Bài 1 bất ĐẲNG THỨC nhóm ĐHSPHN image marked

CHƯƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được khái niệm bất đẳng thức.
+ Nắm được các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, hệ quả của bất đẳng thức
Cơ-si và bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Kĩ năng
+ Biết cách giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất và định nghĩa.
+

Biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng bất
đẳng thức Cô-si.

+ Vận dụng được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong các bài toán về cực trị.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khái niệm bất đẳng thức
-

Ví dụ:

Các mệnh đề dạng " a  b " hoặc " a  b " được gọi là bất đẳng

3  5 ;  a  1  0 ; a 2  2  0 .
2

thức.
Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương.
-

Nếu mệnh đề " a  b  c  d " đúng thì ta nói bất đẳng thức

c  d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a  b và

cũng viết là a  b  c  d .
-

Nếu bất đẳng thức a  b là hệ quả của bất đẳng thức c  d và
ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau
và viết là a  b  c  d .

Ví dụ:
Từ 3  6  2.3  2.6  6  12 .
Bất đẳng thức 6  12 là bất đẳng thức
hệ quả của bất đẳng thức 3  6 .
Chứng minh tương tự, ta thu được kết
quả hai bất đẳng thức 3  6 và 6  12
tương đương với nhau.

Tính chất của bất đẳng thức
Tính chất
Điều

Tên gọi

Nội dung

kiện
a b  ac bc

Cộng hai vế của bất
đẳng thức với một số

c0

a  b  ac  bc

Nhân hai vế của bất

c0

a  b  ac  bc

đẳng thức với một số

a  b
 ac bd
c  d

Cộng hai bất đẳng
thức cùng chiều

Trang 1


a 0,

a  b
  ac  bd
c  d

Nhân hai bất đẳng

n  *

a  b  a 2 n 1  b 2 n 1

Nhân hai vế của bất

n  * ,

a  b  a 2n  b2n

đẳng thức lên một

c0

thức cùng chiều

lũy thừa

a0
a0

ab a  b

Khai căn hai vế của

ab 3 a  3 b

một bất đẳng thức

Bất đẳng thức Cô-si
-

Bất đẳng thức Cô-si cho hai số khơng âm

ab
 ab .
2

Ví dụ:
-

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a  b .
-

mãn xy  9 . Khi đó, ta có

Hệ quả:

x 2  y 2  2 x 2 y 2  2 xy  18

Tổng của một số dương và nghịch đảo của nó ln lớn hơn

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi

hoặc bằng 2.
a



1
 2 , a  0 .
a

 x2  y 2
x  y  3
.


 x  y  3
 xy  9

Nếu x , y cùng dương và có tổng khơng đổi thì tích

xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x  y .


Chứng minh: a  b  a  b . 1

Nếu x , y cùng dương và có tích khơng đổi thì tổng
x  y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x  y .

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
-

Cho hai số thực x , y thỏa

-

Nếu a  b thì 1 đúng.

-

Nếu a  b , bình phương hai
vế, ta được

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất sau
Điều kiện

Nội dung

x  0 , x  x , x  x .
a0

x  a  a  x  a .

x  a
.
x a
 x  a
a  b  ab  a  b .

a 2  2 ab  b 2  a 2  b 2  2ab
 ab  ab (bất đẳng thức này luôn
đúng).
Suy ra điều phải chứng minh.
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi ab  0 .
Chứng minh tương tự với bất đẳng
thức a  b  a  b .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất
Trang 2


Phương pháp giải
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức

A  B  A  B .

a 3  b3  a 2b  ab 2 với mọi a  0 , b  0 .

hoặc Hướng dẫn giải
Cách 1. Xét hiệu
dùng các phép biến đổi tương đương để
a 3  b3   a 2b  ab 2    a 3  a 2b    ab 2  b3 
chứng minh A  B  A  B  tương đương

1. Chứng minh

A  B  0  A  B  0

với một bất đẳng thức đúng.
2. Xuất phát từ một bất đẳng thức đúng.
3. Biến đổi một vế của bất đẳng thức.

