7 CUNG và góc LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ngọc huyền LB image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.63 MB, 51 trang )
The Best or Nothing
Chủ đề 6
Vấn đề cần nắm:
1. Bảng phân bố tần số,
tần suất
2. Số trung bình cộng,
trung vị, mốt
3. Phương sai và độ
lệch chuẩn
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CƠNG THỨC
LƯỢNG GIÁC
Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường trịn định
hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để
thực hiện các biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số và phương trình
lượng giác sẽ được đề cập tới trong sách Cơng Phá Tốn 2. Ngồi ra, kiến thức
chủ đề này là cơng cụ rất quan trọng đối với việc học vật lí sau này.
§1. Cung và góc lượng giác
A. Lý thuyết
1. Đơn vị đo góc và cung trịn
a. Độ
Đường trịn bán kính R có độ dài 2 R và có số đo 360° chia đường trịn thành
360 phần, 1 phần có độ dài
R
180
).
Vậy cung 1 có độ dài
STUDY TIP
2 R R
và có số đo 1 (góc ở tâm chắn cung
360 180
R
180
; cung a có độ dài
a R
.
180
b. Radian
Diện tích: S R 2
- Cung có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian (cung 1 radian).
Chu vi: C 2 R
- Góc ở tâm chắn cung radian gọi là góc có số đo 1 radian (góc 1 radian viết tắt là
1 rad)
Nhận xét:
+ Cung độ dài R có số đo 1 rad.
+ Đường trịn có độ dài 2 R có số đo 2 rad.
LOVEBOOK.VN | 1
Cơng Phá Tốn - Lớp 10
More than a book
+ Cung có số độ dài l có số đo
1
rad.
R
+ Cung có số đo rad có độ dài l .R
c. Liên hệ giữ độ và rad
360 2 (số đo đường trịn bán kính R)
STUDY TIP
Khi viết góc theo đơn vị
radian ta khơng viết chữ
rad sau số đo góc đó.
Ví dụ:
rad
2
thay cho
2
180 rad 1 rad
1
180
180
5717 ' 45''
rad 0, 0175 rad
Bảng chuyển đổi một số góc lượng giác đặc biệt:
Độ
Rad
30
45
60
90
120
135
150
180
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
Ví dụ 1: Một đường trịn có bán kính R 10cm . Tìm số đo (rad) của cung có độ
dài là 5cm.
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0,5
Lời giải
Theo cơng thức tính độ dài cung trịn l ta có:
l
5
0,5 rad
R 10
Đáp án D.
Ví dụ 2: Cho đường tròn O; R ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF. Khi đó số sso
cung của đường trịn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượt là:
A. 360 và 2
B. 360 và
C.
1080
và 6
D. 1080 và 6
Lời giải
AOB
ABCDEF là lục giác đều
360
60
6
OA OB AOB đều AB OA R Chu vi ABCDEF là 6R
LOVEBOOK.VN | 2
The Best or Nothing
Cung có độ dài 6R có số đo 6 rad
6 rad 6.
180
1080
Đáp án C.
2. Cung lượng giác, góc lượng giác và số đo của chúng
a. Đường tròn định hướng
- Đường tròn định hướng là đường trịn mà trên đó ta đã chọn một chiều là
dương, chiều ngược lại là chiều âm.
- Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ
là chiều âm.
b. Cung lượng giác
- Cho hai điểm A, B trên đường tròn định hướng. M chạy trên đường tròn treo
một chiều (chiều dương hoặc chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên một cung
lượng giác điểm đầu là A, điểm cuối là B. Kí hiệu AB
c. Góc lượng giác
- Khi M đi từ A tới B thì OM quay từ OA tới OB. Ta nói tia OM tạo ra một góc
lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OB.
Kí hiệu OA, OB .
- Số đo góc lượng giác OA, OB là số đo của cung lượng giác AB .
- Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn AB . Nếu OM quay theo chiều dương từ
OA tới OB tạo ra góc thì cung AB có số đo là k 2 k .
Kí hiệu: sđ AB .
Vậy:
Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ AB k 2 k .
Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ AB k 2 k
LOVEBOOK.VN | 3
Cơng Phá Tốn - Lớp 10
More than a book
d. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường trịn định hướng tâm O
bán kính R 1 , cắt Ox tại A 1;0 và A ' 1;0 ; cắt Oy tại B 0,1 và B ' 0,1 .
Ta lấy A là điểm gốc của đường trịn đó.
e. Biểu diện cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
- Để biểu diễn cung , ta xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho
sđ AM .
+ Nếu 2 360 , ta chọn điểm M sao cho
AOM (theo chiều
dương).
+ Nếu 2 , ta viết k 2 và ta chọn điểm M sao cho
AOM .
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác. M thuộc
AOM (M thuộc góc phần tư thứ tư). Số đo AM có thể
đường trịn sao cho
6
là giá trị nào sau đây?
A.
5
6
B.
C.
6
13
6
D.
