3 công thức lượng giác 14tr đặng việt đông image marked

Chương 6

LƯỢNG GIÁC
CHUN ĐỀ 3
CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1: GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Đơn vị đo góc và cung trịn, độ dài cung trịn
a) Đơn vị rađian: Cung trịn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1
rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian
1 rađian cịn viết tắt là 1 rad.
Vì tính thơng dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và
góc.
b) Độ dài cung trịn. Quan hệ giữa độ và rađian:
Cung trịn bán kính R có số đo a ( 0 £ a £ 2p ) , có số đo a 0 ( 0 £ a £ 360 ) và có độ dài là l thì:
l = Ra =

pa
a
a
.R do đó =
180
p
180

ỉ 180 ư÷ 0
p
rad .
Đặc biệt: 1 rad = çç
÷ ,1 =

çè p ø÷
180
2. Góc và cung lượng giác.
a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường trịn trên đó ta đã chọn một chiều
chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều
quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.
Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou,Ov lần lượt cắt đường
v
0

tròn tại U và V . Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om chuyển động
theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng
chuyển động theo một chiều trên đường tròn.
 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia
Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu
là Ou , tia cuối là Ov . Kí hiệu (Ou,Ov )


+

V
M

O
-

Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm
V thì ta nói điểm M ó vch nờn mt cung lng giỏc im

U

m
u

ỵ





u U , điểm cuối V . Kí hiệu là UV
Tia Om quay đúng một vịng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p ), quay
hai vịng thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm một phần tư vịng
p
25
ta nói nó quay góc -900 (hay - ), quay theo chiều âm ba vịng bốn phần bảy(
vịng) thì nói
2
7
25
50p
nó quay góc - .3600 (hay )
7
7
ỵ

Ta coi s o ca gúc lng giác (Ou,Ov ) là số đo của cung lượng giác UV

c) Hệ thức Sa-lơ.

 Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có:

Sđ (Ou,Ov ) + Sđ (Ov,Ow ) = Sđ (Ou,Ow ) + k 2p ( k Ỵ Z )
Sđ (Ou,Ov ) - Sđ (Ou,Ow ) = Sđ (Ow,Ov ) + k 2p ( k Ỵ Z )

Trang 1/12




Với ba điểm tùy ý U ,V ,W trên đường trũn nh hng ta cú :

ỵ

ỵ

ỵ

ỵ

ỵ

ỵ

SUV + SVW = SUW + k 2p ( k Ỵ Z )
SđUV - SđUW = SWV + k 2p ( k ẻ Z )
Đ3. MỘT SỐ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức cộng:

sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a
sin(a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a
cos(a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b
cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 - tan a. tan b
tan a - tan b
tan(a - b) =
1 + tan a. tan b

2. Công thức nhân đôi, hạ bậc:
a) Công thức nhân đôi.
sin 2a = 2 sin a.cos a
cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a
tan 2a =

b) Công thức hạ bậc.

2 tan a
1 - tan2 a
1 - cos 2a
2
1 + cos 2a
2
cos a =
2
1
cos
2a

tan2 a =
1 + cos 2a
sin2 a =

3. Công thức biến đổi tích thành tổng.

1é
cos(a + b) + cos(a - b) ùû
2ë
1
sin a sin b = - éë cos(a + b) - cos(a - b) ùû
2
1é
sin a cos b = ë sin(a + b) + sin(a - b) ùû
2
4. Công thức biển đổi tổng thành tích.
cos a cos b =

a +b
a -b
.cos
2
2
a +b
a -b
cos a - cos b = - 2 sin
.sin
2
2
a +b

a -b
sin a + sin b = 2 sin
.cos
2
2
a +b
a -b
sin a - sin b = 2 cos
.sin
2
2
cos a + cos b = 2 cos

sin(a + b)
cos a.cos b
sin(a - b)
tan a - tan b =
cos a.cos b
sin(a + b)
cot a + cot b =
sin a.sin b
sin(b - a )
cot a - cot b =
sin a.sin b
tan a + tan b =

