RÈN LUYỆN CHO học SINH kỹ NĂNG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

A - ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong đề thi Đại học các khối A, B và D những năm gần đây, câu IV trong
đề thi là câu ở mức (điểm 7). Hầu hết các học sinh ở các trường THPT, nhất là
học sinh học ở các trường miền núi thường rất ngại câu này. Trong thực tế giảng
dạy tôi thấy, muốn cho học sinh đạt được điểm 7 trở lên trong các kỳ thi ĐH thì
phải hướng dẫn các em học tốt các nội dung trong câu IV. Một phần kiến thức rất
quan trọng trong phần này là: Tính thể tích khối đa diện. Với mong muốn các
học sinh của mình sẽ làm tốt câu IV trong các kỳ thi ĐH, tôi mạnh dạn đưa ra
sáng kinh nghiệm:“ RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG TÍNH THỂ
TÍCH KHỐI ĐA DIỆN”. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm 3 phần:
Phần I: Các kiến thức cơ bản cần nhớ.
Phần II: Kỹ năng phân tích đề, từ đó hình thành kỹ năng vẽ hình và tự giải
quyết vấn đề.
Phần III: Các ví dụ minh chứng và bài tập tự luyện.
Do khả năng còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên trong SKKN của
tơi có thể có những phần chưa hồn chỉnh. Rất mong được sự đóng góp q báu
của q thầy cơ.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

…………………………………………………………………………………………. 11


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
1/ Một học sinh khơng thể học hình học khơng gian tốt nếu các kiến thức về hình
học phẳng khơng tốt.
2/ Một học sinh khơng thể học hình học khơng gian tốt nếu khơng có kỹ năng
phân tích đề, khơng có kỹ năng vẽ hình và khả năng tự giải quyết vấn để.
……..
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1/ Thực trạng chung: Hầu hết các học sinh có cảm giác sợ hình và ngại học hình,
nhất là “hình học khơng gian”
2/ Thực trạng đối với giáo viên: Do đây là phần kiến thức khó dạy, học sinh lại
khơng muốn học, vì vậy một số giáo viên không mặn mà khi dạy phần kiến thức
này.
3/ Thực trạng đối với học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt khi gặp
phần kiến thức này và ln có cảm giác “sợ học hình khơng gian”. Vì vậy hầu
hết các em đều học chưa tốt phần kiến thức này.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN.
1/ Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất, cần thiết nhất của
hình học phẳng nhằm học tốt nội dung này.
Ví dụ như:
• Các cơng thức tính diện tích tam giác, tứ giác, đa giác.
• Định lí sin, định lí cơsin, cơng thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác,

…
• Các tính chất trong tam giác vng, trong tam giác đều, trong hình vng, trong

hình thoi, …
…………………………………………………………………………………………. 22


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

2/ Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về các khối đa diện, nhất
là các khối đa diện đặc biệt và kỹ năng vẽ các hình đó.
Ví dụ:
Khi nhắc đến “hình chóp tam giác đều” thì trong đầu chúng ta hiện lên
những tính chất gì? Cách vẽ hình như thế nào?
Khi nhắc đến “hình chóp tứ giác đều” thì trong đầu chúng ta hiện lên những
tính chất gì? Cách vẽ hình như thế nào?
…
3/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.
3.1/ Câu hỏi 1: Có sử dụng được trực tiếp cơng thức tính thể tích khơng?
(trong các đê thi ĐH, đối với bài tốn tính thể tích khối đa diện thì có đến 90%
bài tốn chỉ cần sau câu hỏi này học sinh đã thực hiện được)
*/ Ta hướng dẫn học sinh như sau:
A - Phải nhớ được cơng thức tính thể tích khối đa diện:
+/ Cơng thức tính thể tích khối chóp:

Trong đó:

- là diện tích mặt đáy;

- là chiều cao của hình chóp.

+/ Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ:
Trong đó:

- là diện tích mặt đáy;

- là chiều cao của khối lăng trụ.

Như vậy để làm được bài tốn theo cách này thì ta cần phải tính được 2 yếu
tố:
Một là: Với giả thiết bài cho ta phải tính được diện tích đáy
Hai là: Ta phải xác định được chính xác chiều cao của hình chóp, muốn vậy
ta cần phải xác định chính xác chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp.
…………………………………………………………………………………………. 33


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

B - Một số lưu ý khi xác định chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp:
 Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc các cạnh bên hợp với đáy

những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường trịn ngoại tiếp đa
giác đáy.
 Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân

đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
 Hình chóp có một mặt bên vng góc với đáy thì chân đường cao nằm trên

giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt đáy (là hình chiếu của đỉnh lên giao
tuyến đó).
 Hình chóp có hai cạnh bên kề nhau cùng vng góc với đáy thì đường cao

của nó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
...

C - Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1 Tính thể tích khối tứ diện đều

có cạnh bằng

.

*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 Yêu cầu từng học sinh đứng tại chỗ nêu lên những tính chất nổi bật của tứ

diện đều mà em nhìn thấy được.
(Giáo viên ghi lần lượt các tính chất đó của từng học sinh sau đó đưa ra kết
luận cho phần này rồi yêu cầu tất cả các học sinh ghi vào vở)
 Yêu cầu học sinh nêu lên cách vẽ một tứ diện đều và lên bảng thực hiện.

+/ Giáo viên nhấn mạnh lại những thao tác cơ bản nhất:
1. Vẽ đáy trước(nêu lên cách vẽ)
2. Xác định chân đường cao hạ từ đỉnh
3. Dựng đường cao(nêu lên cách dựng)
4. Vẽ các cạnh bên, hồn thiện hình.
 u cầu học sinh trả lời câu hỏi: Ta có thể áp dụng trực tiếp cơng thức

tính thể tích để tính thể tích khối tứ diện đều không?
…………………………………………………………………………………………. 44


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

 Yêu cầu học sinh chỉ ra đâu là đáy, đâu là chiều cao và cách tính các đại

lượng đó.
+/ Tính diện tích tam giác

+/ Tính chiều cao

theo nhiều cách:

A

bằng cách gắn
B

vào tam giác vng

D
G

M
C

+/ Ta tính được thể tích:

 Với hướng dẫn trên, giáo viên yêu cầu học sinh lên bảng thực hiện chi tiết lời

giải sau đó giáo viên yêu cầu các học sinh khác chấm điểm. Sau cùng là giáo
viên đưa ra kết luận.
Ví dụ 2

Tính thể tích khối chóp tam giác đều

có cạnh đáy bằng

trong các trường hợp sau:
a) Cạnh bên bằng

.

b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
c) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

.
.

 Với cách thực hiện như ví dụ 1 thì nhiều học sinh đã làm quen dần với

cách nghĩ, cách làm khi gặp bài tốn tính thể tích khối đa diện.
 Tiếp tục giáo viên hướng dẫn học sinh làm các ví dụ sau:

…………………………………………………………………………………………. 55


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

D – Bài tập:
Bài 1:

Tính thể tích khối chóp tam giác

, biết

trong các

trường hợp sau:
a) Tam giác

vng cân tại

, cạnh

và góc giữa

vng cân tại

, cạnh

và góc giữa mặt

vng cân tại

, mặt phẳng

với mặt đáy bằng

.
b) Tam giác

bằng

với mặt đáy

.

c) Tam giác

giác

có diện tích bằng

với mặt đáy bằng

và tam

.

Bài 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều

có cạnh đáy bằng

trong

các trường hợp sau:
a) Cạnh bên bằng

.

b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

c) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

.
.

Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều
góc

và tam giác

, mặt phẳng

tạo với đáy một

có diện tích bằng . Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 4:(Đại học khối A năm 2009)
Cho hình chóp

, đáy

là hình thang vng tại

. Góc giữa hai mặt phẳng
Gọi

là trung điểm của

góc với

và

. Biết hai mặt phẳng

. Tính thể tích khối chóp

và

và
bằng

;
.

cùng vng

.

…………………………………………………………………………………………. 66


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

Bài 5:(Đại học khối B năm 2009)
Cho hình lăng trụ tam giác
và

bằng

có

; tam giác

Hình chiếu vng góc của đỉnh
giác

. Góc giữa đường thẳng

vng tại

lên

và góc

bằng

.

trùng với trọng tâm của tam

. Tính thể tích khối chóp

theo

.

3.2/ Câu hỏi 2: Có thể bổ sung thêm hoặc chia nhỏ khối đa diện cần tính thể
tích thành nhiều khối đa diện đơn giản hơn được không?

A/ Mở đầu: Có một số khối đa diện nếu ta tính trực tiếp thể tích của nó thì sẽ
gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu chúng ta bổ sung thêm hoặc phân chia khối đa
diện đó thành nhiều khối đa diện thì việc tính thể tích lại đơn giản hơn. Đây là
một kỹ năng rất cần thiết đối với học sinh.
B/ Các ví dụ:
Ví dụ 1 Cho hình vng
góc với

cạnh

, các nửa đường thẳng

vng

và ở cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Lấy điểm
. Đặt

. Tính thể tích tứ diện

theo

.
 Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình, học sinh khác nhận xét, giáo viên đưa

ra kết luận cuối cùng.

x

y

N
M

C

D
I
A

B

…………………………………………………………………………………………. 77


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

 Yêu cầu học sinh nêu lên những hiểu biết của mình về tứ diện
 Yêu cầu học sinh chọn một mặt nào đó của tứ diện làm mặt đáy và áp

dụng cơng thức tính thể tích khối chóp.
(Với u cầu này thì học sinh gặp khó khăn)
Giáo viên gợi ý: Gọi

là trung điểm của

mối quan hệ giữa đường thẳng

, các em có nhận xét gì về

và

?

(Câu trả lời mong muốn:

)

 u cầu học sinh tính thể tích tứ diện

theo

.

 Yêu cầu học sinh tính thể tích tứ diện

theo

.

 Đáp số:

Với cách khai thác như trên, học sinh đã phần nào hình thành cho mình
cách suy nghĩ khi gặp bài tốn tính thể tích của khối đa diện là: Có thể phân
chia khối đa diện cần tính thể tích thành nhiều khối đa diện đơn giản hơn
được khơng?
Ví dụ 2 Cho tứ diện

có các cặp cạnh đối bằng nhau

Tính thể tích tứ diện

.
A

Hướng dẫn:
+/ Dựng tam giác

,

sao cho

lần lượt là trung điểm
của
D

P

R

+/
B

Suy ra

C
Q

…………………………………………………………………………………………. 88

Sáng kiến kinh nghiệm

+/

;

Tính thể tích khối đa diện

là trung điểm của

. Suy ra:

.

+/ Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được:
+/
C/ Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp
,

có tất cả các góc phẳng ở đỉnh

. Tính thể tích khối chóp

và

đều bằng

.

Đáp số:
Bài 2: Cho tứ diện

có

a/ Chứng minh rằng, nếu

là đoạn vng góc chung của
thì thể tích của tứ diện

b/ Chứng minh rằng, nếu góc giữa hai đường thẳng

tích của tứ diện

và

.

là:

và

bằng

thì thể

là:

3.3/ Câu hỏi 3: Có thể sử dụng cơng thức về tỉ lệ thể tích được khơng?

A/ Lí thuyết: Một số kiến thức cần nhớ:
1 Tỉ số diện tích:
a/ Cho tam giác

,

là điểm nằm giữa

và

. Khi đó ta có:
A
B’

B

C

…………………………………………………………………………………………. 99


Sáng kiến kinh nghiệm

b/ Cho tam giác
,
và . Khi đó ta có:

Tính thể tích khối đa diện

là điểm nằm giữa

và

,

là điểm nằm giữa
A
B’

C’

B

2

C

Tỉ số thể tích:

a/ Cho hình chóp tam giác

,

là một điểm bất kỳ nằm giữa

và

.

Khi đó ta có:

S

A’
C

A’

B

S

b/ Cho hình chóp tam giác
,
là một điểm bất kỳ nằm giữa
và ,
là một điểm bất kỳ nằm
giữa

và

. Khi đó ta có:

A’

A

B’

C

B

…………………………………………………………………………………………. 1010


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

c/ Cho hình chóp tam giác
,
là một điểm bất kỳ nằm giữa
và ,
là một điểm bất kỳ nằm
giữa và và
là một điểm bất
kỳ nằm giữa và .

S

A’
C’
B’

A

C

Khi đó ta có:
B

B/ Các ví dụ:
1/ Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh
Các cạnh bên
tạo với đáy một góc bằng
. Gọi là giao điểm của
với mặt
phẳng qua
và vng góc với
.
a/ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp
và
b/ Tính thể tích của khối chóp
.
S

Giáo viên yêu cầu học sinh:
*/ Yêu cầu học sinh lên bảng vẽ hình
D

*/ Tính tỉ số

C

A’
H

(kết quả mong muốn:

)

I

B

*/ Chỉ ra góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy (kết quả mong muốn: góc
)
*/ Tính
theo các yếu tố đã biết?
Kết quả mong muốn:
…………………………………………………………………………………………. 1111


Sáng kiến kinh nghiệm

*/ Vậy tỉ số

Tính thể tích khối đa diện

bằng bao nhiêu?

Kết quả mong muốn:

…………………………………………………………………………………………. 1212


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

B/ Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành.
là trung
điểm của
, mặt phẳng
chứa
và song song với
chia hình chóp
thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai hình đó?
Giáo viên hướng dẫn:
*/ Cơng thức tỉ lệ thể tích chỉ áp dụng được cho khối chóp tam giác.
*/ Gọi
Bài 2: Cho hình chóp

có đáy
là hình vng cạnh ,
. Mặt phẳng
qua và vng góc với
chia
khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vng tại
,
. Gọi
là trung điểm của đoạn thẳng
. là

giao điểm của

và

. Tính

theo .

Đáp số:
Bài 4: Cho tứ diện

có góc

. Tính

,

?

Đáp số:
3.4/ Câu hỏi 4: Có thể sử dụng phương pháp tọa độ được không?
A/ Mở đầu:
Trong đê thi Đại học hiện nay ít khi sử dụng được phương pháp này nhưng
chúng ta cần trang bị cho học sinh cách này vì đây là phần kiến thức khá bổ
ích trong các kỳ thi.
Để áp dụng được cách này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách chọn hệ
trục tọa độ thích hợp. Muốn vậy, học sinh phải nắm vững tính chất của các
hình khơng gian.
B/ Ví dụ: Cho hình chóp
điểm của

cắt
cắt

có đáy
tại
tại

là hình thoi,

. Gọi
. Tính thể tích khối chóp

là trung
.

*/ Giáo viên u cầu học sinh làm các công việc sau:

…………………………………………………………………………………………. 1313


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

1. Chọn hệ trục tọa độ
;

cùng hướng với

(kết quả mong muốn:
;

cùng hướng với

cùng hướng với

)

2. Chỉ ra tọa độ của các điểm có liêm quan:

z
S

3. Nêu cơng thức tính thể tích thể tích
của một tứ diện(biểu thức tọa độ).
N

M

C

D
I
A

B

y

x

4. Nêu lên cách tính thể tích khối chóp

.

Kết quả mong muốn:

5. Tính thể tích tứ diện:
Kết quả mong muốn:

6. Tính thể tích khối chóp
(Kết quả mong muốn:
*/ Giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm theo cách khác.
C/ Bài tập:
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật
có
a/ Tính thể tích tứ diện
b/ Gọi M là trung điểm của
. Tính thể tích khối chóp
Đáp số: a/

; b/

.
.

.

…………………………………………………………………………………………. 1414

Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng

có

. Gọi
là trung điểm của cạnh
Tính thể tich khối chóp
Đáp số:

,
.

.

Với cách làm trên tơi đã giảng dạy tại lớp 12A1 và 12CA4, còn tại hai lớp
12A2 và 12CA3 tôi dạy theo cách cũ. Tôi thấy, với cách hướng dẫn học sinh
cách suy nghĩ, cách tự đặt câu hỏi, tự trả lời những câu hỏi của mình trong q
trình làm một bài tốn nói chung và nhất là trong bài hình học sẽ làm cho học
sinh có cảm giác khơng sợ khi gặp bài tốn hình học tổng hợp. Với cách làm đó
Tơi thấy học sinh học hình học tổng hợp tốt hơn nhiều so với những lớp vẫn dạy
theo cách truyền thụ một chiều, học sinh làm nhiều rồi quen. Cụ thể như sau:
Qua hai lần kiểm tra đối chứng, thu được kết quả sau:
Lớp
12A1

12CA4
12A2
12CA3

Lần kiểm tra 1
Lần kiểm tra 2
Lần kiểm tra 1
Lần kiểm tra 2
Lần kiểm tra 1
Lần kiểm tra 2
Lần kiểm tra 1
Lần kiểm tra 2

Sĩ số
50
50
50
50

Giỏi

Khá

6
11
2
8
5
7
2

3

16
25
12
20
14
16
13
16

Trung
bình
24
13
26
18
23
22
25
26

Yếu

Kém

4
1
10
4

8
5
10
5

0
0
0
0
0
0
0
0

…………………………………………………………………………………………. 1515


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện
C. KẾT LUẬN

Như vậy trong thực tiễn dạy học Tôi thấy, việc hướng dẫn cho
học sinh cách suy nghĩ: Tự đặt câu hỏi - tự giải quyết vấn đề, Giáo viên
chỉ làm cố vấn trong quá trình học sinh thực hiện. Khi làm tốt được điều
này, Tơi thấy học sinh có tiến bộ rõ rệt trong tư duy nói chung và nhất là
trong tư duy hình học.
Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Cẩm Thuỷ 1, tôi được Nhà
trường giao cho giảng dạy 4 lớp: 12A1, 12A2, 12CA3 và 12CA4. Tôi đã
áp dụng tổ chức cho học sinh trong hai lớp 12A1 và 12CA4 học tập theo

cách trên. Sau quá trình giảng dạy trong năm học 2011 – 2012, tôi thấy
khả năng tư duy và giải quyết vấn đề của học sinh ở hai lớp 12A1 và
12CA4 được phát triển lên một bước. Cụ thể, sau hai bài kiểm tra cho 4
lớp với chất lượng đề như nhau tôi thấy hai lớp 12A1 và 12CA4 có kết
quả cao hơn hẳn so với hai lớp 12A2 và 12CA3, đặc biệt là khả năng giải
quyết những vấn đề khó trong hình học.
Trong chun đề này, khơng thể tránh khỏi mhững thiếu sót và hạn
chế. Rất mong được sự góp ý của quý bạn đọc, các thầy cô giáo, các bạn
đồng nghiệp và các em học sinh để chun đề này được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

…………………………………………………………………………………………. 1616


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Hình học 12 nâng cao
2. Bài tập hình học 12 nâng cao
3. SGV Hình học 12 nâng cao
4. Hình học 12
5. Bài tập hình học 12
6. SGV Hình học 12
7. Bộ đề thi Tự luận Toán học: Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy - Nguyễn Văn Thổ
8. Báo Toán học tuổi trẻ.
…

…………………………………………………………………………………………. 1717


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

Mục lục

: Giải quyết vấn đề
I.

Cơ sở lí luận của vấn đề

II. Thực trạng của vấn đề2
III. Giải pháp và tổ chức thực hiện2
1.

Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất, cần thiết nhất của hình
học phẳng2

2.

Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về khối đa diện, nhất
là các khối đa diện đặc biệt và kỹ năng vẽ các hình đó3

3.

Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi 3

3.1/

Câu hỏi 1: Có sử dụng được trực tiếp cơng thức tính thể tích khơng 3

3.2/

Câu hỏi 2: Có thể bổ sung thêm hoặc chia nhỏ khối đa diện cần tính
thể tích thành nhiều khối đa diện đơn giản hơn được khơng 7

3.3/

Câu hỏi 3: Có sử dụng cơng thức tỉ lệ thể tích được khơng 9

3.4/

Câu hỏi 4: Có sử dụng phương pháp toạ độ được khơng 12

…………………………………………………………………………………………. 1818


Sáng kiến kinh nghiệm

Tính thể tích khối đa diện

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ 1
***********************

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI

“RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN”

Họ và tên tác giả: Trịnh Ngọc Bình
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị cơng tác: Tổ Tốn - tin
SKKN: Mơn Tốn

Năm học 2011 - 2012
…………………………………………………………………………………………. 1919