PHƯƠNG TRÌNH một số PHƯƠNG TRÌNH QUY về PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT HOẶC bậc HAI (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word image marked

§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI
 DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phương pháp giải.
 Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ,
bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
 Phương trình dạng f (x ) = g(x ) ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau
é f (x ) = g(x )
f (x ) = g(x ) Û êê
hoặc f (x ) = g(x ) Û f 2 (x ) = g 2 (x )
f
(
x
)
=
g
(
x
)
êë
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các phương trình sau
a) 2x + 1 = x 2 - 3x - 4 .
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

b) 3x - 2 = 3 - 2x
A.1 nghiệm
c) x 2 - 4x - 5 = 4x - 17
A.1 nghiệm

d) 2x - 5 + 2x 2 - 7x + 5 = 0
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

Lời giải:
é

ê x = 5 ± 45
é 2x + 1 = x 2 - 3x - 4
é x 2 - 5x - 5 = 0
ê
2
Û ê
a) Phương trình Û êê
Û êê 2
2
x
x
3
=
0
2
x
+
1
=
x
3
x
4
(
)
ê
1
±
13
êë

ëê
êx =
êë
2

Vậy phương trình có nghiệm là x =
b) Cách 1: Với 3 - 2x < 0 Û x >

5±

2

45

và

1 ± 13
.
2

3
ta có VT ³ 0, VP < 0 suy ra phương trình vơ nghiệm
2

115 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Với 3 - 2x ³ 0 Û x £

3

khi đó hai vế của phương trình khơng âm suy ra
2

Phương trình Û 3x - 2 = ( 3 - 2x ) Û 9x 2 - 12x + 4 = 4x 2 - 12x + 9
2

2

Û 5x 2 = 5 Û x = ±1 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là x = ±1 .
Cách 2: Với 3x - 2 ³ 0 Û x ³

2
: Phương trình tương đương với
3

3x - 2 = 3 - 2x Û 5x = 5 Û x = 1 (thỏa mãn)

Với 3x - 2 < 0 Û x <

2
: Phương trình tương đương với
3

- ( 3x - 2 ) = 3 - 2x Û x = -1 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là x = ±1 .
c) Với 4x - 17 < 0 Û x <
Với 4x - 17 ³ 0 Û x ³

17
ta có VT ³ 0, VP < 0 suy ra phương trình vơ nghiệm
4

17
khi đó hai vế của phương trình khơng âm suy ra
4

Phương trình Û x 2 - 4x - 5 = ( 4x - 17 ) Û ( x 2 - 4x - 5 ) = ( 4x - 17 )
2

2

2

é
ê
é x 2 - 8x + 12 = 0
ê
Û ( x 2 - 8x + 12 )( x 2 - 22 ) = 0 Û êê
Û
2
ê
x
22
=
0
êx
êë
êë

Đối chiếu với điều kiện x ³

17
thấy chỉ có x = 6 và x =
4

Vậy phương trình có nghiệm là x = 6 và x =

2

éx = 2
ê
êx = 6
êë
= ± 22

22 thỏa mãn

22 .

d) Ta có 2x - 5 ³ 0, 2x 2 - 7x + 5 ³ 0 suy ra

2x - 5 + 2x 2 - 7x + 5 ³ 0 .

116 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


ìï
ïï x = 5

ïï
2
ìï 2x - 5 = 0
5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ïí 2
Û ïí éê x = 1 Û x = .
ïï 2x - 7x + 5 = 0
ïï
2
ỵ
5
ïï êê
ïïỵ êë x = 2
Vậy phương trình có nghiệm là x =

5
.
2

Nhận xét: Đối với phương trình dạng f (x ) = g(x ) (*) ta có thể biến đổi tương đương như sau
ì
g(x ) ³ 0
ï
ï
ì
g
(
x
)
³

0
ï
ï
ï
ï
f (x ) = g(x ) Û í 2
Û í éê f (x ) = g(x )
2
ï
ï
f
(
x
)
=
g
(
x
)
ï
ï ê f (x ) = -g(x )
ỵ
ï
ï
ỵ ëê

é ìï f (x ) = g(x )
ê ïí
ê ï f (x ) ³ 0
Hoặc f (x ) = g(x ) Û êê ỵï

ì
ê ïï -f (x ) = g(x )
ê íï f (x ) < 0
êï
ëỵ
Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau
a) ( x + 1 ) - 3 x + 1 + 2 = 0
2

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.8 nghiệm

D.10 nghiệm

b) 4x ( x - 1 ) = 2x - 1 + 1
A.1 nghiệm
c) x 2 +

9

( x - 1)

2

+ 1 = 2x + 7

A.4 nghiệm

x 2 - 2x - 2
x -1

B.6 nghiệm

Lời giải:
a) Đặt t = x + 1 , t ³ 0 .

