On tap chuong 3 nguyen ham tich phan ung dung

Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

I. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM :

Hàm số u = u ( x ) , v = v ( x ) có đạo hàm tại x

'

'

'

'

'
 k  −k .u
 ÷ = 2
u
u

 u  u v − uv
 ( u ± v) = u ± v
 ( u.v ) = u .v + uv
 ( ku ) = ku
 ÷ =
v2
v
II. BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
Đạo hàm hàm số cơ bản

Đ.hàm h.số hợp u = u(x)
Đạo hàm h.số cơ bản
'
'
Hàm số mũ
 ( c) = 0
 ( x) = 1
'

( )

α '

 x

'

'

'

'

( )

 uα

α −1

= α .x

'

'

'

= α .uα −1.u '

'

1
k
1
k
 ÷ = − 2
 ÷ = − 2
x
x
 x
 x
'
1
 x =
2 x
Hàm số lượng giác

( )

 (sin x)' = cosx



( u)

'

=

u'

2 u
Hàm số lượng giác

 (sin u ) = u .cosu
'

'

 (cosu) ' = −u ' .s inu

 (cosx) ' = − s inx

u'
 (t anu) =
cos 2 u
u'
 (cot u) ' = −
sin 2 u

1
'
 (t anx) =
cos 2 x

'

= 1 + tan 2 x
 (cot x)' = −

'

u'
k .u '
1
k
 ÷ = − 2  ÷ = − 2
u
u
u
u

ĐH hàm số hợp u = u(x)

( ) = a .ln a
 (e ) =e
 ( e ) = −e
 ax

'

'

'

x

−x

'

( ) = u .a .ln a
 (e ) =ue

x

'

 au

x

'

u

'

'

'

u

' u

x

Hàm số Lôgarit
 ( log a x ) =
'

 ( ln x ) =
'

 ( log a u ) =
'

1
x ln a

 ( ln u ) =
'

1
x

u'
u

 ( log u ) =
'

1
 ( log x ) =
x ln10
'

u'
u ln a

u'
u.ln10

1
sin 2 x

= − ( 1 + cot 2 x )

------------------------------------------------o0o----------------------------------------------CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm hàm số cơ bản
1 / ∫ dx = x + C
2 / ∫ xα dx =

xα +1
+ C ( α ≠ −1)
α +1

1
3 / ∫ dx = ln x + C

x
4 / ∫ e dx = e + C
x

5 / ∫ a x dx =

x

x

a
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a

6 / ∫ cos xdx = sin x + C
7 / ∫ sin xdx = − cos x + C
1
dx = tan x + C
cos 2 x
1
9 / ∫ 2 dx = − cot x + C
sin x

8/ ∫

*

∫

*

m

n

x m dx = ∫ x n dx = ∫ x α dx

1
−α
∫ xα dx = ∫ x dx = ... ( α ≠ 1)

1
a
/////////////////////////////

Công thức bổ sung ∫ f (ax + b)dx = F(ax + b) + C
1 ( ax ±b )
2' / ∫ ( ax ±b ) dx = .
+C
a
α +1
1
1
3' / ∫
dx = .ln ax ±b +C
a
( ax ±b )
α

α+1

1
4' / ∫ e ax ±b .dx = e ax ±b +C
a
1
a kx ±b
5' / ∫ a kx ±b dx = .
+C
k ln a
1
6' / ∫ cos ( ax ±b ) dx = sin ( ax ±b ) +C
a
1
7 ' / ∫sin ( ax ±b ) dx =− cos ( ax ±b ) + C
a
1
1
'
8 /∫
dx = tan ( ax ±b ) +C
cos 2 ( ax ±b )
a
1
1
9/ / ∫
dx =− cot ( ax ±b ) +C
2
sin ( ax ±b )
a

10 / ∫ tan xdx = − ln cos x + C

Nguyên hàm hàm số hợp u = u(x)

1/ ∫ du = u + C
uα +1
2 / ∫ u du =
+ C ( α ≠ −1)
α +1
1
3 / ∫ du = ln u + C
u
α

4 / ∫ eu du = eu + C
5 / ∫ a u du =

au
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a

6 / ∫ cos udu = sin u + C
7 / ∫ sin udu = − cos u + C
1
du = tan u + C
cos 2 u
1
9 / ∫ 2 du = − cot u + C
sin u

8/ ∫

11/ ∫ cot xdx = ln sin x + C

---------------- BÀI TẬP ----------------Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

1


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x3 − 9 .
1 4
x + C D. 4 x3 − 9 x + C
4
5 3 1
2
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − + 2 − .
x x
3
3
3
3 1
x
3 1
x
3 1
3

A.
B.
− 5ln x − − x + C
− 5ln x − − x + C C. 2 x − 5ln x − − x + C
x 3
3
x 3
3
x 3
1
1
2
Câu 3: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 − x − l.
3
x
4
2
3
x + x +3
x
1 x
− x4 + x2 + 3
A. −
B. − + − + C
C.
+C
+C
3x
3 x 3
3x

A.

1 4
x − 9x + C
2

B. 4 x 4 − 9 x + C

C.

Câu 4: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
3 2
A. F ( x ) = 3 x + C
4

B. F ( x ) =

Câu 5: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

2
+C
x

Câu 7:

A.

5

2 5
x +C
5

∫( 3

x

2

(

3x

+C

x4

1 x3
D. − −
+C
x 3

3x 3 x
+C
4

1
x x

4x

C. F ( x ) =

4x
+C
33 x

D. F ( x ) =

C. F ( x ) =

x
+C
2

D. F ( x ) = −

+C

3

3 x2

.

2
+C
x

x
+C
2

x x+ x
.
x2

) +C

x +1
x2

C. F ( x ) =

2−3 x
+C
x

D. F ( x ) =

1+ 2 x
+C
x

B. −5ln x +

)

2 5

x +C
5

C. −5ln x −

2 5
x +C
5

D. 5ln x +

2 5
x +C
5

+ 4 x dx bằng:

∫ ( 3.2

x

B.

)

3x
4x
+
+C
ln 4 ln 3

C.

4x
3x
+
+C
ln 3 ln 4

D.

3x
4x
−
+C
ln 3 ln 4

C.

2x
2 3
+
x +C
3.ln 2 3

D. 3.

+ x dx bằng:

2x 2 3

+
x +C
ln 2 3

B. 3.

2x 2 3
+
x +C
ln 2 3

3x 2 x
Câu 10: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 .3 là:

A. F ( x ) =

x

+

2


x3 ÷dx bằng:


3x
4x
+
+C

ln 3 ln 4

Câu 9:
A.

+ C B. F ( x ) =

x

∫  x +

A. 5ln x −
Câu 8:

2 ( x − 1)

5

x .

B. F ( x ) = −

Câu 6: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. F ( x ) =

3

D. 2 x −

23 x 32 x

.
+C
3ln 2 2ln 3

B. F ( x ) =

72
+C
ln 72

C. F ( x ) =

3x x
Câu 11: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e .3 là:

( 3.e ) + C
A. F ( x ) =
ln ( 3.e )
3

x

3

B. F ( x ) = 3.

e3 x

( )

ln 3.e3

+C

C. F ( x ) =

2x
+ x3 + C
ln 2

23 x.32 x
+C
ln 6

D. F ( x ) =

( 3.e ) x

3.e )
D. F ( x ) = (

( )

ln 3.e3

+C

ln 72
+C
72

3

x

ln 3

+C

1− 2 x 3 x
Câu 12: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 .2 là:
x

8
 ÷
A. F ( x ) =  9  + C
8
ln
9

Câu 13: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

x

9
 ÷
B. F ( x ) = 3  8  + C
8
ln

9

x

8
 ÷
C. F ( x ) = 3  9  + C
8
ln
9

x

8
 ÷
D. F ( x ) = 3  9  + C
9
ln
8

3x +1
là:
4x
2


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU
x

x

4
 ÷
A. F ( x ) = 3  3  + C
3
ln
4
5
∫ ( 3x − 1) dx bằng

Câu 15: Tính

4
∫ ( π − 2x ) dx bằng

Câu 16:

∫ ( 5 x − 3)

Câu 17:

∫ 2 x + 5 dx bằng:

Câu 18:

∫ 2 − 3x

2

dx bằng:

3

dx

∫e

1−3x

x

3
 ÷
B. F ( x ) =  4  + C
3
ln
4

Câu 14: Tính

1

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

bằng:

A.

