Slide bài giảng Môn giải tích

BÀI GIẢNG MƠN

CHƯƠNG I

CHƯƠNG II

CHƯƠNG III

Giảng viên:

Lê Văn Ngọc

E-mail:



Bộ mơn:

Tốn
Năm soạn: 2018

Giải tích 2

CHƯƠNG IV


GIẢI TÍCH 2
TÀI LIỆU HỌC:
[1] Vũ Gia Tê; Giáo trình giải tích 2; Học viện Cơng nghệ Bưu
chính Viễn thơng, 2010.

TÀI LIỆU THAM KHẢO:
[1] Nguyễn Đình Trí; Tốn cao cấp tập 3; NXB GD 1996.
[2] Nguyễn Đình Trí; Bài tập toán cao cấp tập 3; NXB GD 1996
[3] Trần Đức Long- Nguyễn Định Sang- Hồng Quốc Tồn ; Giáo
trình giải tích tập 2,3; NXB DHQGHN 2007( In lần thứ tư ).
[4] Trần Đức Long- Nguyễn Định Sang- Hoàng Quốc Toàn ; Bài
tập giải tích tập 2, 3; NXB DHQGHN 2007( In lần thứ tư ).
[5] Tơ Văn Ban; Giáo trình giải tích 2; NXB khoa học kỹ thuật
quan sự 2012
0985913158


GIẢNG VIÊN: Lê Văn Ngọc


GIẢI TÍCH 2

TIÊU CHÍ ĐÁNH GIÁ MƠN HỌC
1. Chun cần: Đi học đầy đủ tham gia bài học
tích cực tính 10%

2. Thi giữa kỳ: Thi vào tuần 9 tính 10%
3. Bài tập làm trên lớp và bài tập lớn tính 10%
4. Thi cuối kỳ tính 70%

0985913158


GIẢNG VIÊN: Lê Văn Ngọc

GIẢI TÍCH 2
GIỚI THIỆU VỀ CHƯƠNG TRÌNH MƠN HỌC

• CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM
SỐ NHIỀU BiẾN
• CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI
• CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ
TÍCH PHÂN MẶT
• CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
0985913158


GIẢNG VIÊN: Lê Văn Ngọc


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số là sự mở rộng một cách
tự nhiên và cần thiết của phép tính vi phân hàm số một biến số

Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số
vào hai biến số hoặc nhiều hơn
Chẳng hạn nhiệt độ T của một chất lỏng biến đổi theo độ sâu z
và thời gian t theo công thức T  e tz
Nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn phụ thuộc điện trở dây, cường
độ của dòng và thời gian dẫn điện theo công thức Q  0,24 RI 2t
Hàm sản xuất Cobb-Douglas phụ thuộc x đơn vị đầu tư lao động
và y đơn vị vốn được xác định bởi công thức P(x, y) = Cx ay b
Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát
vừa mang tính thực tiễn

7/4/2017

(1)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

 Khơng gian n chiều






Định nghĩa hàm nhiều biến số
Giới hạn của hàm số nhiều biến số
Sự liên tục của hàm số nhiều biến số
Đạo hàm riêng

 Vi phân toàn phần
 Đạo hàm riêng cấp cao, Vi phân cấp cao
 Đạo hàm của hàm số hợp






Đạo hàm của hàm số ẩn
Đạo hàm theo hƣớng. Građiên (Gradient)

Cực trị của hàm nhiều biến
Trƣờng vô hƣớng, Trƣờng véc tơ, Rôta, Dive

7/4/2017

(2)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

 Khơng gian n chiều













Định nghĩa hàm nhiều biến số
Giới hạn của hàm số nhiều biến số
Sự liên tục của hàm số nhiều biến số
Đạo hàm riêng
Vi phân toàn phần
Đạo hàm riêng cấp cao, Vi phân cấp cao

Đạo hàm của hàm số hợp
Đạo hàm của hàm số ẩn
Đạo hàm theo hƣớng. Građiên (Gradient)
Cực trị của hàm nhiều biến
Trƣờng vô hƣớng, Trƣờng véc tơ, Rôta, Dive

7/4/2017

(3)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1. KHƠNG GIAN n CHIỀU
1.1. Các phép tốn của khơng gian n chiều
n

 ( x1, x2 ,..., xn ) x1, x2 ,..., xn 

x  ( x1, ..., xn ); y  ( y1,..., yn ) 



n

( x1,..., xn )  ( y1,..., yn )  ( x1  y1,..., xn  yn )

 ( x1,..., xn )  ( x1,..., xn ),  

x, y  x1 y1  ...  xn yn

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

x, y  x  y
7/4/2017

x, y

2

 x, x y , y
(4)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Ta gọi ( x1, x2 ,..., xn ) là tọa độ điểm M, ký hiệu M ( x1, x2 ,..., xn )

nếu OM  ( x1, x2 ,..., xn )

OM  ( x1, x2 ,..., xn ), ON  ( y1, y2 ,..., yn )

