Phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung véc tơ và tọa độ hình học 10

I. Phần thứ nhất: Đặt vấn đề.
Nghiên cứu vấn đề phát triển ngơn ngữ tốn học của học sinh trong q trình
học tập mơn tốn là một u cầu cấp thiết và đúng đắn. Điều này được chứng
minh dựa trên những lý do sau:
- Đổi mới trong giáo dục đã và đang được toàn xã hội quan tâm, đặc biệt giai
đoạn hiện nay. Trong đó, vấn đề đổi mới nội dung và phương pháp dạy học rất
được chú trọng. Với mơn tốn lớp 10, trong lần thay sách gần đây (năm 2006),
sách giáo khoa (cả đại số và hình học) đã có sự cải biên rõ rệt. Các hoạt động
nhằm phát triển ngơn ngữ tốn học được tăng cường và nêu lên trong mục tiêu
dạy học chứng tỏ đã có sự thay đổi cách tiếp cận ngơn ngữ tốn học trong nội
dung và phương pháp dạy học.
- Vấn đề ngôn ngữ nói chung và ngơn ngữ tốn học nói riêng đã được nhiều
nhà giáo dục trong và ngoài nước quan tâm và cho rằng, Tốn học khơng chỉ là một
hệ thống nào đó các sự kiện và phương pháp mà trước hết phải là ngôn ngữ để mô
tả các sự kiện và phương pháp trong các khoa học khác nhau và trong hoạt động
thực tiễn , giải quyết đúng đắn mối quan hệ giữa nội dung tư tưởng toán học và
hình thức ngơn ngữ tốn học là một cơ sở phương pháp luận quan trọng của giáo
dục học.... Chứng tỏ trong dạy học Tốn, ngơn ngữ tốn học có vị trí quan trọng và
rất cần được quan tâm.
- Qua nghiên cứu chủ đề vectơ, toạ độ ở hình học 10 theo hướng tiếp cận
ngơn ngữ tốn học tơi thấy, vectơ, toạ độ đã tạo nên bước phát triển đáng kể trong
tốn học. Nhờ các cơng cụ này mà nhiều sự kiện tốn học đặc biệt là hình học đã
được trình bày và chứng minh gọn gàng hơn. Hơn nữa học sinh cịn có thêm hai
phương pháp giải tốn quan trọng và chủ yếu là phương pháp vectơ (PPVT) và
phương pháp toạ độ (PPTĐ). Với mỗi học sinh, nắm vững hai phương pháp này là
nắm “mã” giải tốn hình học mới, loại ngơn ngữ mới. Những bài tốn hình học
từng được diễn đạt bằng ngơn ngữ hình học tổng hợp, sau khi “phiên dịch” sang
ngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ toạ độ sẽ chuyển thành bài toán đại số thuần tuý, tận
dụng được những công cụ của đại số để giải. Nghĩa là khả năng sử dụng ngôn ngữ
1

toán học của học sinh đã nâng lên một bước so với trước đó. Điều này địi hỏi trong
dạy học hình học 10, giáo viên phải có những ngun tắc và biện pháp sư phạm
hợp lí để phát triển ngơn ngữ tốn học cho học sinh.
Do đó,tơi lựa chọn nghiên cứu và viết sáng kiến kinh nghiệm : “Phát triển
ngôn ngữ tốn học cho học sinh thơng qua dạy học nội dung véc tơ và tọa
độ- Hình học 10”.
II. Phần thứ 2: Nội dung
1. Cơ sở khoa học để đề xuất sáng kiến kinh nghiệm.
Trong dạy và học tốn, có ba thứ ngơn ngữ có tác động đến nhận thức của học
sinh. Đó là ngơn ngữ với các thuật ngữ (phản ánh các khái niệm tốn học), ngơn
ngữ kí hiệu, ngôn ngữ tự nhiên (ngôn ngữ thường ngày, với chúng ta là Tiếng
Việt). Ba thứ ngôn ngữ này khác nhau nhưng khơng tách biệt nên gây ra khơng ít
khó khăn cho học sinh khi học và nghiên cứu toán học. Trong ba thứ ngơn ngữ
đó, tốn học sử dụng hai thứ trên, đó là ngơn ngữ đặc trưng của nó, cịn gọi là
ngơn ngữ tốn học . Ngơn ngữ tốn học là kết quả của việc hồn thiện ngơn ngữ
tự nhiên (NNTN) theo ba khuynh hướng khác nhau:
i)

Loại bỏ sự cồng kềnh,

ii)

Tính đơn trị,

iii) Mở rộng khả năng biểu thị.
Ngơn ngữ tốn học, khác với NNTN, được gọi là ngơn ngữ kí hiệu. Mặc dù
chính ngơn ngữ tốn học cũng sử dụng các kí hiệu xác định - các chữ cái và dấu
để xây dựng các biểu thức ngôn ngữ (từ và câu). Cách gọi này có ý nghĩa rõ ràng
vì việc sử dụng kí hiệu trong ngơn ngữ tốn học và NNTN có sự khác nhau căn

bản. Ngơn ngữ tốn học (theo nghĩa hẹp) là ngơn ngữ xây dựng trên hệ thống các
kí hiệu tốn học. Ngơn ngữ tốn học (theo nghĩa rộng) bao gồm ngơn ngữ tốn học
theo nghĩa hẹp và các thuật ngữ tốn học, hình vẽ, mơ hình, biểu đồ, đồ thị, … có
tính chất quy ước nhằm diễn đạt các nội dung toán học được chính xác, logic và
ngắn gọn.