C. F ( x ) =

1
( 3x − 1) 6 + C
18

A. − (

π − 2x)
+C
5
1
+C
A. −
5 ( 5 x − 3)

1

( 2 − 3x )

dx bằng: A. F ( x ) =

3

2

6

B. − (

π − 2x)
+C

10
1
+C
B.
5 ( 5 x − 3)

5

B. ln 2 x + 5 + C

+C

B. −

3

( 2 − 3x )
1−3 x

+ C B. F ( x ) = e

x
+C
2
C. − (

3x − 1)
6

5

3
2

A. 2 ln 2 x + 5 + C
A.

( 3x − 1) 6 + C

B.

2

+C

3
 ÷
D. F ( x ) = 3  4  + C
3
ln
4

C.

6

+C

( π − 2x ) 5 + C

5
1
+C
C. −
( 5 x − 3)

C. 3ln 2 x + 5 + C
C.

1
ln 2 − 3 x + C
3

+ C C. F ( x ) = −

3e

D. − (

3x − 1)
18

D. (

6

+C

π − 2x )
+C

10
1
+C
D. −
5 ( 5 x + 3)
D.

5

3
ln 2 x − 5 + C
2

1
D. − ln 3x − 2 + C
3

+ C D. F ( x ) = −

e

+C
3e3 x
1
5
5
e5 x
e 2 −5 x
Câu 20: 2−5 x dx là:A. F ( x ) = 2−5 x + C
B. F ( x ) = − 2−5 x + C C. F ( x ) = −

D.
F
x
=
+C
+C
( )
e
e
e
5
5e2
1 x
1
18 x
1
2x
1
3x
1
9x
x 2x 
Câu 21:  e − 2 .3 ÷dx
A. e x −
B. e x −
C. e x −
+C
+C
+ C D. e x −
+C

3

3
ln18
3
ln 2
3
ln 3
3
ln 9
3x
3x
3x
3x
x −1
Câu 22: 3cos x − 3 dx A. sin x −
C. 3sin x −
+ C B. −3sin x −
+C
+ C D. 3sin x −
+C
ln 3
3ln 3
ln 3
3ln 3
1
Câu 23: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x − 32 x −1.23 x
3
x 



1
72
1
72 x 
1
72 x 
1
72 x 
+ C B.  cos x +
+C
cos x −
+ C D. −  − cos x −
÷
÷

÷
÷+ C
A. −  cos x +
C.
3
ln 72 ÷
3 
ln 72 ÷
3 
ln 72 ÷
3 
ln 72 ÷





Câu 19:

1−3 x

e

3

e

3x

∫

∫

∫(

)

Câu 24: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3sin x −

2
cos 2 x

3
3
3

( 2cos x − 2 tan x ) + C C. − ( 2cos x + 2 tan x ) + C D.
( 2cos x − 2 tan x ) + C
2
2
2
1
Câu 25: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
2
sin x.cos 2 x
1
1
1
1
−
+C
−
+ C D.
A. tan x − co t x + C B. tan x + co t x + C
C.
2
tan x cot x
tan x cot 2 x
1
Câu 26: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
2
sin x.cos 2 x
A. 2 tan 2x + C
B. -2 cot 2x + C
C. 4 cot 2x + C
D. 2 cot 2x + C

−
x

e
x
dx
Câu 27: Tính e  3 − 2 ÷
÷ bằng
sin
x


1
x
+C
A. 3e x − co t x + C B. 3e x + tan x + C
C. 3e x + co t x + C D. 3e −
cot 2 x
 2π

− 2 x ÷dx bằng
Câu 28: Tính cos 
 3

1  2π
1  2π

 2π



 2π

− 2 x ÷+ C B. − sin 
− 2 x ÷+ C
− 2 x ÷+ C D. − sin 
− 2 x ÷+ C
A. sin 
C. − sin 
2  3
2  3

 3


 3

π

Câu 29: Tính sin  3 x + ÷dx bằng
3

A. 3cos x − 2 tan x + C B. −

∫
∫
∫

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

3

Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU
A.

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

1 
π
1
π

sin  3 x + ÷+ C B. cos  3x + ÷+ C
3 
3
3
3


(

π

C. − cos  3x + ÷+ C
3


)

1

π

− cos  3x + ÷+ C
3
3


D.

3
Câu 30: Nguyên hàm của 2 x 1 + 3 x là:

(

)

(

2
3
A. x x + x + C

)

(

2
2
B. x 1 + 3 x + C

6 x3 
2
÷+ C
D. x  1 +
5 ÷



)

3
C. 2x x + x + C

2

Câu 31: Tính x 2 ( 1 − 2 x ) dx bằng

∫

1
3
B. − x3 ( 1 − 2 x ) + C C. 4 x ( 1 − 2 x ) + C
2

A. x3 ( 1 − 2 x ) + C
3

D.

12 x5 − 15 x 4 + 5 x3

+C
15

2

1 

Câu 32: ∫  3x − x ÷ dx bằng:
3 

2

3

 3x ln 3 
A. 
−
+C
 ln 3 3x ÷
÷



1  3x
1 
9x
1
B. 
− x
+ C C.

−
− 2x + C
÷
x

÷
3  ln 3 3 ln 3 
2ln 3 2.9 ln 3

)
∫ (
Câu 34: Tính ∫ ( x + 1) ( x −

D.

(

x
−x
Câu 33: Tính e 1 − 2e dx bằng A. e x − 2 x + C B. e x − 2e 2 x + C

1  x 1
9 + x
2ln 3 
9

)

x
−x

+C
C. e x − 2e

)

(


÷− 2 x + C


)

e x x + 2e − x + C

D.

x + 1 dx bằng

5 2
2
2
5
x x + x + C B. x 2 x + x + C
x x + x+C
C. x x + x + C D.
2
5
5
2

x x+ x
Câu 35: Tính
dx bằng
x2
2 ( x − 1)
2 x +1
2−3 x
1+ 2 x
+ C B. F ( x ) =
+ C D. F ( x ) =
A. F ( x ) =
C. F ( x ) =
+C
+
C
2
x
x
x
x
A.

∫

Câu 36: Tính

∫

A. 3x + 2ln x +
Câu 37: Tính

(

3x 2 + 2 x − 3
dx bằng
x2
3
x + x 2 − 3x
+ C B.
+C
x
x3

∫ ( cos x − sin x )

A. ( sin x + cos x ) + C B.
2

Câu 38: Tính
A.

)

∫ ( 2 − sin x )

2

2

C.

(

3 x + x 2 − 3x
x

Câu 39: Tính

∫ ( cos

D.

(

3 x + x 2 − 3x
x

3

) +C

dx bằng

( sin x + cos x ) 3 + C
3

C.

2 x + cos 2 x
+C

2

D.

1
x − cos 2 x + C
2

dx bằng

3
18 x − 16cos x − cos 2 x
2 x + cos x )
+ C B. (
+C
4
3
4

3

) +C

4

)

C.

2 x + cos x

+C
3

D.

( 2 x − cos x ) 3 + C
3

x − sin x dx bằng

1
1
A. − sin 2 x + C B. sin 2 x + C
2
2

C. 4cos5 x − 4sin 5 x + C

D.