 MN  ( y1  x1, y2  x2 ,..., yn  xn )
Khoảng cách
khoảng cách giữa M và N, được kí hiệu bởi d(M, N) và tính
theo cơng thức

d ( M , N )  MN  ( x1  y1) 2  ......  ( xn  yn ) 2
7/4/2017

(5)

CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Lân cận

  lân cận của điểm M0 là hình cầu mở tâm M0 bán kính 



 ( M 0 )  M 

n

: d (M , M 0 )  



Điểm M được gọi là điểm trong của tập E  n nếu tồn tại lân

cận của M chứa trong E
Điểm M được gọi là điểm biên của tập E  n nếu mọi lân cận
của M đều có chứa phần tử thuộc E và phần tử không thuộc E.
Tập các điểm biên của E ký hiệu  E
Tập E gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong, gọi là
đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó
7/4/2017

(6)

CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Tập E gọi là bị chặn hay giới nội nếu được chứa trong hình cầu
nào đó

Tập E gọi là liên thơng nếu mỗi cặp điểm M1, M2 trong E đều
được nối với nhau bởi một đường cong liên tục nào đó nằm trọn
trong E
Tập liên thông E gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một mặt
kín (một đường cong kín với trường hợp E  2)
Tập liên thơng khơng đơn liên gọi là đa liên
Tập mở và liên thông được gọi là miền
M

M2
N

M1

7/4/2017

(7)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

 Khơng gian n chiều













Định nghĩa hàm nhiều biến số
Giới hạn của hàm số nhiều biến số
Sự liên tục của hàm số nhiều biến số
Đạo hàm riêng
Vi phân toàn phần
Đạo hàm riêng cấp cao, Vi phân cấp cao
Đạo hàm của hàm số hợp
Đạo hàm của hàm số ẩn
Đạo hàm theo hƣớng. Građiên (Gradient)
Cực trị của hàm nhiều biến
Trƣờng vô hƣớng, Trƣờng véc tơ, Rôta, Dive

7/4/2017

(8)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

 Khơng gian n chiều













Định nghĩa hàm nhiều biến số
Giới hạn của hàm số nhiều biến số
Sự liên tục của hàm số nhiều biến số
Đạo hàm riêng
Vi phân toàn phần
Đạo hàm riêng cấp cao, Vi phân cấp cao
Đạo hàm của hàm số hợp
Đạo hàm của hàm số ẩn
Đạo hàm theo hƣớng. Građiên (Gradient)
Cực trị của hàm nhiều biến
Trƣờng vô hƣớng, Trƣờng véc tơ, Rôta, Dive

7/4/2017

(9)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
2. ĐỊNH NGHĨA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
Cho tập D  n . Ta gọi ánh xạ f : D 

M ( x1 , x2 ,...., xn )  D

u  f (M )  f ( x1, x2 ,...., xn ) 

là một hàm số của n biến số xác định trên D

D được gọi là miền xác định của hàm số f ; x1, x2, …, xn là các
biến số độc lập, còn u gọi là biến số phụ thuộc
Nếu hàm số cho dưới dạng công thức xác định ảnh u = f(M)
mà khơng nói gì về miền xác định D của nó thì phải hiểu rằng
miền xác định D của hàm số là tập hợp các điểm M sao cho
biểu thức f(M) có nghĩa
7/4/2017

(10)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Ví dụ 1.1 Tìm miền xác định của các hàm số sau và mơ tả hình
học các miền đó
y
y
1

z  1  x2  y 2

x

-1

-1

x

1

0

z  ln( x  y )

y  x

y  1 x2

0

y   1 x2

H.1.2b

H.1.2a

z
3

u

y

3

9  x2  y 2  z 2

y

3
x
H.1.2c

7/4/2017

(11)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Đồ thị của hàm hai biến số
Cho hàm 2 biến z = f(x,y) với (x,y)D
Tập các điểm (x,y,z)  3
với z = f(x,y) được gọi là đồ
thị của hàm số đã cho

Như vậy đồ thị của hàm 2
biến thường là một mặt
cong trong không gian 3
chiều Oxyz

7/4/2017

(12)

CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

 Khơng gian n chiều












Định nghĩa hàm nhiều biến số
Giới hạn của hàm số nhiều biến số
Sự liên tục của hàm số nhiều biến số
Đạo hàm riêng
Vi phân toàn phần
Đạo hàm riêng cấp cao, Vi phân cấp cao
Đạo hàm của hàm số hợp
Đạo hàm của hàm số ẩn
Đạo hàm theo hƣớng. Građiên (Gradient)
Cực trị của hàm nhiều biến
Trƣờng vô hƣớng, Trƣờng véc tơ, Rôta, Dive

