BÀI TẬP ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2

Giảng viên: Lê Văn Ngọc

Học viện cơng nghệ bưu chính viễn thơng
BÀI TẬP ƠN TẬP MƠN GIẢI TÍCH 2

CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
Bài 1: Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau theo các biến:

1. z 

x3  y 3
x y
2

2

2. z  ln( x  x 2  y 2 ); 3. z  arctan

;

6. z  x x ;

9. z   2 x  3sin xy  e

3 x2 y 

 x  x 3 x y  ;
12. z  3
2

3

7. z  x 2 y  3 y 4 x 2  e

y

5. z  (1  xy ) y ;

y
;
x
x 3 y 


x 1 
10. z  ln  sin
 ;

y

2



;

4. z  x 2 y
; 8. u  x 2  y 2  z 2
11. z   x  sin y 

x3  y

2 x  yz
13. u 
 e x .arctan 2
;
yx
x  z2

2 3

e3 x ln xy

14.z = tan  x+y  . e

Bài 2: Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:
1. z 

1 2 23
(x  y ) ;
3

4. z  x 2  y 2 .e

x y 

2. z  arctan

x+y
;
1-xy

5. z  e x y  cos  x + 2 y  ;
2

;

x y
x y
x
6. u  ln x 2  y 2  yz
z

3. z 





Bài 3:
a. Cho hàm số u  ln

1
x 2  y2

tính A 

 2u  2u

 x2  y 2
1
x

b. Cho hàm số z  x ln( y 2  x 2 ) . Tính B  z x' 

1 '
z
zy  2 .
y
x

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số hợp sau:
x  2y
a) z  ln[(u  1)2  (v  1)2 ] , u 
, v  xy ;
y
Bài 5: Tính đạo hàm các hàm số ẩn sau:

b) z  y 4  2 x 2 , x  e2t , y  te2t
2
x

a. Cho hàm số x  x( y, z ) là hàm ẩn xác định bởi y 2   z 2  x 2 . Tính dx( y, z ) .
b) ln x 4  2 y 2  arc cot

x
tính y ' ; b) xy3 z 2  sin(2 x  3 y  5z)  ln( x  y 2  2 z)  31 tính y 'x , y 'z
y
2z

c) Cho hàm số ẩn z  f ( x, y) xác định bởi hệ thức z  xe y tính gần đúng f (0,04;0,96)


x  y  z  0
d) Tính đạo hàm của hàm số ẩn x  x( y), z  z ( y) xác định bởi hệ  2
2
2

x  y  z  1
Bài 6: Tìm vi phân tồn phần của các hàm số sau:
Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho các lớp tín chỉ

1

x
y




Giảng viên: Lê Văn Ngọc



Học viện cơng nghệ bưu chính viễn thông



1. z  sin x 2  y 2  1 ;

y
2. z  ln cot ;
x

x y
4. z  arctan
;
x- y

5. u  2  z

3. z  e x  cos y  x sin y 
v

xy

(2 x ) y

6. z   et dt , u  x 2  3 y, v  2 x  cos y 2
2

;

u

7. Cho u( x, y ), v( x, y ) là các hàm số ẩn xác định từ hệ phương trình
 u
v
x
e x sin 
y
2



; u (1,1)  0, v(1,1)  . Tính du(1,1), dv(1,1).
 u
4
 x
v
y
e cos 
y
2

Bài 7: Tính gần đúng giá trị các biểu thức sau:
1)

sin 2 1, 75  8.e0,055

3) 3 1, 02    0, 05 
2

2

;

2) ( 98  3 126) 4

;

 1,97 
4) arctan 
 1

 1,02 

5) 5.e0,02  (1, 03) 2  (0,98)3

;
;

6)