Trang 2/12


Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Trong các công thức sau, công thức nào sai?
cot 2 x  1
2 tan x
A. cot 2 x 
.
B. tan 2 x 
.
2 cot x
1  tan 2 x
C. cos 3 x  4 cos3 x  3cos x .
D. sin 3 x  3sin x  4sin 3 x
Lời giải.
Chọn B.
2 tan x
Công thức đúng là tan 2 x 
.
1  tan 2 x
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A. cos 2a  cos 2 a – sin 2 a.
B. cos 2a  cos 2 a  sin 2 a.
C. cos 2a  2 cos 2 a –1.
D. cos 2a  1 – 2sin 2 a.
Lời giải.
Chọn B.
Ta có cos 2a  cos 2 a – sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a.

Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A. cos  a – b   cos a.cos b  sin a.sin b.
B. cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b.
C. sin  a – b   sin a.cos b  cos a.sin b.

D. sin  a  b   sin a.cos b  cos.sin b.
Lời giải.

Chọn C.
Ta có: sin  a – b   sin a.cos b  cos a.sin b.
Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
tan a  tan b
.
A. tan  a  b  
B. tan  a – b   tan a  tan b.
1  tan a tan b
tan a  tan b
.
C. tan  a  b  
D. tan  a  b   tan a  tan b.
1  tan a tan b
Lời giải.

Chọn B.
tan a  tan b
.
Ta có tan  a  b  
1  tan a tan b
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
1
1
A. cos a cos b  cos  a – b   cos  a  b   .
B. sin a sin b  cos  a – b  – cos  a  b   .
2
2
1
1
C. sin a cos b  sin  a – b   sin  a  b   .
D. sin a cos b  sin  a  b   cos  a  b   .
2
2
Lời giải.
Chọn D.
1
Ta có sin a cos b  sin  a – b   sin  a  b   .
2
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
ab
a b
ab
a b
.cos
.

.sin
.
A. cos a  cos b  2 cos
B. cos a – cos b  2 sin
2
2
2
2
ab
a b
ab
a b
.cos
.
.sin
.
C. sin a  sin b  2 sin
D. sin a – sin b  2 cos
2
2
2
2
Lời giải.
Chọn D.
ab
a b
.sin
.
Ta có cos a – cos b  2 sin
2

2
Rút gọn biểu thức : sin  a –17  .cos  a  13  – sin  a  13  .cos  a –17  , ta được :
Trang 3/12


A. sin 2a.

B. cos 2a.

1
C.  .
2
Lời giải.

D.

1
.
2

Chọn C.
Ta có: sin  a –17  .cos  a  13  – sin  a  13  .cos  a –17   sin  a  17    a  13  
1
 sin  30    .
2

Câu 8.

Giá trị của biểu thức cos
A.

6 2
.
4

37
bằng
12
6 2
.
B.
4

C. –

6 2
.
4

D.

2 6
.
4

Lời giải.
Chọn C.
 
 
37



 
  
 cos  2      cos       cos     cos   
cos
12 
12 
12


 12 
3 4
6 2





   cos .cos  sin .sin   
.
4
3
4
3
4

47
Câu 9. Giá trị sin
là :

6
3
3
2
.
.
.
A.
B.
C.
2
2
2
Lời giải.
Chọn D.
47

1

 

 
sin
 sin  8    sin    4.2   sin      .
6
6
2

 6


 6
37
Câu 10. Giá trị cos
là :
3
3
3
1
.
.
A.
B. 
C. .
2
2
2
Lời giải.
Chọn C.
37
 1




cos
 cos   12   cos   6.2   cos  .
3
3 2
3


3

29
Câu 11. Giá trị tan
là :
4
3
.
A. 1.
B. –1.
C.
3
Lời giải.
Chọn A.
29



tan
 tan  7    tan  1 .
4
4
4

5
5
Câu 12. Giá trị của các hàm số lượng giác sin
, sin
lần lượt bằng
4

3
2
3
 2
3
2
3
A.
,
.
B.
,
.
C.
, 
2
2
2
2
2
2
Lời giải.
Chọn D.