2


Ngơn ngữ tốn học khắc phục được các nhược điểm thường gây khó khăn cho
học sinh của NNTN như: sự thiếu cơ đọng, nhiều khi khơng chính xác khi diễn
đạt một vấn đề tổng quát nào đó. Chẳng hạn, phép tính “1 + 2 = 3” nếu diễn đạt
bằng NNTN sẽ rườm rà hơn: “một thêm hai được ba” hoặc “một cộng hai bằng
ba”. ..
Trong quá trình dạy học chủ đề vectơ và toạ độ ở chương trình hình học 10, nếu
tăng cường hợp lý các hoạt động ngôn ngữ tốn học thì sẽ góp phần nâng cao kết quả
học tập của học sinh.
2.Nội dung cụ thể của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.Bài tốn sư phạm về ngơn ngữ tốn học trong dạy học mơn tốn ở trường phổ
thơng
Trong dạy học tốn trường phổ thơng, cả hai cách tiếp cận để nghiên cứu
ngơn ngữ tốn học là theo phương diện ngữ nghĩa và theo phương diện cú pháp đều
quan trọng và có ý nghĩa riêng. Nếu chỉ giới hạn ở phương diện ngữ nghĩa thì học
sinh sẽ khơng học được những cơng cụ tốn học hình thức và do đó khơng giải được
các bài tốn bằng cơng cụ tốn học. Nếu chỉ giới hạn ở phương diện cú pháp thì học
sinh sẽ không hiểu ý nghĩa của các biểu thức của ngơn ngữ tốn học và khơng thể
phiên dịch được bài tốn nảy sinh từ bên ngồi tốn học thành bài tốn trong tốn
học và do đó kiến thức của học sinh sẽ chỉ mang tính hình thức và khơng có khả
năng vận dung.
Qua theo dõi thực tế học tập toán học nói chung và việc sử dụng ngơn ngữ

tốn học nói riêng của học sinh, có thể thấy cịn tồn tại một số vấn đề sau:
 Học sinh rất khó khăn khi phiên dịch các bài toán trong NNTN hoặc khoa
học khác sang ngơn ngữ tốn học và ngược lại.
Chẳng hạn, đa số học sinh lúng túng khi giải bài tốn sau:
Cho hai lực và cùng có điểm đặt tại O. Tìm cường độ lực tổng hợp của chúng
trong trường hợp và đều có cường độ là 100 N, góc hợp bởi và bằng 1200.
O

100N
1200

100N

Hình 33


Bài tốn này nếu phát biểu bằng ngơn ngữ vectơ chỉ đơn giản là: Cho hai
vectơ có độ dài bằng nhau và bằng 100 (đv độ dài), tạo với nhau một góc 120 0
(hình 3). Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ đó.
 Học sinh nắm chưa vững chắc phương diện cú pháp của ngơn ngữ tốn
học.
Sai lầm thường thấy ở học sinh khi đọc các biểu thức đại số hay khi biến đổi
các biểu thức đại số. Chẳng hạn:

Hoặc khi trình bày lời giải một bài tốn thì diễn đạt thiếu trong sáng, thậm
chí chưa chính xác ngay cả khi đã hiểu bài.
 Về phương diện ngữ nghĩa, khả năng nắm vững các thuật ngữ và kí hiệu
tốn học của nhiều học sinh còn hạn chế, mắc nhiều nhược điểm.
Chẳng hạn: khi giải phương trình, học sinh thường sử dụng các phép biến đổi
hoặc một cách tuỳ tiện; dùng những kí hiệu tốn học để viết tắt những câu trong

ngơn ngữ thơng thường; khơng hiểu chính xác các liên từ “khi”, “ khi chỉ khi ”
nên sử dụng tuỳ tiện trong trình bày bài tốn,…..
Ngồi những ngun nhân từ phía học sinh như: thiếu tập trung khi học bài trên
lớp; khơng tích cực, tự giác, chủ động học tập để tích luỹ tri thức, rèn luyện kĩ
năng….Khả năng sử dụng ngơn ngữ tốn học của học sinh cịn hạn chế vì một số lí
do sau:
 Do sự kết hợp không đúng đắn các cách tiếp cận theo phương diện ngữ
nghĩa và theo phương diện cú pháp trong truyền thống dạy toán dẫn tới học sinh
chỉ hiểu tri thức tốn học một cách hình thức.
Chẳng hạn, việc dạy học các yếu tố hình học giải tích (HHGT) thường bộc lộ
nhược điểm là không cân đối giữa hai phương diện nội dung và hình thức, giữa
4