A  C
4. Sử dụng tính chất bắc cầu 
 A  B.
C  B

 a 2  a  b   b2  a  b 

  a  b   a 2  b2    a  b   a  b  .
2

Mà  a  b   0 với mọi a , b và a  0 , b  0 nên
2

a  b a  b  0 .
2

Dấu "  " xảy ra khi a  b .
Vậy a 3  b3  a 2b  ab 2 với mọi a  0 , b  0 .
Cách 2. Biến đổi tương đương

a

3

 b3    a 2b  ab 2 

  a 3  a 2b    ab 2  b3   0

 a 2  a  b   b2  a  b   0
  a  b   a 2  b2   0
  a  b   a  b   0 .  *
2

Lập luận tương tự như Cách 1, ta suy ra bất đẳng

thức * là một bất đẳng thức đúng với a  0 ,
b  0 . Vì vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho a , b là hai số thực thỏa mãn ab  1 .
Chứng minh rằng

1
1
2


.
2
2
1  a 1  b 1  ab

Hướng dẫn giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
1
1
2
1
1
1
1


0




0
2
2
2
2
1  a 1  b 1  ab
1  a 1  ab 1  b 1  ab

Nhận xét: Khi chứng minh

Trang 3








bất đẳng thức dạng A  B

ab  a 2
ab  b 2

0
1  a 2  1  ab  1  b2  1  ab 
a b  a 



b a  b

1  a  1  ab  1  b  1  ab 
2

2

ta nên chỉ ra trường hợp
dấu đẳng thức (dấu "  " )

0

xảy ra.

ba  a
b 
b  a a  ab 2  b  a 2b


0

.
0


1  ab  1  a 2 1  b 2 
1  ab 1  a 2 1  b 2 

 b  a   ab  1  0 .
b  a  a  b   ab  b  a 

.

0

1  ab 1  a 2 1  b 2 
1  ab  1  a 2 1  b2 
2

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ab  1 .
Dấu "  " xảy ra khi a  b hoặc ab  1 .
Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Ví dụ 2. Cho a , b thỏa mãn a  b  0 .
Chứng minh rằng

a 3  b3  a  b   a 2  b 2 

.

2
 2  2 

Hướng dẫn giải
Ta có
2
2
a 3  b3  a  b   a 2  b 2   a  b   a  ab  b   a  b   a 2  b 2 







2
2
 2  2 
 2  2 

a 2  b 2   a  b   a 2  2ab  b 2 
 a  b  2
2

a

ab

b






2   2 
2
 2 




 a  b  a  b 

2

4

 0 (ln đúng vì a  b  0 và  a  b   0 ).
2

Dấu "  " xảy ra khi a  b hoặc a  b .
Vậy

a 3  b3  a  b   a 2  b 2 

 với a  b  0 .

2
 2  2 

Ví dụ 3. Cho a , b , c  0 thỏa mãn a 2  b 2  c 2 
Chứng minh

35
.
33

1 1 1
1

  
.
a b c abc

Hướng dẫn giải
Ta có 0   a  b  c   a 2  b 2  c 2  2  ab  ac  bc 
2

 2  ac  bc  ab   a 2  b 2  c 2

Trang 4


 ac  bc  ab 

1 2
 a  b2  c2 
2

 ac  bc  ab 

35
 1 hay ac  bc  ab  1 .
66

Vì abc  0 nên chia cả hai vế cho abc , ta được



ac  bc  ab

1

abc
abc

1 1 1
1
  
(điều phải chứng minh).
a b c abc

Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi a , b , c  0 ta có 1 

a
b
c


 2.
ab bc ca

Hướng dẫn giải
Ta có a  b  a  b  c 
Tương tự ta có

1
1
a
a




. 1
ab abc
ab abc

b
b

bc abc

 2 ;