5sin 5 x + 5cos5 x + C

1
1
1
1
1
1



2sin 3 2 x
2
Câu 40: Tính cos 2xdx bằng A.  x − sin 4 x ÷+ C B.
+ C C.  x + sin 4 x ÷+ C D. x + cos 4 x + C
2
4
2
4
2
2


3

∫

2x

∫ cos 3 dx bằng:
4
Câu 42: Tính ∫ cos xdx bằng
2

Câu 41:

3
2

4
A. cos

2x
+C
3

1
2

4
B. cos

2x
x 3
4x
+ C C. + sin
+C
3
2 8
3

D.

x 4
4x
− cos + C
2 3
3

1 5
1

3
1
1
3
1
3
sin x + C B. ( x − 2cos x ) + C
x + sin 2 x + sin 4 x + C
C. x + sin 2 x + sin 4 x + C D.
5
3
8
4
32
2
8
3
1
1
1
1
1
1

2cos 3 x
2
Câu 43: Tính sin 3xdx bằng A. x − sin 6 x + C
B.
+ C C.  x + sin 3 x ÷+ C D. x + cos 6 x + C
2

4
2
12
2
2

3
A.

∫

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

4


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

∫

4
Câu 44: Tính sin xdx bằng

1
1
3
1
1

3
1
5
x + sin 2 x + sin 4 x + C
A. cos5 x + C B. ( x − 2sin 2 x ) + C
C. x − sin 2 x + sin 4 x + C D.
5
5
8
4
32
2
8
Câu 45: Tính tan xdx bằng A. ln cos x + C B. − ln cos x + C
C. ln ( cos x ) + C D. − ln ( cos x ) + C

∫
Câu 46: Tính ∫ cot xdx bằng A. ln sin x + C B. − ln sin x + C
C. ln ( sin x ) + C D. − ln ( sin x ) + C
2
Câu 47: Tính ∫ tan xdx bằng A. t anx + x + C B. cotx + x + C
C. t anx - x + C D. cot x − x + C
2
Câu 48: Tính ∫ cot xdx bằng A. − ( cot x − x ) + C B. cotx + x + C
C. − ( cot x + x ) + C D. cot x − x + C
Câu 49: Tính ∫ cos3 x.cos xdx bằng
1
1
1
1

sin 2 x + sin 4 x + C B. sin 2 x + sin 4 x + C
4
8
2
4
Câu 50: Tính sin 2 x.sin 3 xdx bằng
A.

C.

1
1
sin 2 x + sin 4 x + C
8
4

1
1
sin 2 x − sin 4 x + C
4
8

D.

∫

1
1
1
1

A. sin x + sin 5 x + C B. sin x − sin 5 x + C
2
5
2
5
Câu 51: Tính sin 2 x.cos xdx bằng

C.

1
1
sin x − sin 5 x + C
2
10

1
1
sin x + sin 5 x + C
2
10

D.

∫

1
1
1
1
A. − cos x + cos3 x + C B. cos x − cos3 x + C

2
6
2
6
Câu 52:

C.

∫ ( cos4 x.cos x − sin 4 x.sin x ) dx bằng:

1
1
cos x − cos3 x + C
6
2

1
1
1
1
sin 5 x + C
B. sin 3 x + C C. sin 4 x + cos4 x + C
5
3
4
4
Câu 53: ∫ cos8 x.sin xdx bằng:
A.

1

1
sin 8 x.cosx + C B. − sin 8 x.cosx + C
8
8
2
Câu 54: ∫ sin 2xdx bằng:
A.

A.

1
1
x + sin 4 x + C
2
8

Câu 55:

∫ ( sin 2 x − cos2 x )

B.
2

C.

A.

( sin 2 x − cos2 x )

C. x −

Câu 56:

x2 + 2x + 3
∫ x + 1 dx bằng:

Câu 57: Tính

∫

x3 + 1
dx bằng
x+2

3x − 1

Câu 58:

∫ x + 2 dx bằng:

Câu 59:

∫x

2

C.

3

1

1
cos x + cos 3x + C
2
6

1
( sin 4 x − cos4 x ) + C
4

1
1
cos7x − cos9 x + C
14
18

1 3
sin 2 x + C
3

dx bằng:

D.

D.

1
1
x − sin 4 x + C
2
8

D.

1
1
cos9x − cos7x + C
18
14

D.

1
1
x − sin 4 x + C
2
4
2

3

1
 1

sin 2 x ÷ + C
2
 2

1
D. x + cos4 x + C
4

2
x
B.
+ x + ln x + 1 + C
2
B.  − cos2 x +

+C

1
sin 2 x + C
2

x2
+ x + 2 ln x + 1 + C
2
x2
C.
+ x + 2 ln x − 1 + C
2
x3
A.
+ 4 x − 7 ln x + 2 + C
3
x3
C.
− x 2 + 4 x − 7 ln x + 2 + C
3
A.

D. x + 2 ln x + 1 + C

x3
− x + 7 ln x + 2 + C
3
x3
D.
− x 2 + 4 x + 7 ln x + 2 + C
3

B.

A. 3 x + 7 ln x + 2 + C B. 3 x − ln x + 2 + C C. 3 x + ln x + 2 + C D. 3 x − 7 ln x + 2 + C

x +1
dx bằng:
− 3x + 2

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

A. 3ln x − 2 − 2 ln x − 1 + C

B. 3ln x − 2 + 2 ln x − 1 + C

C. 2 ln x − 2 − 3ln x − 1 + C

D. 2 ln x − 2 + 3ln x − 1 + C

5

Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU
Câu 60: Tính

Câu 61: Tính

Câu 62:

x − 12

∫ x2 + x − 6dx bằng
x

∫ x2 + 3x + 2dx bằng
1

∫ ( x + 1) ( x + 2 ) dx bằng:

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
A. 3ln x + 3 − 2 ln x − 2 + C

B. 2 ln x + 3 − 3ln x − 2 + C

C. 3ln x + 3 + 2 ln x − 2 + C

D. 2 ln x + 3 + 3ln x − 2 + C

A. 2 ln x + 2 − ln x + 1 + C

B. ln x + 2 − 2 ln x + 1 + C

C. 2 ln x + 2 + ln x + 1 + C

D. ln x + 2 + 2 ln x + 1 + C

A. ln x + 1 + ln x + 2 + C

x +1
+ C C. ln x + 1 + C D. ln x + 2 + C
x+2

1 x−5
1 x−5
ln
+ C D. − ln
+C
6 x +1
6 x +1
1
x −1
2
dx bằng A. 2 ln x − 3 −
+ C B. ln x − 3 −
+C
Câu 64: Tính 2
x−3
x − 6x + 9
x −3
2
1

+C
+C
C. ln x − 3 +
D. 2ln x − 3 +
x−3
x−3
1
1
1
1
1
dx bằng: A. −
+C
+C
+C
+C
Câu 65:
B.
C. −
D.
2
x + 6x + 9
x+3
x−3
3− x
x−3
---------------------------------o0o—------------------------------------2
2
Câu 66: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 4x ( x − 1) , biết F(1) = .
3

4
4
4
4
A. F ( x ) = x 4 − x 3 + 1 B. F ( x ) = x 4 − x 3 − 1 C. F ( x ) = x 4 + x3 + 1 D. F ( x ) = x 4 + x3 − 1
3
3
3
3
3
16 

x
Câu 67: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
. Biết đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm M  −1; − ÷.
3
x+2

3
3
3
3
x
x
x
x
A. F ( x ) = − x 2 + 4 x + 1 B. F ( x ) = − x 2 + 4 x + 2 C. F ( x ) = − x 2 + 4 x − 2 D. F ( x ) = − x 2 + 4 x
3
3
3

3
3
2
1
x + 3x + 3x − 1
Câu 68: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
, biết F(1) = .
2
3
x + 2x + 1
2
2
2
x
2
6
x
2
x
2
13
x2
2
13
A. F ( x ) =
B. F ( x ) =
C. F ( x ) =
D. F ( x ) =
+x+
−

+x+
+x+
+
+x+
−
2
x + 1 13
2
x +1
2
x +1 6
2
x +1 6
1
f ( x) =
π 
2
sin
x . Biết đồ thị của hàm sô F(x) đi qua điểm M  ;0 ÷
Câu 69: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
Câu 63:

∫x

2

1
dx bằng:
− 4x − 5

A. ln

x−5
+C
x +1

B. ln

B. 6ln

x−5
+C
x +1

C.