cái cụ thể và trừu tượng, thể hiện ở việc nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thức
hình thức trong hình học giải tích nhưng khơng hiểu đầy đủ ý nghĩa, bản chất
hình học của nó; từ đó vận dụng chúng một cách máy móc, hoặc khơng biết vận
dụng chúng trong các tình huống cụ thể.
 Chú ý khơng đầy đủ trong dạy học ngữ nghĩa của ngôn ngữ tốn học nên
đơi khi giáo viên đã tách rời hình thức với nội dung, hay tách rời công thức và kí
hiệu của ngơn ngữ tốn học với nội dung tốn học nằm ngồi ngơn ngữ.
Chẳng hạn khi giải phương trình: (*), nhiều học sinh chỉ máy móc biến đổi (*)
hoặc xét hai trường hợp để phá giá trị tuyệt đối (tức là thành thạo về cú pháp) mà
không hiểu tại sao có phép biến đổi đó và các phép biến đổi đã đảm bảo tương
đương chưa. Muốn khắc phục nhược điểm trên, giáo viên cần giúp học sinh thấy
được nguyên nhân các biến đổi là do khái niệm giá trị tuyệt đối (tức là do mặt
ngữ nghĩa của kí hiệu giá trị tuyệt đối): ,….
 Nhiều khi giáo viên quá chú trọng khâu vận dụng kiến thức trong khi học sinh chưa
hiểu đầy đủ bản chất của kiến thức đó. Do đó khi được đặt trong một tình huống cần sáng
tạo, hoặc qn một thuật tốn, cơng thức, học sinh rất lúng túng không biết làm thế nào để

xây dựng lại thuật tốn, cơng thức đó. Chẳng hạn, các cơng thức tính độ dài đoạn thẳng,
góc, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, … ở hình học 10 có thể dễ dàng xây
dựng nhờ kiến thức về vectơ, toạ độ kết hợp với các quy tắc đại số.
Do đó, để phần nào khắc phục những tồn tại trên, địi hỏi người giáo viên trước
hết phải dạy tốt ngơn ngữ toán học. Khi cung cấp một tri thức mới cho học sinh, kể
cả khi xây dựng nội dung lí thuyết cũng như trong lúc giải bài tập, chúng ta cần chú ý:
- Kết hợp hợp lí các cách tiếp cận ngơn ngữ tốn học (ở đây tơI muốn đề cập
đến là ngôn ngữ vectơ và toạ độ) theo hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp
trong suốt quá trình dạy học.
- Coi trọng mặt cú pháp của ngôn ngữ tốn học khi học sinh được học một
cơng cụ mới. Nếu có điều kiện cần dạy học sinh phân biệt những cách thức cơ
bản để thiết lập ngơn ngữ tốn học như từ và câu trong ngôn ngữ tự nhiên.

5


2.2. Một số nguyên tắc và biện pháp sư phạm phát triển NNTH trong dạy
học hình học 10.
2.2.1. Một số nguyên tắc phát triển NNTH trong hình học 10
Nguyên tắc 1: Phát triển NNTH cho học sinh trong dạy học hình học 10 giúp
học sinh học hình học tốt hơn.
Việc giảng dạy hình học 10 có mục tiêu quan trọng là giáo viên phải trang bị
đầy đủ kiến thức, kĩ năng để học sinh có thể thao tác, tính tốn trên vectơ, toạ độ;
hơn nữa họ phải thuần thục các công cụ này tới mức biết sử dụng vectơ, toạ độ
như là ngơn ngữ để trình bày các nội dung toán học khác. Do sự phát triển trong
sử dụng NNTH đó giúp học sinh học tốt hình học hơn, các em có thêm phương
pháp nghiên cứu hình học khác ngồi những phương pháp đã biết.
Nguyên tắc 2: Dạy học NNTH ở hình học 10 cần làm cho học sinh biết mơ tả
chính xác nội dung tốn học liên quan đến vectơ, toạ độ và dùng những kiến thức
đó diễn đạt các sự kiện toán học đã biết khác

Đây là nguyên tắc nhằm trả lời câu hỏi, trong hình học 10 cần phát triển
NNTH nào cho học sinh. Khi học hình học 10, địi hỏi học sinh khơng chỉ biết mơ
tả chính xác các khái niệm, tính chất liên quan đến vectơ, toạ độ, sau đó tự trình
bày được các bài tốn mà cịn phải biết dùng ngơn ngữ vectơ, ngơn ngữ toạ độ
trình bày nội dung tốn học khác.
Ngun tắc 3: Thơng qua các hoạt động tốn học để phát triển NNTH cho HS
Trong dạy học toán, đặc biệt là dạy học hình học 10, cần thơng qua hoạt động
tốn học (hoạt động nhận dạng thể hiện, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động
trí tuệ phổ biến, hoạt động trí tuệ chung, hoạt động ngơn ngữ) để hình thành, rèn
luyện và phát triển NNTH cho học sinh.
2.2..2 Một số biện pháp phát triển NNTH trong hình học 10
Nếu các ngun tắc trên, có thể cịn chưa đủ, nhưng đều là các yêu cầu hướng
vào người học thì các biện pháp thực hiện lại dành chủ yếu cho người dạy như là
người tổ chức quá trình rèn luyện và phát triển ngơn ngữ tốn học cho học sinh.
Các biện pháp cụ thể là:
Biện pháp thứ nhất: giáo viên sử dụng ngơn ngữ, kể cả NNTN và NNTH chính
xác và đúng lúc.

