On Thi TN THPT QG mon Toan Chu de 3: Nguyen ham, tich phan, ung dung

Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Chủ đề 3
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. Tóm tắt lí thuyết
1.1. Ngun hàm

Định nghĩa: Cho f(x) xác định trên K. Nguyên hàm của f(x) trên K là F(x) nếu F ′( x ) = f ( x)
.
f ( x)dx = F ( x ) + C
Kí hiệu ∫
, với C là hằng số là họ nguyên hàm của f(x).
Bảng nguyên hàm cơ bản:
Công thức nguyên hàm cơ bản

∫ adx = ax + C

(a, C là hằng số)

xα +1
∫ x dx = α + 1+ C
α

( a ¹ - 1)

1

∫ x dx = ln x + C
x

∫ a dx =

ax
+C
lna

∫ e dx = e
x

x

Công thức nguyên hàm mở rộng

+C

1 (ax + b)α +1
∫ (ax + b) dx = a α + 1 + C
α

1

( a ¹ - 1)

1

∫ ax + b dx = a ln ax + b + C
ax+ b
∫ A dx =

1 Aax+ b

.
+C
A lna

1
dx = eax+ b + C
a

ax+ b

∫e

1

∫ sin xdx = − cosx + C

∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

∫ cosxdx = sin x + C

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

1
∫ cos2 x dx = tan x + C

∫ cos2(ax + b) dx = a tan(ax + b) + C

1

∫ sin

2

x

= − cot x + C

1

1

1

1

1

∫ sin2(ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C

u'(x)

∫ u(x) dx = ln u(x) + C
∫ tan xdx = − ln cos x + C
∫ cot xdx = ln sin x + C

∫

1

x− a

1

∫ x2 − a2 dx = 2a ln x + a + C

−u'(x)
1
dx =
+C
2
u(x)
u (x)
1

∫x

2

1
dx = − + C
x

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

1

1

1

∫ (ax + b)2 dx = − a . ax + b + C
1


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Tính chất của nguyên hàm:
♦

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

♦

∫ f ′( x)dx = f ( x) + C

♦

∫ k. f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx , với k là hằng số khác 0.

Một số phương pháp tìm nguyên hàm:
giản để sử dụng bảng nguyên hàm.

♦ Phương pháp biến đổi đơn
♦ Phương pháp đổi biến số.
♦ Phương pháp từng phần.

1.2. Tích phân

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b∈ K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K . Tích phân từ a đến b của f ( x ) là hiệu F (b) − F ( a) .
b

∫

b

f (x)dx =  F (x) = F (b) − F (a)

Kí hiệu a
Tính chất của tích phân:
b

♦

♦

(Cơng thức NewTon - Leipniz)

b

b

a

a

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
a

b

♦

a

b

∫ k. f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
a

a

b

c

a

a

, với k là hằng số.

b

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
Chú ý: 1)

c

b

b

b

a

a

a

∫ f ( x)dx = ∫ f (u )du = ∫ f (t )dt = ...

a

;

2)

∫ f ( x)dx = 0
a

; 3)

b

a

a

b

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx

.

Một số phương pháp tính tích phân:
a) Tính tích phân bằng phương pháp sử dụng định nghĩa nguyên hàm, tích phân và tính
chất kết hợp bảng nguyên hàm.
Ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu các hàm đơn giản có cơng thức
ngun hàm cơ bản.
• Dạng đa thức thì nhân phân phối, dung hằng đẳng thức.
• Dạng phân thức thì chia đa thức, nếu mẫu là tích các bậc nhất thì dùng phương pháp đồng nhất
A + B = a
A =
ax + b
A
B
=
+
↔
↔
( x − x1 )( x − x2 ) x − x1 x − x2
B =
− Ax2 − Bx1 = b
hệ số. Chẳng hạn:
• Dạng khác: biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, liên hợp, lượng giác để thành tổng, hiệu.
b) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
b

• Dạng 1:

I = ∫ f ( u ( x) ) .u′( x )dx
a

Bước 1: Đặt

t = u ( x) ⇒ dt = u′( x)dx

 x = b t = u(b)
⇒

x = a t = u(a)

Bước 2: Đổi cận :
Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

2


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
b

u (b )

a

u ( a)

I = ∫ f [ u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt

Bước 3: Chuyển sang tích phân theo biến t ta được
tích phân mới.

rồi tính

b

I = ∫ f ( x )dx

a
• Dạng 2:
với đặt x = ϕ (t ), t ∈ K '
Thực hiện các bước tương tự như dạng 1.

c) Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.
b

b

b

∫ u ( x ).v' ( x)dx = [ u ( x).v( x)] − ∫ v ( x ).u ' ( x) dx
b
a

a

a

hay:

b

∫ udv = [ u.v ] a − ∫ vdu
b

a

a

Cách thực hiện
u = u(x)
 du = u'(x)dx
⇒

dv = v'(x)dx  v = v(x)
Bước 1: Đặt 
b

Bước 2: Thay vào công thức:

b

∫ udv = [ u.v ] a − ∫ vdu
b

a

a

b

Bước 3: Tính [ u.v ]

b
a

và

∫ vdu

a

.

Lưu ý:
 Biểu thức dưới dấu tích phân là: P( x )Q ( x) dx với P(x) là đa thức cịn Q(x) là hàm lượng giác;
mũ; lơgarít thì đó là dạng tích phân từng phần….
Chẳng hạn:

π

( x + 1) sin 2 x.dx
0

I =∫

e

;

J = ∫ ln xdx

K=∫

;
P ( x ).[ P '( x )dx ]
1

2

1

ln ( x + 1)
x

2

dx

π

1

;

L = ∫ x 2 e x dx
0

,

M =∫4
0

x
dx
cos 2 x
…

 Biểu thức dưới dấu tích phân là:
thì đó là dạng đổi biến dạng 1…. Chẳng hạn:
2
3
x +1
2 2 + ln x
1
2x +1
π
2
K
=
dx
L
=
J
=

dx
∫
I = ∫ cos x sin x.dx
∫0 x 2 + x + 3 ;
∫1 x dx …
0
x +1 + 3 ;
0
;

x=b

x=a

O

y
(H )

a

b

(C1 ) : y = f ( x)
(C 2 ) : y = g ( x)

x

1.3. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự 1

3


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

(C1 ) : y = f ( x); (C2 ) : y = g ( x)
(H ) : 
 ∆1 : x = a; ∆ 2 : x = b
b

(H) có diện tích

S = ị f ( x) - g ( x) dx
a

Chú ý

 Nếu chưa có đủ cận thì tìm hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x)
 Nếu có đủ cận thì viết cơng thức tính diện tích.
 Lúc này tính tích phân có dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét dấu biểu thức trong dấu GTTĐ
đưa đến tổng các tích phân.
 Tích các tích phân đó dẫn đến đáp số.