∫

∫

6

A. F ( x ) = − cot x + 3 B. F ( x ) = tan x + 3 C. F ( x ) = cot x + 3



D. F ( x ) = − cot x − 3

'
Câu 70: Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng f ( x ) = 2x + 1 và f ( 1) = 5

A. f ( x ) = x 2 + x − 3 B. f ( x ) = x 2 + x + 3 C. f ( x ) = x 2 + x − 1 D. f ( x ) = x 2 + x + 2
'
2
Câu 71: Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng f ( x ) = 2 − x và f ( 2 ) =

7
3

1
1
1
1
A. f ( x ) = x 3 + 2 x + 1 B. f ( x ) = − x 3 + 2 x + 1 C. f ( x ) = − x 3 + 2 x − 1 D. f ( x ) = x 3 − 2 x + 1
3
3
3
3
'
Câu 72: Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng f ( x ) = 4 x − x và f ( 4 ) = 0
8
1
40
3
1
40
8 3 1 2 40
3 3 1 2 40
A. f ( x ) = x x − x 2 +
B. f ( x ) = x x − x 2 −

C. f ( x ) =
D. f ( x ) =
x − x −
x − x −
3
2
3
8
2
3
3
2
3
8
2
3
2
Câu 73: Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng f ' ( x ) = 3 ( x + 2 ) và f ( 0 ) = 8
A. f ( x ) = ( x + 2 ) 3 B. f ( x ) = 3 ( x + 2 ) 3 C. f ( x ) = ( x + 2 ) 3 + 3 D. f ( x ) = ( x + 2 ) 3 − 3
'
Câu 74: Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng f ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) + 1 và f ( 0 ) = 1

A. f ( x ) =

x3
x3
x3
x3
− 1 B. f ( x ) = − + 1 C. f ( x ) = + 1 D. f ( x ) = − − 1
3

3
3
3

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

6


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

15 x f 4 = 9 f 1 = 4
Câu 75: Tìm hàm số y = f ( x ) biết rằng f ' ( x ) =
; ( )
và ( )
14
5 3 23
7 3 23
5 3 7
5 3 23
A. f ( x ) =
B. f ( x ) =
C. f ( x ) =
D. f ( x ) =
x +
x +
x +
x −

7
7
5
7
7
23
7
7
------------------------------------ Phương pháp nguyên hàm---------------------------------------------------Câu 76:

∫ x (1− x )

2 10

x

dx bằng:

Câu 77:

∫ ( x + 1)

Câu 78:

∫

Câu 79:

∫

Câu 80:

∫

Câu 81:

ex
∫ e x + 1 dx bằng:

Câu 82:

∫ x.e

x

2

dx bằng:

1− x )
A. − (

1− x )
B. (

2 11

+C

22

1− x )
C. − (

2 11

22

+C

11

A. ln x + 1 + x + 1 + C B. ln x + 1 + C

2 11

+C

D. ln x + 1 +

1
1
3x 2 + 2 + C
2 x 2 + 3 + C C. 2 x 2 + 3 + C
B.
2
2
2x + 3
3
3

2
2
3
2
2 x x 2 + 1dx bằng:
A.
B.
x2 + 1 + C
x 2 + 1 + C C. 3 x 2 + 1
3
2
3
3
4
2
8
8
3
x 3 x 2 + 1dx bằng: A. 4 x 2 + 1 + C B. 3 x 2 + 1 + C C. 3 x 2 + 1 + C D.
3
3
8
2

dx bằng:

A.

(

(

x 2 +1

dx bằng:

)

(

)

(

1 x2 +1
e +C
2

(

)

(

x
B. ln e + 1 + C

A. e x + x + C
A.

)

B. e x

2

+1

+C

C. 2e x

2

+1

C.

)

)

ex
+C
ex + x

+C

D.

( 2−e )

x 3

1
e

1
x

+C

2

1
+C
x +1

D. 2 2 x 2 + 3 + C
D.

(

)

33 2
x +1
2

(

)

3 2
x +1
8
D.

D. x 2 .e x

1
1
e
bằng:
A. e x + C
B. −e x + C
C. −e x + C
dx
∫ x2
ex
2
2
33
3
3
∫ 3 2 − ex dx
2 − ex ) + C
− 3 2 − ex ) + C
Câu 84:
bằng:

A. 2 (
B. 2 (
C. 2

+C

11

1
+C
x +1

C.

1
x

Câu 83:

1− x )
D. − (

2 22

+1

3

2

x2 + 1 + C

1
+C
ln e x + 1

+C

+C

D.

−

3
2

(2−e )

x 3

+C

e2 x
x
x
x
x
x
x

x
∫ e x + 1 dx bằng: A. (e + 1).ln e + 1 + C B. e .ln e + 1 + C C. e + 1 − ln e + 1 + C D. ln e + 1 + C
2
( 1 + ln x ) dx bằng: A. 1 ( 1 + ln x ) 3 + C B. 1 ( 1 − ln x ) 3 + C C. 1 ( x + ln x ) 3 + C D. 1 ( x − ln x ) 3 + C
Câu 86: ∫
3
3
3
3
x
Câu 85:

1
4
ln 4 x
dx
bằng:
A.
B. − 4 + C
−
+C
5
x.ln x
ln x
4
3
ln x
A.
( ln x ) 3 + C B. 2 ( ln x ) 3 + C
dx bằng:

2
x
ln x
11

dx bằng: A.  1 + ln x − 1 + ln x ÷+ C
23
x 1 + ln x

1

C. 2  1 + ln x − 1 + ln x ÷+ C
3


Câu 87:

∫

Câu 88:

∫

Câu 89:

∫

Câu 90:

∫ sin

Câu 91:

∫

Câu 92:

∫

C.

2
3

1
1
+ C D. −
+C
4
4ln x
4ln 4 x

( ln x ) 3 + C

D. 3

( ln x ) 3 + C

1


B.  1 + ln x − 1 + ln x ÷+ C
3

1

D. 2  1 + ln x + 1 + ln x ÷+ C
3


sin 6 x
cos6 x
cos6 x
+ C C. −
+ C D.
+C
6
6
6
sin x
−1
1
1
−1
dx bằng: A.
+C
+ C C.
+C
+C
B.
D.

5
4
4
4
cos x
4cos x
4cos x
4sin x
4sin 4 x
3sin x
3sin x
3cos x
+ C D. −
+C
dx bằng: A. 3ln ( 2 + sin x ) + C B. −3ln 2 + sin x + C C.
2
ln ( 2 + sin x )
( 2 + sin x )
2 + sin x
5

x.cosxdx bằng:

A.

sin 6 x
+C
6

C.

B. −

33
3
4
43
sin 4 x + C B. 4 sin 3 x + C
sin 4 x + C
C. 4 sin 3 x + C D.
4
4
3
3
sin3 x sin5 x
sin3 x sin5 x
sin 2 x sin3 x
sin3 x sin5 x
2
3
Câu 94: ∫ sin x cos xdx bằng: A.
+
+ C B.
−
+ C C.
−
+ C D.
−
+C
3

5
3
5
3
5
5
3
1
1
1
1
3
Câu 95: ∫ cos xdx bằng: A. sin x + sin 3 x + C B. sin x − sin 3 x + C C. sin x − sin 3 x + C D. sin x + sin 3 x + C
3
3
3
3
3
Câu 93: ∫ cosx sinxdx bằng: A.

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

7


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

2

1
2
1
5
Câu 96: ∫ sin xdx bằng: A. cos x − cos3 x + cos5 x + C
B. cos x − cos3 x + cos5 x + C
3
5
3
5
1
2
1
1
3
5
3
C. cos x − cos x + cos x + C
D. cos x + cos x + cos5 x + C
5
3
3
5
sin x − cos x
dx bằng:A. ln sin x − cosx + C B. − ln sin x − cosx + C C. ln sin x + cosx + C D. − ln sin x + cosx + C
Câu 97:
sin x + cosx
3sin x − 2cos x
dx bằng: A. ln 3cos x + 2sin x + C
Câu 98:

B. − ln 3cos x + 2sin x + C
3cos x + 2sin x
C. ln 3sin x − 2cos x + C
D. − ln 3sin x − 2cos x + C

∫

∫

Câu 99:
Câu 100:
Câu 101:
Câu 102:
Câu 103:

∫

cot x
dx bằng:
sin 2 x

∫(

cot 2 x
+C
2
2
tan x + tan 3 x dx bằng: A. − tan x + C
2
A. −

B.

)

x

x

∫
∫ ( 4x + 1) e dx bằng:
x − 2 x +3
dx
∫ ( x − 1) e
2

B. 2 tan 2 x + C

B. ( x + 3) e 3 + C

A. ( 4 x + 3) e x + C

C. −

tan 2 x
+C
2

D.