ét = 1
Phương trình trở thành t 2 - 3t + 2 = 0 Û êê
êë t = 2

117 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


é x =0
Với t = 1 ta có x + 1 = 1 Û x + 1 = ±1 Û êê
êë x = -2
é x =1

Với t = 2 ta có x + 1 = 2 Û x + 1 = ±2 Û êê
êë x = -3
Vậy phương trình có nghiệm là x = -3, x = -2, x = 0 và x = 1
b) Phương trình tương đương với 4x 2 - 4x - 2x - 1 - 1 = 0
Đặt t = 2x - 1 , t ³ 0 Þ t 2 = 4x 2 - 4x + 1 Þ 4x 2 - 4x = t 2 - 1 .

é t = -1
Phương trình trở thành t 2 - 1 - t - 1 = 0 Û t 2 - t - 2 = 0 Û êê
êë t = 2
é
3
ê x =
é 2x - 1 = 2
2
Û êê
Vì t ³ 0 Þ t = 2 nên 2x - 1 = 2 Û êê
2
x
1
=
2
êx = -1
êë
êë
2

Vậy phương trình có nghiệm là x =

3
1

và x = - .
2
2

c) ĐKXĐ: x ¹ 1
Phương trình tương đương ( x - 1 ) +
2

Đặt t = x - 1 -

9

( x - 1)

2

= 7 x -1-

3
x -1

3
x -1

Suy ra t 2 = ( x - 1 ) +
2

9

( x - 1)

2

- 6 Þ ( x - 1) +
2

9

( x - 1)

2

= t2 + 6

ét = 1
Phương trình trở thành t 2 + 6 = 7t Û t 2 - 7t + 6 = 0 Û êê
êë t = 6
Với t = 1 ta có x - 1 -

3
x 2 - 2x - 2
x 2 - 2x - 2
=1Û
=1Û
= ±1
x -1
x -1
x -1

118 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

é
é
ê 2
ê x = 3 ± 13
ê x - 3x - 1 = 0
ê
2
Û ê 2
Û ê
(thỏa mãn)
x
x
3
=
0
ê
ê
1 ± 13
ê
êx =
êë
ëê
2

Với t = 6 ta có x - 1 -

3
x 2 - 2x - 2

x 2 - 2x - 2
=6Û
=6Û
= ±6
x -1
x -1
x -1

é x 2 - 8x + 4 = 0
é x = 4±2 3
Û êê 2
Û êê
(thỏa mãn)
êë x + 4x - 8 = 0
êë x = -2 ± 2 3

Vậy phương trình có nghiệm là x =

3 ± 13
1 ± 13
,x =
, x = 4 ± 2 3 và x = -2 ± 2 3 .
2
2

Ví dụ 3: Giải và biện luận các phương trình sau
a) mx + 2m = mx + x + 1 (*)
A. m = B. m ¹ -

1

phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x .
2

1
phương trình (*) có hai nghiệm là x = -1 và x = 2m - 1
2

C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
b) mx + 2x - 1 = x - 1 (**)
A. m = -1 phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x
B. m = -3 phương trình (*) có nghiệm x = 0
C. m ¹ -1 và m ¹ -3 phương trình (*) có nghiệm x = 0 và x =

2
.
m+3

D. Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:

é mx + 2m = mx + x + 1
a) Ta có mx + 2m = mx + x + 1 Û êê
êë mx + 2m = - ( mx + x + 1 )

119 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


é
x = 2m - 1

Û êê
êë ( 2m + 1 ) x = -2m - 1 (1)
Giải (1)
Với 2m + 1 = 0 Û m = -

x .

1
phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi
2

Với 2m + 1 ¹ 0 Û m ¹ -

1
phương trình tương đương với x = -1
2

Kết luận
m =-

1
phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x .
2

m ¹-

1
phương trình (*) có hai nghiệm là x = -1 và x = 2m - 1
2

é mx + 2x - 1 = x - 1
b) Ta có mx + 2x - 1 = x - 1 Û êê
êë mx + 2x - 1 = - ( x - 1 )
é (m + 1)x = 0 (2)
Û êê
êë (m + 3)x = 2 (3)
Với phương trình (2) ta có

m = -1 thì phương trình (2) nghiệm đúng với mọi x
m ¹ -1 thì phương trình (2) có nghiệm x = 0
Với phương trình (3) ta có

m = -3 thì phương trình (3) vơ nghiệm
m ¹ -3 thì phương trình (3) có nghiệm x =

2
m+3

Kết luận

m = -1 phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x
m = -3 phương trình (*) có nghiệm x = 0

120 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


m ¹ -1 và m ¹ -3 phương trình (*) có nghiệm x = 0 và x =

2
.

m+3

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x 2 + x = mx 2 - (m + 1)x - 2m - 1 có ba nghiệm phân biệt.

