11 he PT doi xung loai 1 baigiang đặng việt hùng image marked

Tài liệu bài giảng (Tốn 10)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1

 f ( x; y )  0
 f ( x; y )  f ( y; x)
+) Là hệ có dạng 
trong đó 
 g ( x; y )  0
 g ( x; y )  g ( y; x)
S  x  y
+) Phương pháp giải: 

 S 2  4 P là điều kiện có nghiệm của hệ.
 P  xy
x 2  y 2  ( x  y ) 2  2 xy  S 2  2 P

+) Một số hẳng đẳng thức thường dùng

x3  y 3  ( x  y )3  3 xy ( x  y )  S 3  3SP
x 4  y 4  ( x 2  y 2 )2  2 x 2 y 2  ( S 2  2 P)2  2 P 2

( x  y ) 2  ( x  y ) 2  4 xy  S 2  4 P
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

 x  y  xy  11
a)  2
2
 x  y  3  x  y   28

 x  xy  y  1

b)  2
2
 x y  y x  6

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
 x 2  x  1 y 2  y  1  3
a) 
1  x 1  y   6

7
1 1
 x  y  xy  2
b) 
2  x  y   3 xy


Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
 x
y
7


1

x
xy
a)  y

 x xy  y xy  78

 x 2 y  y 2 x  30
c)  3
3
 x  y  35

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

 x3  3 x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y

b)  2
1
2
x  y  x  y 

2

 x  y  9
a) 
3
 x  3 y  5

Đáp số:
a) Đặt 6 x  u;

6

y  v , nghiệm là (1; 64), (64; 1)

3 1 1 3
b) Nghiệm của hệ là  ;   ,  ;  

2 2 2 2


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

 x 2  xy  y 2  7
a) 
 x  xy  y  5

2
2
 x  y  5
b)  4
2 2
4
 x  x y  y  13

Bài 2: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

 x 2  xy  y 2  3
a) 
 x  xy  y  1
Bài 3: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
 xy  x  y  3
a)  2
2
 x  y  x  y  xy  6

 x  y  xy  3

b)  2
2
 x y  y x  2

7
1 1
 x  y  xy  2
b) 
2  x  y   3 xy


Bài 4: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:





3 x  y  4 xy
a) 
 xy  9
Bài 5: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

 x  y  xy  14
b) 
2
2
 x  y  xy  84

 x y  y x  30
a) 

 x x  y y  35
Bài 6: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

 x 2  y xy  420
b) 
2
 y  x xy  280

 xy  x  y   2
a)  3
3
 x  y  2

 x  2 2  y  10
b) 
2
 x  2   2 x  xy   9

 x  y  1
Bài 7: [ĐVH]. Tìm m để hệ sau có nghiệm 
 x x  y y  1  3m

Đ/s: 0  m 

1
4

 x  1  y  1  m
Bài 8: [ĐVH]. Tìm m để hệ sau có nghiệm 
2

 x  y  m  4m  6
Đ/s:

3
 m  2; m  6
2

 x 2  xy  y 2  m  6
Bài 9: [ĐVH]. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 
2 x  xy  2 y  m
Đ/s: m  21


LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
2
2
 x  y  5
b)  4
2 2
4
 x  x y  y  13

 x 2  xy  y 2  7
a) 
 x  xy  y  5
Lời giải:

 x  y   xy  7
 x 2  xy  y 2  7

2
2
a) 

  x  y   x  y  5  7   x  y   x  y  12  0
 xy  x  y  5
 x  xy  y  5
2

 x  y  3
 x  y  3
 x  2
 2


x  y  3
 xy  2
 y  1
 y  3 y  2  0





  x  y  4
 x  1
x  y4
 x  y  4
 


Loai

   y  2
  y 2  4 y  9  0
  xy  9
 

Vậy hệ có nghiệm là  x; y    2; 1 ; 1; 2  .

  x 2  1
  x  1
 2

2
2
2
2
  y  4
 x  y  5
 y  5  x
 y  2
 4


b)  4
.
2 2
4
2
2

  x  2

x

4
 x  x y  y  13 3 x  15 x  12  0



  y 2  1
  y  1


Vậy hệ PT có nghiệm là  x; y   1; 2  ; 1; 2  ;  1; 2  ;  1; 2  ;  2;1 ;  2; 1 ;  2;1 ;  2; 1