6


Khi diễn đạt nội dung toán học, dẫn dắt để học sinh tiếp cận khái niệm hay
trình bày bài, giáo viên khơng được tuỳ tiện sử dụng thuật ngữ, kí hiệu.
Biện pháp thứ hai: giáo viên cân đối hợp lí hai phương diện ngữ nghĩa và cú
pháp của NNTH trong quá trình dạy học hình học 10
Cần kết hợp hợp lí hai phương pháp tiếp cận ngữ nghĩa và cú pháp khi nghiên
cứu về NNTH. Tức là, trong quá trình dạy học toán, cần quan tâm một cách ưu
tiên đối với mặt ngữ nghĩa của NNTH và sử dụng cú pháp của NNTH khi cần xác
định thuật toán.
Biện pháp thứ ba: giáo viên tổ chức cho học sinh dùng các hình thức ngơn ngữ

khác nhau trong học tập tốn.
u cầu giáo viên tổ chức cho học sinh luyện tập ngôn ngữ tốn học thường
xun dưới các hình thức khác nhau như bằng lời nói hoặc chữ viết, hơn nữa, cần
thơng qua việc huy động nhiều cơng cụ nghiên cứu hình học (phương pháp
HHTH, vectơ, toạ độ) để phát triển NNTH cho học sinh.
Biện pháp thứ tư: giáo viên bổ sung câu hỏi bài tập, các chỉ dẫn sư phạm có tính
ngơn ngữ (nhưng khơng thay đổi bản chất nội dung tốn học) trong giờ dạy tốn.
Thơng qua các chỉ dẫn, các câu hỏi có tính ngơn ngữ; người thầy khơng chỉ
truyền đạt cho học sinh tri thức, cách suy nghĩ mà cịn phát triển ở họ khả năng sử
dụng ngơn ngữ toán học. Các câu hỏi, chỉ dẫn cần đảm bảo ba yêu cầu: thích hợp
với học sinh; tính logic, hệ thống; tôn trọng thời gian suy nghĩ của học sinh.
Biện pháp thứ năm: coi trọng việc phiên dịch giữa các hình thức ngơn ngữ.
Ngay sau khi dạy học các khái niệm, nhằm củng cố khái niệm và giúp học sinh
có kĩ năng vận dụng kiến thức đó trong giải toán sau này, giáo viên cho học sinh
lập những bảng “từ điển” chuyển đổi giữa các ngôn ngữ HHTH, vectơ, toạ độ.
Làm các bài toán vận dụng các kết quả đó, có dịch xi, dịch ngược giữa các
ngơn ngữ, qua đó phát triển NNTH cho học sinh.
Biện pháp thứ sáu: giáo viên tạo các dạng tương tác trong giờ học toán.
Trong giờ học toán, giáo viên cần tạo ra một môi trường hoạt động ngôn ngữ
đa dạng như giữa học sinh với giáo viên, giữa học sinh với học sinh, và giữa học
sinh với chính mình. Qua các hoạt động đó, học sinh sẽ tích luỹ tri thức, rèn luyện
và phát triển ngôn ngữ.

7


2.3 Phát triển ngôn ngữ trong dạy học vectơ, toạ độ ở hình học 10
2.3.1 Hoạt động ngơn ngữ trong dạy học khái niệm vectơ, toạ độ
a) Dạy học khái niệm vectơ
Hình học lớp 10 cung cấp cho học sinh một khái niệm mới là vectơ, sau đó

trang bị các phép toán về vectơ như tổng của hai vectơ, hiệu của hai vectơ, tích
của vectơ với một số, tích vơ hướng của hai vectơ và sử dụng các phép toán đó
vào giải tốn. Dạy học khái niệm vectơ cần chú ý một số điểm sau:
- Chú ý ngay từ đầu tới mặt ngữ nghĩa của khái niệm, quan tâm hợp lí tới mặt cú
pháp; bởi đây là những kiến thức mở đầu, rất cơ bản (theo nguyên tắc thứ hai,
biện pháp thứ hai). Trong định nghĩa phép toán, cần cho học sinh thấy phép cộng
hai vectơ, phép trừ hai vectơ và phép nhân vectơ với một số xuất phát từ định
nghĩa có tính chất kiến thiết. Do đó phải chú ý tới bản chất của các kí hiệu, phân
biệt nó với các kí hiệu về phép tốn trên tập số.
Ví dụ 1.
Khi dạy học bài: Hiệu của hai vectơ. Khái niệm vectơ đối được xây dựng theo
lý thuyết không gian vectơ:
Nếu tổng của hai vectơ và là vectơ - không, thì ta nói là vectơ đối của
vectơ , hoặc vectơ là vectơ đối của vectơ .
Vectơ đối của vectơ được kí hiệu là -.
Cách định nghĩa này thuận lợi cho việc chứng minh mọi vectơ cho trước đều
có vectơ đối, tính duy nhất của vectơ đối, nhưng bước đầu có thể gây khó khăn
cho học sinh trong việc dựng vectơ đối của một vectơ. Đòi hỏi giáo viên phải đưa
ra một quan niệm hình học về vectơ đối qua ví dụ cụ thể, chẳng hạn:
“Cho đoạn thẳng AB thì vectơ đối của vectơ là vectơ nào?”
hoặc “Nếu O là trung điểm của đoạn thẳng AB thì vectơ đối của vectơ là vectơ
nào?”
Sau đó, khi định nghĩa hiệu hai vectơ, phân biệt cho học sinh hai dấu “-” đứng
trước vectơ ở hai vế của định nghĩa - = + (- ) có bản chất hồn tồn khác nhau.
Trong khi dấu “-” ở vế trái chỉ phép trừ hai vectơ, một khái niệm cần định nghĩa,