ìï
üï
1 2
A. m Ỵ ïí -1; - ; - ; 0;1ùý
ùợù
ùỵù
2 3

ỡù
1 2 ỹù
B. m ẽ ùớ -1; - ; - ùý
ùợù
2 3 ùỵù

C. m = 

ìï
üï
1 2
D. m Ï ïí -1; - ; - ; 0;1ùý
ùợù
ùỵù
2 3
Li gii:

Phng trỡnh tng ng vi

x ( x + 1) =

( x + 1 )( mx - 2m - 1 )

Û x + 1 éë x - mx - 2m - 1 ùû = 0

é
x = -1
Û êê
êë x = mx - 2m - 1 (*)
é mx - 2m - 1 = x
é (m - 1)x = 1 + 2m (1)
Ta có (*) Û êê
Û êê
êë mx - 2m - 1 = -x
êë (m + 1)x = 1 + 2m (2)
Nếu m = 1 thì phương trình (1) vơ nghiệm khi đó phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm
phân biệt.

Nếu m = -1 thì phương trình (2) vơ nghiệm khi đó phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm
phân biệt.

é
1 + 2m
êx =
m -1
Nếu m ¹ ±1 thì (*) Û êê
1
ê x = + 2m

ê
m +1
ë

Suy ra để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
ìï 1 + 2m
ìï m ¹ 0
ïï
¹ -1
ïï
ïï m - 1
ïï
2
ïï 1 + 2m
Û ïí m ¹ - 3
¹ -1
í
ïï m + 1
ïï
1
ïï 1 + 2m
ïï
1 + 2m
m
ạ
ùù
ù
ạ
ùợ
2

m +1
ợù m - 1

1 2
ùỡ
ùỹ
Vy vi m ẽ ïí -1; - ; - ; 0;1ïý thì phương trình cú ba nghim phõn bit.
ùợù
ùỵù
2 3

121 Website chuyờn đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


3. Bài tập luyện tập.
Bài 3.24: Tìm số nghiệm của các phương trình sau
a) | 3x  2 | x 2  2x  3
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

b) x3  1  x 2  3 x  2
A.1 nghiệm

Lời giải:
2

3x  2 khi x  3
Bài 3.24: a) Ta có: | 3x  2 | 
3x  2 khi x  2

3

* Nếu x 

2
ÞPTÛ 3x  2  x 2  2x  3  x 2  x  5  0 pt vơ nghiệm .
3

* Nếu x 

2
ÞPTÛ 3x  2  x 2  2x  3  x 2  5x  1  0
3

Ûx 

5  21
2
hai nghiệm này đều thỏa mãn x  .

2
3

Vậy nghiệm của pt đã cho là x 

5  21
.
2

b) x  1, x  1  2
Bài 3.25: Tìm số nghiệm của các phương trình sau
a) ( 2x - 1 ) - 3 2x - 1 - 4 = 0
2

A.1 nghiệm

b)

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

x4  6x2  4 x2  2

x2
x

122 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.25: a) Đặt t = 2x - 1 , t ³ 0 .

é t = -1(l )
Phương trình trở thành t 2 - 3t - 4 = 0 Û êê
êë t = 4
Với t = 4 ta có 2x - 1 = 4 Û 2x - 1 = ±4 Û x =
Vậy phương trình có nghiệm là x  
b) ĐKXĐ: x ¹ 0 . Đặt t =

5
3
hoặc x  
2
2

5
3
và x =
2

2

x2 - 2
,t ³0
x

é t = -1
Phương trình trở thành t 2 - t - 2 = 0 Û êê
êë t = 2
Với t = 2 ta có

é x = -1 ± 3
x2 - 2
= 2 Û êê
x
êë x = 1 ± 3

Vậy phương trình có nghiệm là x = -1 ±

3 và x = 1 ±

3.

