Bài 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC của một CUNG nhóm ĐHSPHN image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.09 MB, 24 trang )
CHUN ĐỀ 6. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Mục tiêu
Kiến thức
+ Củng cố số đo cung và góc trên đường tròn lượng giác.
+ Biểu diễn được một cung trên đường tròn lượng giác.
+ Nắm được các giá trị lượng giác của một cung.
Kĩ năng
+ Xác định được dấu của giá trị lượng giác các cung đặc biệt.
+ Tính được giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
+ Tính được giá trị của các biểu thức lượng giác với điều kiện cho trước.
Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Giá trị lượng giác của cung
- Trên đường trịn lượng giác cho cung AM có sđ AM .
Tung độ y OK của điểm M gọi là sin của và kí hiệu là sin .
sin OK .
Hoành độ x OH của điểm M gọi là cơsin của và kí hiệu là cos .
cos OH .
Nếu cos 0, tỉ số
sin
được gọi là tang của và kí hiệu là tan
cos
(hoặc tg ).
tan
Nếu sin 0, tỉ số
sin
cos
cos
được gọi là cơtang của và kí hiệu là cot
sin
(hoặc cotg ).
cot
cos
.
sin
Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
- Với hai cung đối nhau: và .
cos cos ;
sin sin ;
tan tan ;
cot cot .
- Với hai cung bù nhau: và .
sin sin ;
cos cos ;
tan tan ;
cot cot .
- Với hai cung phụ nhau: và .
2
sin cos ;
2
cos sin ;
2
tan cot ;
2
cot tan .
2
- Với hai cung hơn kém : và .
sin sin ;
cos cos ;
Trang 2
tan tan ;
cot cot .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
Phương pháp giải
Ví dụ:
Để xác định dấu của giá trị lượng giác của góc (cung), ta thực
hiện các bước sau:
a) Xét dấu của sin
3
.
4
- Xác định xem điểm ngọn cung thuộc góc phần tư nào của mặt b) Xét dấu của sin30.cos100.
Hướng dẫn giải
phẳng tọa độ.
- Dùng định nghĩa giá trị lượng giác xác định dấu của các giá trị
lượng giác cần xét dấu.
Góc
a) Ta có
I
II
III
IV
của cung
cos
_
_
sin
sin
_
_
tan
_
_
cot
_
_
phần tư
2
3
nên điểm ngọn
4
3
thuộc góc phần tư II nên
4
3
0.
4
b) Vì 0 30 90 nên điểm ngọn
của cung 30 thuộc góc phần tư thứ I.
Do đó sin30 0.
Vì 90 100 180 nên điểm ngọn
của cung 100 thuộc góc phần tư thứ
II. Do đó cos100 0.
Vậy sin30.cos100 0.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét dấu của các biểu thức sau
a) tan
4
.
3
11
.
4
b) sin100.cos
Hướng dẫn giải
a) Vì
Vậy tan
4 3
4
nên điểm ngọn của cung
thuộc góc phần tư thứ III.
3
2
3
4
0.
3
b) Vì 90 100 180 nên điểm ngọn của cung 100 thuộc góc phần tư thứ II
sin100 0.
Trang 3
11 3
3
11
2 . Mà
nên điểm ngọn của cung
thuộc góc phần tư thứ II
4
4
2 4
4
Ta có
cos
11
0.
4
11
0.
4
Vậy sin100.cos
Ví dụ 2. Khẳng định nào sau đây đúng?
500
A. cot
3
0.
500
C. sin 2450o .cot
3
B. sin 2450 0.
0.
500
D. cot
3
0.
Hướng dẫn giải
Ta có 2450 70 7.360.
Vì 0 70 90 nên điểm ngọn cung 2450 thuộc góc phần tư thứ I
sin 2450 0 .
Ta có
Vì
500 4
84.2 .
3
3
4 3
500
nên điểm ngọn cung
thuộc góc phần tư thứ III.
3
2
3
500
cot
3
0.
500
Do đó sin 2450 .cot
0.
3
Chọn D.
Ví dụ 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin 400.cos 3700 .cot 8800 0.
B. sin 400 0.
C. cos 3700 .cot 8800 0.
D. cot 8800 0.
Hướng dẫn giải
Cách 1.
Ta có 400 40 360. Vì 0 40 90 nên điểm ngọn cung 400 thuộc góc phần tư thứ I
sin 400 0 (B sai).
Trang 4
Ta có 3700 260 11.360. Vì 180 260 270 nên điểm ngọn cung 3700 thuộc góc phần tư
thứ III cos 3700 0.
