Bài 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC nhóm ĐHSPHN image marked

CHƯƠNG 6
BÀI 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm vững các công thức lượng giác gồm: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến
đổi tổng thành tích, tích thành tổng.
 Kĩ năng
+ Vận dụng được các cơng thức lượng giác đã học vào các bài tốn về tính giá trị lượng giác của
các góc đặc biệt; tính giá trị của các biểu thức lượng giác.
+ Xác định được tính chất của một tam giác thỏa mãn các điều kiện về góc, cạnh, diện tích… cho
trước bằng cách đưa về các biểu thức lượng giác.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cơng thức cộng
 cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b
 cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b

Ví dụ:




cos  x    cos x.cos  sin x.sin
4
4
4


 sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b
 tan  a  b  
 tan  a  b  

tan a  tan b
1  tan a tan b
tan a  tan b
1  tan a tan b

2
 cos x  sin x  ;
2



 sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b





sin  x    sin x cos  cos x sin
4
4
4

2
 sin x  cos x  ;
2






4
tan  x   
4  1  tan x tan 

4
tan x  tan



tan x  1
.
tan x  1

Công thức nhân đôi
 sin 2a  2sin a cos a
 cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a
 tan 2a 

2 tan a
1  tan 2 a

Ví dụ:

Cơng thức biến đổi tích thành tổng
 cos a cos b 

 sin a sin b 
 sin a cos b 

1
cos  a  b   cos  a  b  
2
1
cos  a  b   cos  a  b  
2
1
sin  a  b   sin  a  b  
2

Cơng thức biến đổi tổng thành tích
 cos a  cos b  2 cos

ab
a b
cos
2
2

ab
a b
sin
 cos a  cos b  2sin
2
2
ab
a b

cos
 sin a  sin b  2sin
2
2

 sin a  sin b  2 cos

cos x.cos 3 x 

sin x.sin 5 x 


1
cos  2 x   cos 4 x 
2
1
 cos 2 x  cos 4 x  ;
2
1
cos  4 x   cos 6 x 
2

1
 cos 4 x  cos 6 x  .
2

Ví dụ:
cos x  cos 3 x  2 cos 2 x.cos x ;
cos 5 x  cos 3 x  2sin 4 x.sin x ;
sin 2 x  sin 4 x  2sin 3 x.cos x ;

sin 3 x  sin x  2 cos 2 x.sin x .

ab
a b
sin
2
2

Trang 2


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Công thức cộng
Phương pháp giải
1

Ví dụ: Biết sin x  , 0  x  . Hãy tính giá trị
2
2

Các bài tốn thường gặp:
- Tính các giá trị lượng giác.



lượng giác cos  x   .
4


- Tính giá trị của một biểu thức lượng giác.

- Rút gọn hoặc đơn giản một đẳng thức.

- Chứng minh một đẳng thức bằng cách biến đổi vế Hướng dẫn giải
này thành vế kia, biến đổi hai vế cùng bằng một đại Vì 0  x   nên điểm ngọn cung thuộc góc phần
2
lượng hoặc biến đổi tương đương dẫn đến một đẳng
3
thức đúng.
tư thứ I  cos x  0  cos x 
.
2
- Chú ý giá trị lượng giác của các cung lượng giác




đặc biệt đã biết: 30, 45, 60,90 .
Ta có cos  x    cos x.cos  sin x.sin
4
4
4



2
2
cos x 
sin x
2
2



2 3
2 1
6 2
.

. 
.
2 2
2 2
4

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Biết cos x  

A.

5  12 3
26

B.

12
3


,  x 
. Giá trị lượng giác sin   x  là

13
2
3


5  12 3
26

C.

5  12 3
26

D.

5  12 3
26

Hướng dẫn giải
Vì   x 

3
nên điểm ngọn cung thuộc góc phần tư thứ III  sin x  0
2
2

5
 12 
 sin x   1  cos x   1  
  .