Bài 3.26: Cho phương trình x 2  2 x  2 x  1  m  3  0
a) Tìm số nghiệm của phương trình khi m  2
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C. m  3

D. m  1

b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
A. m  0

B. m  2

Lời giải:
Bài 3.26: Phương trình   x  1  2 x  1  m  2  0
2

Đặt t  x  1 , t  0 ta có phương trình: t 2  2t  m  2  0 (1)
t  0
t  2

a) Khi m  2 ta có t 2  2t  0  

123 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Suy ra nghiệm phương trình là x  1, x  3, x  1
b) Phương trình đã cho có nghiệm  phương trình (1) có nghiệm t  0

 m  t 2  2t  2 có nghiệm t  0  Đồ thị hàm số f  t   t 2  2t  2 với t   0;   cắt trục hoành.
 m  2 .

Bài 3.27: Giải và biện luận các phương trình sau
a) mx + 2m = x + 1

é m =1
-3
A. êê
phương trình có nghiệm là x =
2
êë m = -1
ì m ¹1
ï
-2m - 1
1 - 2m
B. ï
phương trình có nghim l x =
v x =
ớ
ù
m ạ -1
m +1
m -1
ù
ợ
C.C A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
b) mx + 2x = mx - 1
A. m = -1 phương trình có nghiệm x = -

1

2

B. m ¹ -1 phương trình có nghiệm x = -

1
1
và x =
.
2m + 2
2

C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
Lời giải:

é mx + 2m = x + 1
Bài 2.37: a) Ta có PT Û êê
Û
êë mx + 2m = - ( x + 1 )

é ( m - 1 ) x = 1 - 2m
ê
ê ( m + 1 ) x = -2m - 1
êë

(1)
(2)

Giải (1): Với m = 1 phương trình trở thành 0x = -1 phương trình vơ nghiệm
Với m ¹ 1 phương trình tương đương với x =

1 - 2m
m -1

Giải (2): Với m = -1 phương trình trở thành 0x = 1 phương trình vơ nghiệm

124 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Với m ¹ -1 phương trình tương đương với x =

-2m - 1
m +1

é m =1
-3
Kết luận: êê
phương trình có nghiệm là x =
2
êë m = -1
ì m ¹1
ï
-2m - 1
1 - 2m
Với ï
phương trình có nghiệm là x =
và x =
ớ
ù
m ạ -1

m +1
m -1
ù
ợ
ộ mx + 2x = mx - 1
Û
b) Ta có mx + 2x = mx - 1 Û êê
êë mx + 2x = - ( mx - 1 )

é
1
ê
x =ê
2
ê (2m + 2)x = 1 (*)
ëê

Với phương trình (*) ta có

m = -1 thì phương trình (*) vơ nghiệm
m ¹ -1 thì phương trình (*) có nghiệm x =

1
2m + 2

Kết luận: m = -1 phương trình có nghiệm x = -

m ¹ -1 phương trình có nghiệm x = -

1

2

1
1
và x =
.
2m + 2
2

 DẠNG TỐN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
1. Phương pháp giải.
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường
- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác khơng)
- Đặt ẩn phụ
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các phương trình sau
a)

2x + 1
x +1
=
3x + 2
x -2

A.1 nghiệm
b) 1 +

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

2
10
50
.
=
x -2
x + 3 (2 - x )(x + 3)

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

125 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


c)

x +3
4x - 2
.
=
2
(x + 1)

(2x - 1)2
A.1 nghiệm

d)

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

x +1 x -1
2x + 1
+
=
x +2 x -2
x +1

A.1 nghiệm

Lời giải:
a) ĐKXĐ: x ¹ -

2

và x ¹ 2 .
3

Phương trình tương đương với

( 2x + 1 )( x - 2 ) = ( x + 1 )( 3x + 2 ) Û 2x 2 - 4x + x - 2 = 3x 2 + 2x + 3x + 2
Û x 2 + 8x + 4 = 0 Û x = -4 ± 2 3 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là x = -4 ± 2 3 .
b) ĐKXĐ: x ¹ -3 và x ¹ 2 .
Phương trình tương đương với ( 2 - x )( x + 3 ) - 2 ( x + 3 ) = 10 ( 2 - x ) - 50

é x = 10
Û x 2 - 7x - 30 = 0 Û êê
êë x = -3
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = 10 .
c) ĐKXĐ: x ¹ -1 và x ¹

1
.
2

Phương trình tương đương với
2
x +3
2
=
Û
x
+

3
2
x
1
=
2
x
+
1
(
)(
)
(
)
2x - 1
(x + 1)2

Û x = 5 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 5 .