Ta có 8800 200 25.360. Vì 180 200 270 nên điểm ngọn cung 8800 thuộc góc phần tư
thứ III cot 8800 0 (D sai).
Vậy sin 400.cos 3700 .cot 8800 0 (A sai); cos 3700 .cot 8800 0 (C đúng).
Chọn C.
Cách 2. Ngoài sử dụng phương pháp như trên, ta có thể nhờ sự hỗ trợ từ máy tính bỏ túi fx-570VN. Thao
tác bấm như sau:
- Reset máy tính:
- Chuyển về hệ độ:
- Ở đây để ý rằng trong máy tính bỏ túi khơng có hàm cot.
Do đó khi gặp hàm cot ta sẽ chuyển thành hàm
1
tan
.
Ta lần lượt kiểm tra các đáp án.
Ví dụ đáp án A, ta bấm các phím trên máy tính lần lượt như sau:
- Kết quả ra được là 0,366703992 0.
Vậy sin 400.cos 3700 .cot 8800 0. Do đó A sai.
Các đáp án khác kiểm tra tương tự.
Chọn C.
Ví dụ 4. Cho 0 90. Xét dấu của
a) sin 360 .
b) sin 90 .
Hướng dẫn giải
a) Ta có sin 360 sin .
Vì 0 90 nên điểm ngọn cung thuộc góc phần tư thứ I.
Trang 5
Vậy sin 360 0.
b) Ta có 0 90 0 90 90 90 90 90 90 180 nên điểm ngọn cung
90 thuộc góc phần tư thứ II.
Vậy sin 90 0.
Ví dụ 5. Cho tan x
A.
5
.
5
1
2013
2015
x
. Giá trị của sin x là
và
2
2
2
B.
5
.
5
C.
2 5
.
5
D.
2 5
.
5
Hướng dẫn giải
Ta có
2013
2015
3
x
1006 x 1006 x
.
2
2
2
2
2
2
Do đó x thuộc góc phần tư thứ II và thứ III cos x 0.
Mà 1 tan2 x
1
1
2 5
.
nên cos x
2
5
cos x
1 tan2 x
Suy ra sin x cos x.tan x
Vậy sin x
2 5 1
5
.
.
5
2
5
5
.
5
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Giá trị lượng giác nào sau đây mang dấu dương?
3
A. sin .
4
11
B. cos
.
4
C. cos .
2
33
D. cot
.
4
Câu 2: Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị sin, tan trái dấu?
A. 30.
B.
4
.
C. 359.
D. 91.
Câu 3: Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị cos, cot cùng dấu?
A. 361.
B. 181.
C.
4
.
3
D.
6
.
5
D.
15
.
4
Câu 4: Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị sin, cot của nó trái dấu?
A. 405.
B.
25
.
6
C.
20
.
3
Câu 5: Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị sin, cos của nó trái dấu?
Trang 6
A. 45.
B. 315.
C.
2
.
3
D. 91.
Bài tập nâng cao
Câu 6: Cho sin x
A. cos x
15
.
4
Câu 7: Cho tanx
A. sin x
1
với x . Khẳng định đúng trong các khẳng định sau là
4
2
B. cot x 15.
1
C. tan x
15
.
D. tan x
1
15
.
4
2017
2019
x
. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?
và
3
2
2
3
.
5
Câu 8: Cho sin x
3
B. sin x .
5
C. sin x
4
.
5
4
D. sin x .
5
6 2
với x . Khi đó giá trị tan x là
4
2
A. 2 3
Câu 9: Cho sin x
B. 2 3.
D. 2 3.
6 2
3
. Khi đó giá trị cot x là
với x
4
2
A. 2 3.
Câu 10: Cho sin x
C. 2 3.
B. 2 3.
C. 2 3.
D. 2 3.
6 2
3
x 2 . Khi đó giá trị cot x là
với
4
2
A. 2 3.
B. 2 3.
C. 2 3.
D. 2 3.
Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Phương pháp giải
4
Ví dụ: Cho sin x ;180 x 270.
5
Để tính các giá trị lượng giác của một góc (cung),
ta sẽ dùng các hệ thức lượng giác cơ bản biểu diễn Tính cos x, tan x, cot x.
giá trị lượng giác cần tính về giá trị lượng giác đã Hướng dẫn giải
biết.
Ta có
3
sin2 x cos2 x 1 cos x 1 sin2 x .
5
Vì 180 x 270 nên cos x 0
3
sin x 4
cos x tan x
5
cos x 3
cot x
1
3
.
tan x 4
3
4
3
Vậy cos x ; tan x ; cot x .