13
 13 
2



3 12 1 5 5  12 3


Ta có sin   x   sin cos x  cos sin x 
.
.
 . 
3
3
2 13 2 13
26
3

Chọn A.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

A  sin  x  14  sin  x  74   sin  x  76  sin  x  16  ta được kết quả là
A. A  sin 2 x

B. A  

1
2

C. A 

1
2

D. A  cos 2 x

Hướng dẫn giải
Trang 3


Ta có A  sin 14  x  cos 16  x   sin  76  x  sin 16  x 

 sin 14  x  cos 16  x   cos 14  x  sin 16  x 
 sin 14  16  x  x   sin 30 

1
.
2

Chọn C.
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A 

sin  a  b  sin  b  c  sin  c  a 


ta được kết
cos a.cos b cos b.cos c cos c.cos a

quả là

A. A  tan a

B. A  tan b

C. A  tan c

D. A  0

Hướng dẫn giải
Ta có
A


sin a.cos b  sin b.cos a sin b.cos c  sin c.cos b sin c.cos a  sin a.cos c


cos a.cos b
cos b.cos c
cos c.cos a

sin a. cos b sin b. cos a sin b. cos c sin c. cos b sin c. cos a sin a. cos c





cos a. cos b cos a .cos b cos b. cos c cos b .cos c cos c. cos a cos c .cos a

 tan a  tan b  tan b  tan c  tan c  tan a  0 .
Chọn D.

Ví dụ 4*: Cho các góc nhọn thỏa mãn sin 2 x  sin 2 y  1 . Chứng minh rằng

sin 2 x  sin 2 y  sin 2  x  y  .

Phân tích bài tốn

Hướng dẫn giải

Sử dụng dữ kiện bài



Ta có sin 2 x  cos 2 x  1  sin 2 x  sin 2   x   1 mà sin 2 x  sin 2 y  1 , suy ra
2


toán





sin 2   x   sin 2 y  y   x (vì x, y đều là góc nhọn) nên 0  x  y  .
2
2
2


Mà sin 2  x  y   sin 2 x cos 2 y  sin 2 y cos 2 x  2sin x.sin y.cos x.cos y .
Do đó sin 2 x  sin 2 y  sin 2  x  y 

2

2

2

2

2

 sin x  sin y  sin x 1  sin y   sin y 1  sin x   2sin x.sin y.cos x.cos y
2

2

2

2

0 x y 

chỉ

ra


.
2

Từ đây ta thấy các

giá trị lượng giác
của góc x  y đều
dương.

 sin x  sin y  sin x.cos y  sin y.cos x  2sin x.sin y.cos x.cos y
2

để

2

2

thức để biến đổi vế
phải của bất đẳng

 2sin 2 x.sin 2 y  2sin x.sin y.cos x.cos y

thức rồi dùng biến

 sin x.sin y  cos x.cos y

đổi

 sin x.sin y  cos x.cos y  0
 cos  x  y   0 (hiển nhiên đúng do 0  x  y 

Sử dụng hằng đẳng



).
2

tương

đương,

dùng các công thức
lượng giác để dẫn
tới điều luôn đúng.
Trang 4


Suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Rút gọn biểu thức A  cos 25.cos 5  cos 65.cos85 thu được kết quả là
A. A  cos 60

B. A  cot 60

C. A  tan 60

D. A  sin 60

Câu 2: Rút gọn biểu thức A  sin  x  17  cos  x  13   sin  x  13  cos  x  17  thu được kết quả là
A. A 

1
2

B. A  

Câu 3: Cho sin x 
A.

12  3 119
52

1
2

C. A  cos 2 x

D. A  sin 2 x

4

3

với  x  ; sin y  với 0  y  . Giá trị của cos  x  y  là
13
2
4
2

B.

12  3 119
52

C.

12  3 119
52

D.

12  3 119
52

Câu 4: Cho cot x  3; cot y  1 , biết rằng cả x, y đều là góc nhọn và dương. Giá trị của x  y là
A.

5
12

B.

17 
12

C.

7
12

D.