c
c

.  3
ca abc

Cộng theo vế các bất đẳng thức 1 ,  2  ,  3 ta được
a
b
c


 1 .  *
ab bc ca

Ta có a  a  b  c   a 2  ab  ac  a 2  ab  ac  bc   a  b  a  c 


a
ac

.
ab abc

 4

Tương tự ta có
b
ba

.
bc abc

 5

c
cb

.
ca abc

 6

Cộng theo vế các bất đẳng thức  4  ,  5  ,  6  ta được
a
b
c



 2.
ab bc ca

Từ * và ** ta được 1 

**
a
b
c


 2 (điều phải chứng minh).
ab bc ca

Ví dụ 5. Cho a , b , c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng

a
b
c


 3.
1  bc 1  ca 1  ab

a
b
c

3


 .
1  a  bc 1  b  ca 1  c  ab 4

Hướng dẫn giải
Ta có

Trang 5


a
b
c
a
b
c
3
3


  1  bc  1  ca  1  ab  .
a
b
c
1  a  bc 1  b  ca 1  c  ab 4
4
1
1

1
1  bc
1  ca
1  ab

Đặt x 

a
b
c
; y
; z
.
1  bc
1  ca
1  ab

Suy ra x , y , z  0 và thỏa mãn x  y  z  3 .
Ta cần phải chứng minh
Dễ thấy

x
y
z
3


 .
1 x 1 y 1 z 4

x
x
y
y
z
z



;
;
.
1 x 1 x  y  z 1 y 1 y  x  z 1 z 1 z  x  y

Cộng vế với vế các bất đẳng thức, ta được
x
y
z
x yz
3



 (vì x  y  z  3 ).
1 x 1 y 1 z 1 x  y  z 4

Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Dấu "  " xảy ra khi trong 3 số a , b , c có một số bằng 3 và hai số cịn lại cùng bằng 0.
Ví dụ 6. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z .
1 1 1

1 1
Chứng minh rằng y      x  z       x  z  .
x z y
x z

Hướng dẫn giải
Bắt đẳng thức đã cho tương đương với

 x  z

2

xz




y  x  z x  z

xz
y

xz y 1
   0 (vì x  z  0 )
xz
xz y

 xy  yz  y 2  xz  0
 x y  z  y  y  z  0
  x  y  y  z   0

Bất đẳng thức này ln đúng vì 0  x  y  z .
Vây bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Dấu "  " xảy ra khi x  y hoặc y  z .
Ví dụ 7. Cho abc  1 và a 3  36 . Chứng minh rằng

a2
 b 2  c 2  ab  bc  ca .
3

Hướng dẫn giải
Xét hiệu

Trang 6


 a2
 a2
a2
2
2
2
2
 b  c   ab  bc  ca     b  c  ab  ca  2bc    3bc
3
 4
 12
2

2

2
3
a
 a  36bc  a
 a  36abc
  b c 
  b c 
12
12a
2

2

2

3
a
 a  36
.
  b c 
12a
2


a 3  36
0;
Ta có a  36  a  36  0 và a  36  0 nên
12a
3

3

3

2

a

Lại có   b  c   0 .
2

2

3
a
 a  36
Do đó   b  c  
0.
12a
2


Vậy

a2
a2
 b 2  c 2   ab  bc  ca   0 
 b 2  c 2  ab  bc  ca (điều phải chứng minh).
3
3

Ví dụ 8. Cho hai số thực dương a , b . Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.

a2
1
 .
4
a 1 2

B.

C.

a2  1 1
 .
a2  2 2

D. Tất cả đều đúng.

ab 1
 .
ab  1 2

Hướng dẫn giải
a 2  1

a2
1 2a 2  a 4  1
 


 0 , a   . Do đó A sai, D sai.
a4  1 2
2  a 4  1
2  a 4  1
2


ab  ab  1


ab 1 2
 
ab  1 2
2  ab  1



ab  1

2

2  ab  1



0

2

2



a2  1 1

a 1 1 2 a 1  a  2
 

a2  2 2
2  a2  2
2  a2  2
2

ab 1
 , a, b  0 . Do đó B sai.
ab  1 2

2

0

a2  1 1
 , a . Do đó C đúng.
a2  2 2

Chọn C.
Ví dụ 9. Nếu 0  a  1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.