5
3
4
Trang 7
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tính các giá trị lượng giác sau.
a) sin
3
.
4
b) cot 60.
Hướng dẫn giải
a) sin
3
.
4
Để tính giá trị của sin
3
, ta có thể thực hiện bằng máy tính bỏ túi như dạng 1 Ví dụ 3.
4
- Reset máy tính:
- Chuyển về hệ rađian:
Do vậy ta bấm các phím trên máy tính lần lượt như sau:
- Kết quả ra được là
Vậy sin
2
2
3
2
.
4
2
b) cot 60.
- Reset máy tính:
- Chuyển về hệ độ:
- Ở đây để ý rằng trong máy tính bỏ túi khơng có hàm cot. Do đó khi gặp hàm cot ta chuyển thành hàm
1
tan
.
Do đó ta bấm các phím trên máy tính như sau:
- Kết quả ra được là
Vậy cot 60
3
.
3
3
.
3
Trang 8
Ví dụ 2. Cho cos x
A. sin x
5
, biết rằng 180 x 270. Khẳng định nào sau đây đúng?
13
12
.
13
C. cot x
5
.
12
B. tan x
12
.
5
D. sin x
17
.
12
Hướng dẫn giải
Ta có sin2 x cos2 x 1 sin x 1 cos2 x
12
.
13
Vì 180 x 270 nên điểm ngọn góc x thuộc góc phần tư thứ III sin x 0
sin x
12
sin x 12
1
5
tan x
cot x
.
13
cos x 5
tan x 12
Vậy sin x
12
12
5
; tan x ; cot x .
13
5
12
Chọn B.
3
Ví dụ 3. Cho tan x , biết rằng 90 x 180. . Khẳng định nào sau đây đúng?
2
2
A. cot x .
3
C. sin x
3 13
.
13
B. cos x
2 13
.
13
D. cos x
13
.
13
Hướng dẫn giải
Ta có cot x
1
2
.
tan x
3
Ta có 1 tan2 x
1
1
2 13
cos x
.
2
2
13
cos x
1 tan x
Vì 90 x 180 nên ngọn cung x thuộc góc phần tư thứ II
cos x 0 cos x
Ta có tan x
Vậy sin x
2 13
.
13
sin x
2 13 3 3 13
sin x cos x.tan x
.
.
cos x
13
2
13
3 13
2 13
2
; cos x
; cot x
.
13
13
3
Chọn C.
Ví dụ 4. Cho giá trị lượng giác cot 75 2 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. tan 75 2 3.
B. tan 75 2 3.
Trang 9
C. cos75
6 2
.
4
D. cos75
6 2
.
4
Hướng dẫn giải
Cách 1.
Ta có tan 75
1
1
2 3.
cot 75 2 3
Lại có
1 tan2 75
1
1
2 3
6 2
cos75
2
4
4
cos 75
1 tan 75
2
Vì 0 75 90 nên điểm ngọn cung 75 thuộc góc phần tư thứ I
cos75 0 cos75
Ta có tan 75
6 2
.
4
sin 75
6 2
sin 75 tan 75.cos75
.
cos75
4
Chọn C.
Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi.
- Reset máy tính:
- Chuyển về hệ độ:
- Bấm các giá trị lượng giác ở các đáp án
+ Bấm các phím
Ta được kết quả 2 3. Do đó loại đáp án A. và B.
+ Bấm các phím
Ta được kết quả
6 2
. Do đó loại đáp án D.
4
Chọn C.
Ví dụ 5. Cho 4sin x 2cos x 1 và 0 x
A. sin x
2 19
.
10
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
B. cos x
2 304
.
20
Trang 10
C. tan x
8 19
.
15
D. cot x
15
8 19
.
Hướng dẫn giải
Vì 0 x
2
nên sin x 0 sin x 1 cos2 x (do sin2 x cos2 x 1).
Mà 4sin x 2cos x 1 nên 4 1 cos2 x 2cos x 1. 1
Vì 0 x
2
nên cos x 0 1 4 1 cos2 x
2cosx 1
2
2
16 1 cos2 x 4cos2 x 4cos x 1
2 304
cos x
2 304
20
20cos2 x 4cos x 15 0
cos x
20
2 304
cos x
20
(do cos x 0 ).
Vì sin x 0 nên sin x 1 cos2 x
tan x
2 19
10
sin x 8 19
1
15
cot x
.
cos x
15
tan x 8 19
Vậy sin x
2 19
2 304
8 19
15
; cos x
; tan x
; cot x
.
