọa độ Ox và
Oy . Khi đó M thuộc góc phần tư nào để sin  và cos cùng dấu

A. I và  II  .

B. I và  III  .

C. I và  IV  .

D.  II  và  III  .

Lời giải
Chọn B.
Dựa theo định nghĩa các giá trị lượng giác trên đường trịn lượng giác.
Câu 29: Cho  là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin   0 .
B. cos   0 .
C. tan   0 .
D. cot   0 .
Lời giải
Chọn C.
Vì  là góc tù, nên sin   0 , cos   0  tan   0
Câu 30: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):   

5


25
19
,  ,  
,
. Các
6
3
3
6

cung nào có điểm cuối trùng nhau:
A.  và  ;  và  .
B.  và  ;  và  . C.  ,  ,  .
Lời giải
Chọn B.
5 7
25 
19 7
 

 2 ;  
  8 ;  

 2 .
6
6
3
3
6
6

D.  ,  ,  .

Trang 6/13


  và ;  và  là các cặp góc lượng giác có điểm cuối trùng nhau.



 k 2  k    . Để a  19; 27  thì giá trị của k là
3
A. k  2 , k  3 .
B. k  3 , k  4 .
C. k  4 , k  5 .
D. k  5 , k  6 .
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
9
13
17
 19; 27  ; k  3  a 
 19; 27  ; k  4  a 
 19; 27  ;
k 2a
2
2
2
21

 19; 27  .
k 5 a
2
Cách 2:

Câu 31: Cho a 

19 



3

 k 2

 k     27  k = 3; 4 .

Câu 32: Cho góc lượng giác  OA, OB  có số đo bằng



. Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một
5
góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác  OA, OB  ?
A.

6
.
5

B. 

11
.
5

C.

9
.
5

D.

31
.
5

Lời giải
Chọn D.
6 
*
 .
5
5
11

*
   2 .
5

5
9 4
*

.
5
5
31 
*
  6 .
5
5
Câu 33: Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của  là
y
B
A’
M

A.

3
 k .
4

B. 

3
 k .
4

A
O

x

B’

C.

3
 k 2 .
4

D. 

3
 k 2 .
4

Lời giải
Chọn D.
Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều dương có số đo là
A,C.
Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều âm có số đo là 

5
 k 2 nên loại
4

3

và chỉ có duy nhất
4

một điểm M trên đường tròn lượng giác nên loại B.

Trang 7/13


Câu 34: Cho hình vng ABCD có tâm O và trục  i  đi qua O . Xác định số đo góc giữa tia OA với
trục  i  , biết trục  i  đi qua trung điểm I của cạnh AB.
A. 45o  k 360o.

B. 95o  k 360o.

C. 135o  k 360o.
Lời giải

D. 155o  k 360o.

Chọn A
A

I
(i)

B

O
D

C


AOB  90o và OA  OB
Tam giác AOB vuông cân tại O
 i  đi qua trung điểm của AB nên  i   AB




  i  là đường phân giác của góc 
AOB nên OA,  i   45o .





Câu 35: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là
A. 30o.
B. 40o.
C. 50o.
D. 60o.
Lời giải
Chọn C.
360o
 5o
Một bánh xe có 72 răng nên 1 răng tương ứng
72
o
o

Khi di chuyển được 10 răng là 10.5  50 .
Câu 36: Tìm khẳng định sai:
A. Với ba tia Ou , Ov, Ow , ta có: sđ  Ou , Ov   sđ  Ov, Ow   sđ  Ou , Ow   2k , k .
ỵ

ỵ

ỵ

B. Vi ba im U , V , W trên đường tròn định hướng: sđ UV  sđ VW  sđ UW  2k , k   .
C. Với ba tia Ou , Ov, Ox , ta có: sđ  Ou , Ov   sđ  Ox, Ov   sđ  Ox, Ou   2k , k   .