1
 a.
a

C. a  a .

B. a 

1
.
a

D. a 3  a 2 .

Hướng dẫn giải

Trang 7








1 a 1 a  a
1
1 a a
1
 a


 0   a , a   0;1 . Do đó A đúng.
a
a
a
a
a

1 a 2  1  a  1 a  1
1


 0  a  , a   0;1 . Do đó B sai.
a
a
a
a

a a  a





a  1  0  a  a , a   0;1 . Do đó C sai.

a 3  a 2  a 2  a  1  0  a 3  a 2 , a   0;1 . Do đó D sai.
Chọn A.
Ví dụ 10. Cho a  b  0 và x 

1 a
1 b
; y
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
1 a  a
1  b  b2

A. x  y .

B. x  y .

C. x  y .

D. Không so sánh được.

Hướng dẫn giải
Giả sử x  y 

1 a
1 b

 1  a  1  b  b 2   1  b  1  a  a 2 
2
1  a  a 1  b  b2

 1  b  b 2  a  ab  ab 2  1  a  a 2  b  ab  a 2b
 b 2  ab 2  a 2  a 2b  a 2  b 2  ab  a  b   0
  a  b  a  b  ab   0 luôn đúng với mọi a  b  0 .
Do đó x  y .

Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
2

a 2  b2  a  b 
Câu 1: Hai số a , b thỏa mãn bất đẳng thức

 thì
2
 2 
A. a  b .

B. a  b .

C. a  b .

D. a  b .

Câu 2: Với m , n  0 , bất đẳng thức mn  m  n   m3  n3 tương đương với bất đẳng thức
A.  m  n   m 2  n 2   0 .

B.  m  n   m 2  n 2  mn   0 .

C.  m  n  m  n   0 .

D.  m  n   m 2  2n 2   0 .

2

Câu 3: Cho x , y  0 . Bất đẳng thức nào sau đây sai?
A.  x  y   4 xy .
2

C.

1
4
.

xy  x  y 2

B.

1 1
4
 
.
x y x y

D.  x  y   2  x 2  y 2  .
2

Trang 8


Câu 4: Với mỗi x  2 , trong các biểu thức
A.

2

.
x

B.

2
.
x 1

2 2
2 x 1 x
,
,
,
, giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất?
x x 1 x 1 2 2

C.

2
.
x 1

D.

x
.
2

Câu 5: Cho các mệnh đề sau

(I): a 2  b 2  2ab , a, b .
(II): ab  a  b   a 3  b3 , a, b .
(III): ab  4  4 ab , a, b .
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. (I) và (III).

D. (I), (II) và (III).

Câu 6: Cho các mệnh đề
(I):

a2
1
 .
4
a 1 2

(II):

ab 1
 .
ab  1 2

(III):

a2  1 1

 .
a2  2 2

(IV):

2 ab
1.
ab

Số mệnh đề đúng là
A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số y   x 2  5 x  6 trên đoạn  2;3 là
A.

5
.
2

B.

Câu 8: Cho hàm số f  x  

1

.
4
1
x2  1

C. 1.

D.

3

4.

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. f  x  có giá trị nhỏ nhất là 0, giá trị lớn nhất bằng 1.
B. f  x  không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1.
C. f  x  có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2.
D. f  x  khơng có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
Câu 9: Cho a , b , c , d là các số dương. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu

a c
ab cd
 thì

.
b d
a
c

C. a  b  c  ab  bc  ca .

B. Nếu

a c
ab cd
 thì

.
b d
b
d

D. 2 ab





a  b  2ab  a  b .

Câu 10: Cho a , b , c , d là các số thực trong đó a , c  0 . Nghiệm của phương trình ax  b  0 nhỏ hơn
nghiệm của phương trình cx  d  0 khi và chỉ khi
A.

b c
 .
a d

B.

b c
 .
a d

C.

b a
 .
d c

D.

b d
 .
a c

Bài tập nâng cao

x  y  1
Câu 11: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình 
có nghiệm  x; y  với x. y lớn nhất?
 x  y  2a  1

Trang 9


A. a 

1
.
4

B. a 

1
.
2

1
C. a   .
2

D. a  1 .

Câu 12: Cho a 2  b 2  c 2  1 . Hãy chọn mệnh đề đúng.
A. ab  bc  ca  0 .