1.4. Ứng dụng tích phân để tính thể tích
a) Thể tích vật thể.
Cho vật thể (T) giới hạn bởi 2 mp song song (α), (β).
Xét hệ tọa độ Oxy sao cho (α): x = a , (β): x = b (a

theo một thiết diện có diện tích S(x).
b

Giả sử S(x) là hàm liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích của (T) là :

y
x=a

a

O

V = ∫ S ( x )dx
a

x=b
(C ) : y = f ( x)

y=0

b

x

b)

Thể tích khối trịn xoay quay quanh trục Ox

Hình phẳng (H):

(C ) : y = f ( x); Ox

∆1 : x = a; ∆ 2 : x = b

Khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục hồnh có thể tích
b

V = π ∫ [ f ( x)] dx
2

a

Chú ý
 Nếu có đủ cận viết cơng thức tính, nếu chưa có đủ cận thì tìm hồnh độ giao điểm là nghiệm
của phương trình f ( x) = 0 .
 Tính tích phân này và suy ra kết quả.

2. Một số dạng toán và ví dụ

• Tìm họ ngun hàm của hàm số đơn giản
Ví dụ 1. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào khơng đúng?
Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự 1

4


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

x4
+C
0dx = C
cos xdx = sin x + C
sin xdx = cos x + C
4
A. ∫
.
B.
.
C. ∫
. D. ∫
.
HD: Sử dụng công thức trong bảng nguyên hàm. Chọn D.
3
∫ x dx =

π

f ( x) = cos  − x ÷
2
.
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số
π

π

∫ f ( x)dx = sin  2 − x ÷ + C
∫ f ( x)dx = sin  2 + x ÷ + C
A.

.
B.
.
π

C.



∫ f ( x)dx = − sin  2 − x ÷ + C

.

D.

∫ f ( x)dx = sin x + C .

HD: Sử dụng bảng nguyên hàm hoặc tính F ′( x) và xét xem F ′( x) có bằng f ( x) khơng. Chọn C.
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x − 1 .
2
1
f ( x )dx = (2 x − 1) 2 x − 1 + C
f ( x )dx = (2 x − 1) 2 x − 1 + C
∫
∫
3
3
A.
.
B.

.
1
1
∫ f ( x)dx = − 3 2 x − 1 + C .
∫ f ( x)dx = 2 2 x − 1 + C .
C.
D.
1
1 (2 x − 1)1/2+1 1
F ( x) = .
= (2 x − 1)(2 x − 1) 2
f
(
x
)
=
(2
x
−
1)
2
x
−
1
>
0
2
1/
2
+

1
3
HD: Với
ta có
nên
. Chọn B.
1
2

HS có thể sử dụng MTCT kiểm tra tính đúng của khẳng định theo công thức sau:
f ( x0 ) − F ′( x0 ) = 0 , các em bấm theo công thức

f ( x0 ) −

d
( f ( x) )
dx

x = x0

, với x0 ∈ D .

• Tìm một ngun hàm. Tính giá trị của một nguyên hàm
Ví dụ 4. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ′( x ) = 3 − 5sin x và f (0) = 10 . Mệnh đề nào dưới đây là
đúng ?
A. f ( x) = 3 x + 5cos x + 5
B. f ( x) = 3 x + 5cos x + 2
C. f ( x) = 3x − 5cos x + 2
D. f ( x) = 3 x − 5cos x + 15
HD:

f ( x) = ∫ f ′( x)dx = 3x + 5cos x + C

. Vì f (0) = 10 nên 5cos(0) + C = 10 ⇔ C = 5 . Chọn A.

1
x − 1 và F (2) = 1 . Tính F (3) .
1
7
F (3) =
F (3) =
2.
4.
A. F (3) = ln 2 − 1 .
B. F (3) = ln 2 + 1 .
C.
D.
F ( x) = ln ( x − 1) + C
HD: Cách 1:
vì F (2) = 1 nên C = 1 . Do vậy F (3) = ln 2 + 1 . Chọn B.

Ví dụ 5. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số

3

f ( x) =

3

F (3) − F (2) = ∫ f ( x)dx ⇔ F (3) = F (2) + ∫ f ( x)dx

2
2
Cách 2: Ta có:
, với MTCT có thể kiểm tra ngay
đáp số. Lưu ý: Cách 2 chỉ được áp dụng đối với hàm số liên tục trên đoạn [a; b].
Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

5


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Ngun hàm, tích phân và ứng dụng

• Tính tích phân đơn giản.
e

1
I = ∫ dx
x .
1
Ví dụ 6. Tính tích phân
2
A. I = e .
B. I = 1 .
C. I = e .
F ( x ) = ln x ; F (e) − F (1) = 1 − 0 = 1
HD:
. Chọn B.

D. I = π .

• Vận dụng tính chất tích phân.
2

1; 2
Ví dụ 7. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn [ ] , f (1) = 1 và f (2) = 2 . Tính
7
I=
2.
A. I = 1 .
B. I = −1 .
C. I = 3 .
D.

I = ∫ f ′( x) dx
1

.

2

HD:

I = f ( x ) 1 = f (2) − f (1) = 2 − 1

Ví dụ 8. Cho

∫ f ( x)dx = 5
0

π
2

∫ 2sin xdx = 2

nên

0

Ví dụ 9. Biết rằng
2
A.
HD:

. Tính

I = ∫ [ f ( x) + 2sin x ] dx
0

π
I = 5+
2
B.

A. I = 7

HD:

. Chọn A.