10
20
15
8 19
Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
13
là
6
Câu 1: Giá trị của cos
A.
2
.
2
Câu 2: Giá trị của cot
A.
3.
B.
2
.
2
C.
3
.
2
D.
3
.
2
C.
3
.
3
D.
3
.
3
17
là
6
B. 3.
Câu 3: Giá trị của sin 45 là
A.
2.
B. 2.
C.
2
.
2
D.
2
.
2
Trang 11
Câu 4: Cho sin x
1
với x . Khi đó giá trị lượng giác cot x bằng
3
2
A. 2 2.
Câu 5: Cho tan x
A. sin x
C. 8.
B. 2 2.
1
3
x 2 . Khi đó các giá trị lượng giác còn lại bằng
với
2
2
5
.
5
2 5
.
5
B. cos x
Câu 6: Cho cot x a, a 0 với x
A.
a2
a2 1
D. 8.
B.
.
a2
a2 1
.
5
.
5
D. sin x
C. cot x 5.
3
. Khi đó giá trị lượng giác của cos x bằng
2
C.
a2 1
.
a2
D.
a2 1
.
a2
,C
là các góc của tam giác ABC. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Câu 7: Biết
A, B
cos
C. cosC
A B .
sin
.
A. sin C
A B
tan
.
B. tan C
A B
cot
.
D. cot C
A B
Câu 8: Cho tam giác ABC. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. sin
A C
2
B
cos .
2
B. cos
A C
sin C
.
C. sin
A B
2
B
sin .
2
cosC
.
D. cos
A B
Bài tập nâng cao
Câu 9: Nếu x là góc nhọn thì sin
A.
a 1
.
a1
B.
x
2
a1
.
a 1
Câu 10: Nếu x là góc nhọn thì sin
A.
a 1
.
a1
B.
x
2
a1
.
a 1
x
a 1
thì tan bằng
2
2a
C.
1
a1
.
D.
.
D.
1
a 1
.
x
a 1
thì cot bằng
2
2a
C.
1
a1
1
a 1
Câu 11: Cho tam giác ABC có các cạnh BC a, AC b, AB c thỏa mãn hệ thức sau
.
1 cos B 2a c
.
1 cos B 2a c
Tam giác ABC là tam giác gì?
A. ABC cân tại A.
B. ABC cân tại B.
C. ABC cân tại C.
D. ABC đều.
Trang 12
Dạng 3: Tính các giá trị của các biểu thức lượng giác
Ví dụ: Cho tan x 3, tính giá trị của biểu thức sau
Phương pháp giải
Để tính các giá trị của các biểu thức lượng giác, ta
A
dùng các hệ thức lượng giác cơ bản biểu diễn giá trị
2sin2 x 3sin x.cos x
3cos2 x 2sin2 x
lượng giác trong biểu thức cần tính về giá trị lượng Hướng dẫn giải
giác đã biết.
Nhận thấy bậc tử số và mẫu số đều bằng nhau và
bằng 2 nên ta chia cả tử và mẫu của A cho cos2 x,
ta được
A
2tan2 x 3tan x 2.32 3.3
3
.
2
2
5
3 2tan x
3 2.3
Ví dụ mẫu
1
Ví dụ 1. Cho sin x cos x . Tính các giá trị của các biểu thức sau
2
b) B sin3 x cos3 x.
a) A sin x.cos x;
Hướng dẫn giải
a) Ta có
sin x cos x
2
1
1
1
sin x cos x sin2 x cos2 x 2sin x.cos x
2
4
4
1 2sin x.cos x
1
3
sin x.cos x .
4
8
3
Vậy A sin x.cos x .
8
b) Ta có
1 3 11
sin3 x cos3 x sin x cos x sin2 x cos2 x sin x.cos x . 1 .
2 8 16
Vậy B
11
.
16
Ví dụ 2. Cho tan x 3. Giá trị của biểu thức A
A.
7
.
8
B.
9
.
8
C.
2sin x 3cos x
là
cos x 3sin x
7
.
8
D.
9
.
8
Hướng dẫn giải
Cách 1.
Nhận thấy bậc tử số và mẫu số đều bằng nhau và bằng 1, ta chia cả tử và mẫu của A cho cos x, ta được
Trang 13
sin x
sin x
3
2sin x 3cos x
cos x 2tan x 3 2.3 3 9 .
A
cos x
cos x
sin x
cos x 3sin x
1 3tan x 1 3.3
8
3
cos x
cos x
2
9
Vậy A .