8


thì dấu “-” ở vế phải biểu thị phép lấy vectơ đối của một vectơ, một khái niệm đã

biết.
Ví dụ 2.
Sau khi hình thành định nghĩa tích của một vectơ với một số, cho học sinh
rút ra nhận xét sau: 1. = , (- 1).= Mới nhìn học sinh sẽ ngộ nhận các tính chất trên giống tính chất của phép
nhân hai số thực nên là hiển nhiên, nhưng khi phải chứng minh học sinh thường
rất lúng túng. Đòi hỏi phải hiểu khái niệm mới có câu trả lời.
- Cũng như dạy học các khái niệm khác, cần thông qua các hoạt động ngôn ngữ
để phát triển năng lực nhận thức của học sinh và hơn nữa giáo viên đánh giá đúng
học sinh của mình .
Ví dụ 3.
Khi dạy học tiết 1, 2 bài “Các định nghĩa” sau khi cho học sinh tiếp cận kiến thức,
hình thành định nghĩa; để củng cố định nghĩa chúng ta cho học sinh:
Phát biểu lại định nghĩa vectơ bằng lời lẽ của mình?



Yêu cầu tối thiểu cần diễn đạt được là: Vectơ


là đoạn thẳng có hướng;



có điểm đầu, điểm cuối.

B

A
Hình 5

Kí hiệu (khi biết điểm đầu, điểm cuối)
(khi không quan tâm đến điểm đầu, điểm cuối).
- Lựa chọn và cung cấp các bài tập có tác dụng rèn luyện, phát triển ngơn ngữ
vectơ cho học sinh.
Ví dụ 4.
Nhằm củng cố các thuật ngữ, kí hiệu về vectơ như “cùng hướng”, “ngược
hướng”, “độ dài vectơ”, có thể cho học sinh làm bài sau .
Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB, các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) và cùng hướng;

b) và cùng hướng;

c) và ngược hướng;

d) ;

e) ;

f) .

9


Ví dụ 5. Nhằm củng cố, kiểm tra khái niệm tích của một vectơ với một số và kĩ
năng chuyển đổi ngôn ngữ của học sinh, giáo viên đưa ra bài toán:
Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó
thẳng hàng là: a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

b) Dạy học khái niệm toạ độ
-

Nhiệm vụ của dạy học khái niệm toạ độ là cung cấp cho học sinh các biểu

thức toạ độ để biểu thị các sự kiện hình học, chẳng hạn: điều kiện để điểm thuộc
đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường,… Khi dạy học khái niệm toạ độ ở
hình học 10, ngồi những nguyên tắc và biện pháp nêu trên, còn cần lưu ý một số
điểm sau:
 Chỉ dạy cho học sinh những khái niệm cơ bản nhất;
 Một số kiến thức không địi hỏi trình bày q chặt chẽ, chính xác và
chứng minh một cách đầy đủ;
 Về phương pháp giảng dạy: nên dùng nhiều hình vẽ, bảng, biểu để mơ tả
rõ ràng và trực quan các đối tượng và sự kiện hình học.
Ví dụ 1. Khi dạy học các khái niệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh hiểu
đúng (mặt ngữ nghĩa) các khái niệm đó, đồng thời phát triển ngơn ngữ tốn học,
có thể cho học sinh lập bảng liệt kê một số khái niệm được diễn đạt dưới những
hình thức ngơn ngữ khác nhau. Chẳng hạn:

Ngơn ngữ Hình

Ngơn ngữ vectơ

Ngơn ngữ toạ độ

học tổng hợp
Điểm M

Điểm M

(x; y)
(x; y)

Đoạn thẳng AB, A

ở đó ;(xA; yA), (yA; yB) lần lượt

là điểm đầu, B là

là toạ độ của A, B.

điểm cuối.
,(xA; yA), (yA; yB) lần lượt là
toạ độ của A, B. Hoặc ax + by
10


Đường thẳng AB
Giá của vectơ

Trung điểm I của Điểm I sao cho:

+c=0
,

đoạn thẳng AB

(xA; yA), (yA; yB) lần lượt là toạ

hoặc điểm I sao hoặc , với O bất kì.

độ của A, B.

cho:
Trọng tâm G của
hoặc Điểm đồng

hoặc với O bất kì:

quy của ba đường

(xA; yA), (yA; yB), (xC; yC) lần
lượt là toạ độ của A, B, C.

trung tuyến của .
-

Nói đến toạ độ là nói đến biến, nói đến phương trình, hệ phương trình và các

biến đổi đại số, do đó dạy học toạ độ có liên quan đến dạy học phương trình, hệ

phương trình.
Ví dụ 2. Khái niệm đường thẳng có liên quan đến phương trình bậc nhất hai ẩn
ax + by + c = 0, toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn .
2.3.2 Hoạt động ngơn ngữ trong dạy học tính chất vectơ, toạ độ
Những tính chất quan trọng thường được thể hiện dưới dạng định lí. Dạy học
các tính chất tốn học là để cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức cơ bản
của bộ môn, là cơ hội thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và
chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ.
Trong dạy học định lý, tính chất, các hoạt động ngơn ngữ thường dùng là giáo
viên cho học sinh phân tích cấu trúc logic, nội dung định lý trong khi củng cố
định lý; qua đó các em được khắc sâu định lý đó. Cao hơn nữa là giáo viên cho
học sinh phát biểu định lý bằng hình thức khác nhằm phát triển năng lực diễn đạt
độc lập ý nghĩ của các em .
Như vậy, các hoạt động ngôn ngữ diễn ra trong dạy học định lí là :
 Học sinh phân tích cấu trúc logic, nội dung định lí;
 Thay đổi hình thức phát biểu định lí.
a)