π
2

π
2

π
2

π
2

0

0

.
D. I = 5 + π

C. I = 3

I = ∫ f ( x)dx + ∫ 2sin xdx = 5 + 2 = 7

3

3

1

2

∫ f (x)dx = 5; ∫ f (x)dx = 3

. Chọn A.

2

. Tính

B. −2

∫ f (x)dx
1

?
D. 5

C. 1

3

2

3

2

1

1

2

1

5 = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx + 3 ⇒ Kq = 5 − 3 = 2

. Chọn A.

• Vận dụng phương pháp tính tích phân.
π

I = ∫ cos 3 x sin xdx

0
Ví dụ 10. Tính tích phân
1
I = − π4
4
4 .
A.
B. I = −π .

.
C. I = 0 .

D.

I =−

1
4.

−1

I = ∫ t 3 dt = 0

1
HD: Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx, x = 0 ⇒ t = 1; x = π ⇒ t = −1
Hay học sinh sử dụng MTCT (lưu ý đơn vị rađian) ra kết quả 0. Chọn C.

3
vì t là hàm số lẻ.

1

Ví dụ 11. Xét tích phân
định sau đây đúng?

I = ∫ x x 2 + 1dx
0

1

A.

I = ∫ tdt
0

1

I=
.

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

B.

1
tdt
2 ∫0

2
. Nếu đặt t = x + 1 thì khẳng định nào trong các khẳng

2

.

1
I = ∫ tdt
21
C.
.

2

D.

I = 2 ∫ tdt

1

.
6


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
2

2

1
1
1
⇒ I = ∫ t dt = ∫ tdt
dt = 2 xdx ⇔ xdx = dt
2
21
2 . Khi x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2
1
HD:
. Chọn C.
4

Ví dụ 12. Cho
A. I = 32 .

∫

2

f ( x) dx = 16
. Tính
B. I = 8 .

0

I = ∫ f (2 x )dx
0

.
C. I = 16 .

D. I = 4 .

HD: Đặt t = 2 x , ⇒ dt = 2dx ⇔ dx = dt / 2 và đổi cận, ta suy ra được I = 16 / 2 = 8 . Chọn B.
e

I = ∫ x ln xdx
1
Ví dụ 13. Tính tích phân
.
2
e −2
1
I=
I=
2.

2 .
A.
B.

C.

I=

e2 + 1
4 .

D.

I=

e2 − 1
4 .

dx
x2
⇒ du = , v =
x
2 suy ra Chọn C.
HD: Sử dụng phương pháp từng phần. Đặt u = ln x, dv = xdx
4

Ví dụ 14. Biết
A. S = 6 .
4

HD:

∫x
3

dx
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5
+x

2

B. S = 2 .
4

, với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c .
C. S = −2 .
D. S = 0 .
4

4

dx
1
1 
x
1
∫3 x 2 + x = ∫3 x( x + 1) dx = ∫3  x − x + 1 ÷ dx = ln x + 1 3 = 4 ln 2 − ln 3 − ln 5

. Chọn B.

• Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, khối trịn xoay.
y=

Ví dụ 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
A. 2 − ln 2 .
B. 3 + ln 4 .
C. 2 − ln 4 .
0

S=
HD: Diện tích hình phẳng là

∫

−1

2x −1
x − 1 , y = 0 , x = 0 , x = −1 .
D. 5 − ln 4 .

0

0
2x −1
1 

dx = ∫  2 +
÷dx = 2 + ln x − 1 −1 = 2 − ln 2
x −1
x −1 

−1 
. Chọn A.

Ví dụ 16. Tính thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn
π
x=
4.
bởi các đường y = tan x , y = 0 , x = 0 ,
A.

V=

π
4.

B.

V=

π2
4 .

π
4

HD: Thể tích

V = π ∫ tan xdx = −π ln cos x
0

C.
π /4
0

= −π ln

V=

π
4 .

D.

2
π ln 2
= π ln 2 =
2
2

V=

π ln 2
2 .

. Chọn D.

Ví dụ 17. Tính thể tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn
2
bởi các đường y = 4 − x , y = 0 .
A. V = 2π .

B.

V=

71
82 .

C.

V=

512π
15 .

8
V = π2
3 .
D.
2

2
HD: Hoành độ giao điểm là nghiệm của 4 − x = 0 ⇔ x = ±2 . Thể tích

Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự 1

V = π ∫ (4 − x 2 ) 2 dx
−2

. Chọn C.

7


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Ví dụ 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 − x , y = 0 , y = x .
7
6
5
A. 6 .
B. 7 .
C. 2.
D. 2 .
HD: Hoành độ giao điểm của y = 2 − x, y = 0 là x = 2 ; của y = 0, y = x là x = 0 ; của
1
2
7
S = ∫ x − 0 dx + ∫ 2 − x − 0 dx =
6
y = x , y = 2 − x là x = 1 . Diện tích
0
1
. Chọn A.
Ví dụ 19. Tính thể tích vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π , biết rằng thiết diện của vật
thể cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x (0 ≤ x ≤ π ) là một hình vng
cạnh là 2 sin x .
A. 4.

B. 8π .

D. 4π .

C. 8.
π

HD: Diện tích hình vng S = 4sin x . Thể tích

V = ∫ 4sin xdx = 8
0

. Chọn C.

• Kĩ năng vận dụng nguyên hàm, tích phân, ứng dụng.
Ví dụ 21. Khẳng định nào sai?
π

sin  ∫ (π − x )sin xdx ÷ = 0
0

A.
.
π
3

tan  ∫ (π − x ) sin xdx ÷ = −1
40

C.

.

1π

cos  ∫ (π − x) sin xdx ÷ = 0
20

B.
.
π


cos  2 ∫ (π − x) sin xdx ÷ = −1
 0

D.
.

π

HD: Tính

∫ (π − x)sin xdx = π
0

. A, B, C đúng. Chọn D.

2
2x
Ví dụ 22. Cho F ( x ) = x là một nguyên hàm của hàm số f ( x )e . Tìm nguyên hàm của hàm số

f ′( x)e2 x .

∫ f ′( x)e
f ′( x)e
C. ∫

2x

A.