11
6
Lời giải
Vì M thuộc góc phần tư thứ IV và
AOM 30 nên đây là góc tính theo chiều âm
AOM theo chiều dương là 2
sđ AM
6
k 2 k
11
k 2 k
6
11
k 2 k
6
Vì k nên chỉ có đáp án C thỏa mãn (với k 2 ).
Đáp án C.
Ví dụ 2: Cho bốn cung (trên một đường trịn định hướng):
3
;
10
;
3
LOVEBOOK.VN | 4
The Best or Nothing
5
7
;
. Các cung có điểm cuối cùng trùng nhau là:
3
3
A. và
B. và
C. và
D. và
Lời giải
3
điểm cuối là M 1 .
10 4
2 điểm cuối là M 3 .
3
3
5
2 điểm cuối là M 1 .
3
3
7
2 điểm cuối là M 4
3
3
Đáp án B
Ví dụ 3: Cung có điểm đầu là A và điểm cuối là M thì số đo của là:
A.
7
k
4
B.
7
k
4
C.
7
k 2
4
D.
7
k 2
4
Lời giải
Cung có điểm đầu là A và điểm cuối là M theo chiều dương có số đo là
7
k 2 k .
4
Đáp án D.
Ví dụ 4: Cho góc lượng giác OA; OB có số đo bằng
. Trong các số sau, số
12
nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác
OA; OB ?
A.
13
12
B.
25
12
C.
49
12
D.
19
12
Lời giải
+
13
;
12 12
49
4 ;
12 12
LOVEBOOK.VN | 5
Cơng Phá Tốn - Lớp 10
+
25
2 ;
12
12
More than a book
19 7
.
12
12
Đáp án C.
B. Các dạng toán điển hình
Ví dụ 4: Đổi số đo cung sau sang radian: 70 (làm trịn đến hàng phần nghìn).
A. 2,443
B. 1,222
C. 2,943
D. 1,412
Lời giải
Cách 1: Dùng công thức đổi từ độ sang radian
a
a
70
rad 70
rad 1, 222 rad
180
180
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:
- Chuyển sang chế độ Radian:
- Sau đó ấn:
Đáp án B.
5
rad .
6
C. 150
Ví dụ 2: Đổi số đo cung sau sang độ, phút, giây:
A. 4744 ' 47 ''
B. 3733'37 ''
D. 30
Lời giải
5
180
5 180
Cách 1: Dùng công thức: a rad = a.
rad=
6
6
Chuyển đổi sang độ, phút, giây bằng máy tính.
Nhập biểu thức
5.180
vào máy tính, sau đó ấn
6
ta được kết quả là A.
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:
- Chuyển sang chế độ:
Sau đó ẩn:
Đáp án A.
LOVEBOOK.VN | 6
The Best or Nothing
Ví dụ 3: Trên đường trịn lượng giác lấy điểm M sao cho
AOM 150 . Tính
diện tích hình giới hạn bởi điểm O và AM có thể là:
A.
5
(đvdt)
3
B.
5
(đvdt)
6
C.
5
(đvdt)
9
D.
5
(đvdt)
12
Lời giải
Diện tích hình trịn lượng giác là: S0 R 2 (đvdt)
sđ
AM
150 k 360
AOM 150
(k )
sđ AM 360 150 k 360 210 k 360
150 5
360 12
210 7
360 12
+ sđ AM 150 Stp
+ sđ AM 210 Stp
+ sđ AM 360 hoặc sđ AM 360 S
5
(đvdt)
12
Đáp án D.
Ví dụ 4: Trên đường tròn lượng giác lấy 4 điểm M 1 ; M 2 ; M 3 ; M 4 sao cho ngũ
giác AM 1M 2 M 3 M 4 là ngũ giác đều, sđ AM 3 là:
A. 27
B. 144
C. 60
D. 120
Lời giải
Vì AM 1M 2 M 3 M 4 là ngũ giác đều nên
360 72
AOM 1 M
1OM 2 M 2 OM 3 M 3OM 4 M 4 OA
5
sđ AM 3
AOM 3
AOM 4 M
3OM 4 144
Nếu M 1 , M 2 , M 3 , M 4 sắp xếp theo thứ tự ngược lại, ta vẫn có đáp án khơng đổi.
Đáp án B.
Ví dụ 5: Trên đường trịn lượng giác, số tập hợp n điểm M 1 , M 2 ,..., M n thỏa mãn
n điểm đó tạo thành một đa giác đều là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
LOVEBOOK.VN | 7
Cơng Phá Tốn - Lớp 10
More than a book
Lời giải
Để M 1M 2 ...M n là đa giác đều thì
STUDY TIP
Tập hợp n điểm tạo
thành 1 đa giác đều trên
đường tròn lượng giác là
tập hợp các điểm M thỏa
mãn:
sđ AM k
2
k
n
2
M
1OM 2 M 2 OM 3 M 3OM 4 ... M n 1OM n M n OM 1
n
Tập hợp các điểm cần tìm là tập hợp các điểm M thỏa mãn:
sđ AM k
2
k
n
Vì là góc bất kì nên có vô số tập hợp n điểm thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Đáp án D.
