12 he PT doi xung loai 2 baigiang đặng việt hùng image marked

Tài liệu bài giảng (Tốn 10)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2

2 x  y 2  4 y  5
Bài 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
2 y  x  4 x  5

2 x  y 

Bài 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2 y  x 


3
x2
3
y2

3
 x  5 x  y
Bài 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  3
 y  5 y  x

2y

 x  1  y 2
Bài 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 y  2x
1  x2



 x  3 y 
Bài 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 y  3x 





Bài 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 




1
x
1
y

4y
x
4x
y

 2

1
2
y

 2

1
2
x

 x 2  2 x  y
Bài 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2
 y  2 y  x

y2 1
2
y


x2

Bài 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
2 x  x  1

y2

 xy  x 2  1  y
Bài 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
 xy  y  1  x

2 x  y  1  2

Bài 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2 y  x  1  2
 2 1
2 x  y 4  3
Bài 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2 y 2  1  3

x4


 x  1998  y  1998
Bài 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 1998  x  y  1998
 2 x  3  4  y  4
Bài 13: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 2 y  3  4  x  4
 x  4  2 y  2
Bài 14: [ĐVH]. Giải hệ PT 
 y  4  2 x  2

 x  y  3  m
Bài 15: [ĐVH]. Tim m để hệ sau có nghiệm 
 y  x  3  m
Đ/s: m  3

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
2 x  y 2  4 y  5, 1
Bài 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
2 y  x  4 x  5,  2 

Lời giải:
Trừ vế với vế của 2 PT cho nhau ta được: 2  x  y    y 2  x 2   4  x  y 

x  y
  x  y  x  y  2   0  
x  y  2
y 1 x 1
Nếu x  y thay vào PT (1) ta được y 2  6 y  5  0  
y  5 x  5
Nếu x  2  y thay vào PT (1) ta được: y 2  2 y  1  0  y  1  x  1
Vậy hệ PT đã cho có 2 nghiệm (x; y) là (1;1),(5;5)

2 x  y 

Bài 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2 y  x 


3
x2
3

, 1

y2

,  2

Lời giải:
ĐK: xy≠0

Trừ vế với vế của 2 PT cho nhau ta có:
 1
 y  x  y  x   x  y 1  3  x  y    0
1 
x  y  3 2  2   x  y  3



y 
x2 y 2
x2 y 2 
x


x  y
x  y
  3  x  y 
 2 2
1
0
 x y  3 x  y   0

x2 y 2
3
TH1: x  y thay vào PT (2) ta có: 3 y  2  y 3  1  y  1  x  1(TM )
y
TH2: x 2 y 2  3  x  y   0 suy ra x + y < 0
Mặt khác cộng 2 vế của (1) và (2) ta được: x  y 

1

1
 2 0
2
x
y


Suy ra vơ lý. Vậy Hê PT đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) là (1;1)

 x3  5 x  y
Bài 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  3
 y  5 y  x
Lời giải:
x  y
Trừ vế với vế của 2 PT ta được: x3  y 3  4  x  y    2
2
 x  xy  y  4
y  0  x  0

TH1: x  y thay vào (2) ta có: y 3  6 y   y  6  x  6
y   6  x   6

TH2: x 2  xy  y 2  4 (*)

x  y  0
Lấy (1) + (2) ta có: x3  y 3  6  x  y    2
2
 x  xy  y  6

 y  2  x  2

Nếu x  y  0  x   y khi đó thay vào (*) ta được: y 2  4  
 y  2  x  2
Nếu : x 2  xy  y 2  6 (**) lấy (*)-(**) ta được xy  1 thay vào (*) ta có:

1
1
1
5  21  y  5  21
5  21
x  
2
2
2


1
1
1
5  21  y   5  21
5  21
x 
1
2
2
2
2

x  2 5

x

1
1
1
x  
5  21  y   5  21
5  21
2
2
2


1
1
1
x 
5  21  y  5  21
5  21

2
2
2
Vậy hệ PT đã cho có 9 nghiệm như trên.



