Bài 8: Tìm cực trị địa phương của các hàm hai biến sau:
6.z  x 2  4 xy  y 3  3 y  1
1. z  x2  2 xy  4 y3
2. z = x2 +xy+y2 +x-y+2
7. z  y 2  4 xy  x 3  3x
3. z  3x2  x2 y  2 y3  3 y 2
8.z  x 2  6 xy  y 3  21y
4. z  2 x4  y 4  x2  2 y 2
9.z  2 x 2  4 xy  y 3  y
3
2
5. z  3 y  4 x y  24 xy  1
10.z  2 x 2  4 xy  3 y 3  5 y

1, 04 

1,99

 ln(1, 02)

11. z  x3  y 3  9 xy  3

12. z  x 4  y 4  2  x  y   5
2

13. z  x 2  8 x  y 3  13 y  8 xy  9
14. z  x 2 y  4  x  y   7
15. z  2 x3  2 y 3  3 x 2 y  3 xy 2  12 x  12 y

Bài 9: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1
1
1 1
1
1 1
a) z   với điều kiện 2  2  ;
b) f ( x, y )  x 4  2 xy  y 4 với x 2  y 2  1
4
4
x y
4
x
y
Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a. z  x2  2 xy  4 x  8 y trong miền  x, y  : 0  x  1, 0  y  1 ,



b. z  sin x  sin y  sin( x  y) trong miền  x, y  : 0  x  , 0  y   ,
c. z  e 

 x2  y 2





 2x

2

2

 3 y 2  trong miền tròn: x 2  y 2  1.

Bài 11.
a) Cho u  xy z 3 , M 0 (1, 2, 1), M1 (0, 4, 3) . Tính
b) Cho u  arccos

2

x
y2  z2

và A(1,1,1) . Tính

u ( M 0 )
.
 M 0 M1

u ( A)
biết B(3,2,3) .

 AB

Bài tập môn giải tích 2- Dùng cho các lớp tín chỉ

2


Giảng viên: Lê Văn Ngọc


Học viện cơng nghệ bưu chính viễn thông

1
y

Cho u  ln  x   . Xác định điểm tại đó gradu  1, 

c)





16 
.
9

d) Cho F ( x, y, z)  ( x3 y  y3 z 2 )i  ( x 2 z 2  3xy3 ) j  (2 xy 2 z  z 3 )k .
Tính divF ( x, y, z ) và rot F ( x, y, z ) .
Bài 14.

a) Tìm hàm f ( x, z ) sao cho trường véc tơ F   3x2  7 y  6 xy  3z 2 ; f ( x, z ); 6 z( y  x) 
là trường thế.
b) Cho trường vô hướng u  e xy (2 x  y) . Tính rot ( gradu) và

u
(1,1).
( gradu (1,1))

CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI HAI – TÍCH PHÂN BỘI BA
A. Tích phân kép.
Bài 1: Thay đổi thứ tự trong tích phân sau:
2y

3

 dy 

a)

1
1

0

b)

f ( x, y )dx

0
1 1 y 2

 dy

d)

1 y

1



f ( x, y )dx

2 y

e)

 dy 
0

 1 y 2

2

2x

2

f ( x, y )dx

 dx  f ( x, y)dy
1

x

c)



2

2

f)

 dx
1

4

dx  f ( x, y )dy
x2

6 x



f ( x, y )dy

2x

Bài 2: Tính I   xy dxdy , trong đó
D

a) D được giới hạn bởi y  x 2 ; x  y 2
b) D được giới hạn bởi đường thẳng y = x - 4 và (P) y2=2x
2

2

Bài 3: Tính I =  (x  y )dxdy trong đó D được giới hạn bởi:
D

a) Đường tròn x 2  y 2  2x
b) Hình vành khăn x 2  y 2  1, x 2  y 2  4
c) I =



4  x 2  y 2 dxdy ; D là hình trịn tâm gốc O bán kính bằng 2.