1
D.  .
2

1
D.  .

2

D.

D. 

3.

2
3
, 
.
2
2

Trang 4/12


sin

5


2

.
 sin       sin  
4
4
4

2


2
3

.

   sin
3
2

2
4
6
 cos
 cos
Câu 13. Giá trị đúng của cos
bằng :
7
7
7
1
1
1
1
A. .
B.  .
C. .
D.  .

2
2
4
4
Lời giải.
Chọn B.

2
4
6 
sin  cos
 cos
 cos

2
4
6
7
7
7
7 

 cos
 cos
Ta có cos

7
7
7
sin

7
3
5
 
 3 
 5 
 
sin
 sin     sin
 sin     sin   sin  
 sin   
7
7
 7
 7 
 7  
 7  1.



2
2sin
2sin
7
7

7
Câu 14. Giá trị đúng của tan  tan
bằng :
24

24
sin

5
2

 sin   
3
3


A. 2





6 3 .

B. 2





6 3 .

C. 2





3 2 .

D. 2





3 2 .

Lời giải.
Chọn A.



7
3
3


2 6 3 .

7



24

24 cos .cos
cos  cos
24
24
3
4
1
 2sin 700 có giá trị đúng bằng :
Câu 15. Biểu thức A 
2sin100
A. 1.
B. –1.
C. 2.
D. –2.
Lời giải.
Chọn A.
1
1  4sin100.sin 700 2sin 800 2sin100
0
A

2sin
70



 1.
2sin100
2sin100
2sin100 2sin100

tan



sin

 tan





Câu 16. Tích số cos10.cos 30.cos 50.cos 70 bằng :
1
1
3
1
.
.
A.
B. .
C.
D. .
16
8
16
4
Lời giải.
Chọn C.
1

cos10.cos 30.cos 50.cos 70  cos10.cos 30.  cos120o  cos 20o 
2
3 1
3
3  cos10 cos 30  cos10 
. 
.




4 
2
2
 4 4 16

4
5
.cos
Câu 17. Tích số cos .cos
bằng :
7
7
7
1
1
1
1
A. .
B.  .

C. .
D.  .
8
8
4
4
Trang 5/12


Lời giải.
Chọn A.



4
5
cos .cos
.cos

7
7
7
8
7  1.

 8
8sin
7

sin

2
4
5
2
2
4
4
4
.cos
.cos
sin
.cos
.cos
sin
.cos
7
7
7 
7
7
7 
7
7



2sin
2sin
4sin

7
7
7

sin

tan 30  tan 40  tan 50  tan 60
bằng :
cos 20
4
6
8
.
.
.
B.
C.
D.
3
3
3
Lời giải.

Câu 18. Giá trị đúng của biểu thức A 
A.

2
.
3

Chọn D.

sin 70
sin110

tan 30  tan 40  tan 50  tan 60 cos 30.cos 40 cos 50.cos 60
A

cos 20
cos 20
 cos 50  3 cos 40 
2
2
1
1




 2 

cos 30.cos 40 cos 50.cos 60
3 cos 40 cos 50
 3 cos 40.cos 50 
 sin 40  3 cos 40 
8cos10
8
sin100



 2 
.
  4
3
cos10

3
3
cos
40

.cos
50

3


 cos10  cos 90 
2

5
Câu 19. Giá trị của biểu thức A  tan 2  tan 2
bằng :
12
12
A. 14.
B. 16.
C. 18.
D. 10.
Lời giải.

Chọn A.
2

5

  

1
A  tan
 tan
 tan 2  cot 2
  tan  tan  
2
12
12
12
12 
3
4 


tan

tan


3
4

2

1
 2 3 
 14 .
2
2 3
2







2





Câu 20. Biểu thức M  cos  –53  .sin  –337   sin 307.sin113 có giá trị bằng :
1
A.  .
2

B.