1
B. ab  bc  ca   .
2

C. ab  bc  ca  1 .

D. ab  bc  ca  1 .

Câu 13: Bất đẳng thức a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  a  b  c  d  e  , a, b, c, d , e tương đương với bất đẳng
thức nào sau đây?
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b 
c 
d 
e

A.  a     a     a     a    0 .
2 

2 
2 
2

a 
a 
a 
a

B.  b     c     d     e    0 .
2 
2 
2 
2

a 
a 
a 
a

C.  b     c     d     e    0 .
2 
2 
2 
2

D.  a  b    a  c    a  d    a  e   0 .
2

2

2

2

Câu 14: Cho 3 số a, b, c bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. a  b  2 ab .

B.  a  2b  3c   14  a 2  b 2  c 2  .

C. ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2 .

D.

2

1 1
4
 
.
a b ab

Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2  3 x với x   là
9
A.  .
4

3
B.  .
2

C. 0.

D.

3
.
2

ĐÁP ÁN
Dạng 1. Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất
1-C

2-C

3-B

4-B

5-A

11 - A

12 - B

13 - B

14 - C

15 - C

6-D

7-B

8-B

9-A

10 - D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 11. Chọn B.

x  a
Hệ phương trình có nghiệm là 
.
 y  1 a
2

1 1 1
1 1 1


Ta có xy  a 1  a   a  a 2    a 2  2a.       a     , a   .
2 4 4
2 4 4


Đẳng thức xảy ra khi a 

1
.
2

Vậy xy lớn nhất khi a 

1
.
2

Trang 10


Câu 12. Chọn B.
Ta có a 2  b 2  2ab ; b 2  c 2  2bc ; c 2  a 2  2ac .
Cộng vế theo vế ta có 2  a 2  b 2  c 2   2  ab  bc  ca   ab  bc  ca  1 .
1
2
Ta có  a  b  c   0  a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca   0  ab  bc  ca   .
2

Câu 13. Chọn B.

a 2  b2  c 2  d 2  e2  a  b  c  d  e 
2
2
2
 a2


2 a
2 a
2 a
   ab  b     ac  c     ad  d     ae  e 2   0
 4
  4
  4
  4

2

2

2

2

a 
a 
a 
a

 b    c    d    e    0 .
2 
2 
2 
2

Câu 14. Chọn C.
Đáp án C. đúng vì ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2   a  b    b  c    c  a   0 .

2

2

2

Câu 15. Chọn C.
Ta có x 2  0 ; x  0  x 2  3 x  0 , x   .
Vây giá trị nhỏ nhất là 0 đạt được khi x  0 .
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cô-si
Phương pháp giải
1. Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số
Ví dụ 1. Cho a, b, c  0 . Chứng minh

không âm:
ab
 ab .
2

Với a, b  0 , ta ln có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b .
Các dạng tương đương của bất đẳng thức trên

a  b
ab 

2

4

và a  b
2

2

a  b

2

2

.

 a  b  b  c  c  a   8abc .
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có

a  b  2 ab ;
b  c  2 bc ;
c  a  2 ca .
Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

 a  b  b  c  c  a   8

a 2b 2 c 2  8abc .

Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .
2. Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho ba số
không âm:

Với a, b, c  0 , ta ln có

abc 3
 abc .
3

Ví dụ 2. Cho a, b, c  0 . Chứng minh
a b c
   3.
b c a

Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có
Trang 11


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Dạng tương đương của bất đẳng thức trên

a  b  c
abc 

3

27

.

a b c
a b c

   33 . .  3 .
b c a
b c a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .

3. Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho n số
không âm.
Với a1 , a2 ,..., an  0 , ta ln có
a1  a2  ...  an n
 a1.a2 ...an .
n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta có

1 1
4
 
.
a b ab

Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có a  b  2 ab ,

1 1
2
 
.

a b
ab

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

 a  b  

1 1
1 1
4
 4  
.
a b ab
a b

Đẳng thức xảy ra khi a  b .
Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c 
3

3
. Chứng minh rằng
4

a  3b  3 b  3c  3 c  3a  3 .

Hướng dẫn giải
Cách 1.
Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có
3

1
3

1
3

 a  3b  .1.1   a  3b  1  1   a  3b  2 

 3 a  3b 

1
 a  3b  2  .
3

1

Chứng minh tương tự ta cũng có
3

b  3c 

1
 b  3c  2  ,
3

 2

3

c  3a 

1
 c  3a  2  .
3

 3
Trang 12


Cộng từng vế các bất đẳng thức 1 ,  2  ,  3 , ta được
3

1
a  3b  3 b  3c  3 c  3a   4  a  b  c   6 
3

1 3 
 3 a  3b  3 b  3c  3 c  3a   4.  6   3 .
3 4 
3

1
a  b  c 
Đẳng thức xảy ra khi 
abc .
4
4
a  3b  b  3c  c  3a  1

Cách 2.

Đặt x  3 a  3b , y  3 b  3c , z  3 c  3a ta có x3  y 3  z 3  4  a  b  c   3 .
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x  y  z  3 .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có x3  1  1  3 3 x3 .1.1  3 x .
Chứng minh tương tự, ta được y 3  1  1  3 y , z 3  1  1  3 z .
Cộng từng vế các bất đẳng thức tương tự, ta được

9  3 x  y  z   x  y  z  3 .
Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  1  a  b  c 

1
.
4

Ví dụ 3. (Đề thi đại học khối D – 2005).
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz  1 . Chứng minh rằng

1  x3  y 3
1  y3  z3
1  z 3  x3


3 3.
xy
yz
zx
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho ba số dương, ta có
1  x3  y 3  3 3 1.x3 . y 3  3 xy

1  x3  y 3



xy

3
.
xy

1

Chứng minh tương tự ta được

1  y3  z3

yz

3
;
yz

 2

1  z 3  x3

zx

3
.
zx

 3

Cộng từng vế các bất đẳng thức 1 ,  2  và  3 , ta được

Trang 13


1  x3  y 3
1  y3  z3
1  z 3  x3



xy
yz
zx

3

xy

3
3

yz
zx

3
3
3

.
.
3 3.
xy yz zx

 33

Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  1 .
Ví dụ 4. Cho a, b, c  0 . Chứng minh

a3
b3
c3
abc
.



b c  a  c  a  b a b  c 
2

Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được

a3
b ca
a3
b c  a 3a
a3
5a b c

 
 33
. .



  .
b c  a 2
4
b c  a 2 4
2
b c  a 4 2 4
Tương tự, ta chứng minh được

b3
5b c a
c3
5c a b
   ;
   .
c  a  b 4 2 4 a b  c  4 2 4
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được

a3
b3
c3
abc
.




b c  a  c  a  b a b  c 
2
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .
Ví dụ 5. Cho x, y, z là các số dương và xyz  1 . Chứng minh rằng

x2
y2
z2
3


 .
1 y 1 z 1 x 2

Hướng dẫn giải

x 2 1 y
x 2 1 y
x2
y 1
Ta có

2
.
x
 x   . 1
1 y
4
1 y 4

1 y
4 4
Tương tự

y2
z 1
 y 
1 z
4 4

 2  và

z2
x 1
 z  .
1 x
4 4

 3

Mẹo ta cần quan tâm dấu

"  " xảy ra khi nào để
thêm bớt cho phù hợp.

Cộng theo vế các bất đẳng thức 1 ,  2  ,  3 ta được
x2
y2
z2
3 x yz



 
  x  y  z
1 y 1 z 1 x
4
4







3
3
 x  y  z   3 3 xyz  1
4
4


3
3
 3  1 
4
2

Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  1 .