2x

dx = − x 2 + 2 x + C
dx = 2 x − 2 x + C

∫ f ′( x)e
f ′( x )e
D. ∫

2x

.

B.

2

.

2x

dx = − x 2 + x + C

.
dx = −2 x + 2 x + C
2

.
u = e
du = 2e2 x dx
⇒

f ( x )e 2 x dx = F ( x) + C ⇒ f ( x )e 2 x = F ′( x) = 2 x
dv = f ′( x)dx v = f ( x)
∫

HD: Ta có
. Đặt
2x
2x
2x
⇒ Kq = f ( x).e − 2 ∫ f ( x).e dx = f ( x).e − 2 F ( x ) + C
Chọn D.
2x

1

∫ ( x + 1) f ′( x)dx = 10

1

I = ∫ f ( x )dx

0
Ví dụ 23. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn 0
và 2 f (1) − f (0) = 2 . Tính
.
A. I = −12 .
B. I = 8 .
C. I = 12 .
D. I = −8 .
1
1
u = f ( x)
u = f ′( x )dx
⇒ I = ( x + 1) f ( x ) 0 − ∫ ( x + 1) f ′( x)dx = 2 f (1) − f (0) − 10 = −8
⇔

0
v = x + 1
HD: Đặt  dv = dx

1
a (t ) = 2t + t 2 (m/s 2 )
3
Ví dụ 24. Một vật đang chuyển động với vận tốc 6m/s thì tăng tốc với gia tốc
.
Tính quãng đường vật đi được trong khảng thời gian 6 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
A. 36m.
B. 24m.

C. 432m.
D. 596m.
Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

8


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

HD: Kiến thức áp dụng

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

a (t ) = v′(t ) ⇒ v(t ) = ∫ a (t )dt = t 2 + t 3 + v0
b

.

6

S = ∫ v(t )dt = ∫ ( t 2 + t 3 + 6 ) dt = 432

a
0
Quảng đường vật đi được là
m. Chọn C.
Ví dụ 25. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào
thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ
khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9)

và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một
đoạn thẳng song song với trục hồnh. Tính qng đường s mà vật di chuyển được
trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. s = 23, 25 (km)
B. s = 21,58 (km)
C. s = 15,50 (km)
D. s = 13,83 (km)
2
HD: Giả sử phương trình vận tốc của chuyển động theo đường parabol là v (t ) = at + bt + c(km / h)
c = 4
c = 4
 b

5


=2
⇔ a = −
−
4
5 2
31
 2a

 4a + 2b + c = 9
b = 5 ⇒ v(t ) = − 4 t + 5t + 4 ⇒ v (1) = 4
Ta có:
.
Vậy quãng đường đi mà vật chuyển động trong 3 giờ là
1

3
31
259
 5

S = ∫  − t 2 + 5t + 4 ÷dt + ∫ dt =
≈ 21,58
4
4
12

0
1
(km)
Ví dụ 26. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′( x) như hình bên.
2
Đặt h( x) = 2 f ( x) − x . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. h(4) = h( −2) > h(2) B. h(4) = h(−2) < h(2) C. h(2) > h(4) > h( −2) D. h(2) > h(−2) > h(4)

3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho số thực C và các hàm số f(x), g(x) liên tục. Khẳng định nào sau đây là sai?
kf (x)dx = kị f (x)dx (k Ỵ ¡ )
f / (x)dx = f (x) +C
A. ò
B. ò
( f (x) ± g(x))dx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx
( f (x).g(x))dx = ị f (x)dx.ị g(x)dx
C. ị
D. ị
Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự 1

9


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x + sin x là
f (x)dx = 2 + cosx +C
A. ò
B.
f (x)dx = 2- cosx +C
C. ò
D.

ò f (x)dx = x
ò f (x)dx = x

2

- cosx +C

2

+ cosx +C

Câu 3. Trong các hàm số liệt kê dưới đây, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F ( x) = tan x ?
2
2

2
y = - ln cosx
A. y = tan x
B. y = tan x + 2
C. y = tan x + 1
D.
2x
Câu 4. F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e . Khẳng định nào sau đây đúng?
1
F ( x) = e2 x + 5π
2x
x
4x
2
A.
B. F ( x) = 2e + 1
C. F ( x ) = e + C
D. F ( x ) = e + 3

2

Câu 5. Cho biết

∫

5

f ( x)dx = −4
,

1

5

A.

∫

∫

5

f ( x) dx = 6
và

1

∫ g ( x)dx = 8
1

2

f ( x) g ( x) dx = 48
B.

1

∫ 3 f ( x)dx = −12
1

. Khẳng định nào sau đây là sai?

5

C.

∫

5

f ( x)dx = 10
D.

2

∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = − 2
1

1

Câu 6. Tính:

I = ∫ 2 x dx
0

A. I = ln 2

B. I = 1

C.

3
x4 − + 2x
x
Câu 7. Nguyên hàm của hàm số f(x) =
là.
5
x
− 3ln x + 2 x.ln 2 + C
A. 5
B.
x3 1
+
+ 2x + C
3
3
x
C.
D.

I=

1
ln 2

D.

I=

2

ln 2

I=

29
6

x5
2x
− 3ln x +
+C
5
ln 2
x5 +

3
+ 2 x.ln 2 + C
x

2

Câu 8. Tính tích phân

I = ∫ (x 2 + x + 1)dx
1

A. I = 11

B.

I=

19
6

C. I = 4

D.

C. I = 3e + 2

D. I = e + 1

C. I = 3 − π

D. I = π − 1

1

Câu 9. Tính tích phân
A. I = 2e + 1

I = ∫ (2e x + 1)dx
0

B. I = 2e − 1
π
2

Câu 10. Tính tích phân

1
I =π −
3
A.

I = ∫ (2 − sin 3 x)dx
0

B. I = 2 − π
1

Câu 11. Tính tích phân :

1
I = ∫ ( x 4 + x 2 + 1) dx
2
0

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

10


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

21
A. 15

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

41
B. 30

11
C. 20

21
D. 30

2
C. I = 2(e − 1)

2
D. I = e − 1

1

I = ∫ e 2 x dx

0
Câu 12. Tính:
1
I = (e 2 − 1)
2
A.

B.