Dạy học tính chất về vectơ

11


- Các tính chất của vectơ chủ yếu được hình thành từ định nghĩa vectơ và phép
toán về vectơ. Muốn dạy tốt tính chất vectơ trước hết phải dạy tốt các khái niệm,
trên cơ sở khái niệm hình thành tính chất.
Ví dụ 1.
Khi dạy học tính chất của phép cộng vectơ:
1)

Tính chất giao hốn: ;

2)

Tính chất kết hợp: ;

3)

Tính chất của vectơ - khơng: .

Chỉ địi hỏi chúng ta giúp học sinh nắm vững khái niệm tổng của hai vectơ, biết
vẽ vectơ tổng khi có hai vectơ cho trước. Các tính chất được cơng nhận sau khi
minh hoạ bằng hình vẽ cụ thể. Sau đó, cho học sinh phân tích cấu trúc của tính
chất để củng cố, hơn nữa cịn rút ra: trong phép tốn cộng các vectơ, có thể đổi
chỗ hai hay nhiều vectơ bất kì.
Ví dụ 2.
Trong bài “Tích của một vectơ với một số” khi học định lý biểu thị một vectơ
theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai vectơ khơng cùng phương và . Khi đó mọi vectơ đều có thể biểu thị một
cách duy nhất qua hai vectơ và , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho .
Sau khi phân tích cấu trúc định lí, học sinh có thể phát biểu định lý trên bằng
ngơn ngữ của mình như sau:
Cho hai vectơ khơng cùng phương và vectơ bất kỳ, khi đó tồn tại duy nhất cặp
m, n sao cho .
Hoặc

Trong mặt phẳng, có duy nhất cách biểu diễn một vectơ theo hai vectơ
khơng cùng phương cho trước.

Hơn nữa, qua hình vẽ minh hoạ (hình 7) giải thích được định lý:

Hình 7

12


-

Các tính chất về vectơ chỉ nhằm mục đích xây dựng phương pháp vectơ sau

này, không nhằm xây dựng tường minh một khơng gian vectơ. Do đó trong các
chứng minh không cần quá hàn lâm, chỉ cần tăng cường các hình vẽ để học sinh
dùng “trực giác” kiểm tra các tính chất. Quan trọng là phải cho học sinh củng cố,
luyện tập tính chất trong các bài tập.
Ví dụ 3.
Trong dạy học các tính chất của phép nhân vectơ với một số, cho học sinh tìm
(hoặc kiểm chứng) tính chất k bằng cách vẽ hình kiểm tra với k = 2. Sau đó, để
khắc sâu tính chất, giáo viên cho học sinh tìm sự giống nhau và khác nhau của
phép nhân vectơ với một số và phép nhân những số đã biết:
k(a + b) = ka + kb

k

(k+ m)a = ka + ma

(k + m)= k+ m

k(ma) = (km)a

k(m) = (km)

k.a =0 k = 0 hoặc a = 0

k. = k = 0 hoặc =

Giống nhau: hình thức (cú pháp). Khác nhau: nội dung (ngữ nghĩa).
Phép nhân các số là phép tốn trong, cịn phép nhân vectơ với một số là phép tốn
ngồi. Do đó khơng thể áp dụng luật giản ước của các số đối với vectơ (sau này
học về tích vơ hướng của hai vectơ sẽ lí giải được.
Ví dụ 4.
Để luyện tập tính chất trọng tâm G của tam giác ABC:
, cho học sinh bài tập: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của
các và thì .
b) Dạy học tính chất về toạ độ
- Nói đến toạ độ là nói đến hai biến, nói đến phương trình và hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn, do đó dạy học tính chất về toạ độ chính là dạy học những kiến
thức liên quan đến đại số như điều kiện để hệ phương trình có nghiệm, số nghiệm
của một phương trình, hệ phương trình,…

13


Do toạ độ được xây dựng từ vectơ, các tính chất của toạ độ thường suy ra từ
ngơn ngữ vectơ.
Ví dụ 1.
Khi xây dựng cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
chúng ta cho học sinh nhìn khoảng cách giữa

y

M

hai điểm M, M0 dưới hình thức độ dài
vectơ ; sử dụng ngơn ngữ toạ độ
tính . Việc làm đó chính là rèn

M0

O

x

ngơn ngữ tốn học cho học sinh.
Hình 9

Ví dụ 2.