D. Với ba tia Ou , Ov, Ow , ta có: sđ  Ov, Ou   sđ  Ov, Ow   sđ  Ou , Ow   2k , k   .
Lời giải
Chọn D.
Sử dụng hệ thức Sa-lơ về số đo của góc lượng giác thì ba khẳng định ở câu A, B, C đều đúng.
Câu 37: Trên đường trịn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:

 I . .
4
7
 II  .  .
4
13
.
 III  .
4
5
 IV  .  .
4

Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
Trang 8/13


A. Chỉ  I  và  II  .

B. Chỉ  I  ,  II  và  III  .

C. Chỉ  II  ,  III  và  IV  .

D. Chỉ  I  ,  II  và  IV  .
Lời giải

Chọn A.
7 
13 5
5 3
  2 ;

 2 ; 

 2 .
4
4
4
4
4
4

7

Suy ra chỉ có hai cung
và 
có điểm cuối trùng nhau.
4
4
Câu 38: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vịng.Tính độ dài qng đường xe gắn
máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy
  3,1416 ).
A. 22054 cm .
B. 22063 cm .
C. 22054 mm .
D. 22044 cm .
Lời giải
Chọn A.
Lời giải
a
Theo công thức tính độ dài cung trịn ta có l  R 
.R nên
180
60.180
Trong 3 phút bánh xe quay được
 540 vòng, bánh xe lăn được:
20
l  6,5.540.2  6,5.540.2.3,1416  cm   22054  cm  .

Ta có: 

Câu 39: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vng OABC vẽ theo chiều ngược với chiều
quay của kim đồng hồ, biết sđ  Ox, OA   30o  k 360o , k   . Khi đó sđ  OA, AC  bằng:
A. 120o  k 360o , k   .

C. 450  k 3600 , k   .

B. 45o  k 360o , k   .
D. 90o  k 360o , k   .
Lời giải

Chọn B.
Tia AO quay một góc 45 độ theo chiều âm( cùng chiều kim đồng hồ ) sẻ trùng tia AC nên góc
sđ  OA, AC   45o  k 360o , k   .

Câu 40: Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia Ou , Ov, Ox . Xét các hệ thức sau:

 I  . sđ  Ou, Ov   sđ  Ou, Ox   sđ  Ox, Ov   k 2 , k   .
 II  . sđ  Ou, Ov   sđ  Ox, Ov   sđ  Ox, Ou   k 2 , k   .
 III  . sđ  Ou, Ov   sđ  Ov, Ox   sđ  Ox, Ou   k 2 , k   .

Hệ thức nào là hệ thức Sa- lơ về số đo các góc:
A. Chỉ  I  .
B. Chỉ  II  .
C. Chỉ  III  .

D. Chỉ  I  và  III  .

Lời giải
Chọn A.
Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia tùy ý Ou , Ov, Ox , ta có
sđ  Ou , Ov   sđ  Ov, Ox   sđ  Ou , Ox  + k 2

k   .

Câu 41: Góc lượng giác có số đo  ( rad ) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số
đo dạng :
A.   k180o ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).
B.   k 360o ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).
C.   k 2 ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).
D.   k ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).
Trang 9/13


Lời giải
Chọn C.
Nếu một góc lượng giác  Ou , Ov  có số đo  radian thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu Ou ,
tia cuối Ov có số đo   2k , k   , mỗi góc tương ứng với một giá trị của k . Các cung
lượng giác tương ứng trên đường tròn định hướng tâm O cũng có tính chất như vậy. Tương tự
cho đơn vị độ.
5

Câu 42: Cho hai góc lượng giác có sđ  Ox, Ou   
 m2 , m   và sđ  Ox, Ov     n 2 ,
2
2
n   . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Ou và Ov trùng nhau.
B. Ou và Ov đối nhau.