6

Câu 13. Cho

∫

A.

1
e(e − 1)
2

4

f ( x)dx = 10
và

0

6

∫

I=

∫

6

f ( x)dx = 7
thì

0

∫ f ( x)dx
4

6

f ( x)dx = −17
B.

4

∫

bằng

6

f ( x) dx = 17
C.

4

Câu 14. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số
A. F ( x) = cot x − 1
B. F ( x) = cot x + 1

∫

6

f ( x) dx = 3
D.

4

∫ f ( x)dx = −3
4

π
1
F( ) = 0
2
4
sin x , biết
.
F
(
x
)
=
−
cot
x
−
1
C.
D. F ( x ) = − cot x + 1

f ( x) =

Câu 15. Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai
đường thẳng x = a, x = b (ab

A.

B.

a

S = ∫ f ( x) dx

C.

a

Câu 16. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số
sau đây đúng?
A. F ( x) = −2 tan x + 2

B. F ( x) = −2 tan x
1

I =∫

0
Câu 17. Tính tích phân
5 + ln 2
1

=
I = 2 − ln 3
2
2
A.
5 − 2ln 2
=
I = 2 + ln 3
2
C.

2

b

b

b

S = ∫ f ( x )dx

S = ∫ f 2 ( x) dx
a

f ( x) =

D.

S = π ∫ f ( x ) dx
a

−2
π
F( ) = 0
2
cos x biết
4
. Khẳng định nào

C. F ( x) = −2 tan x − 2

1
1
F ( x) = − tan x +
2
2
D.

x 2 + 3x + 3
dx
x +1
5 + 2ln 2
2
B.
5 − ln 2
=
2
D.
I=

dx

∫ x + 1 = a + ln b

Câu 18. Giả sử 0
A. a =0 và b =81

khi đó giá trị của a và b là ?
B. a =1 và b = 9
C. a =0 và b =3

D. a =1 và b = 8

1

∫ (e

2x

+ e x + 1)dx = a.e2 + b.e + c

Câu 19. Cho biết 0
A. a + b + c = 1

B. a + b + c = 0
1

Câu 20. Tính tích phân

I=∫

A. I = 4

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

0

B.

1
x. 1 + x

I =4

(

. Tính tổng a + b + c .
C. a + b + c = 2

D. a + b + c = 3

dx

)

2 −1

C.

(

I = 4 1− 2

)

D. I = −4

11


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết
3

Câu 21. Tính tích phân

I =∫
2

A. I = 1

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

1
dx
x − 2x + 1
2

I=

B.

1
3

C. I = 2

D.

I=

1
2

2
Câu 22. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x) = 3 x + 1 ; trục tung, trục
hoành và đường thẳng x = 1 .
A. S = 1
B. S = 2
C. S = 3
D. S = 4
Câu 23. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x 2 và y = 0. Tính thể tích V của vật thể
trịn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.,
16π 2
16π 2
16
16π
V=
V=
V=
V=

15
15
5
15
A.
B.
C.
D.

f ( x) =

Câu 24. Cho hàm số
π
π
F( ) =
4
8
và
−4
m=
3
A.

4m
+ sin 2 x
π
.Tìm m để nguyên hàm F(x) của f ( x) thỏa mãn F (0) = 1

m=

−3
4

B.
C.
Câu 25. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Π
2

A.

3
4

D.

m=

4
3

Π
1

x
12
cos
dx
=
cos xdx

∫0 2
2 ∫0
2

B.

3

2.∫ x. x − 1.dx = ∫ t .dt
1

∫e

−x

.dx = 1 −

0

1
e

1

2

C.

m=

D.

0

1

∫ sin(1 − x).dx = ∫ sin x.dx
0

0

2π

∫0 f ( x).dx = 3
f
(
x
)
=
a
sin
x
+
b
Câu 26. Cho
, Tìm a và b biết f ’(0) = 4 và
3
3
1
a = 4; b=

a = 1; b=
a = 3; b=
2π .
2π .
2π
A.
B.
C.
e

Câu 27. Cho biết
A. a.b = 64

∫x

3

ln xdx =

1

3e + 1
b . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

D.

a = 2; b=

1
2π

a

B. a.b = 46

C. a − b = 12

v ' (t ) =

(

D. a − b = 4

)

3
m / s2
t +1
.Vận tốc ban đầu

Câu 28. Một vật chuyển động với vân tốc v(t) (m/s) có gia tốc
là 6m/s. Hỏi vận tốc sau 10 giây ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
A. v(10) = 16m / s
B. v(10) = 60m / s
C. v (10) = 13m / s

π
2
I = ∫ (1 − cos x) n sin xdx
0

Câu 29. Cho
. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
1
1
1
I=
I=
I=
2n
n −1
n +1
A.
B.
C.

D. v(10) = 54m / s

I=

1
n

D.
Câu 30. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y = x.

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

12

Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

S =−

3
2

S=

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

3
2

S =−

9
2

S=

9
2

A.
B.
C.
D.
Câu 31. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = – x2 +4x và trục Ox.
16

32
32
16
S=
S=
S=−
S =−
3
3
3
3
A.
B.
C.
D.
x
π
2 ; y = 0; x = 0; x = 4 . Tính thể tích V của
Câu 32. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.
π (π − 2 2)
π (π − 2 2)
(π − 2 2)
(π − 2 2)
V=
V=
V=
V=
8
8

4
4
A.
B.
C.
D.
sin

Câu 33. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x 2 và y = x3. Tính thể tích V của vật thể trịn
xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.
1
2
1
2
V=
π
V= π
V=
V=
105
35
105
35
A.
B.
C.
D.
2
Câu 34. Nam ngồi máy bay đi du lịch với vận tốc chuyển động của máy bay là v(t ) = 3t + 5 (m/s).
Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là bao nhiêu?

A. 36m
B. 252m
C. 1134m
D. 966m
Câu 35. Một ô tô đang chạy với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ơtơ chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v(t ) = −5t + 12 (m/s) , trong đó t là khảng thời gian tính bằng giây,

kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ cịn duy chuyển bao nhiêu mét ?
A. 14, 4m
B. 1, 44m
C. 28,8m
D. 9,8m
2
Câu 36. Họ nguyên hàm của f ( x) = x − 2 x + 1 là:
1
F ( x) = x 3 − 2 + x + C
3
A.
1
F ( x) = x3 − x 2 + x + C
3
C.