1
.
2

C. 

3
.
2

D.

3
.
2

Lời giải.
Chọn A.
M  cos  –53  .sin  –337   sin 307.sin113

 cos  –53  .sin  23 – 360   sin  53  360  .sin  90  23 

Câu 21.

1
 cos  –53  .sin 23  sin  53  .cos 23  sin  23  53    sin 30   .
2
cos  288  .cot 72
Kết quả rút gọn của biểu thức A 
 tan18 là
tan  162  .sin108

Trang 6/12

A. 1.

B. –1.

C. 0.

D.

1
.
2

Lời giải.
Chọn C.
cos  288  .cot 72
cos  72  360  .cot 72
A
 tan18 
 tan18
tan  162  .sin108
tan 18  180  .sin  90  18 
cos 2 72
sin 2 18o
cos 72.cot 72

tan18


 tan18  0

 tan18 
sin 72.sin18o
cos18o.sin18o
tan18.cos18
Câu 22. Rút gọn biểu thức : cos 54.cos 4 – cos 36.cos86 , ta được :
A. cos 50.
B. cos 58.
C. sin 50.
D. sin 58.
Lời giải.
Chọn D.
Ta có: cos 54.cos 4 – cos 36.cos86  cos 54.cos 4 – sin 54.sin 4  cos 58.
Câu 23. Tổng A  tan 9  cot 9  tan15  cot15 – tan 27 – cot 27 bằng :
A. 4.
B. –4.
C. 8.
D. –8.
Lời giải.
Chọn C.
A  tan 9  cot 9  tan15  cot15 – tan 27 – cot 27
 tan 9  cot 9 – tan 27 – cot 27  tan15  cot15
 tan 9  tan 81 – tan 27 – tan 63  tan15  cot15 .
Ta có
 sin18
sin18
tan 9 – tan 27  tan 81 – tan 63 

cos 9.cos 27 cos81.cos 63
 cos 9.cos 27  cos81.cos 63  sin18  cos 9.cos 27  sin 9.sin 27 
 sin18 


cos81.cos 63.cos 9.cos 27
 cos81.cos 63.cos 9.cos 27 
4sin18.cos 36
4sin18


4.
 cos 72  cos 90  cos 36  cos 90  cos 72



tan15  cot15 

Vậy A  8 .

sin 2 15  cos 2 15
2

 4.
sin15.cos15
sin 30

Câu 24. Cho A , B , C là các góc nhọn và tan A 
A.


6

.

B.


5

.

1
1
1
, tan B  , tan C  . Tổng A  B  C bằng :
2
5
8

C.



4

.

D.



3

.

Lời giải.
Chọn C.

tan A  tan B
 tan C
tan  A  B   tan C

tan  A  B  C  
 1  tan A.tan B
 1 suy ra A  B  C  .
tan A  tan B
4
1  tan  A  B  .tan C
.tan C
1  tan A.tan B
1
3
Câu 25. Cho hai góc nhọn a và b với tan a  và tan b  . Tính a  b .
7
4



2
.
A. .
B. .
C. .

D.
3
4
6
3
Lời giải.
Chọn B.
tan a  tan b

tan  a  b  
 1 , suy ra a  b 
1  tan a.tan b
4

Trang 7/12


Câu 26. Cho x, y là các góc nhọn, cot x 
A.


4

.

B.

3
.
4

3
1
, cot y  . Tổng x  y bằng :
4
7

C.



3

.

D.  .

Lời giải.
Chọn C.
Ta có :
4
7
3
tan x  tan y
3
.
tan  x  y  

 1 , suy ra x  y 
4

1  tan x.tan y 1  4 .7
3
Câu 27. Cho cot a  15 , giá trị sin 2a có thể nhận giá trị nào dưới đây:
11
13
15
17
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
113
113
113
113
Lời giải.
Chọn C.
1
 2
sin a 

1
15

226
 226  

 sin 2a  
.
cot a  15 
2
sin a
113
cos 2 a  225

226
1
1
Câu 28. Cho hai góc nhọn a và b với sin a  , sin b  . Giá trị của sin 2  a  b  là :
3
2
2 2 7 3
3 2 7 3
4 2 7 3
5 2 7 3
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
18
18
18
18

Lời giải.
Chọn C.