D

d) J=  (2 x  x 2  y 2 ) dxdy ; D là hình trịn x 2  y 2  2 x
3

D

B. Tích phân bội ba

Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho các lớp tín chỉ

3


Giảng viên: Lê Văn Ngọc

Học viện cơng nghệ bưu chính viễn thơng

Bµi 1: TÝnh I   z x 2  y 2 dxdydz ; V giới hạn bởi
V

x  0; y  0; z  0; z  1; x 2  y 2  2 x
dxdydz
Bài 2: Tính I  
V là miền xác định bởi :
V ( x 2  y 2  1) 2
x2  y 2  2 x ; 0  z  1
Bài 3: Tính  xydxdydz, V là miền xác định bởi các mặt z = 0; x2+y2 = 1; z = x2+y2
V

Bài 4: Tính  (x  y )dxdydz .Nếu V là nửa trên hình cầu x2  y 2  z 2  1; z  0
2

2

V

Bài 5: Tính  z dxdydz ; V là miền xác định bởi x 2  y 2  z 2  4
2

V

CHƯƠNG III : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT
A. Tích phân đường.
Bài 1: Tính các tích phân đường sau:
a.



( x  y )ds , AB là đoạn thẳng nối 2 điểm A(0;0), B  2;1

AB

b.  xyds , L là biên hình chữ nhật ABCD: A(0; 0); B  4;0  ; C  4;2  ; D(0; 2)
L

c.



2 yds , L: x  t, y 

L

t2
t3
, z  ;0  t  1
2
3

Bài 2: Tính các tích phân đường sau:



a.

( x  y )2 dx  ( x  y )2 dy , ABC là đường gấp khúc A(0, 0), B(2, 2), C(4, 0)

ABC

b.  ydx  ( y  x 2 )dy , L là cung Parabol y  2 x  x 2 nằm ở trên trục hoành theo
L

chiều kim đồng hồ
Bài 3: Tính I 

 ( xy  1)dx  x

2

ydy , A(1; 0), B(0; 2) theo các đường sau:

AB

a. 2x + y = 2 ;

b. 4x + y2 = 4;

c. x 2 

Bài tập môn giải tích 2- Dùng cho các lớp tín chỉ

y2
 1 theo chiều dương
4

4


Giảng viên: Lê Văn Ngọc

Học viện cơng nghệ bưu chính viễn thơng

Bài 4: Tính các tích phân đường sau:



y



x

a.  xy  ( x  )dx  ( y  )dy , L là biên ABC, A(-1; 0), B(1; -2), C(1; 2)
2
2 

L



b.

2( x 2  y 2 )dx  (4 y  3) xdy , ABC là đường gấp khúc nối A(0; 0),B(1;1),C(0; 2)

ABC

c. I   ( xy  x  y )dx  ( xy  x  y )dy ; J 
L

với L là đường tròn x  y
2

2

x

y

 x ( y  4 )dy  y ( x  4 ) dx ,
3

3

L

 2x

B. Tích phân mặt

Bài 1: Tính tích phân mặt I   ( x 2  y 2 )dS nếu
S

a. S là mặt nón z2  x 2  y2 , 0  z  1
b. S là mặt cầu có phương trỡnh x 2  y2  z 2  4
c.

 (x  y  z)dS , S là biên hình lập phương

0  x, y, z  1

S

Bài 2: Tính các tích phân mặt sau:
a. I   xyzdxdy , S là mặt ngồi của hình cầu x2 + y2 + z2 = 1
S

b.

 zdxdy , S là mặt ngoài của hình cầu

x2  y 2  z 2  9

S

Bài 3: Tính các tích phân mặt sử dụng cụng thức Ostrogradsky.
a.

 xzdydz  yxdzdx  zydxdy , S là mặt ngồi của biên hình chóp 0  x, y, z

và x  y  z  1 .

S

b.

 x dydz  y dzdx  z dxdy , S là phía ngồi của x
3

3

3

2

 y2  z 2  1 .

S

Bài 4: Tính thơng lượng của các trường véc tơ sau:
a) F ( x, y, z )  x3 i  x3 j  z 3 k qua mặt ngoài của mặt cầu x 2  y 2  z 2  4 .