B. F ( x) = 2 x − 2 + C
1
F ( x) = x3 − 2 x 2 + x + C
3
D.

f ( x ) = cos 3x

Câu 37. Nguyên hàm của hàm số
là:
1
1
sin 3 x + C
− sin 3 x + C
A. 3
B. 3

C. − sin 3x + C

D. −3sin 3x + C

1

dx
∫
Câu 38. Tính nguyên hàm 2 x + 1 ta được kết quả sau:
1
1
ln 2 x + 1 + C
− ln 2 x + 1 + C
−
ln
2
x
+
1
+
C

ln 2 x + 1 + C
A. 2
B.
C. 2
D.
Câu 39. Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
xα +1
1
α
x
dx
=
+ C (α ≠ −1)
dx
=
ln
x
+
C
∫
∫
α +1
A. x
B.

ax
∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1)
C.
x

1

∫
D. cos

2

x

dx = tan x + C

f ( x) =

Câu 40. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của
1
1
ln 2 x + 2016
− ln 2 x + 2016
ln 2 x + 2016
A.
B. 2
C. 2
Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

1
2 x + 2016

D. 2

ln 2 x + 2016

13


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết
1

Câu 41. Tích phân
8
ln
A. 5

I =∫
0

x +1
dx
x + 2x + 5
2

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

bằng:

1 8
ln
B. 2 5

C.

2 ln

8
5

D.

−2 ln

8
5

2

Câu 42. Tích phân
4
A. e

I = ∫ 2e 2 x dx
0

bằng :
4
B. e − 1

4
D. 3e − 1

4
C. 4e

2

1 

I = ∫  x 2 + 4 ÷dx
x 
1
Câu 43. Tích phân
bằng:
19
23
A. 8
B. 8

21
25
C. 8
D. 8
Câu 44. Thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) được giới hạn bởi các
y = f ( x)
đường sau:
, trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b xung quanh trục Ox là:
b

A.

V = π ∫ f 2 ( x ) dx
a

b

B.

V = ∫ f 2 ( x ) dx
a

b

C.

A.
C.

a

liên tục, trục hoành và

B.

a
0

b

a

0

S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

D.

S = ∫ f ( x ) dx
a

0

b

a

0

S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx

b

y = f1 ( x ) , y = f 2 ( x )

liên tục và

b

S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx

S=

B.

a

b

C.

y = f ( x)

V = 2π ∫ f 2 ( x ) dx

b

S = ∫ f ( x ) dx

Câu 46. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo cơng thức:
A.

D.

a

Câu 45. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo cơng thức:
b

b

V = π ∫ f ( x ) dx

S = ∫  f1 ( x ) − f 2 ( x )  dx

D.

a

∫ f ( x ) − f ( x ) dx
1

2

a

b

b

a

a

S = ∫ f1 ( x ) dx − ∫ f 2 ( x ) dx

2
Câu 47. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường y = x − x + 3 và đường thẳng y = 2 x + 1 là

:
7
( dvdt )
A. 6

B.

−

1
( dvdt )
6

1
( dvdt )
C. 6

D.

5 ( dvdt )

Câu 48. Thể tích của khối trịn xoay được giới hạn bởi đường y = s inx , trục hoành và hai đường
thẳng x = 0 , x = π là :

π2
A. 4

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

π2
B. 2

π
C. 2

π3

D. 3

14


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

f ( x) =

Câu 49. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của
1
−1
1
tan(2 x + 1)
2
2
A. sin (2 x + 1)
B. sin (2 x + 1)
C. 2
dx
− 3 x + 2 là:
x−2
1
1
ln
+C
ln
− ln

+C
x −1
x −1
A. x − 2
B.

∫
Câu 50. Tìm x

1
cos (2 x + 1)
2

1
co t(2 x + 1)
D. 2

2

ln
C.

x −1
+C
x−2

D. ln( x − 2)( x − 1) + C

3
2

Câu 51. Nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) = 4 x − 3x + 2 trên R thoả mãn điều kiện F (−1) = 3 là
4
3
4
3
4
3
4
3
A. x − x + 2x + 3
B. x − x + 2 x − 4
C. x − x + 2x + 4
D. x − x + 2 x − 3
2
Câu 52. Một nguyên hàm của hàm số y = x 1 + x là:
2
x2
1
F ( x) =
1 + x2
F ( x) =
2
2
A.
B.
2
1
1
F ( x) =
1 + x2

F ( x) =
3
3
C.
D.

)

(

)

(

(
(

)
1+ x )
1 + x2
2

2

3

Câu 53. Nguyên hàm của hàm số y = (t anx + cot x) là:
1
F ( x ) = (t anx + cot x)3 + C
F ( x ) = t anx-cot x + C

3
A.
B.
1
1
F ( x ) = 2(t anx + cot x)( 2 − 2 ) + C
F ( x ) = t anx+ cot x + C
cos x sin x
C.
D.
2

1

Câu 54. Cho tích phân
nào ?

∫

3

1 − xdx

0

1

1

3∫ t dt

3

A.

3
, với cách đặt t = 1 − x thì tích phân đã cho bằng với tích phân

1

3∫ t dt
2

B.

0

∫ t dt

1

3

C.

0

0

D.

3∫ tdt
0

2

Câu 55. Tích phân
1
K = 3ln 2 +
2
A.

K = ∫ (2 x − 1) ln xdx

3

∫ 1+

Câu 56. Biến đổi
hàm số sau:
f ( t ) = 2t 2 − 2t
A.
0

1

B.

K=

1

2

x
dx
1+ x
thành
B.

bằng:
C. K = 3ln2

D.