Bài 2: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
 x 2  xy  y 2  3
a) 
 x  xy  y  1

 x  y  xy  3
b)  2
2
 x y  y x  2
Lời giải:

 x  y  1
 x 2  xy  y 2  3  x  y 2  xy  3

 xy  1   x  y 



   x  y  2
a) 
2
 x  xy  y  1
 xy  1   x  y 
 x  y    x  y   2  0
 xy  1  x  y




 x  2


  x  y  1    y  1
  xy  2
  x  1



  y  2

  x  3


 x  y  2

y 1



 x  1
  xy  3



  y  3
Vậy HPT có nghiệm là  x; y    2; 1 ;  1; 2  ;  3;1 ; 1; 3 .

 x  y  xy  3
 x  y  xy  3
b)  2

  x  y  và xy là nghiệm của phương trình: t 2  3t  2  0 .

2
xy
x

y

2



 x y  y x  2


  x  1  y

 x  y  1
 2

xy

2
 y  y  2  0  Loai 
x  1

Giải PT ta tìm được nghiệm t1  1; t2  2  
.


 x  y  2
x  2  y
y 1



 y 2  2 y  1  0
  xy  1
 
Vậy HPT có nghiệm là  x; y   1;1
Bài 3: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:

7
1 1
 x  y  xy  2
b) 
2  x  y   3 xy



 xy  x  y  3
a)  2
2
 x  y  x  y  xy  6
Lời giải:

 xy   x  y   3
 xy  x  y  3

a)  2

2
2
 x  y  x  y  xy  6
 x  y    x  y   3 xy  6

 u  3

v  u  3
 x  y  u v  u  3
v  0
Đặt 
 2
 2

 u  5
u  u  3v  6
u  2u  15  0

 xy  v

 v  8

 x  3


 x  y  3   y  0
  xy  0
 x  0




  y  3

 x  y  5
 x  y  5


 2
 xy  8
 
 y  5 y  8  0  Loai 

Vậy HPT có nghiệm là  x; y    3;0  ;  0; 3 .
b) ĐK : x, y  0 .
3
 x  1
7  xy

x y
7
7
1 1

xy


2
 xy
 xy 
 xy  2
2
 x  y  xy  2
y  2
2


.

 xy
 x  2
x y 3

2  x  y   3 xy
 x  y  3 xy 
3 xy


x  y 


2
  y  1

2

Vậy HPT có nghiệm là  x; y   1; 2  ;  2;1
Bài 4: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
3 x  y  4 xy
a) 
 xy  9













 x  y  xy  14
b) 
2
2
 x  y  xy  84
Lời giải:

3 x  y  12
3 x  y  4 xy
 x  y  4

a) 


 xy  9
 xy  3
 x . y  3 
Do đó,  x ,

t 2  1
t  1
y là nghiệm của phương trình : t 2  4t  3  0   1
  12
t2  3 t2  9


Vậy hệ phương trình đã cho có bộ nghiệm là  x; y   1,9  ;  9,1
b) Ta có x 2  y 2  xy  84   x  y   xy  84
2

 x  y  a
a  b  14
a  b  14
a  10
 x  y  10
Đặt 

PT đã cho   2 2



 xy  b
a  b  6
b  4
 xy  16
a  b  84
t  8
Do đó, x, y là nghiệm của phương trình : t 2  10t  16  0   1
t 2  2
Vậy hệ phương trình đã cho có bộ nghiệm là  x; y    8, 2  ;  2,8 
Bài 5: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
 x y  y x  30
a) 
 x x  y y  35

 x y  y x  30

a) Ta có 

 x x  y y  35


 x 2  y xy  420
b) 
2
 y  x xy  280

Lời giải:
 xy x  y  30
xy x  y  30


3
3
 x  y x  y  xy  35
x  y  35
















 x  y  a
ab  30
ab  30
a  5
Đặt 

PT  

 3
2
a  a  3b   35 a  125 b  6
 xy  b
t  2
Do đó,  x , y là nghiệm của phương trình : t 2  5t  6  0   1
t2  3