C. Ou và Ov vng góc.
D. Tạo với nhau một góc .
4
Lời giải
Chọn A.

5


 m2    2  m2     m  1 2 m   .
2
2
2
Vậy n  m  1 do đó Ou và Ov trùng nhau.
63
Câu 43: Nếu góc lượng giác có sđ  Ox, Oz   
thì hai tia Ox và Oz
2
A. Trùng nhau.
B. Vng góc.
3
C. Tạo với nhau một góc bằng
.
D. Đối nhau.
4
Lời giải
Chọn B.
63  64 
Ta có sđ  Ox, Oz   
 
  32 nên hai tia Ox và Oz vng góc.
2
2
2
2
Câu 44: Cho

hai
góc
lượng
giác
có
sđ  Ox, Ou   45o  m360o , m  

Ta có:sđ  Ox, Ou   

 Ox, Ov   135o  n360o , n   . Ta có hai tia Ou

A. Tạo với nhau góc 45o .
C. Đối nhau.

và

sđ

và Ov

B. Trùng nhau.
D. Vng góc.
Lời giải

Chọn C.
 Ox, Ov   135o  n360o  225o  n360o  45o  180o  n360o  n    .

Vậy, Ta có hai tia Ou và Ov đối nhau
Câu 45: Sau khoảng thời gian từ 0 giờ đến 3 giờ thì kim giây đồng hồ sẽ quay được số vòng bằng:
A. 12960.

B. 32400.
C. 324000.
D. 64800.
Lời giải
Chọn B.
Từ 0 đến 3 giờ kim giờ quay 9 vịng(tính theo chiều ngược kim đồng hồ)
Kim phút quay 9.60  540 vòng
Kim giây 540.60  32400 vịng
Câu 46: Góc có số đo 120o được đổi sang số đo rad là :
3
2
A. 120 .
B.
.
C.  .
D.
.
2
3
Lời giải
Chọn D.
120 2
.
180o    120o 

180
3
Trang 10/13

137
 thì góc  Ou, Ov  có số đo dương nhỏ nhất là:
5
B. 27, 4 .
C. 1, 4 .
D. 0, 4 .
Lời giải

Câu 47: Biết góc lượng giác  có số đo là 
A. 0, 6 .

Chọn A.
137
Ta có 
  27, 4 . Vậy góc dương nhỏ nhất là 28  27, 4  0, 6 .
5
Câu 48: Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B
A.  



 k 2 .

2
C. a  90o  k 360o.

B.   



 k 2 .
2
D. a  –90o  k180o.
Lời giải

Chọn D.

B  180o  
B
Cung có mút trùng với B hoặc B có chu kì  hoặc 180o .
Câu 49: Trên đường tròn định hướng gốc A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn
1
1
1
1



 6 , với x là số đo của cung AM ?
2
2
2
sin x cos x tan x cot 2 x
A. 6 .
B. 4 .
C. 8 .
D. 10 .
Lời giải
Chọn C.
ĐK: sin 2 x  0

1
1
1
1
1
1



6 

 cot 2 x  tan 2 x  8
2
2
2
2
2
sin x cos x tan x cot x
sin x cos 2 x
2
2
2
4
1


8 
8 
 8  sin 2 2 x   cos 4 x  0 .
2

2
2
2
2
sin x cos x
sin x.cos x
sin 2x
2
Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác ta thấy có 8 điểm cuối M thỏa ycbt.
Câu 50: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các cung lượng giác có
số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo 4200o.

A. 130o .
B. 120o .
C. 120o .
D. .
8
Lời giải
Chọn C.
Ta có 4200  120  12.360 nên cung có số đo 120o có ngọn cung trùng với ngọn cung có
số đo 4200 .
Câu 51: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57 cm và kim phút dài 13,34 cm .Trong 30 phút mũi
kim giờ vạch lên cung trịn có độ dài là:
A. 2, 77 cm .
B. 2,9 cm .
C. 2, 76 cm .
D. 2,8 cm .
Lời giải
Chọn A.
Trong 30 phút mũi kim giờ chạy trên đường trịn có bán kính 10,57 cm và đi được cung có số

đo là


24

nên độ dài đoạn đường mũi kim giờ đi được là 10,57.