11

12

, C
 là 4 góc của một tam giác. Khẳng định nào sau đây sai?
Câu 5: Cho 
A, B
A. cos

B
C
B
C
A
cos  sin sin  sin
2
2
2
2
2

C. cot A  cot B  cot C  cot A.cot B.cot C

B. tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C
D. tan

A
B
B
C
C

A
tan  tan tan  tan tan  1
2
2
2
2
2
2

Câu 6: Cho biểu thức A  sin 2  x  y   sin 2 x  sin 2 y . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A  2sin x.cos y.cos  x  y 

B. A  2 cos x.sin y.sin  x  y 

C. A  2 cos x.cos y.cos  x  y 

D. A  2sin x.sin y.cos  x  y 

Câu 7: Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  cos A.cos B.cos C
B. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  cos A.cos B.cos C
C. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  2 cos A.cos B.cos C
D. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  2 cos A.cos B.cos C


Câu 8: Cho tan  x    t , t  1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
4


A. tan x 

1 t
1 t

B. tan x 

t 1
1 t

C. tan x 

1 t
1  t

D. tan x 

2t
t 1

Câu 9: Cho cos 2 x  cos 2 y  m . Khi đó giá trị của biể thức A  cos  x  y  cos  x  y  là
A. A  m  1

B. A  m  1

C. A  m  1

D. A  m  1

Bài tập nâng cao

Trang 5


Câu 10: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A  sin 4 x  2 cos 4 x lần lượt là M và m. Giá trị biểu
M
thức P 
là
m
A. 4

B. 3

C. 2

Câu 11: Giá trị lớn nhất của biểu thức A 
31
8

A.

D. 1

2
 3sin x  1 là
1  tan 2 x

B. 4

C.

33
8

D.

17
4

Câu 12: Cho A, B, C là 3 góc của ABC . Biết rằng 3  cos B  2 cos C   4  sin B  2sin C   15 . Khi đó
ABC là tam giác gì?

A. Tam giác cân.

B. Tam giác vuông.

C. Tam giác đều.

D. Tam giác vuông cân.

Dạng 2: Công thức nhân đôi
Phương pháp giải
Áp dụng công thức nhân đơi để tính hoặc rút gọn các giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giá trị của A  cos 4
A.

 3
2

B. 

2
3



 sin 4
là
12
12
3
2

C.

D.

1
2

Hướng dẫn giải
Ta có


 






3

.
A   cos 2  sin 2   cos 2  sin 2   cos 2  sin 2
 cos 
12
12  
12
12 
12
12
6
2

Chọn C.
Ví dụ 2: Giá trị của biểu thức A  sin 6 x  cos 6 x bằng a  b.cos 4 x . Giá trị của Công thức hạ bậc:
a  2b là

A.

9
8

B.

11
8

C.

13
8

D.

15
8

Hướng dẫn giải

cos 2 x 

1  cos 2 x
2

sin 2 x 

1  cos 2 x
2

Ta có A  sin 6 x  cos 6 x   sin 2 x  cos 2 x  sin 4 x  sin 2 x.cos 2 x  cos 4 x 
2
3
3 1  cos 4 x
  sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x.cos 2 x  1  sin 2 2 x  1  .
4
4
2

 1

3
5 3
1  cos 4 x    cos 4 x .
8
8 8

5
3 11
Vậy a  2b   2.  .
8
8 8

Trang 6


Chọn B.
Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây đúng?
x 1

A. tan 
 1  tan x
2  cos x 

x 1

B. tan 
 1  tan 2 x
2  cos x 

x 1
x

 1  tan
C. tan 
2  cos x 
2

x 1

 1  tan 4 x
D. tan 
2  cos x 

Hưỡng dẫn giải
Ta có
x
x
x
x
sin 1  2 cos 2  1 sin 2 cos 2
x 1
x
1

cos
x

2.
2

2.
2
tan 
 1  tan .


x
x
2  cos x 
2 cos x
cos x
cos x
cos
cos
2
2

x
2 cos
x
2  sin x  tan x .
 sin .
2 cos x
cos x

Chọn A.
Ví dụ 4: Cho 0  x, y 


; 3sin 2 x  2sin 2 y  1 và 3sin 2 x  2sin 2 y  0 . Tính

2

cos  x  2 y  .
A. 6sin 2 x.cos x B. 6sin 2 y.cos y C. 0

D. 1

Hướng dẫn giải
Ta có 3sin 2 x  2sin 2 y  1  3sin 2 x  1  2sin 2 y  cos 2 y .

3sin 2 x  2sin 2 y  0  2sin 2 y  3sin 2 x  sin 2 y  3sin x.cos x
Do đó:

cos  x  2 y   cos x.cos 2 y  sin x.sin 2 y  cos x.3sin 2 x  sin x.3sin x.cos x  0
 cos  x  2 y   0 .
Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho cos x 
A.