Vậy hệ phương trình đã cho có bộ nghiệm là  x; y    3, 2  ;  2,3







 x x 3  y 3  420
 x 2  y xy  420 1

b) Ta có 


3
3
2
 y  x xy  280  2 
 y x  y  280


81
3
1  y 2  y 2  420  y 2  64  y  8  x  18
16
2
Vây phương trình đã cho có nghiệm là  x; y   18;8 

3
x 3
y
  x
2
y 2

Bài 6: [ĐVH]. Giải các hệ phương trình sau:
 x  2 2  y  10
b) 
2
 x  2   2 x  xy   9

 xy  x  y   2
a)  3
3
 x  y  2
Lời giải:

 xy  x  y   2
 xy  x  y   2
 xy  x  y   2  x   y   1


a) 





2
3
2
2
x

y
x

y

xy

2
x

y
x

y

3
xy


2






x

y

8
 x  y  2












Do đó, x,  y là nghiệm của phương trình t 2  t  2  0 *
Nhận thấy * có   7  0  PT * vơ nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
b) Tương tự, các em tự làm nhé!

 x  y  1
Bài 7: [ĐVH]. Tìm m để hệ sau có nghiệm 
 x x  y y  1  3m
Lời giải:
Đặt x  u; y  v; u  0; v  0 thu được hệ

u  v  1
u  v  1

 3 3
3
u  v  1  3m
 u  v   3uv  u  v   1  3m
v  1  u
u  v  1 v  1  u


 2
uv  m
u  u  m  0
u 1  u   m
Ta có tổng S  1  0 nên phương trình ẩn u có ít nhất một nghiệm dương. Hơn nữa uv  0  m  0 .
1
1
1
Điều kiện có nghiệm u là   1  4m  0  m   0  m  . Kết luận 0  m  .
4
4
4

 x  1  y  1  m
Bài 8: [ĐVH]. Tìm m để hệ sau có nghiệm 
2
 x  y  m  4m  6
Lời giải:
Đặt x  1  u; y  1  v; u  0; v  0 thu được
u  v  m
u  v  m
u  v  m


 2 2


2
2
2
uv  2m  3
u  v  m  4m  6
 u  v   2uv  m  4m  6
Vì uv  0  2m  3  0  m 
Lại có  u  v   0   u  v 
2

Kết luận giá trị cần tìm là

2

3

.
2

3
m  6   m  2
 4uv  m  4  2m  3  
 2
m  2 m  6

2

3
 m  2; m  6 .
2

 x 2  xy  y 2  m  6
Bài 9: [ĐVH]. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 
2 x  xy  2 y  m
Lời giải:
+) Điều kiện cần.
Nhận xét nếu  x; y  là nghiệm của hệ thì  y; x  cũng là nghiệm của hệ.
Do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x  y , tức là
3 x 2  m  6
 x 2  xy  y 2  m  6

 3x 2  6  x 2  4 x

2
2 x  xy  2 y  m
4 x  x  m

 2 x 2  4 x  6  0  x  1;3  m  3; 21

+) Điều kiện đủ
 x  y 2  xy  3
 x  y 2  2  x  y   0
 x  y  0  x  y  2



 Với m  3  
xy


3
2
x

y

xy


3
2
x

y

xy



3

 xy  1







x   y
x  y  0
Dễ thấy hệ 
 2
 x   3; 3 , trường hợp trên hệ có ít nhất 2 nghiệm.
 xy  3
x  3






 x  y 2  xy  27
 x  y 2  2  x  y   48
 x  y  6  x  y  8




 Với m  21  
 xy  9
 xy  37
2  x  y   xy  21 2  x  y   xy  21
y  6 x
x  y  6
 x  y  8
Hệ 
vơ nghiệm vì S 2  4 P , với 
 2
 x  y  3 , nghiệm duy nhất.
x

6
x

9

0
 xy  9
 xy  37

Kết luận giá trị cần tìm m  21 .