24

 2, 77 cm .

 k
Câu 52: Có bao nhiêu điểm M trên đường trịn định hướng gốc A thoả mãn sđ 
AM  
,k ?
3 3
A. 6.
B. 4.
C. 3.
D. 12.
Lời giải
Chọn A.

Trang 11/13



2
3

4
5
; k  2, 
; k  3, 
; k  4, 
;
k  0, 
AM  ; k  1, 
AM 
AM 
AM 
AM 
3
3
3
3
3
7
k  5, 
AM  2 ; k  6, 
.
AM 
3
Câu 53: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vng OABC vẽ theo chiều ngược với chiều
quay của kim đồng hồ, biết sđ  Ox, OA   300  k 3600 , k   . Khi đó sđ  Ox, BC  bằng:
A. 175o  h360o , h   .
5
3
C. sin a  ; cos b 
13

5

B. 210o  h360o , h   .



o
o
  a   ; 0  b   .D. 210  h360 , h   .
2
2
Lời giải

Chọn D.

sđ  Ox, BC   sđ  Ox, OA   210o  h360o , h   .
Câu 54: Xét góc lượng giác
phần tư nào ?
A. I .



4

, trong đó M là điểm biểu diễn của góc lượng giác. Khi đó M thuộc góc
B. II .

C. III .
Lời giải

D. IV .

Chọn A.



1
Ta có 4  . Ta chia đường trịn thành tám phần bằng nhau.
2 8

Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo .
4
y
B

M
x

A'

O

A

B'

Câu 55: Cho L, M , N , P lần lượt là các điểm chính giữa các cung AB, BC , CD, DA. Cung  có mút
3
đầu trùng với A và có số đo   
 k . Mút cuối của  trùng với điểm nào trong các

4
điểm L, M , N , P ?
Trang 12/13


A. L hoặc N .

B. M hoặc P.

C. M hoặc N .
Lời giải

D. L hoặc P.

Chọn A.


AB nên 
Vì L là điểm chính giữa 
AL 
4
3
 nên 
Vì N là điểm chính giữa CD
AN 
4
3
Ta có 
và 
AL  

AN  
AN 
4
3
Vậy L hoặc N là mút cuối của   
 k .
4
Câu 56: Cung  có mút đầu là A và mút cuối trùng với một trong bốn điểm M , N , P, Q . Số đo của 
là
B.   135o  k .360o. C.  

A.   45o  k .180o.



4

k



4

.

D.  



4

k



2

.

Lời giải
Chọn D.


Số đo cung 
AM  450 
4
  NP
  PQ
  900  
Ta có MN
2
Để mút cuối cùng trùng với một trong bốn điểm M , N , P, Q thì

chu kì của cung  là
2
Vậy số đo cung  



k



.
4
2
Câu 57: Biết OMB và ONB là các tam giác đều. Cung  có mút đầu là A và mút cuối là B hoặc M
hoặc N . Tính số đo của  ?





2

2
A.    k .
B.     k .
C.    k
D.    k
.
.
2
2
6
3
2
3
6
3

Lời giải
Chọn C.



1
2
  NOB
  
OMB và ONB là các tam giác đều nên MOB
3
2


M  MB
N 
 BA
3
Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M hoặc N nên
2     2


, AN  AM  MN  AM 
AM  
AB  BM
AB 
 2
3
3
2

Chu kì của cung  là
3

2
Từ 1 ,  2  ta có    k
.
2
3
Câu 58: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vng OABC vẽ theo chiều ngược với chiều
quay của kim đồng hồ, biết sđ  Ox, OA   30o  k 360o , k   . Khi đó sđ  Ox, AB  bằng
Cung  có mút đầu là A và mút cuối là B nên  

A. 120o  n360o , n   .

B. 60o  n360o , n   .

Trang 13/13


C. 300  n3600 , n   .

D. 60o  n360o , n   .
Lời giải

Chọn B.
y

B

C

A

30.0°
O

D

x

  180o   45o  75o   60o .
  45o , BOD
  75o  BDO
Xét tam giác OBD, ta có OBD

Trang 14/13