C. −2 tan 2 x + C
x

x

xe 3 dx bằng: A. 3 ( x − 3) e 3 + C
x

cot 2 x
+C
2

C.

1
( x − 3) e 3 + C
3

B. 3 ( x − 1) e x + C C. ( 4 x − 3) e x + C

tan 2 x
+C
2
tan 2 x
D.
+C
2
x
1
D. ( x + 3) e 3 + C

3
D. ( 4 x − 1) e x + C

1 3 2
 x2
 x2 − 2 x +3
1 2
1 2
+ C B. ( x − 1) e 3 x − x +3 x + C C. e x − 2 x + C D. e x − 2 x + 3 + C
bằng: A.  − x ÷e
2
2
 2


Câu 104:

∫ ( 2x-1) cosxdx

Câu 105:

∫ ( 2 − x ) sin3xdx bằng: A. ( x − 2) cos3x + 9 sin 3x + C

Câu 106:

∫ x ln ( 2 x ) dx bằng:

1
 x−2
C. 

÷cos3 x − sin 3 x + C
9
 3 
4
4
4 x ln ( 2 x ) − x
A.
+C
16
x 4 ln ( 2 x ) − x 4
C.
+C
16

Câu 107:

∫ x ln xdx bằng: A.

bằng: A. 2 x sin x − cos x + C B. 2 x sin x + cos x + C C. 2 x cos x + sin x + C D. x sin x + cos x + C
1

3

1
 x+2
B. 
÷cos3x + sin 3 x + C
9
 3 
1

 x−2
D. 
÷cos3 x + sin 3 x + C
9
 3 
4
4
4 x ln ( 2 x ) + x
B.
+C
16
x 4 ln ( 2 x ) + x 4
D.
+C
16

x2
x2
x2
x2
x 2 ln x x 2
x2
x2
B.
C.
D.
.ln x − + C
.ln x − + C
−
+ +C

.ln x + + C
2
4
4
2
4
2
2
4

∫

Câu 108: ln xdx bằng: A. x ln x + x + C B. x ln x − 1 + C C. x ln x − x + C D. x ln x + 1 + C
Câu 109:

∫ ( 1 − x ) ln xdx bằng:

Câu 110:

∫ ln ( x

2

2

)

− x dx bằng:

3x − x3

x3 − 9 x
3x − x3
x3 − 9 x
B.
ln x +
+C
ln x −
+C
3
9
3
9
3x + x3
x3 − 9 x
3x − x3
x3 + 9 x
C.
D.
ln x +
+C
ln x +
+C
3
9
3
9
2
2
A. x ln x − x + 2 x − ln x + 1 + C
B. x ln x − x − 2 x − ln x + 1 + C

A.

(

(

)

)

2
C. x ln x − x − 2 x + ln x + 1 + C

Câu 111:

11



x

∫ x sin x cos xdx bằng:A. 2  4 sin 2 x − 2 cos2 x ÷ + C
C.

11
x

 sin 2 x + cos2 x ÷+ C
24
2



(

(

)

)

2
D. x ln x − x + 2 x + ln x + 1 + C

11
x

cos2 x ÷+ C
22
4

11
x

D. −  sin 2 x + cos2 x ÷+ C
22
4

B. −  sin 2 x −

---------------------------------------- TÍCH PHÂN --------------------------------------------------2

4

1

Câu 112: ∫  x + ÷ dx bằng:
x
2
1

Câu 113:



∫  e
0

2x

+

A.

275
12

3 
÷dx bằng: A. 4, 08
x +1 

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

B.

305
16

B. 5,12

C.

196
15

C. 5, 27

D.

208
17

D. 6, 02

8


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU
5

Câu 114:

∫ ( 3x − 4 )
2
0

Câu 115:

4

dx bằng:

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
A.

1

∫ x − 2dx bằng:

A. ln

∫ x ( x + 1) dx bằng:

A.

−1
1

Câu 116:

3

0
2

Câu 117:

Câu 118:

∫

(x

2

∫ (e
0

e2 −1

∫

e −1
1

Câu 122:

A.

4
3

18927
20

B. ln

C.

2
3

x

C. ln

B.

9
20

C.

2
+ 3ln 2
3

B.

1
− ln 2

2

C.

A. 5

+ 1) e x dx bằng: A. 3ln 2

4
ln 2
5

B.

D.

5
7

11
15

C.

161019
15

D. 2 ln

3

+ ln 2
4

π − 2 2 +1
3

C. 3

B. 4

D.

20
27

D.

4
− 2 ln 2
3

3π
+ 2 −1
2
D. 2

C.

5
2

D.

7
3

1 1
−
e2 e

D. 2

B. 1

C.

2x
dx bằng:
+1

B. 4

C. 0

D. −2

B. ln 77 − ln 54

C. ln 58 − ln 42

D. ln

∫x

2x + 1
108
dx bằng: A. ln
+x−2
15

A. 2

2

Câu 124: Cho tích phân I =

π
3

sin x

∫ ( 1 + cos2 x )

2

3
7

D.

1
dx bằng: A. 3 ( e 2 − e )
x +1
2

10

960025
18

8
3

∫x

−1
12

Câu 123:

dx bằng:

1
dx bằng:
2x +1

∫
ln 2

Câu 121:

2

B.

2
π +2 2 −4
2π
2
x
x

bằng: A.
B.
−
+1
sin
−
c
os
dx
÷
∫0  2
4
3
2
2

0

Câu 120:

− 1)
x

1
π
4

4

Câu 119:

89720
27

155
12

t = cosx . Khẳng định nào sau đây sai:

dx và đặt

0

π
3

1

A. I = 1 sin x dx
4 ∫0 cos 2 x

1 dt
B. I = 4 ∫ t 4
1

C. I = −

1 −3
t
12

2

1

D. I =

1
2

7
12

2

∫

2

Câu 125: Cho tích phân I = 2 x x − 1dx . Khẳng định nào sau đây sai:
1

3

A. I =

∫

udu

0

2 3
C. I = u 2
3

2
27
B. I =
3

Câu 126: Nếu đặt t = 3 tan x + 1 thì tích phân I =

π
4

1
2
A). I = ∫ 2t dt

30

2

∫ ( 2sin
0

1

1 4
A. I = ∫ t dt
20

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

3

4
2
B. I = ∫ ( t − 1) dt
31

Câu 127: Nếu đặt t = cos2 x thì tích phân I =
1
2

B. I = 1 t 3 dt

2∫
0

0

6 tan x
dx trở thành:
3 tan x + 1

2

π
4

D. I ≥ 3 3

∫ cos x
0

1

3

C. I =

∫
1

2

2 2
( t − 1) dt

3

3

D. I =

4

∫ 3 t dt
2

0

4
x − 1) sin 4 xdx trở thành:
1

∫

5
C. I = t dt
0

D. I =

3
2

∫ t dt
4

0

9


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
e

Câu 128: Nếu đặt t = 3ln 2 x + 1 thì tích phân I =

∫x
1

2

3ln 2 x + 1

dx trở thành:

e2

4

1
A. I = ∫ dt
31

ln x

1 1
B. I = ∫ dt
21t

e

1 t −1
dt
D. I = ∫
41 t

2
C. I = ∫ tdt
31
1

∫

5
2
Câu 129: Nếu đặt u = 1 − x 2 thì tích phân I = x 1 − x dx trở thành:
0

1

∫ (

)

0

∫ (

B. I = u ( 1 − u ) du

∫

A. I = u 1 − u du
2

1

0

C. I = u 1 − u
2

0

1

)

2 2

0

du D. I = ∫ ( u 4 − u 2 ) du

1

1

Câu 130:

Câu 131:

∫ xe dx bằng:
x

A. e

B. e − 1

0
π
4

π −2
bằng: A.
xc
os2
xdx
∫
8

B.

0

3

Câu 132:

∫ ( x + 1) ln ( x + 1) dx bằng:

A. 6 ln 2 −

1

1
ln 2 − 1
2

0

Câu 133:

∫ x ln ( x
0

2

+ 1) dx bằng: A.

3
2

C. 1

D.