126 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


d) ĐKXĐ: x ¹ ±2 và x ¹ -1
Phương trình tương đương với

( x + 1 ) ( x - 2 ) + ( x - 1 )( x + 1 )( x + 2 ) = ( 2x + 1 )( x - 2 )( x + 2 )
2

Û ( x 2 + 2x + 1 ) ( x - 2 ) + ( x 2 - 1 ) ( x + 2 ) = ( 2x + 1 ) ( x 2 - 4 )

Û x 3 - 2x 2 + 2x 2 - 4x + x - 2 + x 3 + 2x 2 - x - 2 = 2x 3 - 8x + x 2 - 4

é x =0
Û x 2 + 4x = 0 Û êê
(thỏa mãn điều kiện)
x
=
4
êë
Vậy phương trình có nghiệm là x = -4 và x = 0
Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau
a)

4
3
2
1
+
=
+
.
2x + 1 2x + 2
2x + 3 2x + 4

A.1 nghiệm
b)

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

1
1
1
3
+ 2
+ 2
=
4x - 2
x + 5x + 4 x + 11x + 28 x + 17x + 70
2

A.1 nghiệm
c) 1 +

4

(2 - x )

2

=

A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

5
x2

Lời giải:

ìï
3
1 üï
a) ĐKXĐ: x Ï ïí -2; - ; -1; - ùý
ùợù
2
2 ùỵù
Phng trỡnh tng ng vi
4
2
1
3
4x + 10
-4x - 10
=

Û 2
= 2
2x + 1 2x + 3
2x + 4 2x + 2
4x + 8x + 3
4x + 12x + 8
1
1


  4 x  10   2
 2
0
 4 x  8 x  3 4 x  12 x  8 
  4 x  10   4 x 2  8 x  3  4 x 2  12 x  8   0

127 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


 4 x  10  0
  4 x  10   8 x 2  20 x  11  0   2
8 x  20 x  11  0
5

 x2
(thỏa mãn điều kiện)

5  3

 x 

4

Vậy phương trình có nghiệm là x 

5  3
5
và x = 4
2

1 ïü
ïì
b) Điều kiện: x Ï ùớ -10; -7; -4; -1; ùý
ùợù
2 ùỵù
Phng trỡnh tng ng với

1
1
1
3
+
+
=
(x + 1)(x + 4) (x + 4)(x + 7) (x + 7)(x + 10)
4x - 2

1 ổỗ
ỗ
3 ỗố x
1ổ

çç
3 çè x
Û

1
+1 x
1
+1 x

1 ư÷ 1 ỉç 1
1 ư÷ 1 ổỗ 1
1 ửữ
3
ữ+ ỗ
ữ+ ỗ
ữ=
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
+ 4 ứ 3 ố x + 4 x + 7 ø 3 è x + 7 x + 10 ø 4x - 2
é x = -3
1 ư÷
3
Û x 2 + 7x + 12 = 0 Û êê
÷÷ =
+ 10 ø 4x - 2
êë x = -4

Đối chiếu với điều kiện thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -3 .
c) ĐKXĐ: x ¹ 0 và x ¹ 2 .
Phương trình tương đương với x 2 +

Û x2 -

4x 2

(2 - x )

4x 2
4x 2
4x 2
+
+
-5 = 0
2 - x ( 2 - x )2 2 - x

2

=5

2
ổ x 2 ửữ
ổ
2x ửữ
4x 2
4x 2
ỗ
çx - 5 = 0 Û çç

-5 = 0
÷÷ +
÷ +
ỗố 2 - x ứ
2 - x ữứ
2-x
2-x
ốỗ

t t =

2

x2
, phương trình trở thành
2-x

é t =1
t 2 + 4t - 5 = 0 Û êê
êë t = -5

128 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Với t = 1 ta có

é x =1
x2
= 1 Û x 2 + x - 2 = 0 Û êê
(thỏa mãn)

2-x
êë x = -2

Với t = -5 ta có

x2
= -5 Û x 2 - 5x + 10 = 0 (vô nghiệm)
2-x

Vậy phương trình có nghiệm là x = -2 và x = 1

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
a)

x -m
= 2 (1)
x +1

A. m ¹ -1 phương trình (1) có nghiệm là x = -m - 2
B. m = -1 phương trình (1) vô nghiệm
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
b)

x 2 + mx + 2
= 1 (2)
x2 - 1

A. m Ỵ { -3; 0; 3 } phương trình (2) vô nghiệm
B. m Ï { -3; 0; 3 } phương trình (2) có nghiệm x =

-3
m

C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
c)

x 2 + mx + 2
= 2m + 6 (3)
3-x

A. m = -

5
phương trình (3) có nghiệm là x = -2
3

B. m ¹ -

5
phương trình có nghiệm là x = 2 và x = -3m - 8
3

C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai

129 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

d)

3x + mx + 2
x +1

= m (4)