Ví dụ 6: Trên đường trịn lượng giác, cho cung lượng giác sđ AM có số đo
8,18 . Hỏi M nằm ở goác phần tư thứ mấy?
A. I
B. II
C. III
D. IV
Lời giải
Ta có: 8,18 2, 6 3 8,18 2,5
4 8,18 1,5 4
M nằm ở góc phần tư thứ III (M nằm giữa điểm và
3
)
2
Lưu ý: trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AM có số đo . Với
k ta có:
+ M nằm trong góc phần tư thứ nhất khi k 2
+ M nằm trong góc phần tư thứ hai khi
2
2
k 2 k 2
+ M nằm trong góc phần tư thứ ba khi k 2
+ M nằm trong góc phần tư thứ tư khi
k 2
3
k 2
2
3
k 2 2 k 2
2
Đáp án C.
LOVEBOOK.VN | 8
The Best or Nothing
Ví dụ 7: Trên đường trịn lượng giác, cho điểm M xác định bởi sđ AM . Gọi
M 1 là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d thỏa mãn đường thẳng này cắt
AOD 0 . Cung AM
đường trịn tại D (D có tung độ khơng âm) và
có số đo . Khi đó số đo của cung lượng giác AM 1 là:
A. 2 k 2
B. 2 k 2
C. 2 k 2 D. 2 k 2
Lời giải
Dễ thấy đường thẳng d là trục đối xứng của đường tròn nên M 1 đối xứng với M
qua d cũng thuộc đường tròn lượng giác.
STUDY TIP
Với M 1 đối xứng với M
qua d. d cắt O tại D
tung độ không âm) và
AOD ; sđ
AM
Thì số sđ
AM 1 2 k 2
Gọi giao điểm của d với O là D yD 0
Vì M 1 đối xứng với M qua d sđ AM sđ DM 1
Ta có: MD AD AM sđ MD sđ DM 1
Lại có : AM 1 AD DM 1 sđ AM 1 2
sđ AM 1 2 k 2
Đây là trường hợp với 0 90, có giá trị dương. Những trường hợp khác
chứng minh tương tự ta vẫn có kết quả như trên
Đáp án A.
Ví dụ 8: Chọn điểm A 1;0 làm điểm đầu cung lượng giác trên đường trịn
lượng giác. Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo
27
.
4
A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ nhất
B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ hai
C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ ba
D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ tư
Lời giải
sđ AM
27
3
3
6
AOM
4
4
4
LOVEBOOK.VN | 9
Cơng Phá Tốn - Lớp 10
More than a book
M là điểm chính giữa cung phần tư thứ hai.
Đáp án B.
Ví dụ 9: Một đường trịn bán kính 20cm. Tính độ dài cung trên đường trịn có số
đo
(tính gần đúng đến hàng phần trăm).
16
A. 3,92
B. 3,93
C. 24,67
D. 24,68
Lời giải
Cung có số đo 1 rad có độ dài là R 20cm
Cung có số đo
16
rad có độ dài là:
16
R 3,93cm .
Đáp án B.
Ví dụ 10: Khi biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn trên lượng giác. Khẳng
định nào dưới đây là sai?
A. Điểm biểu diễn cung và cung đối xứng qua trục tung
B. Điểm biểu diễn cung và cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ
C. Mỗi cung lượng giác được biểu diễn bởi một điểm duy nhất
D. Cung và cung a k 2 k có cùng điểm biểu diễn
Lời giải
Điểm biểu diễn của cung và cung đối xứng nhau qua trục hồnh.
Đáp án B.
Ví dụ 11: Cho 2 góc lượng giác có sđ
Ox; Ov
Ox; Ou
5
m2
2
và sđ
n 2 m, n . Chọn khẳng định đúng.
2
A. Ou và Ov đối xứng
B. Ou và Ov vng góc
C. Ou và Ov trùng nhau
D. Ou và Ov tạo với nhau một góc
4
Lời giải
LOVEBOOK.VN | 10
The Best or Nothing
Ta có: sđ Ox; Ou
5
m2 2 m2 m 1 2 với m
2
2
2
Vậy n m 1
Do đó Ou và Ov trùng nhau.
Đáp án C.
LOVEBOOK.VN | 11
Cơng Phá Tốn - Lớp 10
More than a book
C. Bài tập rèn luyện kĩ năng
mãn AN
Xem đáp án chi tiết tại trang 268
Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm
M sao cho AM
2
k 2 . Khi đó diện tích
5
hình quạt OAM là:
A.
B.
5
2 2
C.
5
2
5
D. Khơng xác định.
3 1
M
; . Khi đó số đo cung AM là:
2
2
C.
3
6
k 2
B.
k 2
D.
3
6
k 2
AM ' k 2 ;
AM '' k 2 0 , 2 . Giá trị
là:
5
C.
9
5
D.