2
5

4
thì
5

cos 2x có giá trị là
B.

6
5

C.

7
5

D.

2 2
5

C.

15
113

D.

17
113

Câu 2: Cho cot x  15 thì sin 2x có giá trị là
A.

13
113

B.

11
113

Trang 7


1
1
Câu 3: Cho x, y là 2 góc nhọn dương và sin x  , sin y  thì giá trị đúng của sin 2  x  y  là
3
2

A.

7 34 2
18

Câu 4: Cho tan x 

B.

C.

7 3  4 2
18

D.

7 3  4 2
18

1
2sin 2 x
thì giá trị của biểu thức A 
là
2
2  3cos 2 x

A. A  2

B. A  4

Câu 5: Nếu sin x  cos x 
A.

7 34 2
18

3
 3
2

C. A  6

D. A  8

2
thì giá trị của biểu thức P  3sin 2 x  2 cos 2 x là

2

3
B.   3
2

C.

3
 3
2

D. A hoặc C đúng

Câu 6: Cho biểu thức sau A  cot x  tan x  2 tan 2 x  4 tan 4 x . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. A  2 cot 2 x

B. A  4 cot 4 x

Câu 7: Cho biểu thức sau A 
A. A  tan x

C. A  6 cot 6 x

D. A  8cot 8 x

sin 2 x  sin x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
1  cos x  cos 2 x

B. A  sin x

C. A  cot x

D. A  tan 2 x

2sin 2 2 x  3 sin 4 x  1
Câu 8: Cho biểu thức A 
. Khẳng định nào sau đây đúng?
2 cos 2 2 x  3 sin 4 x  1
A. A 

sin  4 x  30 
sin  4 x  30 
B. A 
sin  4 x  30 
sin  4 x  30 

C. A 

cos  4 x  30 
cos  4 x  30 

D. A 

cos  4 x  30 
cos  4 x  30 

Bài tập nâng cao
Câu 9: Giá trị lớn nhất của biểu thức A  cos 2 x  4sin x  3 là

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  sin 6 x  cos 6 x là
A.

1
3

B.

1
4

C.

1
5

D.

1
6

Câu 11: Cho P   2 cos x  3sin x  3cos x  2sin x   1 . Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của biểu thức P. Giá trị của
A.

12
11

A
là
B

B.

13
11

C.

14
11

D.

15
11

Dạng 3: Cơng thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
Phương pháp giải
Áp dụng cơng thức biến tổng thành tích và tích Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau
thành tổng để biến đổi, tính giá trị lượng giác, biểu
thức lượng giác, rút gọn hoặc chứng minh.

A  2sin x  cos x  cos 3 x  cos 5 x  .
Hướng dẫn giải
Ta có
Trang 8


A  2sin x.cos x  2sin x.cos 3 x  2sin x.cos 5 x

 sin 2 x   sin 4 x  sin 2 x    sin 6 x  sin 4 x 
 sin 6x .

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức A  cos 75.sin15 .
A.

2 3
4

B.

2 3
4

C.

2  3
4

D.

2  3
4

Hướng dẫn giải
Ta có A  cos 75.sin15 


1
sin  75  15   sin  75  15  
2

1
2 3
.
 sin 90  sin 60  
2
4

Chọn A.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

A  sin a.sin  b  c   sin b.sin  c  a   sin c.sin  a  b  được kết quả là
A. 1

B. 0

C. sin a.sin b.sin c

D. cos a.cos b.cos c

Hướng dẫn giải
Ta có A  sin a  sin b.cos x  sin c.cos b   sin b  sin c.cos a  sin a.cos c 

 sin c  sin a.cos b  sin b.cos a 
 sin a.sin b.cos c  sin a.sin c.cos b  sin b.sin c.cos a  sin b.sin a.cos c
 sin c.sin a.cos b  sin c.sin b.cos a  0 .

Chọn B.




Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A  4 cos x.cos   x  cos   x  được kết quả là
3

3


A. cos x

B. cos 2x

C. cos 3x

D. cos 4x

Hướng dẫn giải
2







A  4 cos x.cos   x  cos   x   2 cos x  cos
 cos 2 x 
3
3

3




  cos x  2 cos x.cos 2 x   cos x  cos 3 x  cos x  cos 3x .
Chọn C.
Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức:
sin 2 4 x
 2sin x.sin 2 x
2 cos x  cos 3 x  cos 5 x

Hướng dẫn giải

Trang 9


VT 

sin 2 4 x

sin 2 4 x

2 cos x  cos 3 x  cos 5 x  cos  cos 3 x    cos x  cos 5 x 



4sin 2 2 x.cos 2 2 x
2sin 2 2 x.cos 2 x

2 cos x.cos 2 x  2 cos 2 x.cos 3 x
cos x  cos 3 x



2sin 2 2 x.cos 2 x 4sin 2 x.cos 2 x

2 cos x.cos 2 x
cos x

 4sin 2 x.cos x  2sin x.sin 2 x  VP .
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho x  2 y 
A. tan

x
2

cos  x  y   cos y


. Rút gọn biểu thức A 
ta được kết quả là
2
cos  x  y   cos y
B. cot



C.  cot  y  
4


x
2



D. cot  y  
4


Câu 2: Giá trị biểu thức A  cos  x  45  cos  x  45  là
A.

1
sin 2 x
2

1

B.  sin 2 x
2

C.

1
cos 2 x
2

1
D.  cos 2 x
2

Câu 3: Giá trị biểu thức A  sin  x  30  cos  x  30  là
A.

sin 2 x
3

2
4

B.

sin 2 x
3

2
4

C. 

sin 2 x
3

2
4

D. 

sin 2 x
3

2
4

 x
 x
Câu 4: Rút gọn biểu thức A  sin 2     sin 2    ta được
8 2
8 2

A. A 

2
sin x
2

B. A 

2
cos x
2

1
C. A  sin x
2

1
D. A  sin x
2

Câu 5: Đẳng thức nào sau đây là sai?
A.  cos x.cos y  sin x.sin y  cos  x  y  13 

B. 4sin x.cos x.cos 2 x  sin 4 x

C. cos 2 2 x  sin 2 x  cos 3 x.cos x

D. 2sin  x  y  .sin  x  y   cos 2 x  cos 2 y

Bài tập nâng cao
Câu 6: Cho A, B, C lần lượt là 3 góc tam giác ABC; R, r là bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp của
tam giác ABC. Khẳng định nào trong số các khẳng định sau đúng?
A. r  4 R.sin

A
B
C
.sin .sin

2
2
2

B. r  3R.sin

C. r  2 R.sin

A
B
C
.sin .sin
2
2
2

D. r  R.sin

A
B
C
.sin .sin
2
2
2

A
B
C
.sin .sin

2
2
2

Trang 10


ĐÁP ÁN
Dạng 1. Công thức cộng
1-D

2-B

11 - C

12 - A

3-B

4-A

5-C

6-D

7-C

8-B

9-A

10 - B

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 10. Chọn B.
Ta có A  sin 4 x  2 cos 4 x  2 cos 4 x  1  cos 2 x   3cos 4 x  2 cos 2 x  1
2

2
2
2
 4
1  1   1  1
1 2 2
 2
2
 3 cos x  2 cos x.          3  cos x     .
3  3   3  3 
3 3 3



Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là

2
.
3

Ta lại có A  3cos 4 x  2 cos 2 x  1   3cos 4 x  2 cos 2 x  1  2   cos 2 x  1 3cos 2 x  1  2 .
Vì 0  cos 2 x  1 nên  cos 2 x  1 3cos 2 x  1  0  A   cos 2 x  1 3cos 2 x  1  2  2 .