A. m < 0 phương trình (4) vơ nghiệm
B. m ³ 0 phương trình (4) có hai nghiệm x =

-m - 2
m -1
và x =
2m + 3
2

C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
Lời giải:
a) ĐKXĐ: x ¹ -1
Phương trình tương đương với x - m = 2 ( x + 1 )
Û x = -m - 2

Đối chiếu với điều kiện ta xét -m - 2 ¹ -1 Û m ¹ -1
Kết luận

m ¹ -1 phương trình (1) có nghiệm là x = -m - 2
m = -1 phương trình (1) vơ nghiệm
b) ĐKXĐ: x 2 - 1 ¹ 0 Û x ¹ ±1
Phương trình (2) Û x 2 + mx + 2 = x 2 - 1

Û mx = -3 (2')

Với m = 0 : Phương trình (2') trở thành 0x = -3 suy ra phương trình (2') vơ nghiệm do đó phương
trình (2) vơ nghiệm

Với m ¹ 0 phương trình (2') tương đương với x =

-3
m

-3
-3
¹ ±1 Û m ¹ ±3 suy ra m ¹ ±3 thì phương trình (2') có nghiệm x =
m
m
và là nghiệm của phương trình (2). Cịn m = 3 thì phương trình (2') có nghiệm là x = -1 , m = -3 thì

Đối chiếu điều kiện xét

phương trình (2') có nghiệm là x = 1 do đó phương trình (2) vơ nghiệm.

130 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Kết luận

m Ỵ { -3; 0; 3 } phương trình (2) vô nghiệm
m Ï { -3; 0; 3 } phương trình (2) có nghiệm x =

-3

m

c) ĐKXĐ: x ¹ 3
Phương trình (3) Û x 2 + mx + 2 = ( 3 - x )( 2m + 6 )

Û x 2 + ( 3m + 4 ) x - 6m - 16 = 0
é
x =2
Û ( x - 2 )( x + 3m + 8 ) = 0 Û êê
êë x = -3m - 8
Đối chiếu điều kiện ta xét -3m - 8 ¹ 3 Û m ¹ -

5
3

Kết luận
m =-

5
phương trình (3) có nghiệm là x = -2
3

m ¹-

5
phương trình có nghiệm là x = 2 và x = -3m - 8
3

d) ĐKXĐ: x ¹ -1
TH1: Nếu m < 0 ta có VP (4) ³ 0, VT (4) < 0 suy ra phương trình vơ nghiệm

TH2: Nếu m ³ 0 phương trình tương đương với

é 3x + mx + 2 = m ( x + 1 )
3x + mx + 2 = m x + 1 Û êê
êë 3x + mx + 2 = -m ( x + 1 )
é
m -1
é
m -2
ê x =
ê
x =
2
Û ê
Û êê
3
-m - 2
ê 2m + 3 x = -m - 2
ê
)
êë (
ê x = 2m + 3
ë

m -1
m -1
¹ -1 Û m ¹ -1 (ln đúng) do đó với m ³ 0 thì phương trình (4)
ta xét
2
2

m -1
ln nhận x =
là nghiệm
2

 Với x =

131 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


-m - 2
-m - 2
¹ -1 Û m ¹ -1 (ln đúng) do đó với m ³ 0 thì phương trình
ta xét
2m + 3
2m + 3
-m - 2
(4) ln nhận x =
là nghiệm
2m + 3
Kết luận

 Với x =

m < 0 phương trình (4) vơ nghiệm
m ³ 0 phương trình (4) có hai nghiệm x =

-m - 2
m -1
và x =

2m + 3
2

Ví dụ 4: Tìm điều kiện của tham số a và b để phương trình

a
b
a 2 - b2
(*)
= 2
x -a x -b
x - (a + b ) x + ab
a) Có nghiệm duy nhất
ïìï 2a ¹ b
ï
A. ïí a ạ 0
ùù
ùùợ b ạ 0

ỡa ạ b
ù
ù
ù
B. ùớa ạ 0
ù
ù
bạ0
ù
ù
ợ

ỡa ạ b
ù
ù
ù
C. ùớa ạ 1
ù
ù
b ạ1
ù
ù
ợ

ùỡùa ạ 2b
ù
D. ùớ a ạ 0
ùù
ùùợ b ạ 0

b) Cú nghim
ỡa ạ 0
ù
ù
ù
A. ùớ b ạ 0 hoc a 2b .
ù
ù
a ạb
ù
ù

ợ

ỡa ¹ 0
ï
ï
ï
B. ïí b ¹ 0 hoặc 2a  b .
ù
ù
a ạb
ù
ù
ợ

ỡù a ạ 0
ùù
C. ùớb ạ 0 hoc 2a b .
ùù
ùùợ 3a ạ b

ỡ
a ạ0
ù
ù
ù
ù
D. ớ b ạ 0 hoc a b .
ù
ù
a ạb

ù
ù
ợ

Li gii:
KX: x ạ a và x ¹ b
Phương trình tương đương với

a (x - b ) - b (x - a )