π −1
4

C. 3 −

B. 10 ln 2 +

16
5

C. 8ln 2 +
C. ln 2 −

B. ln 2 − 1

π
2

1
e −1
2
D. 2 −

7
2

1

2

π
2

D. 16 ln 2 −
D.

15
4

1
( ln 2 − 1)
2

e

e2 + 1
2e3 + 1
3e3 + 2
2e 2 + 3
B.
C.
D.
4
9
8
3
1
--------------------------Diện tích – Thể tích vật thể tròn xoay --------------Câu 135: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 5 x 4 + 3x 2 + 1 ,trục hoành,và các đường thẳng x = 0, x = 1 .

9
11
16
A. 3
B.
C.
D.
2
4
3
Câu 136: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 4 x 3 − 3 x + 1 ,trục hoành,hai đường thẳng x = −1, x = 1.
25
27
A.
B.
C. 2
D. 4
6
6
Câu 137: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x 3 − 3x 2 − 4 , trục hoành , trục tung, đường thẳng x = 3 .
5
21
A.
B.
C. 3
D.5
4
4
1 4
3

2
Câu 138: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x − x − , y = 0 .
2
2
5
16 3
16 2
16 3
A.
B.
C.
D.
4
3
5
5
3
Câu 139: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các h/số y = x − 3 x và y = x .
Câu 134:

2
∫ x ln xdx bằng: A.

8
9
C. 9
D.
3
2
Câu 140: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các h/số y = x 3 − 3 x , y = x và các đường thẳng x = 0; x = 3.

A. 8

A.

B.

41
2

B.

41
3

C.

41
5

D.

Câu 141: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
A. 5 − 4ln 2

B. 5 + 4ln 2

C. 4 − 5ln 2

41
4

3x + 2
, trục tung, truc hoành
x+2
D. 4 − 2ln 5

3x + 2
Câu 142: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
,tiệm cận ngang và các đường thẳng x = 0,x = 3.
x+2
A. 4ln

2
5

B. 4 + ln

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

5
2

C. 4ln

5
2

D. 4 − ln

5

2
10


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Câu 143: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ln x; y = 0; x = e.
e 2 + 2e + 1
e 2 − 2e + 1
e 2 + 2e − 1
e 2 − 2e − 1
B.
C.
D.
e
e
e
e
x
−x
Câu 144: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e ; y = e ; x = 1 .
A.

A.

1
2

B.

1
3

C.

1
4

D. 1

Câu 145: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos x; y = 0; x = −

π
;x =π
2

A. 3
B. 4
C. 5
D. 2
Câu 146: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = − x 2 + 4 x − 3; y = 4 x − 3; y = −2 x + 6
A.

9
2

B.

9
3

C.

9
4

D.

4
9

2
Câu 147: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x − 4 x + 3 ; y = x + 3.

109
6
109
109
B.
C.
D.
109
6
8
7
2
Câu 148: Hình (H) giới hạn bởi các đường y = x − 2 x; y = 0; x = −1; x = 2.
6

17
16
a/ Tính diện tích hình (H). A.
B.
C.
17
6
7
18
b/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi (H) xoay quanh trục Ox. A. π
5
Câu 149: Hình (H) giới hạn bởi các đường y = x 2 ; y = 3x.
9
9
9
a/ Tính diện tích hình (H). A.
B.
C.
5
4
7
b/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi (H) xoay quanh trục Ox.
136
163
126
162
π
π
π
π

A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
A.

7
16
17
π
B.
5

D.

D.

C.

5
π
18

D.

16

π
5

9
2

Câu 150: Diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành và đường thẳng y = x − 2
10
10
16
A.
B.
C.
D. 2
3
4
3
Câu 151: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 1 − x 2 , y = 0 quay quanh trục Ox.
13
16
15
14
π
π
π
B.
C. π D.
15
15
16

15
Câu 152: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos x, y = 0, x = 0, x = π quay quanh
A.

π2
π2
π2
π2
B.
C.
D.
5
4
3
2
Câu 1: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin x, y = 0, x = 0, x = π quay quanh
π2
π2
π2
π2
trục Ox.
A.
B.
C.
D.
2
4
3
4
π

Câu 153: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tan x, y = 0, x = 0, x = quay quanh
4
2
2
2
2
π
π
π
π
trục Ox.
A. π −
B. π −
C. π −
D. π −
5
4
3
2
2
Câu 154: Hình (H) giới hạn bởi các đường y = 2 1 − x và y = 2 ( 1 − x )
trục Ox.

A.

π
π
π
π
B. 2 −

C. − 1
D. + 1
2
2
2
2
b/ Tính thể tích của khối tròn xoay khi (H) xoay quanh trục Ox.
4
4
3
3
A. π
B. π
C. π
D. π
3
5
4
5
------------------------------------0o0----------------------------------------------a/ Tính diện tích hình (H). A. 2 −

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

11


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

HƯỚNG DẪN SỬ

DỤNG MÁY TÍNH CASIO

 Chỉnh máy:  sai số cực nhỏ 9 chữ số thập phân - Bấm: Shift – mod - 9
 Thông thường đơn vị rad - Bấm: Shift – mod - 4
1. Bài 1: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) :
cú pháp:

f ( A) −

d
( Fi ( x) )
dx

x= A

Trong đó:
 f ( A ) : gíá trị của f ( x ) tại x = A ( A là hằng số bất kỳ thuộc tập xác định và A lấy giá trị bé 0,1; 0,2,0,3…1;1,1 )

 Fi ( x ) : các kết quả nguyên hàm.

Ví dụ1:

∫

5 ( x2 + x )
2x + 1

dx; x > −

1
bằng
2

(

)

2x +1 + C

2
B. x − x + 1

(

)

2x +1 + C

2
D. x − x − 1

2
A. x + x + 1
2
C. x + x − 1

 Bước 1: Nhập:

(

5 A2 + A

)−d

(

2

(

)

2x +1 + C

(

)

2x +1 + C

W

)

( RCL – A ; Shìt ∫ X )

x + x + 1 2x + 1
x= A

dx
W
2A +1
 Bước 2: Gán x = A = 1 hoăc 0,1 ( bấmCALC → A) cho kết quả khác 0 ta loại ngay đáp án đó ⇒ Loại A
Thay Fi ( x ) bởi đáp án B và gán A như trên ta nhận kết quả khác 0 ⇒ Loại B

Thay Fi ( x ) bởi đáp án C và gán A như trên ta nhận kết quả bằng 0; chắc ăn kiểm tra thêm vài giá trị
của A như 0; 0,2; 0,5, 1.. ⇒ Chọn C. ( Không nên gán x = A giá trị quá lớn máy sẽ chữi đấy)

Ví dụ 2:

∫ x sin x cos xdx

11
x

 sin 2 x − cos2 x ÷+ C
24
2

11
x

C.  sin 2 x + cos2 x ÷+ C
24
2


bằng

A.

11
x

cos2 x ÷+ C
22
4

11
x

D. −  sin 2 x + cos2 x ÷+ C
22
4

B. −  sin 2 x −

d 1
x

sin 2 x − cos 2 x ÷

dx  8
4
 x= A

 A sin A cos A −

 Gán A = 0,1 Cho kết quả bằng 0 - kiểm tra vài giá trị khác như 0,2; 0,3; 0,5 ta nhận kq đều bằng 0

Ví dụ3:

⇒ Chọn A.

−2

∫ x ( 1 + ln x )



2

dx ( x > 0 )bằng

−2
A ( 1 + ln A )

2

−2
A ( 1 + ln A )

2

1 + ln x
+C
1 − ln x
ln x − 1
+C

C. F ( x ) =
1 + ln x

A. F ( x ) =

B. F ( x ) =
D. −

1 − ln x
+C
1 + ln x

1
2

−

d  1 + ln x 
gán A = 0,1 nhận kết quả khác 0 ⇒ loai đáp án A

÷
dx  1 − ln x  x = A

−

d  1 − ln x 
gán A = 0,1 nhận kết quả bằng 0 ⇒ chọn đáp án B

÷
dx  1 + ln x  x = A

A

Cú pháp:

Fi ( A ) − M − ∫ f ( x ) dx
x0

Bài 2: Tìm 1 nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) ,biết F ( x0 ) = M

Vi dụ 4: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

1
x 3 + 3x 2 + 3x − 1
, biết F(1) = .
2
3
x + 2x + 1

12


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU
x2
2
6
+x+
−
2

x + 1 13

A. F ( x ) =

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

B. F ( x ) =

x2
2
+x+
2
x +1

C. F ( x ) =

x2
2
13
+x+
+
2
x +1 6

D. F ( x ) =

x2
2
13
+x+

−
2
x +1 6

A

A2
2
6
x3 + 3x 2 + 3 x − 1
+
A
+
−
−

gán A = 0,1; 1 đều nhận kết quả khác 0 ⇒ loai đáp án A
2
A + 1 13
x2 + 2x + 1
1

∫

A

A2
2
13
x 3 + 3 x 2 + 3x − 1

+
A
+
−
−

gán A = 0,1; 1 nhận kết quả 0, kiểm tra thêm ⇒ Chọn đáp án D
2
2
A +1 6
x
+
2
x
+
1
1

∫

5
π
,thỏa F( ) = 3ln 2 .
5sin x + 3cos x + 3
2
x
x
x
B. F ( x ) = ln 5 tan + 3
C. F ( x ) = ln 5 tan − 3 + 2ln 2 D. F ( x ) = 3ln 5 tan + 3

2
2
2

Vi dụ 5: Tìm1nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
A. F ( x ) = 3ln 5 tan

x
−3
2

A



A
5
− 3 − 3ln 2 − ∫
dx
gán A = 0; 0,1 nhận kết quả khác 0 ⇒ loại đáp án A
2
π 5sin x + 3cos x + 3

3ln 5 tan

2

A

ln 5 tan

A
5
− 3 − 3ln 2 −
dx
2
5sin
x
+
3cos
x
+
3
π

∫



2
b

Bài toán 3: Tính tích phân:

∫ f ( x ) dx

gán A = 0; 0,1; 2 nhận kết quả 0 ⇒ Chọn đáp án B
b

Cú pháp:

a

∫ f ( x ) dx
a

( Trong các đáp án đều là số vô tỷ: dạng căn, số e, số π các em nên bấm máy ghi nhận lại các các kết quả trên )
5

∫ ( 3x − 4 )

Ví dụ 6:

4

dx bằng:

2
e

2
∫ x ln xdx bằng: A.

Ví dụ 7:

1

A.

89720

27

e2 + 1
4

B.

B.

18927
20

2e3 + 1
9

C.

960025
18

D.

D.

2e 2 + 3
3

3e3 + 2
8

C.

e +1
2e 3 + 1
3e3 + 2
≈ 2, 097264025 
≈ 4,574563716 
7, 782076346
4
9
8

2e 2 + 3
≈ 5,926037399
3

2



π
2

Ví dụ 8:

sin 2 x

∫

cos 2 x + 4sin 2 x

π

π
sin  x − ÷dx
4
4

I=∫
.
sin 2x + 2 ( 1 + sin x + cos x )
0
0

Ví dụ 9:

3
dx bằng: A. 2

π
4

Ví dụ 10:

∫
π sin

2

dx
x cot x

B.

3
4

C.



2
≈ 0, 666666667
3

4+3 2
4−3 2
≈ −0,060660172
4
4
A.
B.
A. 2

(

4

)

3 −1

(

B. 2

4

)

3 +1

C.

4

161019 53673
=
15
5

D.

2
5

4+3 2
3
C.

3 −1

D.

4

4 −3 2
3
D.

3 +1

6

Bài toán 4: Diện tích hình phẳng – Thể tích khối tròn xoay:
b

b

Cú pháp:

S=

∫ f ( x ) dx

V =π

∫ ( f ( x) )
a

∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx

a

a

b

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

S=

2

b

dx

V =π

∫ f1 ( x ) − f2 ( x ) dx
2

2

a

13


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Ví dụ 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
A.

9
4

B.

9
2

,
là
y = x2 − 2x y = x

13
4

C.

D.

7
4

2
 Phương trình HĐGĐ f1 ( x ) − f 2 ( x ) = 0 ⇔ x − 3x = 0 ⇔ x = 0; x = 3
3

∫x

S =

2

− 3x dx =

0

9
2

(

)

Ví dụ 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = e + 1 x , y = 1 + e x x là
( )
A. e +

1
2

e
B. + 1
2

C. e −

1
2

D.

(

e
−1
2

x = 0
 x =1

)

x
 Phương trình HĐGĐ f1 ( x ) − f 2 ( x ) = 0 ⇔ x e − e = 0 ⇔ 
1

∫ x( e

 S=

x

0

− e ) dx =

e
− 1 ≈ 0,359140914
2

Ví dụ 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 − 4 x + 3 , y = x + 3 là
A.

6
109

B.

109
6

C.

13
6

D.

26
3

x = 0
x = 5

2

 Phương trình HĐGĐ f1 ( x ) − f 2 ( x ) = 0 ⇔ x − 4 x + 3 = x + 3 ⇔ 
5

2
 S = ∫ x − 4 x + 3 − ( x + 3) dx =
0

109
≈ 18,16666667
6

Ví dụ 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

4
A. 2π −
3

3
B. 2π +
4

x2
y= 4−
4

8

∫

− 8

4−

4 2

4
C. 2π +
3

 Phương trình HĐGĐ f1 ( x ) − f 2 ( x ) = 0 ⇔
S =

2
và y = x .

4−

D. π +

4
3

x2
x2
x4 x2
=
⇔
+ −4 =0 ⇔ x = ± 8
4 4 2
32 4

x2
x2
4
−
dx = 2π + ≈ 7, 616518641
4 4 2
3

2
Ví dụ 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 1 − 1 − x 2 , y = x là

A.

2 π
−
3 2

B.

4 π
−
3 2

C.

π 4
−
2 3

D.

π 2
−
2 3

 x=0
 x = ±1

2
2
 Phương trình HĐGĐ: f1 ( x ) = f 2 ( x ) ⇔ 1 − 1 − x = x ⇔ 
1



S=

∫ 1−

1 − x − x dx = 0, 237462993
2

−1

2

chọn C

π 4


 − ≈ 0, 237462993 ÷
2 3


2
Ví dụ 15. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 x + 1 , y = x − 1 là

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

14


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU
A.

16
3

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

14
3
y2 −1
 y2 = 2x +1 ⇒ x =
2

17
3
y = x −1 ⇒ x = y +1

B.

C.

 Phương trình TĐGĐ: f1 ( y ) = f 2 ( y ) ⇔
3

 S=

∫

−1

x2 −1
16
− ( x + 1) dx =
2
3

D.

5
3

 y = −1
y2 −1
= y +1 ⇔ 
2
 y=3

chọn A

Ví dụ 16: Hình (H) giới hạn bởi các đường y = x 2 − 2 x; y = 0; x = −1; x = 2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi (H)
18
17
5
16
π
π
xoay quanh trục Ox. A. π
B.
C. π
D.
5
5
18
5
2

2
 V = π ∫ ( x − 2 x ) dx =
2

−1

18
π
5

chọn A

Ví dụ 17: Tính thể tích của khối tròn xoay khi (H) giới hạn bởi các đường y = 2 1 − x 2 và y = 2 ( 1 − x ) xoay quanh trục
4
4
3
3
Ox.
A. π
B. π
C. π
D. π
3
5
4
5

x = 0
 x =1

2
 Phương trình HĐGĐ: f1 ( x ) = f 2 ( x ) ⇔ 2 1 − x = 2 ( 1 − x ) ⇔ 

 V =π

∫ ( 2 1− x )
1

2

0

2

2
4
− ( 2 ( 1 − x ) ) dx = π
3

chọn A

Các em thực hành tiếp
Ví dụ 18: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 4 x − x 2 , y = 0 quay quanh trục Ox.
512
512
12
52
π
π
π
A.
B.
C. π D.
5
15
15
15
π
Ví dụ 19: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tan x, y = 0, x = 0, x = quay quanh
4

2
2
2
2
π
π
π
π
trục Ox.
A. π −
B. π −
C. π −
D. π −
5
4
3
2
Ví dụ 20: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin 2 x, y = 0, x = 0, x = π quay
3π 2
3π 2
3π 2
π2
B.
C.
D.
5
4
8
8
Ví dụ 20: Tính thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = x 2 ; y = 3 x. xoay quanh trục Ox

136
163
126
162
π
π
π
π
A.
B.
C.
D.
5
5
5
5
quanh trục Ox.