8
Chọn B.
Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi (CASIO fx-500ES PLUS)
Bước 1: Reset máy tính:
Bước 2:
+ Bấm các phím để có biểu thức A:
2sin x 3cos x
cos x 3sin x
+ Bấm phím:
9
+ Kết quả ra .
8
Chọn B.
Ví dụ 3. Cho tan x cot x m; m 2. Khi đó giá trị của biểu thức tan x cot x là bao nhiêu?
A. m2 4.
B.
4 m2 .
C.
m2 4.
D. 4 m2 .
Hướng dẫn giải
Ta có
tan x cot x m tan x cot x m2 tan2 x 2tan x.cot x cot 2 x m2
2
tan2 x cot 2 x 2 m2 tan2 x 2 cot 2 x 2 2 m2
tan x cot x m2 4
2
tan x cot x
2
m2 4 tan x cot x m2 4.
Vậy tan x cot x m2 4.
Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho sin x cos x
2
. Khi đó giá trị của sin x.cos x bằng
2
Trang 14
A.
1
.
4
B.
1
.
4
C.
1
.
2
D.
1
.
2
Câu 2: Đơn giản biểu thức A tan x cot x tan x cot x ta được
2
A. A 4.
B. A 4.
2
C. A tan x.
Câu 3: Cho tan x 5. Khi đó giá trị của biểu thức P
A. 2.
B. 3.
Câu 4: Cho sin x cos x
A. sin x cos x
D. A tan x.
sin x cos x
là
sin x 2cos x
C. 4.
D. 5.
2
. Kết quả nào sau đây sai?
2
1
.
4
B. sin x cos x
7
C. sin4 x cos4 x .
8
6
.
2
D. tan2 x cot 2 x 12.
1
sin x 2cos x
Câu 5: Cho cot x . Giá trị của biểu thức P
là
3
3sin x 4cos x
A.
1
.
13
B.
1
.
3
Câu 6: Cho tan x m. Khi đó
A.
a.m b
.
d.m c
B.
C.
D.
a.m b
.
cm d
D. Đáp số khác.
1
.
3
a.sin x b.cos x
bằng
c.cos x d.sin x
a.m b
.
c.m d
Câu 7: Cho tan x m. Khi đó giá trị biểu thức
a.m2 2b.m c
A.
.
d.m2 3em 8 f
C.
1
.
13
C.
a.sin2 x 2b.sin x.cos x c.cos2 x
bằng
d.cos2 x 3esin x.cos x 8 f .sin2 x
a.m2 2b.m c
B.
.
d 3em 8 f .m2
a.m2 2b.m c
.
d 3em 8 f .m2
D.
a.m2 2b.m c
.
d 3em 8 f .m2
Câu 8: Giá trị của biểu thức P sin6 x cos6 x 3sin2 x.cos2 x là
A. 1.
B. 1.
Câu 9: Nếu sin x cos x
A.
7 6 2
.
4
2
thì giá trị của biểu thức P 4sin x 3cos x là
2
B.
7 6 2
.
4
Câu 10: Nếu 3sin4 x 2cos4 x
A.
607
.
407
D. 4.
C. 4.
B.
C.
7 6 2
.
4
D.
7 6 2
.
8
98
thì giá trị của biểu thức P 2sin4 x 3cos4 x là
81
108
.
81
C.
108
.
81
D.
607
.
405
Trang 15
Bài tập nâng cao
Câu 11: Biết tan x
2b
. Giá trị biểu thức A a.cos2 x 2b.sin x.cos x c.sin2 x là
a c
A. a c.
B. 2b.
sin4 x
Câu 12: Nếu
A.
a
1
a b
3
cos4 x
b
.
B.
sin8 x cos8 x
1
thì giá trị của biểu thức A 3
là
a b
a
b3
1
a b
Câu 13: Nếu 3sin4 x 2cos4 x
113
.
A.
400
D. a.
C. 2c.
3
C. a b .
D. a b .
3
.
3
98
thì giá trị của biểu thức P 2tan4 x cot 4 x là
81
2
2
16 29
B. 2. .
29 16
2
2
29 16
C. 2. .
16 29
D.
400
.
113
Câu 14: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?
2
tan x tan y
tan x.tan y.
A.
cot x cot y
1 sin x
1 sin x
B.
4tan2 x.
1 sin x
1
sin
x
sin x
sin x
1 cot 2 x
.
C.
cos x sin x cos x sin x 1 cot 2 x
sin x tan x
1
D.
.