0b
0  a  2

2 2 
2  cos b  3
 cos a 
Ta có 
; 
.
3
2
sin a  1
sin b  1


3
2
sin 2  a  b   2sin  a  b  .cos  a  b   2  sin a.cos b  sin b.cos a  cos a.cos b  sin a.sin b 



4 2 7 3
.
18





Câu 29. Biểu thức A  cos 2 x  cos 2   x   cos 2   x  không phụ thuộc x và bằng :
3

3

3
4
3
2
A. .
B. .
C. .
D. .
4
3
2
3
Lời giải.
Chọn C.
Ta có :
2

2
 3
  3


1
1



2 
A  cos x  cos   x   cos   x   cos 2 x  
cos x  sin x   
cos x  sin x 
2
2
3

3

 2
  2

3
 .
2
 cot 44  tan 226  .cos 406  cot 72.cot18 bằng
Câu 30. Giá trị của biểu thức A 
cos 316
A. –1.
B. 1.
C. –2.
D. 0.
Lời giải.

2

2

Trang 8/12


Chọn B.
 cot 44  tan 226  .cos 406  cot 72.cot18
A
cos 316
 tan 46  tan 180  46   cos  360  46 

 cot 72.tan 72
cos  360  44 
2 tan 46.cos 46
2 tan 46.cos 46
1 
 1  1.
cos 44
sin 46

Câu 31.

Biểu thức
A.
C.

sin  a  b 
bằng biểu thức nào sau đây? (Giả sử biểu thức có nghĩa)

sin  a  b 

sin  a  b  sin a  sin b

.
sin  a  b  sin a  sin b

sin  a  b  tan a  tan b

.
sin  a  b  tan a  tan b

B.

sin  a  b  sin a  sin b

.
sin  a  b  sin a  sin b

sin  a  b  cot a  cot b

.
sin  a  b  cot a  cot b
Lời giải.
D.

Chọn C.
sin  a  b  sin a cos b  cos a sin b
Ta có :
(Chia cả tử và mẫu cho cos a cos b )


sin  a  b  sin a cos b  cos a sin b
tan a  tan b
.
tan a  tan b
Câu 32. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI.
A  B  3C
 cos C.
A. sin
B. cos  A  B – C   – cos 2C.
2
A  B  2C
3C
A  B  2C
C
 cot
.
 tan .
C. tan
D. cot
2
2
2
2
Lời giải.
Chọn D.
Ta có:
A  B  3C
A  B  3C 



 sin   C   cos C. A đúng.
  C  sin
A B C  
2
2
2
2

A  B  C    2C  cos  A  B – C   cos   2C    cos 2C. B đúng.


A  B  2C
3C
A  B  2C  3C
  3C 
 tan
 tan  
. C đúng.
 
  cot
2
2
2
2 2
2 2 
A  B  2C
C
A  B  2C  C
 C 

 cot      tan . D sai.
   cot
2
2
2
2 2
2 2
Câu 33. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI.
A B
C
 sin .
A. cos
B. cos  A  B  2C   – cos C.
2
2
C. sin  A  C   – sin B.
D. cos  A  B   – cos C.

Lời giải.
Chọn C.
Ta có:
A B
C
A B  C
 C 
 cos     sin . A đúng.
   cos
2
2
2

2 2
2 2
A  B  2C    C  cos  A  B  2C   cos   C    cos C. B đúng.
A  C    B  sin  A  C   sin   B   sin B. C sai.
Trang 9/12


A  B    C  cos  A  B   cos   C    cos C. D đúng.