7
5
Câu 4: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm
M thỏa mãn AM
C. 128 k 360
D. 138 k 360
A. M 1;0
5 2 11
B. M
;
7
7
3 4
C. M ;
5 5
1 2
D. M ;
2 2
, biết
Câu 6: Tính số đo của góc hình học uOv
B. 45
C. 145
D. 235
, biết
Câu 7: Tính số đo của góc hình học uOv
3
k 2 . Khi đó gọi M ', M '' lần
5
lượt là điểm đối xứng của M qua Ox, Oy. Gọi
B. 118 k 360
A. 145
M thỏa mãn
B.
A. 108 k 360
góc lượng giác Ou; Ov có đo bằng 1945 .
k 2
Câu 3: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm
A. 2
xứng của M qua ON. Khi đó số đo AM ' là:
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào
dưới đây khơng thuộc đường trịn lượng giác?
Câu 2: Trên đường tròn lượng giác, cho
A.
13
k 2 . Gọi M ' là điểm đối
12
7
k 2 , điểm N thỏa
5
góc lượng giác Ou; Ov có đo bằng 2550 .
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
Câu 8: Trong các khẳng định sau, khẳng định
nào đúng?
A. Góc lượng giác Ou; Ov có số đo dương
thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối
với nó có số đo dương
B. Góc lượng giác Ou; Ov có số đo dương
thì mọi góc lượng giác Ou; Ov có số đo âm
; u
C. Hai góc hình học uOv
' Ov ' bằng nhau thì
LOVEBOOK.VN | 12
The Best or Nothing
số đo của các góc lượng giác
Ou; Ov
và
Ou '; Ov ' sai khác nhau bội nguyên 2
D.
Số
Ou; Ov
đo
Ou '; Ov '
11
6
và
Câu 12: Đổi số đo
68
rad thành số đo độ ta
5
được:
số
đo
A. 2484 B. 4896
C. 2448
D. 4243
13
u
thì uOv
' Ov '
6
Câu 9: Cho đường trịn bán kính R 2m . Khi
đó độ dài cung có số đo 30 là:
A.
3
m
B.
2
m
3
C.
6
m
D.
5
m
6
Câu 10: Trong các hình sau, có bao nhiêu hình
có tan AM khơng xác định?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 11: Góc 120 có số đo bằng radian là:
A.
2
3
B.
3
C.
5
6
D.
6
LOVEBOOK.VN | 13
Cơng Phá Tốn - Lớp 10
§2. Giá trị lượng giác của một cung.
Công thức lượng giác
A. Lý thuyết và các dạng tốn điển hình
I. Giá trị lượng giác của
cung α trên đường trịn
lượng giác
1. Trên đường trịn lượng
AM có sđ
giác, cho cung
AM (còn viết
AM
More than a book
- sin , cos , tan , cot gọi là các giá trị
lượng giác của góc α.
- Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục
cosin.
2. Hệ quả
a. sin , cos xác định với , ta có:
sin k 2 sin k
cos k 2 cos k
b. Vì 1 OK 1; 1 OH 1 nên ta có:
). Gọi H, K lần lượt là hình
1 sin 1
chiếu của M lên Ox, Oy thỏa mãn M x; y
x OH ; y OK .
c. Với m mà 1 m 1 đều tồn tại và
Ta có: + Tung độ y của M là sin của góc α:
sin sin y OK
sao cho sin m và cos m
d. tan xác định với
+ Hồnh độ x của M
là cosin của góc α:
cos cos x OH
+ Với cos 0 , tỉ
2
k k
cot xác định với k k
e. Dấu của giá trị lượng giác của góc α phụ
thuộc vào vị trí điểm cuối cùng
AM trên
đường trịn lượng giác
sin
số
gọi là tang
cos
của
góc
α:
tan tan
1 cos 1
sin
cos
+ Với sin 0 , tỉ số
cos
gọi là cotang của
sin
góc α: cot cot
cos
sin
Góc
phần
tư
Giá
trị
lượn
g
giác
cos
I
II
III
IV
0;
2
;
2
3
;
2
3
; 2
2
+
LOVEBOOK.VN | 14
The Best or Nothing
sin
tan
cot
+
+
Chú ý: tan k tan k
+
+
cot k cot k
+
+
Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức P sin x với x 420 .
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
sin
cos
tan
0
0
1
6
4
3
2
2
3
2
1
2
3
2
2
2
1
0
3
1
cot |
3
1
|
1
2
2
2
3
3
4
5
6
1
3
2
2
2
1
2
0
3
||
1
3
0
3
2
B.
0
2
3
1
2
2
1
2
3
2
C.
1
2
Lời giải
Ta có 420
7
2
3
3
3
P sin 420 sin 2 sin
3
2
3
Đáp án A.
3
A.
1
1
3
1
1
3
3
0
||
Ví dụ 2: Giá trị của cot
A.
2
2
B. 1
Kẻ tiếp tuyến t ' At với đường trịn lượng giác
Ta có: cot
Trục t ' At gọi là trục tang.