Khi dạy học tiết 27, phương trình tổng quát của đường thẳng, chúng ta cho học
sinh lập bảng so sánh cách sử dụng hai ngôn ngữ sau:
Ngơn ngữ hình học tổng hợp
Ngơn ngữ toạ độ
Điểm M
(x; y)
Điểm M thuộc (nằm trên) đường Toạ độ (x;y) của M nghiệm đúng
thẳng
M là giao điểm của hai đường thẳng
1

và 2

phương trình đường thẳng
Toạ độ (x;y) của M là nghiệm của hệ hai
phương trình hai đường thẳng 1 và 2

Nhờ vậy, ở các bài học sau học sinh hoàn toàn có thể xác lập được những kết
quả tương tự khi nghiên cứu đường trịn, đường elip,…
2.3.3 Hình thành phương pháp véc tơ, phương pháp tọa độ, trong giải
tốn hình học 10 theo hướng tiếp cận ngơn ngữ tốn học
ở trường phổ thơng, dạy Tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh có thể
xem việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học. Một biểu hiện của
việc thành thạo ngơn ngữ tốn học ở học sinh là khả năng trình bày lời giải một bài
toán. Ba yêu cầu chủ yếu của lời giải một bài tốn là lời giải khơng có sai lầm, lập
luận có căn cứ chính xác, lời giải đầy đủ, hơn nữa lời giải đó phải được trình bày ngắn
gọn, sáng sủa, mạch lạc và sử dụng hợp lý các ký hiệu tốn học.
2.3.3.1. Hình thành phương pháp véc tơ trong giải tốn hình học 10.
14


Khi có cơng cụ vectơ, khả năng sử dụng ngơn ngữ toán học của học sinh đã
được phát triển thêm một bước. Học sinh khơng chỉ làm các phép tốn trên vectơ,
mà cịn diễn tả nhiều sự kiện hình học đã biết dưới hình thức ngơn ngữ vectơ
thơng qua phương pháp giải tốn mới: phương pháp vectơ. Để góp phần nâng cao
hiệu quả dạy học, hình thành phương pháp vectơ cho học sinh, chúng ta cần xác
định hai khâu mấu chốt để giải một bài toán bằng phương pháp vectơ, đó là:
- Chuyển bài tốn sang ngơn ngữ vectơ.
- Phân tích một vectơ thành một tổ hợp vectơ.
Muốn thực hiện tốt hai khâu trên, cần rèn cho học sinh kỹ năng chuyển tương
đương (hay phiên dịch) những quan hệ hình học từ cách nói thơng thường (hình
học tổng hợp) sang dạng vectơ để có thể vận dụng cơng cụ vectơ trong giải tốn

có thể thực hiện theo 3 bước:
Bước 1. Chuyển bài tốn hình học ban đầu sang ngơn ngữ vectơ; bằng cách
lựa chọn một số vectơ gọi là “hệ vectơ gốc”, “phiên dịch” các giả thiết, kết luận
của bài tốn hình học đã cho ra ngơn ngữ vectơ.
Bước 2. Thực hiện các u cầu của bài tốn thơng qua việc tiến hành các
phép biến đổi các hệ thức vectơ theo “hệ vectơ gốc”.
Bước 3. Chuyển các kết luận vectơ sang các tính chất hình học tương ứng.
Ví dụ 1.
Để chuẩn bị các yếu tố cần thiết cho quy trình (các bước 1, 2) giải toán bằng phương
pháp véc tơ, giáo viên cho học sinh làm một số dạng toán chuẩn bị. Chẳng hạn, sau khi
học bài “Tổng của hai vectơ” với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và bài “Hiệu
của hai vectơ” với quy tắc về hiệu vectơ, chúng ta cho học sinh làm một số bài tập đòi
hỏi thay tổng đại số của nhiều vectơ bởi một số vectơ, thay một vectơ bởi tổng đại số
của nhiều vectơ hoặc chứng minh đẳng thức vectơ:
a) Tính tổng
1) biết A, B, C, D, E bất kì
2)
b) Đơn giản biểu thức
1)
15


2)
c) Biểu diễn vectơ dưới dạng tổng đại số của các vectơ sau:
1)
2)
d) Chứng minh
1) với M, N, P, Q bất kỳ.
2) với A, B, C, D, E, F bất kỳ.
Ví dụ 2.

Để chuẩn bị cho bước 1: phiên dịch các giả thiết, kết luận sang ngôn ngữ vectơ,
ngay trong mỗi bài học chúng ta cho học sinh làm các bài tập nhằm thành lập “từ
điển vectơ”. ở đó, mỗi “từ” của “từ điển” biểu diễn mối liên hệ giữa các sự kiện hình
học và các hệ thức vectơ. Các “từ ” đó phải được hình thành một cách chặt chẽ, có
cả điều kiện cần và đủ. Chẳng hạn, khi hình thành “từ” trung điểm của đoạn thẳng
trong “từ điển” đó, ta cho học sinh làm hai bài tốn sau (chỉ sử dụng những kiến thức
hình học tổng hợp, kiến thức vectơ đã biết để chứng minh):
a) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, chứng minh rằng :
b) Cho đoạn thẳng AB, và điểm O thoả mãn đẳng thức .
Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Qua đó rút ra mệnh đề: “Điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của
đoạn thẳng AB là ”, nghĩa là “O là trung điểm của đoạn thẳng AB”
đã “dịch” thành “O: ” trong ngôn ngữ vectơ.
Cuối cùng, từ hệ thống bài tập đó, hình thành một cuốn “từ điển” để phiên
dịch giữa ngôn ngữ vectơ và ngơn ngữ hình học tổng hợp. Có thể kể ra một số
kết quả thường dùng sau:
Ngơn ngữ hình học tổng hợp
Ba điểm A, B, C thẳng hàng

16



Ngôn ngữ vectơ
hay



… hoặc



,


ở đó O tuỳ ý và k + m =1
 với A bất kỳ.