Câu 34. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác không vuông. Hệ thức nào sau đây SAI ?
B
C
B
C
A
A. cos cos  sin sin  sin .
2
2
2
2
2
B. tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C.
C. cot A  cot B  cot C  cot A.cot B.cot C.
A
B
B
C
C
A
D. tan .tan  tan .tan  tan .tan  1.

2
2
2
2
2
2
Lời giải.
Chọn C.
Ta có :
B
C
B
C
A
B C
 A
+ cos cos  sin sin  cos     cos     sin . A đúng.
2
2
2
2
2
2 2
2 2
+ tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C   tan A 1  tan B tan C   tan B  tan C
tan B  tan C
 tan A   tan  B  C  . B đúng.
1  tan B tan C
+ cot A  cot B  cot C  cot A.cot B.cot C  cot A  cot B cot C  1  cot B  cot C
 tan A  

1
cot B cot C  1

 tan A  cot  B  C  . C sai.
cot A cot B  cot C
A 
B
C
B
C
A
B
B
C
C
A
+ tan .tan  tan .tan  tan .tan  1  tan .  tan  tan   1  tan .tan
2 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B

C
tan  tan
1
2
2  cot A  tan  B  C  . D đúng.




A
B
C
2
2 2
tan
1  tan .tan
2
2
2
4

sin   , 0   
Câu 35. Biết
và   k . Giá trị của biểu thức
5
2
4 cos    
3 sin     
3
không phụ thuộc vào  và bằng

A
sin 
5
3
5
3
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
3
5
3
5
Lời giải.
Chọn B.
4 cos    


3 sin     
0    2
3
5
3
 cos   , thay vào biểu thức A 
Ta có 

.

5
sin 
3
sin   4

5


 
Câu 36. Nếu tan  4 tan
thì tan
bằng :
2
2
2
3sin 
3sin 
3cos 
3cos 
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
5  3cos 

5  3cos 
5  3cos 
5  3cos 
Lời giải.
Chọn A.
Ta có:


Trang 10/12

:




 tan



3 tan



3sin



.cos



2 
2 
2
2  3sin  .



2
5  3cos 
1  tan .tan
1  4 tan 2
1  3sin 2
2
2
2
2
2
2 cos 2  3 sin 4  1
Câu 37. Biểu thức A 
có kết quả rút gọn là :
2sin 2 2  3 sin 4  1
cos  4  30 
cos  4  30 
sin  4  30 
sin  4  30 
A.
B.
C.
D.

.
.
.
.
cos  4  30 
cos  4  30 
sin  4  30 
sin  4  30 
Lời giải.
Chọn C.
Ta có :
sin  4  30 
2 cos 2 2  3 sin 4  1 cos 4  3 sin 4
.

A

sin  4  30 
2sin 2 2  3 sin 4  1
3 sin 4  cos 4
Câu 38. Kết quả nào sau đây SAI ?
sin 9 sin12

.
A. sin 33  cos 60  cos 3.
B.
sin 48 sin 81
1
1
4



.
C. cos 20  2sin 2 55  1  2 sin 65.
D.
cos 290
3 sin 250
3
Lời giải.
Chọn A.
sin 9 sin12

Ta có :
 sin 9.sin 81  sin12.sin 48  0
sin 48 sin 81
1
1
  cos 72  cos 90    cos 36  cos 60   0  2 cos 72  2 cos 36  1  0
2
2
1 5
 4 cos 2 36  2 cos 36  1  0 (đúng vì cos 36 
). Suy ra B đúng.
4
Tương tự, ta cũng chứng minh được các biểu thức ở C và D đúng.
Biểu thức ở đáp án A sai.
Câu 39. Nếu 5sin   3sin   2   thì :
tan

 

tan



2



A. tan      2 tan  .

B. tan      3 tan  .

C. tan      4 tan  .

D. tan      5 tan  .
Lời giải.

Chọn C.
Ta có :
5sin   3sin   2    5sin         3sin       

 5sin     cos   5cos     sin   3sin     cos   3cos     sin 

 2sin     cos   8cos     sin  

sin    
sin 
 tan      4 tan  .
4

cos    
cos 

3
3
; sin a  0 ; sin b  ; cos b  0 . Giá trị của cos  a  b  . bằng :
4
5
3
7
3
7
3
7
3
7
A. 1 
B.  1 
C. 1 
D.  1 
 .
 .
 .
.
5
4 
5
4 
5
4 

5
4 
Lời giải.
Chọn A.
Ta có :

Câu 40. Cho cos a 

Trang 11/12


3

7
cos a 
2
.
4  sin a  1  cos a 

4
sin a  0
3

4
sin b 
2
5  cos b   1  sin b   .

5
cos b  0

3  4
7 3
3
7
cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b  .    
.   1 
.
4  5 4 5
5
4 
b 1
b


a
 3
a

Câu 41. Biết cos  a   
và sin  a    0 ; sin   b  
và cos   b   0 . Giá trị
2 2
2


2
 5
2


cos  a  b  bằng:
A.

24 3  7
.
50

B.

7  24 3
.
50

22 3  7
.
50
Lời giải.

C.

D.

7  22 3
.
50

Chọn A.
Ta có :
 
b 1

cos  a  2   2
b
b
3
 



.
 sin  a    1  cos 2  a   

2
2
2
b






sin a 
0
 
2

 a
 3
sin  2  b   5
 


a

a
 4
 cos   b   1  sin 2   b   .

2

2
 5
cos  a  b 


  2

cos

ab
b
b a

a


 1 4 3 3 3 34

.
 cos  a   cos   b   sin  a   sin   b   .  .
10

2
2
2  2

2


 2 5 5 2

ab
24 3  7
1 
.
2
50
Câu 42. Rút gọn biểu thức : cos 120 – x   cos 120  x  – cos x ta được kết quả là
cos  a  b   2 cos 2

A. 0.

B. – cos x.

C. –2 cos x.
Lời giải.

D. sin x – cos x.

Chọn C.
1
3

1
3
sin x  cos x 
sin x  cos x
cos 120 – x   cos 120  x  – cos x   cos x 
2
2
2
2
 2 cos x

Câu 43. Cho biểu thức A  sin 2  a  b  – sin 2 a – sin 2 b. Hãy chọn kết quả đúng :
A. A  2 cos a.sin b.sin  a  b  .

B. A  2sin a.cos b.cos  a  b  .

C. A  2 cos a.cos b.cos  a  b  .

D. A  2sin a.sin b.cos  a  b  .
Lời giải.

Chọn D.
Ta có :

A  sin 2  a  b  – sin 2 a – sin 2 b  sin 2  a  b  

1  cos 2a 1  cos 2b

2
2

Trang 12/12


1
 cos 2a  cos 2b    cos 2  a  b   cos  a  b  cos  a  b 
2
 cos  a  b  cos  a  b   cos  a  b    2sin a sin b cos  a  b  .
 sin 2  a  b   1 

3
3
Câu 44. Cho sin a  ; cos a  0 ; cos b  ; sin b  0 . Giá trị sin  a  b  bằng :
5
4
1
9
1
9
1
9
1
9
A.   7   .
B.   7   .
C.  7   .
D.  7   .
5
4
5
4

5
4
5
4
Lời giải.
Chọn A.
Ta có :
3

4
sin a 
2
5  cos a   1  sin a   .

5
cos a  0
3

7
cos b 
2
.
4  sin b  1  cos b 

4
sin b  0
3 3  4 7 1
9
sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b  .     .
  7 .