7/4/2017

(13)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

 Khơng gian n chiều












Định nghĩa hàm nhiều biến số
Giới hạn của hàm số nhiều biến số
Sự liên tục của hàm số nhiều biến số
Đạo hàm riêng
Vi phân toàn phần
Đạo hàm riêng cấp cao, Vi phân cấp cao
Đạo hàm của hàm số hợp
Đạo hàm của hàm số ẩn
Đạo hàm theo hƣớng. Građiên (Gradient)
Cực trị của hàm nhiều biến
Trƣờng vô hƣớng, Trƣờng véc tơ, Rôta, Dive

7/4/2017

(14)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
3. GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
1. Nói rằng dãy điểm Mn(xn, yn) dần đến điểm M0(x0, y0), kí hiệu

Mn  M0 khi n   nếu lim d ( M 0 , M n )  0
n

  0, N  0; n  N : d ( M n , M 0 )  
2. Cho hàm z = f(x,y) xác định ở lân cận M0(x0,y0) có thể trừ
tại M0. Ta nói rằng hàm z = f(x,y) có giới hạn là l khi M(x,y) dần
đến M0(x0,y0) nếu mọi dãy điểm Mn(xn,yn) thuộc lân cận
M0(x0,y0) dần đến M0 ta đều có lim f ( xn , yn )  l
n

Sử dụng ngơn ngữ “,  ” ta có định nghĩa như sau

(  0) (  0) : 0  d ( M 0 , M )    f ( M )  l   )
7/4/2017

(15)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Chú ý 1.1:

a. Trong định nghĩa trên, khi M  M0 phải hiểu là các tọa độ
của M đồng thời dần đến các tọa độ của M0. Vì vậy người ta
cịn có tên gọi là giới hạn bội của hàm nhiều biến
b. Hàm nhiều biến tồn tại giới hạn bội tại điểm M0 nếu khi cho
M tiến đến M0 giới hạn này không phụ thuộc đường đi
c. Tất cả các khái niệm giới hạn vơ hạn, hoặc q trình
M; các tính chất của hàm có giới hạn; các định lí về giới
hạn của tổng, tích, thương đều tương tự như hàm số một
biến số

7/4/2017

(16)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Ví dụ 1.3

Ta có

x2 y
2
2

0

y
,
d
(

M
,
O
)

x

y
x2  y 2

2
x
y
2
2
(  0) (   : 0  x  y   )  2
0  y    )
2
x y
2
x y
lim
0
Vậy
2
2
( x , y )(0,0) x  y

Cho M(x,y)O(0,0) theo đường y = Cx, C = const thì

xy
Cx 2
xy
C

 lim 2

2
2
2 2
2
x 0 x  y
x y
(1  C ) x
1 C2
Điều này chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác nhau phụ
thuộc vào C. Vậy hàm khơng có giới hạn
7/4/2017

(17)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

 Khơng gian n chiều













Định nghĩa hàm nhiều biến số
Giới hạn của hàm số nhiều biến số
Sự liên tục của hàm số nhiều biến số
Đạo hàm riêng
Vi phân toàn phần
Đạo hàm riêng cấp cao, Vi phân cấp cao
Đạo hàm của hàm số hợp
Đạo hàm của hàm số ẩn
Đạo hàm theo hƣớng. Građiên (Gradient)
Cực trị của hàm nhiều biến
Trƣờng vô hƣớng, Trƣờng véc tơ, Rôta, Dive

7/4/2017

(18)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

 Khơng gian n chiều













Định nghĩa hàm nhiều biến số
Giới hạn của hàm số nhiều biến số
Sự liên tục của hàm số nhiều biến số
Đạo hàm riêng
Vi phân toàn phần
Đạo hàm riêng cấp cao, Vi phân cấp cao
Đạo hàm của hàm số hợp
Đạo hàm của hàm số ẩn
Đạo hàm theo hƣớng. Građiên (Gradient)
Cực trị của hàm nhiều biến
Trƣờng vô hƣớng, Trƣờng véc tơ, Rôta, Dive

7/4/2017

(19)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
4. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
A. Định nghĩa
1. Hàm số f(M) xác định trên miền D và M0D. Ta nói rằng

hàm số f(M) liên tục tại M0 nếu lim f ( M )  f ( M 0 )
M M 0

2. Hàm số f(M) xác định trên miền D. Nói rằng hàm số liên tục
trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm MD
3. Hàm số f(M) liên tục trên miền đóng Ē nếu nó liên tục trên
miền E và liên tục tại mọi điểm NE theo nghĩa

lim f ( M )  f ( N ), M  E

M N

7/4/2017

(20)


CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Ví dụ 1.5

 xy
 x2  y 2
Hàm số f  x, y   
0

liên tục tại mọi (x,y)  (0,0)
 x2 y
 2
2
x


y
Hàm số f  x, y   
0

liên tục tại mọi (x,y)

khi  x, y    0,0 
khi

 x, y  =  0,0 

khi  x, y    0,0 
khi

 x, y  =  0,0 

2
2 x
f
x
,
y

cos
x

e
 xy  liên tục tại mọi (x,y)
 

Hàm số


2
2 x
vì nó là hợp của hai hàm số liên tục cos u , u  x  e  xy

7/4/2017

(21)