1
cos2 x
cos x 1
2
Dạng 4: Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt
Phương pháp giải
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau
Để tính các giá trị lượng giác của các góc a) A tan225 cot150.
(cung) có liên quan đặc biệt, ta thực hiện b) B sin240 tan300.cos 780 .
theo các bước sau:
Hướng dẫn giải
- Dùng cung liên kết đưa về cung ở góc
a) tan225 cot150 tan 45 180 cot 30 180
phần tư thứ nhất.
- Dùng công thức lượng giác để thu gọn
tan 45 cot 30 1 3 1 3.
biểu thức.
Vậy A 1 3.
b) sin240 tan300.cos 780
sin 60 180 tan 60 360 .cos 60 720
sin60 tan 60 .cos 60
3
1
3 .
2
2
3.
Vậy B 3.
Ví dụ mẫu
Trang 16
Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức sau
a) A tan240 cot 225.
b) B sin210 tan330.cot 495.
Hướng dẫn giải
a) Ta có
tan240 tan 60 180 tan60 3;
cot 225 cot 45 180 cot 45 1.
Vậy A tan240 cot 225 1 3.
b) Ta có
sin210 sin 30 180 sin30
1
.
2
tan330 tan 30 360 tan 30 tan30
3
.
3
cot 495 cot 45 3.180 cot 45 cot 45 1.
Vậy B
1 3
1
3
1
.
2
3
2 3
Ví dụ 2. Giá trị của biểu thức sau là
Ghi nhớ:
9
13
17
21
x cot
x tan
x cot
x.
2
2
2
2
A tan
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 1.
Hướng dẫn giải
Ta có:
9
tan
x tan 4 x tan x cot x.
2
2
2
13
cot
x cot 6 x cot x tan x.
2
2
2
sin x cos x
2
cos x sin x
2
tan x cot x
2
cot x tan x
2
17
tan
x tan 8 x tan x cot x.
2
2
2
21
cot
x cot 10 x cot x tan x.
2
2
x
Vậy A cot x tan x cot x tan x 0.
Chọn B.
Ví dụ 3. Thu gọn biểu thức
A cos 270 x 3sin x 450 cos x 900 4sin 720 x ta được kết quả nào sau đây?
A. 5sin x 2cos x.
B. 5sin x 4cos x.
Trang 17
C. 3sin x 2cos x.
D. 3sin x 4cos x.
Hướng dẫn giải
Ta có
cos 270 x cos 90 180 x cos 90 x sin x.
sin x 450 sin x 90 3.180 sin x 90 cos x.
cos x 900 cos x 5.180 cos x.
sin 720 x sin 4.180 x sin x.
Vậy A sin x 3 cos x cos x 4sin x 5sin x 2cos x.
Chọn A.
Ví dụ 4. Giá trị của biểu thức
A sin2
2
3
4
5
6
7
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
là
18
18
18
18
18
18
A. A 0.
B. A 1.
C. A 2.
D. A 3.
Hướng dẫn giải
Ta có sin2
2
2
7
2
2
2 2
sin2
sin2
sin2
cos2
1.
sin
18
18
18
18
18
2 18
Tương tự: sin2
3
6
4
5
sin2
1; sin2
sin2
1.
18
18
18
18
Do đó
A sin2
2
7 2 3
6 2 4
5
sin2
sin2
sin2
sin
sin
1 1 1 3.
18
18
18
18
18
18
Vậy A 3.
Chọn D.
Bài tập tự luyện dạng 4
Bài tập cơ bản
3
Câu 1: Giá trị sin
x cos x 9 là
2
A. 0.
B. 2cos x.
C. 2cos x.
D. 1.
13
7
9
5
Câu 2: Giá trị của biểu thức tan
x cot
x tan
x cot x
là
2
2
2
2
A. 2tan x.
B. 2tan x.
C. 2cot x.
11
Câu 3: Giá trị biểu thức sin x cos 7 x sin x
2
Khi đó giá trị của P a 2b là
D. 0.
15
x là a.sin x b.cos x.