Đáp án D.
Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức P sin x x với x 390 là:
A. 390,5
B. 389,5
b. Ý nghĩa hình học của cotang
Kẻ tiếp tuyến s ' Bs của đường tròn lượng giác
C.
13 1
6
2
Lời giải
tại B.
Gọi S OM s ' Bs . Khi đó cot BS .
2
2
81
cot 20 cot 1 .
4
4
4
tại A.
Gọi T OM t ' At . Khi đó tan AT .
C.
Lời giải
4. Ý nghĩa hình học của tang và cotang
a. Ý nghĩa hình học của tang
81
là:
4
Ta có: 390
13
(rad)
6
LOVEBOOK.VN | 15
Cơng Phá Tốn - Lớp 10
P sin x x sin
.
More than a book
13 13
tan
13 31 .cot
13 3 1 (3) đúng.
13
sin 2
sin
6
6
6
6
2
6
6
6
3
0 0 3
(góc phần tư thứ I, II
2
2
Đáp án C.
và III)
Ví dụ 4: Cho 0
2
góckhẳng
phần định
tư thứsau:
I, cos 3 0 (4) sai.
. Tìm số khẳng định đúng trongỞcác
0 2
(góc
phần
(1) sin .cos 0
sin 2 0 (5) đúng.
3
.sin 0
(2) tan
2
Vậy khẳng định 1, 3, 5 đúng.
1. tan
(5) sin 2 0
C. 3
Lời giải
Vì 0
2
đúng.
2
sin
k , k
cos
2
D. cos
4
2. cot
k , k
sin
điểm cuối M thuộc góc phần
sin 0;cos 0 sin .cos 0 (1)
II)
3. sin 2 cos 2 1
tư thứ nhất
0
I,
II. Hệ thức lượng giác cơ bản
(4) cos 3 0
B. 2
thứ
Đáp án C.
(3) tan 3 .cot 3 1
A. 1
tư
3
3
(góc phần tư thứ
2
2
4. 1 tan 2
1
k , k
2
cos
2
5. 1 cot 2
1
k , k
sin 2
6. tan .cot 1 k
2
ba)
3
3
tan
0 tan
.sin 0
2
2
(2) sai.
tan 3 tan
sin
cos
cot 3 cot
cos
sin
7. cot
1
k
tan
2
LOVEBOOK.VN | 16
The Best or Nothing
Ví dụ 1: Cho sin
A.
3
5
Đáp án B.
4
3
và
. Giá trị của cos là:
5
2
Ví dụ 3: Giá trị sin 6 x cos 6 x bằng giá trị nào sau đây?
3
3
9
B.
C.
A. 1 D.
2sin 2 x.cos 2 x
B. sin 4 x cos 4 x
5
5
25
C.
Lời giải
Ta
1
1
6
tan x 1 cot x 1
D. 1 3sin 2 x.cos 2
6
có
4
sin cos 1 cos 1 sin 1
5
2
2
2
Lời giải
2
2
3
Hay
STUDY TIP
3
cos +) sin 6 x cos6 x
9
5
cos 2
.
3 1 3sin 2 x cos 2 x
25
cos
5 sin 4 x cos 4 x
+)
3
3
cos
. 1 2sin 2 x cos 2 x
2
5
sin 6 x cos 6 x sin 2 x cos 2 x 3sin 2 x.cos 2 x sin 2 x co
sin 6 x cos 6 x sin 2 x cos 2 x sin 4 x sin 2 x.cos 2 x cos 4
Vì
sin 4 x cos 4 x sin 2 x.cos 2 x
sin 2 x cos 2 x 2sin 2 x.cos 2 x sin 2 x.cos 2 x 1 3sin 2
2
Đáp án B.
.
Đáp án D.
Ví dụ 2: Cho tan 2 . Khi đó giá trị sin .cos gần nhất với giá trị nào sau
đây?
A. 2
B. 1
C. 1
1 sin 2 a.co
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
cos 2 a
D. 2
A. 0
B. 2
C. 1
Lời giải
Lời giải
1
tan 2
1 tan 2 1 4 5
cos
cos 2
Ta
1
4 4
sin 2 1 cos 2 1
5
5 5
sin
Mặt khác ta thấy tan 2
cos
sin , cos trái dấu
sin .cos
4 2
.
25 5
nên
có:
P
1 sin 2 a.cos 2 a
cos 2 a
cos 2 a
(ĐK:
cos a 0 )
sin 2 a cos 2 a sin 2 a.cos 2 a
cos 2 a
2
cos a
sin 2 a
1 sin 2 a cos 2 a tan 2 a 0 a
2
cos a
thỏa mãn cos a 0
LOVEBOOK.VN | 17
Cơng Phá Tốn - Lớp 10
Dấu “=” xảy ra sin a 0 cos a 1 (thỏa
III. Hệ thức liên hệ giữa các cung đặc biệt
mãn ĐKXĐ)
1. Cung đối nhau ( và )
STUDY TIP
Cos - đối
Đáp án A.
sin sin
tan tan
Ví dụ 5: Trong các biểu thức Sin
sau,- bù
biểu thức nào không phụ
cos thuộc
vào
cosbiến
x?