K = 2 ln 2 −

1
2

2

∫ f ( t ) dt
1

f ( t ) = t2 + t

, với t = 1 + x . Khi đó f(t) là hàm nào trong các
C.

f ( t ) = t2 − t

D.

f ( t ) = 2t 2 + 2t

π
1

2
cos x
x
J =∫
dx
I =∫
dx
3sin x + 12
x
+
3
0
0
Câu 57. Cho tích phân
và
, phát biểu nào sau đây đúng:
1
J = ln 5
3
A. I > J
B. I = 2
C.
D. I = 2 J

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

15


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết
a

Câu 58. Tích phân
π .a 4
A. 8

∫x

2

a 2 − x 2 dx ( a > 0 )

0

π .a
B. 16

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

bằng:

4

π .a 3
D. 8

π .a 3
C. 16

x
y = ( e + 1) x y = ( 1 + e ) x
Câu 59. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường
,
là:
e
e
e
e
− 2 ( dvdt )
− 1( dvdt )
− 1( dvdt )
+ 1( dvdt )
A. 2
B. 2
C. 3
D. 2

Câu 60. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = sin 2 x, y = cosx và hai đường thẳng
π
x = 0, x =
2 là :
1
1

3
1
( dvdt )
( dvdt )
( dvdt )
( dvdt )
A. 4
B. 6
C. 2
D. 2
Câu 61. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y = ln x, y = 0, x = e quay quanh trục Ox có kết quả là:
π ( e − 1)
π ( e − 2)
π ( e + 1)
A. π e
B.
C.
D.
3
Câu 62. Thể tích vật thể quay quanh trục Ox giới hạn bởi y = x , y = 8, x = 3 có kết quả là:
π 7
π 7
π 7
π 7
3 − 9.25 )
3 − 9.26 )
3 − 9.27 )
(
(
(

( 3 − 9.28 )
7
7
7
7
A.
B.
C.
D.
2
Câu 63. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x − 2 x và y = x là :

9
( dvdt )
A. 2

7
( dvdt )
B. 2

9
( dvdt )
C. - 2
(C ) : y =

Câu 64. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong
tích của khối trịn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox là :
A. 3π
B. 4π ln 2
C. (3 − 4 ln 2)π

D.

0 ( dvdt )

2x + 1
x + 1 , trục Ox và trục Oy. Thể

x3
y=
;y=x
1 − x2
Câu 65. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
là:
A. 1
B. 1 – ln2
C. 1 + ln2

D. (4 − 3ln 2)π

D. 2 – ln2

2
Câu 66. Một nguyên hàm của hàm số: f ( x) = x sin 1 + x là:
2
2
2
A. F ( x) = − 1 + x cos 1 + x + sin 1 + x

2

2
2
B. F ( x ) = − 1 + x cos 1 + x − sin 1 + x

2
2
2
2
2
2
C. F ( x) = 1 + x cos 1 + x + sin 1 + x
D. F ( x) = 1 + x cos 1 + x − sin 1 + x
Câu 67. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?
xdx
1
= ln( x 2 + 4) + C
2
∫
(I) x + 4 2
1
cot xdx = − 2 + C
∫
sin x
(II)

∫e
(III)
A. Chỉ (I)

2cos x

1
sin xdx = − e 2cos x + C
2
B. Chỉ (III)

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

C. Chỉ (I) và (II)

D. Chỉ (I) và (III)
16


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

y=

x3

2 − x 2 là:
Câu 68. Một nguyên hàm của hàm số:
1
1
− ( x2 + 4) 2 − x2
− x2 2 − x2
2
A. x 2 − x

B. 3
C. 3
5

Câu 69. Biết rằng
A. 9

D.

−

1 2
( x − 4) 2 − x2
3

1

∫ 2 x − 1 dx

= lna . Giá trị của a là :
B. 3
C. 27

1

1

Câu 70. Biết tích phân
A. 35

∫x

3

1 − xdx =

0

M
N

B. 36
a

Câu 71. Tìm a>0 sao cho

∫ x.e

x
2

D. 81

M
, với N là phân số tối giản. Giá trị M + N bằng:
C. 37
D. 38

dx = 4

0

1
B. 4

A. 4

1
C. 2

D. 2

1
C. 2

D. 2

π
2

Câu 72. Tích phân I =
1
A. 3

sin 3 x
∫0 1 + cos x dx

có giá trị là:

1

B. 4

2
Câu 73. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sin x + sinx + 1; y = 0; x = 0; x = π / 2 là:
3π
3π
3π
3
+1
−1
A. 4
B. 4
C. 4
D. 4
x
−x
Câu 74. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = e − e ; Ox; x = 1 là:
1
1
e + −1
e+
e
e
A. 1
B.
C.

7

Câu 75. Tích phân I =

9
3
+ 3ln
2
A. 2

∫ 1+
0

5

Câu 76. Cho
A. 16

∫

1
dx
3
x +1
có giá trị là:
9
3
− 3ln
2
B. 2
5

f ( x ) dx = 6

∫ g ( x) dx = 8

9
2
+ 3ln
3
C. 2

9
2
− 3ln
3
D. 2

5

∫ [ 4 f ( x) − g ( x)] dx

. Tích phân 1
có giá trị bằng:
C. 12
D. 10
1
2
f ( 2) = −
f ′ ( x ) = x  f ( x ) 
f ( x)
3
Câu 77. Cho hàm số
thỏa mãn

và
với mọi x ∈ ¡ . Giá trị của
f ( 1)
bằng
11
2
2
7
−
− .
− .
− .
A. 6 .
B. 3
C. 9
D. 6
1

, 1
B. 14

1
e+ −2
e
D.

b

Câu 78. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì
Tổ Tốn trường THPT Hồng Ngự 1

∫ f ( x ) dx
a

là
17


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

A. F(a) – F(b)
B. F(b) – F(a)
C. F(a) + F(b)
Câu 79. Hàm số f(x) là nguyên hàm của hàm số g(x) khi
'
'
A. f ( x) = g ( x)
B. g ( x) = f ( x)
C. f ( x) = g ( x)

D. F(b-a)
D. f ( x) = g ( x) + C

x
Câu 80. Hàm số nào là một nguyên hàm y = 2
x +1
B. y = 2

x
A. y = 2

b

2x
y=
ln 2
D.