cos
2
Trang 18
A. 0.
B. 2.
C. 4.
D. 3.
Câu 4: Giá trị của biểu thức
2
3
4
5
6
7
8
9
cos cos cos cos cos cos cos cos cos
là
5
5
5
5
5
5
5
5
5
A. 1.
B. 1.
C. 0.
Câu 5: Giá trị của biểu thức P tan
A. 1.
9
tan
D. 2.
2
3
8
tan
... tan
là
9
9
9
B. 1.
C. 0.
D. 2.
Bài tập nâng cao
Câu 6: Cho biểu thức sau sin x cos 3 x tan x 4 cot x 5 có giá trị bằng
a.sin x b.cos x c.tan x d.cot x. Khi đó giá trị của P a b c 2d là
A. P 0.
B. P 1.
C. P 3.
D. P 5.
9
17
5
Câu 7: Cho biểu thức sau sin x cos
x tan x
cot x
có giá trị bằng
2
2
2
2
a.sin x b.cos x c.tan x d.cot x. Khi đó giá trị của P a b c 2d là
A. P 0.
B. P 1.
C. P 3.
D. P 5.
2
Câu 8: Biểu thức A 2 sin4 x cos4 x sin2 x.cos2 x sin8 x cos8 x có giá trị bằng
B. 2.
A. 2.
D. 1.
C. 1.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Xác định dấu của các giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1-A
2-D
3-A
4-C
5-B
6-D
7-D
8-B
9-C
10-D
Câu 6. Chọn D.
2
1
15
Cách 1. sin x cos x 1 cos x 1 sin x 1
.
4
4
2
2
2
1
sin x
1
1
15
4
cot x
15.
. Từ đó suy ra tan x
Vì x cos x
cos x 15
tan x
2
4
15
4
Vậy cos x
15
1
; tan x
; cot x 15.
4
15
Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi CASIO fx-570VN-PLUS.
Bước 1: Reset máy tính:
Bước 2: Tìm x và gán x cho A:
Trang 19
Bước 3:
- Tìm các giá trị cịn lại bình thường, ví dụ tìm giá trị lượng giác như sau:
- Nếu kết quả ra số lẻ, ta chỉ việc bình phương lên rồi căn xuống lại là sẽ ra số đẹp:
Kết quả ra
15
. Tuy nhiên chúng ta cần lưu ý rằng x nên ngọn cung x thuộc cung phần tư thứ
4
2
II
cos x 0 cos x
15
.
4
- Thực hiện tương tự với các giá trị lượng giác cịn lại.
Câu 7. Chọn D.
Ta có
2017
2019
3
3
x
1008 x 1008
x
nên suy ra cos x 0.
2
2
2
2
2
2
Do đó cos x
1
1 tan x
2
3
3 4 4
sin x cos x.tan x .
.
5
5 3 5
4
Vậy sin x .
5
Câu 8. Chọn B.
2
6 2
2 6
Vì x nên cos x 0 cos x 1 sin x 1
2
4
4
tan x
2
sin x
cos x
6 2
4
2 3. Vậy tan x 2 3.
2 6
4
Câu 9. Chọn C.
Vì x
1
1
3
1
1 2 3.
nên cot x 0 cot x
2
2
2
sin x
6 2
4
Câu 10. Chọn D.
Trang 20
Vì
1
1
3
1
1 3 2.
x 2 nên cot x 0 cot x
2
2
2
sin x
6 2
4
Dạng 2. Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
1-C
2-A
3-D
4-A
5-A
6-B
7-D
8-D
9-A
10-B
11-C
Câu 9. Chọn A.
Vì x là góc nhọn nên 0 x 90 0
Ta có sin2
x
2
cos2
x
2
1 cos2
Từ đó ta tính được tan
Vậy tan
x
2
x
2
sin
cos
x
2
x
x
45 sin 0; cos 0.
2
2
2
x
1 sin2
x
2
x
2
x
2
1
a 1 a 1
a1
cos x
.
2a
2a
2a
a 1
2a a 1.
a1
a1
2a
a 1
.
a1
Câu 10. Chọn B.
Theo câu a, ta có: tan
x
2
x
a 1
. Suy ra cot
2
a1
1
tan
x
a1
.
a 1
2
Câu 11. Chọn C.
Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có b2 a2 c2 2ac.cos B cos B
Ta có
a2 c2 b2
.
2ac
1 cos B 2a c
1 cos B 2a c 1 cos B 2a c
1 cos B 2a c
2a c 2a.cos B c.cos B 2a c 2a.cos B c.cos B
2a.cos B c.
a2 c2 b2
Từ đó suy ra 2a .
c a2 c2 b2 c2 a b CB CA.
2a c
Vậy tam giác ABC cân tại C.
Dạng 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác
1-B
2-B
3-A
4-D
11-D
12-A
13-B
14-C
5-A
6-A
7-B
8-B
9-A
10-D
Trang 21
Câu 11. Chọn D.