A. sin 2 x 2 cos 2 x
Phụ chéo
cot co
2. Cung bù nhau ( và )
B. 2 sin 6 x cos 6 x 3 sin 4 x cos 4 x
sin a sin
tan
C. tan 2 x cot 2 x 1
cos cos
cot
D. 2
1
sin 2 x
3. Cung phụ nhau ( và
Lời giải
TIP
c đáp án
More than a book
+
sin 2 x 2 cos 2 x sin 2 x cos 2 x cos 2 x 1 cos 2 x
(loại)
+ 2 sin 6 x cos 6 x 3 sin 4 x cos 4 x
2 1 3sin x.cos x 3 1 2sin x.cos x 1
2
2
2
2
(thỏa mãn).
Đáp án B.
2
)
sin cos
2
tan c
2
cos sin
2
cot t
2
4. Cung hơn kém
2
( và
2
)
sin cos
2
tan
2
cos sin
2
cot
2
5. Cung hơn kém ( và )
sin sin
tan ta
cos cos
cot co
LOVEBOOK.VN | 18
The Best or Nothing
Ví dụ 1: Giá trị cos
A.
3
2
29
là:
3
B.
1
2
Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức: B tan10.tan 20.tan 30...
C.
3
2
D.
1
2
C. 8
Lời giải
B tan10.tan 20.tan 30...tan 80 cot 80.cot 70.cot 60
Lời giải
cos
B. 1
A. 1
29
1
30
B 2 tan10
.cot10 tan 20.cot 20 ... tan 80.cot 80
cos
cos 10 cos
cos
3
3
3
3 2
3
3
Đáp án B.
3
Ví dụ 2: Cho tan 2 . Giá trị của cot
là:
2
A.
1
2
B. 2
C.
1
2
Mặt
3
cot
2
0 B 1
Đáp án B.
Ví dụ 4:D.
Cho
2 ABC . Khi đó đẳng thức nào sau đây là sai?
A. sin B sin A C
C. cos
cot tan 2
2
Lưu ý: Có thể dùng máy tính bằng cách ấn
, ta được góc , sau đó
tính biểu thức bằng cách nhập vào màn hình
1
3
tan Ans
2
ta được kết quả như trên (để
do
tan10, tan 20, tan 30,..., tan 80 đều lớn hơn
Lời giải
Ta có: tan 2 tan 2
B0
khác
B. cos B C
3 A B C
sin 2 A
2
D. tan
Lời giải
Vì A B C nên sin B sin A C
A B C
Vì
nên
A 2C B C cos B C cos A 2C
Vì
3 A B C
3 A B C
sin
(phụ
2
2
2
chéo)
chế độ Radian).
Đáp án D.
A B 2C
2
sin
A B C 3A B C
sin 2 A
2
Vậy C sai.
LOVEBOOK.VN | 19
Cơng Phá Tốn - Lớp 10
More than a book
Đáp án C.
STUDY TIP
IV. Cơng thức lượng giác Có thể dùng máy tính tìm
ra giá trị góc α thỏa mãn
u cầu đề bài và tìm giá
trị của biểu thức đã cho.
1. Cơng thức cộng
Lời giải
sin sin cos cos sin
4
4
4
cos cos cos sin sin
tan a 4tan
4
4
b
tan a b
1 tan a tan b
Khi
đó
tan a tan b
1
tan a b
B 1sin
cosb sin cos sin cos 0 . 2
tana tan
4
4
4
4
3
. cot a cot b 1
cot a b
cot b cot a
Đáp án B.
cos a b cos a cos b sin a sin b
cos a b cos a cos b sin a sin b
sin a b sin a cos b cos a sin b
cot a cot b 1
cot a b
Ví cot
dụ b3:Biểu
cot athức A sin 3 cos không thể nhận giá
sin a b sin a cos b cos a sin b
STUDY TIP
A. 1
Công thức biến đổi:
B.
a sin b cos
Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức A2 sin
là:
a
2
a b 3 4 sin
2
2
A.
6 2
4
B.
a b
6 b2 cos
6
C.
2
2
a
b
4
4
a 2 b 2 cos sin
3
C. 2 3
Lời giải
1
3
A sin 3 cos 2 sin . cos .
2
2
2
6 2
D.
4
2 sin .cos cos .sin 2sin
3
3
3
Lời giải
2 A 2 ( )
3 2 1 2
6 2
sin sin cos cos sin a .
.
3
4 (với cos
3 4
2 ;2 2 2
4
3 4
sin cos
Đáp án C.
a 2 b2
sin
b
Đáp
án
) A.
a b2
2
1
B sin cos
Ví dụ 2: Cho cos . Khi
trị biểu
đó
a 2 giá
b 2 .sin
thức
4
4
3
là:
A.