x
C. y = 2 ln 2

b

c

∫a f ( x ) dx
a
<
b
<
c
Câu 81. Biết
với
thì
bằng
A. 4
B. 10
C. -4

D. 21
Câu 82. Cơng thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
xα +1
1
α
dx
=
ln
x
+
C
x
dx
=
+ C (α ≠ −1)
∫
∫
α +1
A. x
B.
∫
a

f ( x ) dx = 7, ∫ f ( x ) dx = 3
c

ax
1
a dx =
+ C (0 < a ≠ 1)

dx = tan x + C
2
∫
∫
ln a
C.
D. cos x
Câu 83. Diện tích hình phẳng phần bơi đen trong hình sau được tính theo cơng thức:
x

A.

c

b

b

a

b

c

S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

B.

b

c

a

b

S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
c

S=

∫ f ( x ) dx

a
C.
D.
Câu 84. Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn
x2 + x +1
y=
x + 1 ; y = x và hai đường thẳng x =0, x = 1 là:
bởi các đường (C):
1

3

5

π  + 2ln2 ÷
π  − 2ln2 ÷

π  − 2ln2 ÷



A.  2
B.  2
C.  2
D. Một đáp số khác

a

b

Câu 85. Thể tích của vật thể trịn xoay được tạo ra khi quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn
x
bởi các đường : y = x.e ; y = 0 , x = 1 là:
(e2 − 1)
4
A.

π(e2 + 1)
4
B.

π(e 2 − 1)
4
C.

D. Một đáp số khác

1 
2
¡ \ 
f ′( x) =
f ( x)
2
  thỏa mãn
2 x − 1 , f ( 0 ) = 1 và f ( 1) = 2 .
Câu 86. Cho hàm số
xác định trên
f ( −1) + f ( 3)
Giá trị của biểu thức
bằng
4 + ln15 .
2 + ln15 .
3 + ln15 .
ln15 .
A.
B.
C.
D.

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

18


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

I=

Câu 87. Giả sử rằng
A. 0

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

0

3x 2 + 5 x − 1
2
∫−1 x − 2 dx = a ln 3 + b
. Khi đó, giá trị của a + 2b là:
B. 10
C. 30
D. 40

2
−x
Câu 88. Xác định a, b, c để hàm số F ( x) = (ax + bx + c ).e
là một nguyên hàm của hàm số
2
−x
f ( x ) = ( x − 3x + 2)e
A. a = - 1, b = 1, c = - 1 B. a = 1, b = 1, c = - 1 C. a = - 1, b = 1, c = 1 D. a = 1, b = 1, c = 1
3
Câu 89. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 1 và tiếp tuyến của đồ

thị hàm số này tại điểm A(−1;−2) .
27
27
17

A. 5
B. 4
C. 5

17
D. 4
1
f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx −
2

Câu 90. Cho hai hàm số
g ( x ) = dx 2 + ex + 1 ( a, b, c, d , e ∈ ¡

và

) . Biết rằng đồ thị của hàm

y = f ( x)
y = g ( x)
số
và
cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ
−
3
1
lần lượt là
; −1 ; (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới
hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A. 9/2
B. 8

C. 4
D. 5

4. Hướng dẫn và đáp số
1D

2B

3C

4A

5A

6C

7B

8D

9B

10 A

11 B

12 A

13 C

14 D

15 B

16 A

17 B

18 C

19 A

20 C

21 D

22 B

23 C

24 D

25 A

26 A

27 A

28 C

29 C

30 D

31 B

32 A

33 B

34 D

35 A

36 C

37 A

38 A

39 A

40 B

41 B

42 B

43 C

44 A

45 A

46 A

47 B

48 B

49 C

50 B

51 A

52 D

53 B

54 A

55 D

56 A

57 A

58 B

59 B

60 D

61 B

62 B

63 A

64 C

65 B

66 B

67 D

68 B

69 B

70 D

71 D

72 C

73 B

74 D

75 A

76 A

77 B

78 B

79 A

80 D

81 A

82 A

83 D

84 C

85 C

86 C

87 D

88 A

89 B

90 C

6

Câu 13.
Câu 14.

∫
0

4

6

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ⇔ 10
0

4

F ( x) = ∫ f ( x)dx f = − cot x + C
f '( x) = x [ f ( x) ] ⇔
2

Câu 77.
Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

f '( x)

[ f ( x) ]

2

6

=7

+

∫
4

6

f ( x)dx ⇒ ∫ f ( x )dx = 3
4

π
F( ) = 0 ⇔ C =1
→ F ( x) = − cot x + 1
4
mà

=x
nên

−

1

x2
= +C
f ( x) 2

19


Đề cương ơn thi THPT QG 2018 mơn Tốn chi tiết

Chủ đề 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

1
2
⇒ f (1) = −
3 ⇒ C =1
3
mà
Câu 90. Diện tích hình phẳng cần tìm là
f (2) = −

−1

1

−3

−1

S = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx + ∫  g ( x ) − f ( x )  dx
−1

1

3
3


= ∫  ax3 + ( b − d ) x 2 + ( c − e ) x −  dx − ∫ ax 3 + ( b − d ) x 2 + ( c − e ) x −  dx
2
2
−3 
−1 
.
ax 3 + ( b − d ) x 2 + ( c − e ) x −

3
= 0 ( *)
2
là phương trình hồnh độ giao điểm

Trong đó phương trình
y = f ( x)
y = g ( x)
của hai đồ thị hàm số
và
.
( *) có nghiệm −3 ; −1 ; 1 nên
Phương trình
3
3

1



−27 a + 9 ( b − d ) − 3 ( c − e ) − 2 = 0
 −27 a + 9 ( b − d ) − 3 ( c − e ) = 2
a = 2



3
3
3



⇔  −a + ( b − d ) − ( c − e ) =
⇔ ( b − d ) =
− a + ( b − d ) − ( c − e ) − = 0
2
2
2



3
3
1




a
+
b
−
d
+
c
−
e
−
=
0
a
+
b
−
d
+
c
−
e
=
c
−
e
=
−
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)



2
2
2.



−1

1

3
1
3
3
1
3
1
1
S = ∫  x3 + x 2 − x −  dx − ∫  x3 + x 2 − x −  dx

2
2
2
2
2
2
2
2  = 2 − ( −2 ) = 4
−3 
−1 
Vậy
.

Tổ Toán trường THPT Hồng Ngự 1

20