 





 







 

 





2y

 x  1  y 2 , 1
Bài 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 y  2x ,  2

1  x2
Lời giải:
ĐK: x; y ≠ ±1
Trừ vế với vế của 2 PT ta được:

x  y
2  xy  1 
 y
x 


x  y  2


x

y
1


0




 2

2
2
2
2
2
  x  1 y  1 
 1 y 1 x 
 x  1 y  1  2  xy  1  0
2y
 y  0  x  0 (TM )
TH1: x  y thay vào (1) ta được: y 
1 y2

TH2:  x 2  1 y 2  1  2  xy  1  0 (*)



x  y  0
2 xy  2


0

Lấy (1) + (2) ta được:  x  y  1  2
 2

2
2
  x  1 y  1 
 x  1 y  1  2  xy  1  0


y  0  x  0

2y
Nếu x   y thay vào (1) ta được:  y 
  y  3  x   3 (TM )
2
1 y
y   3  x  3


Nếu  x 2  1 y 2  1  2  xy  1  0 (vô lý do kết hợp với PT (*))



Vậy hệ tập nghiệm của hệ PT là: S   0;0  ,




 x  3 y 
Bài 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 y  3x 




3;  3 ,  3; 3



4y
, 1
x
4x
,  2
y

Lời giải:
ĐK: xy ≠ 0
Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta được:
 y x  4  y  x  y  x 
x  y
4 x  y  4   

xy
 x y
 x  y   xy
TH1: x  y thay vào (1) ta được x  y  2 (t/m)
TH2: x  y   xy
 y x
 x  y   4  xy  2 xy  4  xy  4
Lấy (1) + (2) ta có:   x  y   2     2
xy
 x y

 x  y  4

Ta có hệ: 
 x  y  2 TM 
 xy  4

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất: x  y  2
2




Bài 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 




1
1
 2   2, 1
y
x
1
1
 2   2,  2 
x
y

Lời giải:
1

2
Trừ vế với vế của 2 PT trên ta có:

ĐK: x; y 

 1
1  
1
1


   2   2    0 
y
x
y 
 x

Do

xy



1
x y





xy

1

1
1
xy  2   2  
y
x




yx
x y





 0, x; y 

yx

1
1
xy  2   2  
y
x


0 x y

1
2
2

 1

1
1
Thay x  y vào (1) ta có:
 2  2  
 1  0  y  1  x  1(TM )
 y 
y
y


Vậy hệ đa cho có nghiệm duy nhất x  y  1


 x 2  2 x  y, 1

Bài 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 y 2  2 y  x, 2
 


Lời giải:

x  y
Trừ vế với vế của 2 PT ta có: x 2  y 2  2  x  y   y  x   x  y  x  y  1  0  
x  y  1
y  0  x  0
TH1: x  y thay vào phương trình (2) ta được: y 2  3 y  0  
y  3 x  3

1 5
1 5
y
x 
2
2
TH2: y  1  x thay vào (1) ta được: x 2  x  1  0  

1 5
1 5
y
x 

2
2
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm như trên.

y2 1
2
y

, 1


x2

Bài 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
2 x  x  1 ,  2 

y2
Lời giải:
ĐK: xy ≠ 0
2 x 2 y  y 2  1

Dễ thấy x; y > 0, ta có hệ PT đã cho tương đương: 
2 xy 2  x 2  1


Trừ vế với vế của hai PT của hệ mới ta được:
2 xy  x  y    y  x  y  x    x  y  2 xy  x  y   0  x  y (do x; y  0)
Với x = y dễ dàng giải được x  y  1
 xy  x 2  1  y, 1

Bài 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  I  
 xy  y 2  1  x, 2
 


Lời giải:
Hệ PT đã cho tương đương với:
 x  1


 x  1 x  y  1  0
x  y  1
 x  y  1  0


I   
x  y 1  0
 y  1 x  y  1  0
 y  1

 x  y  1  0


Vậy hệ PT đã cho có vơ số nghiệm (x; y) là (1;1) và (m;-1-m) với m  
2 x  y  1  2, 1
Bài 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2 y  x  1  2,  2 
Lời giải:
ĐK: x; y ≥ 1
Ta có:


1 
 2 

y  1  2 1  x   0  x  1  x; y 1
  x  y 1
x  1  2 1  y   0  y  1
Thử lại ta thấy x  y  1 là nghiệm của hệ PT đã cho. Vậy x  y  1 là nghiệm duy nhất của hê PT.
 2 1

2 x  y 4  3
Bài 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2 y 2  1  3

x4
Lời giải:
ĐK: xy ≠0
1
1
Cộng hai vế của PT đã cho ta được: 2 x 2  2 y 2  4  4  6
x
y

1
1
 3 3 x 2 .x 2 . 4  3 
4
x
x
1
1

2
2
Theo BĐT AM-GM ta có:
  2x  2 y  4  4  6
x
y
1
1

y 2  y 2  4  3 3 y 2 . y 2 . 4  3

y
y

x  y  1
 2 1
 x  y  1
 x  x 2
Dấu “=” xảy ra khi 

 x  1; y  1
 y 2  12

y

 x  1; y  1
Thử lại ta thấy các nghiệm đều thỏa mãn hệ PT đã cho, vậy hệ đã cho có 4 nghiệm như trên.
x2  x2 

 x  1998  y  1998
Bài 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 1998  x  y  1998
Lời giải:
ĐK:0 ≤ x; y ≤ 1998
Trừ vế với vế của 2 PT ta được: x  1998  x  y  1998  x *

Nhận thấy vai trò của x và y trong hệ PT là như nhau, không mất tính tổng qt giả sử x ≥ y.
Khi đó ta có:

x  1998  x  y  1998  x

Dấu “=” xảy ra khi x  y ,
Vậy từ (*) suy ra x  y thay vào 1 trong 2 PT ban đầu ta được x  1998  x  1998
Dễ giải ra được phương trình này có 2 nghiệm x = 0 và x = 1998. Thử lại TM
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm (x;y) là (0;0), (1998;1998)
 2 x  3  4  y  4
Bài 13: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 2 y  3  4  x  4
Lời giải:
3
ĐK:   x, y  4
2
Lấy PT (1) – (2) ta có:
2 x  y
x y
2x  3  2 y  3  4  y  4  x  0 

0
2x  3  2 y  3
4 y  4 x



 







2
1
  x  y

  0  x  y
 2x  3  2 y  3
4

y

4

x


Thay vào 1 trong 2 PT trên ta được:

2 x  3  4  x  4  2 2 x 2  5 x  12  9  x  4  2 x 2  5 x  12    9  x   9 x 2  38 x  33  0
2

x  3  y  3

 x  11  y  11
9
9

 x  4  2 y  2
Bài 14: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 y  4  2 x  2

Lời giải:
Trừ vế với vế của 2 PT cho nhau ta được:
2 x  y
x y
x4 y4 2 x  y 0

0
x4 y4
x y



 





1
2
  x  y

  0  x  y  x  4  2 x  2  x  4  4 x  2 x  1
 x4 y4
x

y





 3x  8 x  0  x  0  y  0
 x  y  3  m
Bài 15: [ĐVH]. Tim m để hệ sau có nghiệm 
 y  x  3  m
Đ/s: m  2
Lời giải:
ĐK: x, y  3
Trừ vế với vế của 2 PT trên ta có:  x  y  

x  y
x y
0
x 3  y 3
 x  3  y  3  1

 x  y  3  m
Để hệ có nghiệm thì hoặc 
có nghiệm hoặc
 x  y

 x  y  3  m
có nghiệm.

 x  3  y  3  1

 x  y  3  m
Xét 
 x  x  3  m  3  do x  3

 x  y
2
 x  y  3  m
1  17 17

 m  x  x  3 1  x  3  x  3  4   x  3    
3
Xét 
2
4
4

 x  3  y  3  1
Từ đó suy ra để PT có nghiệm thì m  3