1
1
1
x2 y 2 z 2
b) F ( x, y, z )  i  j  k qua mặt ngoài của mặt 2  2  2  1 .
x
y
z

a
b
c
Bài 5: Xét các trường sau, trường nào là trường thế. Nếu là trường thế tìm hàm thế vị.
Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho các lớp tín chỉ

5


Giảng viên: Lê Văn Ngọc

Học viện cơng nghệ bưu chính viễn thông

a) F ( x, y, z )  (5x 2 y  4 xy)i  (3x 2  7 y) j ;

b) F ( x, y, z )  yzi  zx j  xyk

c) F ( x, y, z )  ( y  z )i  ( z  x) j  ( x  y)k
CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 1: Giải các phương trình vi phân sau:

4  y2

3y  2 '
.y
x 1

y
a) y cos x 
; b) y '  cos( x  y)  cos( x  y );

ln y

c)

d. (x - 2).(y2 - 1)dx - (x + 4)ydy = 0;

e. y '  sin  x  y  2

,



x 2  4 x  13





f.  2 x  1 y 2  4 dx  ex . y.dy  0.
Bài 2:Tìm nghiệm riêng của các phương trình vi phân sau:

a) e1 x tan ydx 
2

dx
dy
e2 x


 0, y

3
dy  0, y
 ; b)
x 1
x0 2
x( y  1) y ( x  1)
x 1

Bài 3: Giải các phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 sau:
a) y ' 

2 xy
x  y2

d ) y' 

x y2
;
x y4

b) xy ' ln

2

y
y
 x  y ln
x
x

y
y
c) x. sin . y ' x  y sin
x
x

e) y ' 

2 x  2 y  1
x  y 1

Bài 4: Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 sau:
a.  2  x 2  y’  2 xy 
d. y’ + tany =



2

 x 2  ; b. y’  2 xy  xe x ;
2

x
y
1
; e. y' 
 x ln x; y
 e2 ;
xe 2
x ln x

cos y







g. 2e y  x y ' 1 ; h. xy  e x dx  xdy  0 ;

2

c. 2ydx + (y2 - 6x)dy = 0
f. xy’ + y = ex y



x 1

1



k. sin 2 y  x cot y y ' 1

Bai 5: Giải các phương trình vi phân Becnulli sau:

y
 x2 y 4 ;
x

2
4) 3 y y '  y 3  x  0 ;
1) y '

2) ydx  ( x  x 2 y)dy  0 ;
5) y '  2 y  y 2 e x ;

Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho các lớp tín chỉ

3) y '  2 xy  2 x3 y 3





6)  x 1 y '  y 2  y

6


Giảng viên: Lê Văn Ngọc

Học viện cơng nghệ bưu chính viễn thông
9) xy '  2 x 2 y  4 y

7) y '  y 4 cos x  y tan x ; 8) xy 2 y '  x 2  y 3 ;
10) 2 y ' 

x
xy

 2 ;
y x 1



11) xy '  2 y  x5 y 3 e x  0 ;



12) 2 x 2 y ln y  x y '  y

Bài 6:Giải các phương trình vi phân tồn phần sau:
a. ( x  y  1)dx  ( x  y 2  3)dy  0 ; b. 3x 2 (1  ln y )dx  (2 y 
1
y

c.  sin

1

y
y
y
x
x
x
1
 2 cos  1dx   cos  2 sin  2
y x
x

x y
y y

x

x3
)dy  0 ,
y


dy  0 .


Bài 7. Giải các phương trình sau đây bằng cách tìm thừa số tích phân 
a. (2 y  xy)dx  2 xdy  0,  ( x) ;
b. y(1  xy)dx  xdy  0,  ( y) ;
d. xdy  ydx  xy2 ln xdx  0,  ( xy)

c. xdx  (2 x  y)dy  0,  ( x  y) ;

Bài 8: Giải các phương trình vi phân cấp 2 khuyết sau:

y'
 y'
 x  x 1 ; y  2  1, y '  2   1
 ; 3) y '' 
x 1
 x
4) 1 x 2  y ''  xy '  2 ; 5) 1 x 2  y '' 1 y '2  0 ; 6) 1 y '2  y y '' ; 7) y ''  2 y  3  2 y '2  0
1) y ''  2 cos2 x  sin 3 x ; 2) xy ''  y 'ln 