( x - a )( x - b )

=

a 2 - b2
x 2 - (a + b ) x + ab

Û (a - b ) x = a 2 - b 2 (**)

132 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


a) Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm duy nhất khác a và
ì
a -b ¹ 0
ï
ï
ì a ¹b
ìa ¹ b
ï

ï
ï
ï
ï
ï
a 2 - b2
ï
ï
ï
ï
ï
¹
a
Û ía + b ¹ a Û ï
b Û ớ a -b
ớa ạ 0
ù
ù
ù
2
2
ù
ù
ù
a
+
b
ạ
b
a

b
ù
ù
ùb ạ 0
ù
ù
ù
ợ
ợ
ạ
b
ù
ù
ợ a -b
ỡa ạ b
ï
ï
ï
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi ïía ¹ 0
ï
ï
b¹0
ï
ï
ỵ

b) Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm khác a và b
Với a = b thì phương trình (**) trở thành 0x = 0 suy ra phương trình (**) có nghiệm đúng với mọi x
do đó phương trình (*) có nghiệm.

Với a ¹ b thì phương trình (**) tương đương với x =

a 2 - b2
= a +b
a -b

ìa + b ¹ a
ìa ¹ 0
ï
ï
Suy ra phương trình (*) có nghiệm khi v ch khi ù
ù
ớ
ớ
ù
ù
bạ0
ùa + b ạ b
ù
ợ
ợ
ỡa ạ 0
ù
ù
ù
Vy phương trình (*) có nghiệm khi ïí b ¹ 0 hoc a b .
ù
ù
a ạb
ù

ù
ợ

3. Bi tp luyn tp.
Bi 3.28: Tìm số nghiệm của phương trình sau
a)

13
1
6
+
=
2x 2 + x - 21 2x + 7
x2 - 9

A.1 nghiệm
b)

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

4
1
1
4

 2
 2
2 x  3 x  8 x  12 2 x  3 x  4 2 x  7 x  6

3

2

A.1 nghiệm
c)

B.2 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

x +1 x -2 x -3 x + 4
+
+
+
=4
x -1 x + 2 x + 3 x - 4

133 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.28: a) ĐKXĐ: x ¹ ±3; x ¹ -

PT Û

7
2

13
1
6
+
=
( x - 3 )( 2x + 7 ) 2x + 7 ( x - 3 )( x + 3 )

éx = 3
Û x 2 + x - 12 = 0 Û ( x - 3 )( x + 4 ) = 0 Û êê
êë x = -4
Vậy phương trình có nghiệm x  4 .
b) x  1, x  5
c) Điều kiện: x Ï { -3; -2;1; 4 }

2
4
6
8
+1+1+1+

=4
x -1
x +2
x +3
x -4
5x - 8
5x + 12
Û
=0
(x - 1)(x - 4) (x + 2)(x + 3)
16
1ỉ
69 ư÷
÷÷
Û x2 + x = 0 Û x = ỗỗỗ -1
5
2 ốỗ
5 ữứ

PT 1 +

1ổ
i chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm là x = ỗỗỗ -1
2 ỗố

69 ữử
ữữ .
5 ữứ

Bi 3.29: Tỡm số nghiệm của phương trình sau

a)

2x
13x
+ 2
=6
3x - 5x + 2 3x + x + 2
2

A.1 nghiệm

b)

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

x 4 + 3x 2 + 1
=3
x3 + x2 - x

A.1 nghiệm

134 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


c)

1
1
+
= 15
2
x
(x + 1)2
A.1 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

Lời giải:

ïì 2 ïü
Bài 3.29: a) Điều kiện: x Ï ïí1; ïý
ïỵï 3 ùỵù
Vi x 0 khụng l nghim ca phng trỡnh
Vi x  0 ta có PT Û