2
3
B.
2
3
C.
2 2 1
3
3
D.
2 2 1
3
3
LOVEBOOK.VN | 20
, C là
a mãn
A, B, C
có giá
g đẳng
ận.
The Best or Nothing
2. nào
Cơng
thứcđúng?
nhân đơi
Ví dụ 4: Cho ABC , trong các đẳng thức sau, đẳng thức
không
A. sin
B.
sin 2a 2sin a cos a
A
B
C
B
C
cos cos sin sin
2
2
2
2
2
cos 2a cos 2 a sin 2 a 2 cos 2 a 1 1 2sin 2 a
tan 2 A tan 2 B
tan A B tan C
1 tan 2 A tan 2 B
C. cot A cot B cot B cot C cot C cot A 1
D. sin 2
A
B
C
A
B
C
sin 2 sin 2 2sin sin sin
2
2
2
2
2
2
Lời giải
tan 2a
2 tan a
1 tan 2 a
cot 2a
cot 2 a 1
2 cot a
Hệ quả:
* Công thức hạ bậc:
* Công thức nh
+
1 cos 2a
2
A
B
C
Bsin ac
A
BC
2
sin cos cos
cos cos sin sin
2
2
2
2
2
2
2
2
1 cos 2a
cos 2 a
2
1 cos 2a
tan 2 a
tan 2 A tan 2 B
tan A B tan A B
+
1 cos 2a
1 tan 2 A tan 2 B
1 cos 2a
cot 2 a
1 cos 2a
tan A B tan A B tan A B tan C
cos 3 x 4 cos3
tan 3 x
* Công thức chia đôi (tính theo tan
+ cot A cot B cot B cot C cot C cot A
Có
cot C cot A B cot A B
sin 3 x 3sin x
1 cot A cot B
cot A cot B
Đặt tan
3 tan x
1 3
a
):
2
a
2t 2 1 cos a
1 t2
t tan a
;
t
cos
a
;
2
1 t2
1 cos a
1 t2
cot A cot B cot C cot A cot B cot A cot B 1 cot A cot B
5
3
;
. Khi
13
2
sin 2 cos 2 tan 2 gần nhất với giá trị nào?
Ví
Vậy D sai.
Đáp án D.
STUDY TIP
Có thể dùng máy tính dị
kết quả góc α và dùng
quan hệ giữa các cung
lượng giác đặc biệt để
thỏa mãn yêu cầu đề bài
và tính ra kết quả.
dụ
A. 2
1:
Cho
sin
B. 1
C. 1
Lời giải
LOVEBOOK.VN | 21
đó
Cơng Phá Tốn - Lớp 10
Vì sin
More than a book
5
; thuộc góc phần tư thứ III nên
13
cos 0 .
Ví dụ 3: Cho cot
14
a . Khi đó giá trị biểu thức K sin
là:
52 12
5
Vậy cos 1 2
tan
13
13
12
Có:
sin 2 cos 2 tan 2 2sin cos 1 2sin 2
A. a
B.
4a a 2 1 3a 2 1
2 tanC.
3
1,508
a 2 1
2
1 tan
D.
a
2
a
2
1
3
4a a 2 1 3a 2
.
Đáp án D.
Lời giải
Ta có:
Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức A cos x.cos 2 x.cos 4 x...cos 2n x ta được kết quả là:
2
1
1 2
sin n 2 x 1
sin 2n 1 x
sin nx
n
1
2
a
6
A.
B. n 1
C.
D. cos 2 x
a
a
sin
;cos
2 sin x
n sin x
x 14 a sin 7
n 2 sin tan
1 a2 1
1
7
7
1 2
1 2
a
a
Lời giải
2
2
4a a 1
sin
2sin cos
2
7
7
7
1
n
n
a 2 1
A.sin x sin x.cos x.cos 2 x...cos 2 x sin 2 x.cos 2 x...cos 2 x
2
4
3
sin
sin
3sin 4sin 3
7
7
7
7
1
1
2 sin 22 x cos 22 x...cos 2n x n sin 2n x cos 2n x
2
2
4
6
sin
sin
4sin 4sin 3 4sin 1 sin 2
7
7
7
7
7
7
Có
A
sin 2n 1 x
2n 1 sin x
4sin
Đáp án B.
7
.cos 2
7
2sin
2
cos
7
7
Khi đó:
2
2
4a a 1 2a 2 2 a 2 1 4a
K sin
.
2 cos 1
7
7 a 2 12
a2 1
Đáp án C.