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2.
Vậy M  2; m 

2
2
 P   3.
2
3
3

Câu 11. Chọn C.
Ta có A 

2
 3sin x  1 
1  tan 2 x

2
 3sin x  1  2 cos 2 x  3sin x  1
1
cos 2 x

 2 1  sin 2 x   3sin x  1  2sin 2 x  3sin x  3

3
3

 2  sin 2 x  sin x  
2
2


2
2
2
 2
3  3   3  3
3  33 33

 2 sin x  2sin x          2  sin x     .
4  4   4  2 
4
8
8



Vậy giá trị lớn nhất của A là

33
.
8

Câu 12. Chọn A.
Ta có 3  cos B  2 cos C   4  sin B  2sin C    3cos B  4sin B    6 cos C  8sin C  .
3cos B  4sin B 

Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski, ta có: 
6 cos C  8sin C 


3
6

2

 42  cos 2 B  sin 2 B   5

2

 82  cos 2 C  sin 2 C   10

 3  cos B  2 cos C   4  sin B  2sin C   15 .
Trang 11


3cos B  4sin B  5
Mà theo giả thiết 3  cos B  2sin C   4  sin B  2 cos C   15 nên 
.
6 cos C  8sin C  10
4
 cos B sin B

 3  4
 tan B  3
, C
  180 ).

 tan B  tan C  B  C (do B
Do đó dấu “=” xảy ra khi 
sin

C
cos
C
8
4

 tan C  


6
6 3
 8

Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.
Dạng 2. Công thức nhân đôi
1-C

2-C

3-A

4-D

5-D

6-D

7-A

8-A

9-D

10 - B

11 - D
HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 9. Chọn D.
Ta có A  cos 2 x  4sin x  3  1  2sin 2 x  4sin x  3  2sin 2 x  4sin x  4
 2  sin 2 x  2sin x  2   2  sin 2 x  2sin x  1  3  2  sin x  1  6  6 .
2

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 6 khi sin x  1 .
Câu 10. Chọn B.
Sử dụng hằng đẳng thức: a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2  .
A  sin 6 x  cos 6 x   sin 2 x  cos 2 x  sin 4 x  sin 2 x.cos 2 x  cos 4 x 
2
3
2
  sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x.cos 2 x  1  3  sin x.cos x   1  sin 2 2 x .
4

Vì sin 2 2 x  1 
Vậy A 

3 2
3
3
3 1
sin 2 x 

 A  1  sin 2 2 x  1 
 .
4
4
4
4 4

1
1
 Amin  .
4
4

Câu 11. Chọn D.
Ta có P  6 cos 2 x  4sin x.cos x  9sin x.cos x  6sin 2 x  1
5
 6  cos 2 x  sin 2 x   5sin x.cos x  1  6 cos 2 x  sin 2 x  1 .
2
2

Tới đây ta rút
P

12
5

 5  13
6   
ra ngoài và đặt sin   ; cos   ; 0    .
13

13
2
2
2
2

13  12
5
13
13

 cos 2 x  sin 2 x   1   sin .cos 2 x  cos .sin 2 x   1  sin    2 x   1 .
2  13
13
2
2


Vì 1  sin    2 x   1 nên min P  

13
11
13
15
1  
và max P   1  .
2
2
2
2

Trang 12


Do đó A 

15
11
A
15
;B 
  .
2
2
B
11

Dạng 3. Cơng thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
1-C

2-C

3-A

4-A

5-D

6-A

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 6. Chọn A.
Gọi p là nửa chu vi của tam giác. Ta có
 p

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

a  b  c 2 R sin A  2 R sin B  2 R sin C

 R  sin A  sin B  sin C 
2
2

 R sin A  sin B  sin  A  B    R  sin A  sin B  sin A.cos B  sin B.cos A 

A
A
B
B
B
A

 R sin A 1  cos B   sin B 1  cos A    R  2sin cos .2 cos 2  2sin cos .2 cos 2 
2

2
2
2
2
2

 4 R cos

A
B
A
B
B
A
A
B
 A B 
cos  sin cos  sin cos   4 R cos cos sin 

2
2
2
2
2
2
2
2
 2 

 4 R cos

A
B
C
cos cos .
2
2
2

Ta lại có S  p.r 

r

R.2sin

abc
abc sin A.2 R.sin B.2 R.sin C.2 R
8 R 3 .sin A.sin B.sin C
r


4R
p.4 R 4 R.cos A cos B cos C .4 R 16 R 2 .cos A cos B cos C
2
2
2
2
2
2

A
B
B
C
C
.2sin .cos .2.sin .cos
2
2
2
2
2  4 R.sin A sin B sin C .
A
B
C
2
2
2
2 cos cos cos
2
2
2

Vậy r  4 R.sin

A
B
C
sin sin .
2
2

2

Trang 13