Trang 14

Ví dụ 6. (Đề thi đại học khối A – 2005)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn

1 1 1
   4 . Chứng minh rằng
x y z

1
1
1


1.
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z

Hướng dẫn giải
Trước hết với a, b  0 , ta có 4ab   a  b  
2

1
ab
1
11 1


   .
a  b 4ab
ab 4 a b

Đẳng thức xảy ra khi a  b .
Sử dụng kết quả trên, ta có

1
1 1
1  1  1 1  1 1  1  1 1
1 
  
 .
         
2 x  y  z 4  2 x y  z  4  2 x 4  y z  8  x 2 y 2 z 
Tương tự

1
1 1 1
1 
1
11 1
1 
    ;
  

.
x  2 y  z 8  y 2z 2x  x  y  2z 8  z 2x 2 y 
Vậy

1
1
1

11 1 1


      1.
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z 4  x y z 

Đẳng thức xảy ra khi x  y  z 

3
.
4

 1 5
Ví dụ 7. Giá trị lớn nhất M của hàm số f  x    6 x  3 5  2 x  , với x    ;  là
 2 2

A. M  0 .

B. M  24 .

C. M  27 .

D. M  30 .

Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si:

f  x   3  2 x  1 5  2 x 

a  b

ab 

 2x 1 5  2x
 3.
4

4

2

2

, ta được

 27  f  x   27 .

5
 1
  x 
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi  2
2  x  1.
2 x  1  5  2 x

Vậy M  27 .
Chọn C.
Ví dụ 8. Giá trị lớn nhất M của hàm số f  x  

x 1
với x  1 là
x

Trang 15


1
.
2

A. M  0 .

B. M 

C. M  1 .

D. M  2 .

Hướng dẫn giải
Ta có f  x  

x 1
x 1


x
x 11

x 1



Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có



2

x 1 1





.



2

x 1 1  2



2

x  1 .1  2 x  1 .

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  2 .
Do đó f  x  
Vậy M 

x 1
1
 .
2. x  1 2

1
.
2

Chọn B.
Ví dụ 9. Giá trị lớn nhất M của hàm số f  x  

 x  1

2

, với x  0 là

B. M 

A. M  0 .
C. M 

x

1
.
2

1

.
4

D. M  1 .

Hướng dẫn giải
Ta có f  x  

x

 x  1

2



x
.
x  2x 1
2

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có x 2  1  2 x 2 .1  2 x .
Do đó x 2  2 x  1  4 x  f  x  

x 1
 .
4x 4

Dấu "  " xảy ra khi x  1 .
Vậy M 

1
.
4

Chọn B.
Ví dụ 10. Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f  x   x  3  6  x lần lượt là
A. m  2 ; M  3 .

B. m  3 ; M  3 2 .

C. m  2 ; M  3 2 .

D. m  3 ; M  3 .

Hướng dẫn giải
Hàm số xác định khi 3  x  6 . Tập xác định D   3;6 .
Ta có f 2  x   9  2

 x  3 6  x  .
Trang 16


 x  3 6  x   0 , x   3;6

Vì

nên f 2  x   9  f  x   3 .

Dấu "  " xảy ra khi x  3 hoặc x  6 . Vậy m  3 .

Lại có 2

 x  3 6  x   3  x  6  x  9 

Dấu "  " xảy ra khi x  3  6  x  x 

f 2  x   18  f  x   3 2 .

3
. Vậy M  3 2 .
2

Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho x, y là hai số thực bất kì thỏa mãn xy  2 . Giá trị nhỏ nhất của A  x 2  y 2 là
A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 4.

a b
a b c
1 1 1
9
  2 (I);    3 (II);   
(III) (với a, b, c  0

b a
b c a
a b c abc
). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng?

Câu 2: Cho các bất đẳng thức

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Chỉ (III) đúng.

D. (I), (II), (III) đều đúng.

Câu 3: Cho x 2  y 2  1 . Gọi S  x  y , khi đó ta có
A. S  2 .

B. S  2 .

C.  2  S  2 .

D. 1  S  1 .

Câu 4: Cho x, y là hai số thực thay đổi sao cho x  y  2 . Gọi m  x  y , khi đó ta có
2

2

A. Giá trị nhỏ nhất của m là 2.

B. Giá trị nhỏ nhất của m là 4.

C. Giá trị lớn nhất của m là 2.

D. Giá trị nhỏ lớn của m là 4.

Câu 5: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  
A. 2.