LOVEBOOK.VN | 22
The Best or Nothing
3. Công thức biến đổi tổng thành tích
Đáp án C.
sin Ví
a dụb 2: Biểu thức nào sau đây phụ thuộc vào biến x?
cos a cos b
2
4
A. cos x cos x
cos x
sin a b
ab
a b
3
3
tan a tan b
cos a cos a 2sin
sin
cos a cos b
2
2
2
4
B. sin x sin x
sin x
sin a b
ab
a b
3
3
cot a cot b
sin a sin b 2sin
cos
sin a sin b
2
2
2
4
2
2
x cos 2 x
cos x
sin bC.
acos
ab
a b
3
3
cot a cot b
sin a sin b 2 cos
sin
sin a sin b
2
2
2
4
2
D. sin 2 x sin 2 x
sin x
3
3
4. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
cos a cos b 2 cos
sin a cos b
sin a sin b
cos a cos b
ab
a b
cos
2
2
tan a tan b
Lời giải
1
sin a b sin a b
2
2
+) sin x sin x
3
1
cos a b cos a b
2
4
sin x sin x
3
1
cos a b cos a b
2
2
2sin x
3
Ví dụ 1: Biểu thức thu gọn của biểu thức A
A. sin 3a
B. cos 3a
2
sin x
3
2
2
sin x
cos
3
3
2
sin a sin 3a sin 52a
sin x
1 0
là:
2 cos
3
cos a cos 3a cos 5a3
C. tan 3a
D. 1 tan
3a 2
+) cos 2 x cos 2 x
3
Lời giải
sin a sin 5a sin 3a
sin a sin 3a sin 5a
A
cos a cos 3a cos 5a cos a cos 5a cos 3a
4
sin x
3
4
2
cos x
3
4
cos 2 x
cos 2 x 1
3
2
2
8
1 cos 2 x
3
2
1
2sin 3a cos 2a sin 3a sin 3a 2 cos 2a 1
tan 3a
2 cos 3a cos 2a cos 3a cos 3a 2 cos 2a 1
.
LOVEBOOK.VN | 23
Cơng Phá Tốn - Lớp 10
More than a book
4
cos 2 x
3
3 1
4
4
4 3
2 cos 2 x
cos 2 x
cos
2 2
3
3
3 2
3 1
8
cos 2 x cos 2 x
2 2
3
2
4
+) cos x cos x
cos x
3
3
2
2
2
2 cos x
cos x
cos
0
3
3
3
Đáp án D.
Ví dụ 3: Giá trị của tổng
S
1
1
1
khi a
là:
...
n 1
cos a cos 2a cos 2a cos 3a
cos na cos n 1 a
1
A.
cos
n 1
B.
1
cos
C. 1 cos
n 1
D. 1 cos
n
n
Lời giải
Ta có:
S .sin a
sin n 1 a na
sin 2a a sin 3a 2a
...
cos a.cos 2a cos 2a.cos 3a
cos na cos n 1 a
tan 2a tan a tan 3a tan 2a ... tan a n 1 tan na
tan n 1 a tan a tan tan a tan a
S
tan a
1
1
sin a
cos a cos
n 1
Đáp án A.
LOVEBOOK.VN | 24
The Best or Nothing
Câu 5: Cho 5sin 12 cos 13 . Khi đó giá trị
B. Bài tập rèn luyện kĩ năng
tan là:
Xem đáp án chi tiết tại trang 268
A.
Câu 1: Cho phương trình:
5
cos 2 x 4 cos x .
3
6
2
phương trình nào dưới đây?
A. 4t 8t 3 0
B. 4t 8t 3 0
C. 4t 2 8t 5 0
D. 4t 2 8t 5 0
A
C.
3 sin 2 cos
là:
3 cos 2 2 sin 2
D.
A. 0
sin cos cos
là
cos3 sin 3
B.
3 1
1 3 3
Câu 4: Tính A
A. 1 3
3 1
1 3 3
C.
2
1 3
A. 0
B. 1
C. 2
6
D. 3
. Tính giá trị:
2
A. P 2 3
B. P 2 3
C. P 3 2
D. P 3 2
8:
Rút
gọn
biểu
thức:
B. sin 3x
C. sin x
D.
sin 3x
Câu 9: Tính sin 2 2x biết:
1
1
1
1
2
7
2
2
tan x cot x sin x cos 2 x
D. 1
3 1
cot tan
với cos
.
2
cot tan
B. 1 3
cos x a sin x 1
có giá trị lớn nhất là 1?
cos x 2
A. sin x
3
C.
13
12
bằng:
32 2
2 3 2
A
D.
A 4sin x sin x sin x ta được kết quả
3
3
Câu 3: Cho tan 3 , giá trị biểu thức:
2
A
Câu
32 2
B.
2 3 2
32 2
2 3 2
12
13
2
2
32 2
A.
2 3 2
C.
cos cos sin sin .
P
2
2
sin cos sin cos
2
, giá trị biểu thức:
2
2
5
13
Câu 7: Cho
2
Câu 2: Với tan
B.
Câu 6: Có bao nhiêu giá trị a thỏa mãn
Nếu đặt t cos x phương trình đã cho trở thành
6
2
5
12
D.
2
1 3
A.
Câu
S
4
9
B.
8
9
C.
2
9
D.
10:
16
9
Tổng:
1
1
1
1
...
là:
sin a sin 2a sin 4a
sin 22018 a
LOVEBOOK.VN | 25