5 4  5 4
5
4
1
1
Câu 45. Cho hai góc nhọn a và b . Biết cos a  , cos b  . Giá trị cos  a  b  .cos  a  b  bằng :
3
4
113
115
117
119
.
.
.
.
A. 
B. 
C. 
D. 
144
144
144
144
Lời giải.
Chọn D.
Ta có :
2

2

1
119
1 1
cos  a  b  .cos  a  b    cos 2a  cos 2b   cos 2 a  cos 2 b  1        1  
.
2
144
3  4
Câu 46. Xác định hệ thức SAI trong các hệ thức sau :
cos  40   
.
A. cos 40  tan  .sin 40 
cos 
6
.
B. sin15  tan 30.cos15 
3
C. cos 2 x – 2 cos a.cos x.cos  a  x   cos 2  a  x   sin 2 a.
D. sin 2 x  2sin  a – x  .sin x.cos a  sin 2  a – x   cos 2 a.
Lời giải.
Chọn D.
Ta có :
cos 40  tan  .sin 40  cos 40 

cos 40 cos   sin 40 sin  cos  40   
sin 

.
.sin 40 

cos 
cos 
cos 

A đúng.
sin15.cos 30  sin 30.cos15 sin 45
6


. B đúng.
cos 30
cos 30
3
cos 2 x – 2 cos a.cos x.cos  a  x   cos 2  a  x 

sin15  tan 30.cos15 

 cos 2 x  cos  a  x   2 cos a cos x  cos  a  x    cos 2 x  cos  a  x  cos  a  x 

 cos 2 x 

1
 cos 2a  cos 2 x   cos 2 x  cos 2 a  cos 2 x  1  sin 2 a. C đúng.
2
Trang 13/12


sin 2 x  2sin  a – x  .sin x.cos a  sin 2  a – x   sin 2 x  sin  a  x   2sin x cos a  sin  a  x  
1
 cos 2 x  cos 2a 

2
 sin 2 x  cos 2 a  sin 2 x  1  sin 2 a . D sai.
sin x  sin 2 x  sin 3 x
Câu 47. Rút gọn biểu thức A 
cos x  cos 2 x  cos 3 x
A. A  tan 6 x.
B. A  tan 3 x.
C. A  tan 2 x.
D. A  tan x  tan 2 x  tan 3 x.
Lời giải.
Chọn C.
Ta có :
sin x  sin 2 x  sin 3 x
2sin 2 x.cos x  sin 2 x sin 2 x  2 cos x  1
A


 tan 2 x.
cos x  cos 2 x  cos 3 x 2 cos 2 x.cos x  cos 2 x cos 2 x  2 cos x  1
Câu 48. Biến đổi biểu thức sin a  1 thành tích.
a  
a  
a   a  
A. sin a  1  2sin    cos    .
B. sin a  1  2 cos    sin    .
2 4
2 4
2 4 2 4

 sin 2 x  sin  a  x  sin  a  x   sin 2 x 

  

C. sin a  1  2sin  a   cos  a   .
2
2



  

D. sin a  1  2 cos  a   sin  a   .
2 
2

Lời giải.

Chọn D.
2

a
a
a
a 
a
a
a  
Ta có sin a  1  2sin cos  sin 2  cos 2   sin  cos   2sin 2   
2
2

2
2 
2
2
2 4
a  
 a 
a  
a  
 2sin    cos     2sin    cos    .
2 4
 4 2
2 4
2 4

Câu 49. Biết      



2
cot  .cot  bằng :
A. 2.

Chọn C.
Ta có :

    


2

và cot  , cot  , cot  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tích số
B. –2.

, suy ra cot   tan     

C. 3.
Lời giải.

D. –3.

tan   tan 
cot   cot 
2 cot 


1  tan  tan  cot  cot   1 cot  cot   1

 cot  cot   3.
Câu 50. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau.
A. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  cos A.cos B.cos C.
B. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 – cos A.cos B.cos C.
C. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  2 cos A.cos B.cos C.
D. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 – 2 cos A.cos B.cos C.
Lời giải.
Chọn C.
Ta có :
1  cos 2 A 1  cos 2 B

 cos 2 C

cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C 
2
2
2
 1  cos  A  B  cos  A  B   cos C  1  cos C cos  A  B   cos C cos  A  B 
 1  cos C cos  A  B   cos  A  B    1  2 cos A cos B cos C.

Trang 14/12