B.

x
2

với x  1 là
2 x 1

5
.
2

Câu 6: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   2 x 
A. 2.

B.

1
.
2

C. 2 2 .

D. 3.

1
với x  0 là
x

C.

2.

D. 2 2 .

Câu 7: Cho a, b, c  0 . Bất đẳng thức nào đúng?
 a  b  c 
A. 1   1   1    8 .
 b  c  a 

 a  b  c 
B. 1   1   1    3 .
 c  a  b 

 b  c  a 
C. 1   1   1    3 .
 c  a  b 

D.  a  b  b  c  c  a   6abc .

Câu 8: Cho x  3 . Giá trị lớn nhất của hàm số f  x  
A.

1
2 3

.

B.

2
.
3

C.

x 3
bằng
x
3
.
2

D.

1
.
3

Bài tập nâng cao

Trang 17


Câu 9: Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x  y  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  xy 

A.

1
là
xy

17
.
4

B. 2.

C. 4.

Câu 10: Với a, b, c  0 . Biểu thức P 
A. 0  P 

3
.
2

1
.
2

a
b
c


. Mệnh đề nào sau đây đúng?
bc ca ab

3
 P.
2

B.

D.

C.

4
 P.
3

D.

3
 P.
2

Câu 11: Cho a, b, c  0 . Khẳng định nào sau đây sai?

A. 1  2a  2a  3b  3b  1  48ab .
C.

B. 1  2b  2b  3a  3a  1  48ab .

1
1
1
11 1 1


    .
2
2
2
1 a 1 b 1 c
2a b c

 a  b  c 
D.   1   1   1  8 .
 b  c  a 

Câu 12: Giá trị nhỏ nhất m của hàm số f  x  
A. m  4 .

4
x

với 0  x  1 là
x 1 x

B. m  2 .

C. m  6 .

D. m  8 .

ĐÁP ÁN
Dạng 2. Chứng minh bất đẳng thức sử dụng đẳng thức Cô-si
1-D

2-D

11 - C

12 - D

3-C

4-A

5-B

6-D

7-A

8-A

9-A

10 - D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 9. Chọn A.
2

1
 x y
Ta có xy  
  xy  .
4
 2 
Đặt xy  t , điều kiện 0  t 

1
.
4

1 
1  15
1 15
1 15 17
Khi đó P  t    t 
 2 t.
 .4    .

t  16t  16t
16t 16
2 4

4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

1
1
hay x  y  .
4
2

17
.
4

Câu 10. Chọn D.
1
1 
 1


Ta có P  3   a  b  c  
.
bc ca ab

Trang 18


Áp dụng bất đẳng thức
Do đó P  3 

1
1
1
9
1 1 1
9



  
, suy ra
.
b  c c  a a  b 2a  b  c
x y z x yz

9
3
P .
2
2

Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .
Câu 11. Chọn C.
Đáp án A. đúng khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si 1  2a  2 2a ; 2a  3b  2 6ab ; 3b  1  2 3b .
Đáp án B. đúng khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si 1  2b  2 2b ; 2b  3a  2 6ab ; 3a  1  2 3a .
Đáp án C. sai với a  1 ; b  2 ; c  3 .
Đáp án D. đúng khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si

a
a b

b c
c
1  2
; 1  2
; 1  2
.
b
b c
c a
a

Câu 12. Chọn D.
Ta có f  x   4 
Vì x   0;1 

f  x  4 

4 1  x 
4
x
4 4x
x
x

4 



.
x 1 x

x x 1 x
x
1 x

x
 0 nên theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có
1 x

4 1  x 
4 1  x  x
x

2
.
 4  f  x  8 .
x
1 x
x
1 x

1  x  0
2

Dấu "  " xảy ra khi   4 1  x 
x  x  . Vậy m  8 .
3


1 x
 x

Trang 19