Ta có tan x
2b
.
a c
Nhận thấy bậc của các số hạng trong biểu thức A bằng nhau và bằng 2 nên ta tiến hành chia cả hai vế cho
cos2 x. Ta có
2b
cos2 x
sin x. cos x
sin2 x
2b
a
2b
c.
a 2b.tan x c.tan2 x a 2b.
c
2
2
2
a c a c
cos x
cos x
cos x
cos x. cos x
A
a a c 4b2 a c c.4b2
2
A 1 tan x
2
a c
2
2
2b 2 a3 2a2c ac2 4ab2
A. 1
2
a c
a c
a c2 4b2 a a2 2ac c2 4b2
2
a2 2ac c2 4b2
a 2ac c2 4b2
A.
A.
a.
2
2
2
a c 2
a
c
a
c
a c
A a.
Câu 12. Chọn A.
Đặt sin2 x u cos2 x 1 u.
Ta có
sin4 x
a
cos4 x
b
2
1
u2 1 u
1
ab
u2b 1 u a
a b
a
b
a b
a b
u2b a 2ua u2a
2
2
ab
ab
u2 a b 2ua a
u2 a b 2ua a b a a b ab 0
a b
a b
u2 a b 2ua a b a2 0 u a b a 0 u
2
2
Do đó sin2 x u
a
a b
; cos2 x 1 u
b
a b
a
a b
.
4
4
a b
8
8
sin x cos x a b a b
Từ đó thế vào A ta được: A 3
3
3
3
a
Vậy A
1
a b
3
.
b
a
b
a
b
a b a b
4
4
1
a b
3
.
.
Câu 13. Chọn B.
Ta có 3sin4 x 2cos4 x
2
98
98
98
3 1 cos2 x 2cos4 x
5cos4 x 6cos2 x 3 .
81
81
81
2
29
cos x
145
45 .
5cos4 x 6cos2 x
0
81
5
cos2 x
9
Trang 22
Trường hợp 1: cos2 x
29
1
1
16
29
2
tan2 x
1
1
cot
x
.
29
45
29
16
cos2 x
45
2
2
16 29
Do đó P 2tan x cot x 2. .
29 16
4
Trường hợp 2: cos2 x
4
5
1
1
4
5
tan2 x
1 1 cot 2 x .
2
5
9
5
4
cos x
9
2
2
4 5
113
Do đó P 2tan x cot x 2.
.
400
5 4
4
4
2
2
16 29
P 2.
29 16 .
Vậy
P 113
400
Câu 14. Chọn C.
sin x.cos y sin y.cos x
sin x sin y
tan x tan y cos x cos y
sin x.sin y
cos x.cos y
tan x.tan y.
cot x cot y cos x cos y cos x.sin y sin x.cos y cos x.cos y
sin x sin y
sin x.sin y
1 sin x
1 sin x
1 sin x
1
sin
x
2
1 sin x 1 sin x
1 sin x . 1 sin x
2
2
2
2sin x 4sin x 4tan2 x.
1 sin2 x
cos2 x
sin x cos x sin x sin x cos x sin x
sin x
sin x
2sin2 x
cos x sin x cos x sin x
cos2 x sin2 x
cos x sin x cos x sin x
2
2
cot x 1 1 cot 2 x
2
sin x
sin
x
sin x tan x
cos x
1
cos x 1
cos x 1
2
2
sin x. cos x 1
cos x
1
cos x 1
2
2
sin x
1
2
1 cos x 1 tan x 1 cos2 x .
Dạng 4. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt
1-A
2-A
3-C
4-B
5-C
6-D
7-B
8-C
Câu 6. Chọn D.
Ta có sin x cos 3 x tan x 4 cot x 5
Trang 23
sin x cos x tan x cot x sin x cos x tan x cot x.
Do đó a b d 1, c 1 P a b c 2d 5.
Câu 7. Chọn B.
9
17
Ta có sin x cos
x tan x
2
2
2
5
cot x
2
cos x sin x cot x tan x sin x cos x tan x cot x.
Do đó a 1, b 1, c 1, d 1 P a b c 2d 1.
Câu 8. Chọn C.
2
Ta có A 2 sin4 x cos4 x sin2 x.cos2 x sin8 x cos8 x
2
2
2
2 sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x sin4 x cos4 x 2sin4 x cos4 x
2
2
2 1 sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x 2sin2 x cos2 x 2sin4 x cos4 x
2
2
2 1 sin2 x cos2 x 1 2sin2 x cos2 x 2sin4 x cos4 x
2 4sin2 x cos2 x 2sin4 x cos4 x 1 4sin2 x cos2 x 4sin4 x cos4 x 2sin4 x cos4 x 1.
Trang 24