Đặt t  3 x 

2

2
3x - 5 +
x

+

13

2
3x + 1 +
x

=6

2
13
2
+
=6
phương trình trở thành PT Û
x
t -5 t +1

1
4
Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình là x = ; x = .
2

3

ì
ï -1 ± 5 ü
ï
ï
b) Điều kiện: x Ï ï
í 0;
ý
ù
ù
2
ù
ù
ợ
ỵ
x 4 + 3x 2 + 1
1
x2 + 2 + 3
2
x
PT Û 3 x 2
=3Û
=3
1
x +x -x
x - +1
x
x2
Đặt t = x -

t2 + 5
1
=3
phương trình trở thành
t +1
x

Từ đó phương trình có nghiệm là x =

1± 5
;x = 1 ± 2 .
2

c) Điều kiện: x ¹ -1; x ¹ 0
ổ1
ổ
ửữ
1 ữử
2
1
2
PT ỗỗ = 15 ỗỗ
- 15 = 0
ữ +
ữ +
ữ
ỗố x x + 1 ữứ
ỗ
x ( x + 1)

x (x + 1)
è x (x + 1) ø
2

Đặt

2

1
= t ta được phương trình t 2 + 2t - 15 = 0 Û t = 3; t = -5
x (x + 1)

135 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


+) t = 3 Û

1
-3 ± 21
= 3 Û 3x 2 + 3x - 1 = 0 Û x =
x (x + 1)
6

+) t = -5 Û

1
-5 ± 5
= -5 Û 5x 2 + 5x + 1 = 0 Û x =
x (x + 1)
10

Đối chiếu với điều kiện (*) thì phương trình có bốn nghiệm x =

-3 ± 21
-5 ± 5
;x =
.
6
10

Bài 3.30: Tìm số nghiệm của phương trình sau
2

x 1
 x 1 
 x2
a) 
 12 
 

 x 2 x 3
 x 3
A.1 nghiệm
b)

2

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm

D.4 nghiệm

2( x  1)
13( x  1)
 2
6
2
3x  x 3x  7 x  6

A.1 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.30: a) Điều kiện: x  2; x  3
Đặt u 

x 1
x2
;v 
ta được u 2  uv  12v 2  (u  3v)(u  4v)  0  u  3v; u  4v
x2
x3

+) u  3v 

x 1
x2
8  46
3
 x 2  4 x  3  3 x 2  12 x  12  2 x 2  16 x  9  0  x 
x2
x3
2

+) u  4v 

x 1
x2
 4
 x 2  4 x  3  4 x 2  16 x  16  5 x 2  12 x  19  0  x
x2
x3

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 
b) ĐKXĐ: x  0, x 

8  46
.
2

1
3

Đặt u  3 x 2  x, v  x  1, u  0, v  0

Khi đó phương trình trở thành

2u 13u

 6  4u 2  7uv  2v 2  0
v v  6u

136 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


 4u  v
 (4u  v)(u  2v)  0  
 u  2v
 1 1 
Từ đó ta tìm được nghiệm của pt là x   ; 
 2 3

a ( x 2 + 1)
ax - 1
2
Bài 3.31: Giải và biện luận phương trình sau
+
=
x -1
x +1
x2 - 1
A. Với a  1 và a  2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =

a +3
a +1

B. Với a  1 hoặc a  2 thì phương trình vơ nghiệm.
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
Lời giải:
Bài 3.31: ĐKXĐ: x ¹ ±1

PT Û (ax - 1 )( x + 1 ) + 2 ( x - 1 ) = a ( x 2 + 1 )

Û ax 2 + ax - x - 1 + 2x - 2 = ax 2 + a Û (a + 1 ) x = a + 3

 Nếu a ¹ -1 thì x =

a +3
a +3
a +3
¹ 1 , xét
¹ -1 Û a ¹ -2
. Ta có
a +1
a +1
a +1

 Nếu a = -1 thì phương trình vô nghiệm.
Vậy: -Với a  1 và a  2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =

a +3
a +1

-Với a  1 hoặc a  2 thì phương trình vơ nghiệm.

Bài 3.32: Tìm điều kiện a, b để phương trình

a
b

 2 có hai nghiệm phân biệt.
xb xa

A. a  2b; a  0, b  0
C. 3a  b; a  0, b  0

B. 2a  b; a  0, b  0
D. a  b; a  0, b  0
Lời giải:

Bài 3.32: Điều kiện: x  a, x  b :

137 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất


Ta có: PT  2( x  a )( x  b)  a ( x  a )  b( x  b)

 2 x 2  3(a  b) x  a 2  b 2  2ab  0  2 x 2  3(a  b) x  (a  b) 2  0
Phương trình có hai nghiệm là x1  a  b và x 2 

ab
2

Ta có x1  a  b  0 , x1  b  a  0 , x 2  a  x 2  b  a  b
x1  x2  a  b 

ab
 a  b
2

Vậy với a  b; a  0, b  0 thì pt có hai nghiệm phân biệt

138 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất