De thi hoc sinh gioi Toan 12 De so 12

ĐỀ 12 – BẮC NINH 2012 - 2013
Câu 1.(5,0 điểm) Cho hàm số

y  x3  x 2  1  1

.

1
1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   biết tiếp tuyến này vng góc với đường
thẳng d có phương trình x  5 y  1 0 .
y  m  1 x  1
1
2. Tìm m để đường thẳng  có phương trình
cắt đồ thị hàm số   tại ba

điểm phân biệt

A  0;1 , B, C

, biết hai điểm B, C có hồnh độ lần lượt là x1 ; x2 thỏa mãn:

x13   m  2  x1
x23   m  2  x2

 1
x22  1
x12  1

.

Câu 2.(5,0 điểm)

2

2  sin x  cos x   1  2sin 2 x 
1  tan x
sin 3 x  sin 5 x
.

1. Giải phương trình:

 x  log 2 x log 2  2 x  y.2 x 
 x, y    .

2
2log
x

6log
y

1

x
log
x

3
y

3


0



2
2
2
2. Giải hệ phương trình: 
22  1
23  1 2 2
22014  1 2013 2013
0
1
S C2013 
.2.C2013 
.2 .C2013  ... 
.2 .C2013
2
3
2014
Câu 3.(2,0 điểm) Tính tổng:
.
Câu 4.(4,0 điểm)
A 1;1 B 3;2  C  7;10 
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm   , 
,
. Lập phương trình
đường thẳng  đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến đường thẳng  lớn nhất.
2

S : x 2  y 2   z  1 4
2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu  1 

 S 2  :  x  3

2

2

2

  y  1   z  1 25

. Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao tuyến
là một đường trịn. Tính bán kính đường trịn đó.
Câu 5.(3,0 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng 1. Gọi M , N là hai điểm thay đổi lần
SMN 
lượt thuộc cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng 
luôn vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Đặt
AM  x, AN  y . Chứng minh rằng x  y 3xy , từ đó tìm x, y để tam giác SMN có diện tích bé
nhất, lớn nhất.
Câu 6.(1,0 điểm)
2
2
2
3
3
3
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c a  b  c . Chứng minh rằng

1
a

8 1



1
b

8 1



1
c

8 1

1
.


------------------------Hết------------------------