8) y y ''  y '2  0, y  0  1, y '  0   2 ; 9) y '' 1 y   y '2  y ' ;
Bài 9: Giải phương trình vi phân cấp hai sau:
a. y '' 



10. 2 xy ' y ''  y '2 1

y' y
  0; biết 1 nghiƯm riªng y  x ;
x x2



b. 2 x  x 2 y’’  2  x  1 y’  2 y  2 biết rằng nó có hai nghiệm riêng y1  x   1; y2  x   x .
Bài 10: Giải phương trình vi phân sau bằng phương pháp đổi biến.
a. y '' y '  e2 x cos e x , t  e x ,
b. ( x 2  1) y '' 2 xy '

4y
x 1
2



2x
( x  1)
2

2

, tant  x, 


2

t 


2

,

1
u
, y 2.
cos x
x
Bài 11: Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Lagrangce:
1
5) y '' 2 y ' y  3e x x 1 9) y '' 3 y ' 2 y  1
1) y ''  y 
e x 1
c. x 2 y '' 4 xy ' (2  x 2 ) y 

x

Bài tập môn giải tích 2- Dùng cho các lớp tín chỉ

7


Giảng viên: Lê Văn Ngọc
x2  2 x  2
2) y '' 2 y ' y 
x3
ex
3) y '' 2 y ' y 
x
1
4) y '' y 
sin x

Học viện cơng nghệ bưu chính viễn thơng
1
cos 2 x
2 x
7) y '' y '  3 e x
x
8) y '' y  tan x

6) y '' 4 y 

10) y '' 4 y  2 tan x
11) y ''  y  4 x 

1

x x

1
12) y ''  y  
sin 2 x . sin 2 x

Bài 12: Giải các phương trình vi phân sau:

a. y’’  3 y’  2 y  ( x  5)e x ; b. y’’ + 6y’ + 9y = 3sinx ; c. y’’  5 y’  6 y  cos x  sin 2 x
d . y’’  y  2sin 2 x  x 2 cos 2 x ; e. y’’  y  e x  x  7  ;

f. y '' 9 y ' 20 y  xe4 x

g. y '' 4 y  e x [(4 x  4)cos x  (2 x  6)sin x] ;

h. y '' y  cos x  cos 2 x

i. y '' 4 y  sin 2 x  1, y

1
 , y'
 0;
x0 4
x0

k. y '' y  x.cos2 x.

GOODLUCK TO YOU!

Bài tập mơn giải tích 2- Dùng cho các lớp tín chỉ

8

BÀI TẬP KIỂM TRA TRONG TUẦN
Bài 1: Cho hàm số F( x, y, z )  x

3

y2
sin( yz )  3xe z

 z xác định trên D 

3

a) Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số F( x, y, z ).
b) Cho z  f ( x, y) được xác định bởi phương trình F ( x, y, z)  0 . Tính gần
đúng giá trị của f (0.98;0.01) .
Bài 2: Cho hàm số f ( x, y)  2 x2  xy  y 2  6 x  3 y  5 xác định trên D 
a) Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số trên.
b) Khai triển Taylor đến cấp 3 của hàm số tại điểm 1, 2  .

2


BÀI TẬP KIỂM TRA TRONG TUẦN
Bài 1: Cho hàm số F( x, y, z )  x

3

y2

sin( yz )  3xe z

 z xác định trên D 

3

a) Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số F( x, y, z ).
b) Cho z  f ( x, y) được xác định bởi phương trình F ( x, y, z)  0 . Tính gần
đúng giá trị của f (0.98;0.01) .
Bài 2: Cho hàm số f ( x, y)  2 x2  xy  y 2  6 x  3 y  5 xác định trên D 
a) Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số trên.
b) Khai triển Taylor đến cấp 3 của hàm số tại điểm 1, 2  .

2