A.

-------------------------------------0O0----------------------------------------------

ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT – Tham khảo ( THPT chuyên LÊ HỒNG PHONG )
f ( x ) = 3x 2 + 4 x − 1 . Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của f ( x ) :
A. F ( x ) = x 3 + 2 x 2 − x + 4
B. G( x ) = x 3 + 2 x 2 − x
1
3
2
C. H( x ) = (3 x + 6 x − 3 x + 4)

D. P ( x) = − x 3 − 2 x 2 + x
3
Câu 2. Cho hàm số f ( x) = tan 2 x . Một nguyên hàm của f ( x ) là:
A. F( x) = tan x + 4
B. G ( x) = tan x + x
C. H ( x) = tan x − 2 x
D. P( x ) = tan x − x + 3
x
Câu 3. Cho hàm số f ( x) =
. Một nguyên hàm của f ( x ) là:
1 − x2
1
1
1 − x 2 + C D. P( x) = C −
1 − x2
A. F( x) = C − 1 − x 2
B. G ( x) = 1 − x 2 + C
C. H ( x) =
2
2
Câu 1. Cho hàm số

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

15


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

x
. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của f ( x) :
(1 + x 2 ) 2
−1
−1
6x2 + 5
6 x2 − 6
+
5
G
(
x
)
=
+
5
A. F ( x ) =
B.
C.
H
(
x
)
=
D.
P
(
x
)

=
2(1 + x 2 )
2(1 + x 2 )
2(1 + x 2 )
2(1 + x 2 )
Câu 5. Cho hàm số f ( x ) = x ln x . Một nguyên hàm của f ( x ) là:
Câu 4. . Cho hàm số

f ( x) =

x2
x2
x2
x2
(2 ln x − 3) B. G ( x) = (2ln x − 1) C. H ( x) = 2 ln x − 1 D. P( x) = (2 ln x − x )
4
4
4
4
1
x
Câu 6. Cho hàm số f ( x ) =
. Một nguyên hàm của f ( x) là: A. F( x ) = 2 tan
B. G ( x ) = ln(1 + sin x)
2
1 + sin x
ln(1 + sin x)
x π 
C. H ( x ) = 1 − cot  + ÷ D. P( x ) =
cos x

2 4
−8
2x + 3
Câu 7. H.s f ( x) =
là ng.hàm của hàm nào trong các hàm sau:A. F( x) =
B. G ( x ) = x + 2ln 2 x − 1
(2 x − 1) 2
2x −1
4
C. H ( x ) = x + 2 ln | 2 x + 1| + C
D. P( x) =
(2 x + 1) 2
A. F( x) =

4

1
1 
a

a
I = ∫ x+
− 2 ÷dx = với là phân số tối giản. Khi đó a − b = A.39 B. 31 C. 9 D. 140
b
b
x x 
1
1
a
b

c
x
x 2
+
+
Câu 9. Cho I = ∫ ( 3 − 2 ) dx =
. Khi đó a + b + c =
A. 17 B. 70 C. -3 D. 7
ln 3 ln 6 2 ln 2
0
Câu 8. Cho

ln 2

Câu 10. Cho I =

∫

e x − 1dx = a −

0
9

Câu 11. Cho I =

∫x

3

π

. Khi đó A. a > b
b

B. a < b

C. a = b

D. a.b = 1

1 − xdx . Đặt t = 3 1 − x , ta có :

0

1

∫

1

A. I = 3 (1 − t )t dt
3

B. I =

3

−2

3 3
∫ (1 − t )t dt

C. I =

−2

2

Câu 12. Chọn phát biểu sai: A.



2

3
2
∫ (1 − t )2t dt

∫

D. I = 3 (1 − t )t dt

1

3

3

C.

1

2

1

π
2

1

∫  1 + x + x

−2

2

0


+ 1÷dx = 0 B. ( 3 s inx − 3 cos x ) dt = 0
∫
+x

3

0

1
2

1− x

dx = 0
C. ∫ ln
1+ x
−1

π

D.

∫ sint dt = 0

−π

2

1

∫

Câu 13. Cho I = ln(2 x + 1)dx = a.ln 3 − b . Khi đó a.b =

A.

0

Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

[ a; b]

−3

2

B.

3
2

a

. Chọn khẳng định sai: A.

b

∫

f ( x)dx = 0

B.

a

C.

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx, ( c ∈ [ a; b ] )

Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

[ a; b] .Chọn phát biểu sai:

a

A.

∫

a

f ( x)dx = 0 nếu f ( x) là hàm số lẻ.

B.

−a

C.

∫

−a

π
2

π
2

0

0

∫ f (sin x)dx =∫ f (cos x)dx

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

D.

D.

D.

∫
a

b

c

c

a

a

b

−1
2
a

f (x) dx = −∫ f ( x)dx
b

∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx, ( c ∈ [ a; b ] )
a

f (x) dx = 2∫ f ( x)dx nếu f ( x ) là hàm số chẵn.
0

b

b

a

a

∫ f (2 x)dx =2∫ f ( x)dx

16

Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Câu 16. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục trên
b

công thức:

A. S =

∫

b

B. S =

f ( x)dx

a

∫

x = a , x = b được xác định bởi

b

∫

C. S = π

f ( x) dx

[ a; b] , trục Ox,

a

a

∫

D. S =

f 2 ( x )dx

a

f ( x) dx

b

−9
9
81π
9π
B.
C.
D.

y = x 2 − 2 x , y = x là A.
2
10
2
2
2
Câu 18. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 4 x + 4 , trục Ox, x = 0 , x = 3 khi quay
33π
33
quanh trục Ox là A.
B. 3
C.
D. 3π
5
5
Câu 19. Thể tích vật thể có đáy là đường tròn xác định bởi x 2 + y 2 = 1 , mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông là:
3
16
A. 5
B. 4
C. y =
D. y =
3
16
Câu 17. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

1

Câu 20. Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau: A.

1

∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx
0

B.

0

π
2

π
2

x

∫ sin 2 dx = 2 ∫ sin x dx
0

0

1

C.

∫ (1 + x)

1

x

dx = 0

D.

1

1

x −1
dx
Câu 21. Tìm phát biểu sai trong các phát biểu sau: A. ∫ ln(1 + x) dx > ∫
0
0 e −1
C.

∫e

−x

0

1

Câu 22. Cho

I =∫ x
0

(

)

B.

π
4

∫ sin
1

 1− x 
dx > ∫ 
÷ dx
1
+
x


0

D.

∫e

1

∫

Câu 25. Cho I = cos n xdx . Tìm phát biểu sai:
n

∫
0

0

I1 = 1

D.

I3 =

(

)

y = x , x = 0 ,và tiếp tuyến của (C) tại điểm có

3
5

B.

3

2
3

2
y = 1 − 1 − x 2 , y = x là A.

A.

dx > ∫ e − x dx

2
3
D. I = 2u u + 1 du

1

π
2

0

1

0

∫

Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hs

x dx < ∫ sin 2 x dx

0

1

C.

π
4

∫

2
3
C. I = 2u u + 1du

Câu 23 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số

2
2009

1

2

π
36

(1 + x)dx =

3
B. I = u u + 1du

0

B.

− x2

0

x3 + 1 dx . Đặt u = x , ta có A. I = ∫ 2u 2 u 3 + 1du

π
18

2

0

2

1

1
2

hoành độ bằng 1 khi quay quanh trục Oy là: A.

2017

−1

0

1

∫x

2
3

C.

1
36

2 π
4 π
π 4
π 2
B. −
C.
−
− D. −
3 2
3 2
2 3
2 3

I4 =

3

16

D.

I10 =

9.7.5.3π
10.8.6.4.4

--------------------------------0o0---------------------------------------------

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

17


Trường THPT VŨ ĐÌNH LIỆU

Giáo viên: Nguyễn Tấn Phong

Chương III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

18