Hai điểm B, C trùng nhau



Hai đường thẳng song song,
AB // CD
M chia AB theo tỉ số k, k 0, -1.
M là trung điểm đoạn AB
AM là trung tuyến của tam giác ABC


G là trọng tâm tam giác ABC

 , O bất kỳ

Hai đường thẳng vng góc,
AB CD

Ví dụ 3.
Để học sinh dễ dàng thực hiện bước 2, chúng ta cho các em làm các bài tập địi
hỏi phân tích một vectơ theo một hệ vectơ. Qua các bài tập cụ thể đó các em vừa
được luyện tập kiến thức cũ, vừa chuẩn bị cho quy trình giải toán sau này và hơn

nữa là rèn luyện, phát triển ngôn ngữ vectơ. Chẳng hạn cho học sinh bài toán:
Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích
theo hai vectơ .
Bài tốn có 2 cách giải, mỗi cách có ưu điểm riêng:
Cách 1. (Khơng cần hình vẽ)
Theo giả thiết ta có , áp dụng quy tắc ba điểm:
= ==
Vậy .
Cách 2. (Có sử dụng hình vẽ)
A

Kẻ ME // AC, MF // AB (hình 10),
ta có

E

.

F

Theo định lí Ta-let AE = AB,
AF = AC.

B

17

M
Hình 10

C


Do đó .
Vậy .
Ví dụ 4.
Sau hệ thống bài tập chuẩn bị của giai đoạn 1, giáo viên tiếp tục cung cấp một
số dạng toán giải bằng phương pháp véc tơ, được trình bày theo quy trình ba
bước. Nhấn mạnh tính ưu việt của phương pháp này so với các phương pháp đã
biết trước đó. Chẳng hạn, với bài tốn:
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Chúng ta cần hướng dẫn để học sinh sử dụng được “từ” hai điểm trùng nhau của
ngôn ngữ vectơ:
Chứng minh hai điểm A1; A2 trùng nhau, tương đương
chứng minh
hoặc với O là điểm tuỳ ý.
Sau đó yêu cầu học sinh trình bày bài tốn theo tinh thần 3 bước để khắc
sâu phương pháp này:
 Gọi G1; G2 lần lượt là trọng tâm của tam

D
M

giác ANP và CMQ và O là một điểm tuỳ ý.
Khi đó ta có

A

(1)

Q

N

 Mặt khác
B

P

C

(2)
Hình 11

(3)
Từ (1), (2), (3) .
 Vậy . 
Với hệ thống bài tập hợp lý, học sinh sẽ dễ dàng hơn khi học về vectơ và giải
toán bằng phương pháp vectơ, nghiên cứu hình học khơng gian sau này.
2.3.3.2. Hình thành phương pháp toạ độ trong giải tốn hình học 10
Với học sinh lớp 10, yêu cầu cần đạt được sau khi học hình học là :
18


 Biết các phương pháp để lập phương trình đường thẳng, đường tròn và ba
đường conic khi biết các yếu tố xác định mỗi đường.
 Từ phương trình các đường, thấy được các tính chất và quan hệ giữa các đường.
 Lập được phương trình tiếp tuyến cho đường trịn và ba đường conic cùng với
việc chứng minh được các tính chất của nó.

 Nhớ và vận dụng được biểu thức toạ độ để biểu thị một cách chính xác các sự kiện hình
học, chẳng hạn: điều kiện để điểm thuộc đường, vị trí tương đối của các đường.
Nghĩa là, khi có mặt phẳng toạ độ, mỗi vectơ, mỗi điểm, đường thẳng, đường
trịn, đường conic và tính chất, quan hệ đơn giản giữa các hình đó đều đã diễn đạt
bằng toạ độ. Học sinh chỉ phải làm việc, tính tốn trên các kí hiệu của đại số:
biến, nghiệm, phương trình,…
Hơn nữa, phương pháp toạ độ ở hình học 10 chỉ nghiên cứu các đối tượng hình
học trên mặt phẳng như đường thẳng, đường tròn, ba đường conic, nhưng lại
được áp dụng nhiều trong giải tốn hình học khơng gian ở lớp 12. Do đó, dạy để
học sinh thành thạo phương pháp toạ độ là rất cần thiết.
Phương pháp toạ độ được thực hiện theo một quy trình 3 bước:
Bước 1. Chọn hệ toạ độ thích hợp, phiên dịch bài tốn sang ngôn ngữ toạ độ;
Bước 2. Dùng các kiến thức về toạ độ để giải bài toán;
Bước 3. Phiên dịch bài tốn từ ngơn ngữ toạ độ sang ngơn ngữ hình học
tổng hợp.
Với học sinh lớp 10, các bài tốn khi đưa ra đều đã ngầm chọn hệ toạ độ là hệ
toạ độ Đềcác vng góc, nên trong bước 1 học sinh thường không phải chọn hệ
toạ độ nữa. Do yêu cầu của đề bài nên bước 3 cũng ít khi phải làm.
Để cụ thể hố nội dung trên, tơi đưa ra một số ví dụ, có phân tích theo các biện
pháp sử dụng, nhằm dạy học phương pháp toạ độ cho học sinh. Các ví dụ thường
chỉ sử dụng bước 1, 2.
Bước 1. Dịch những sự kiện hình học sang ngôn ngữ toạ độ. Chẳng hạn, “điểm
nằm trên đường thẳng” nghĩa là “toạ độ của điểm thoả mãn phương trình
đường thẳng”, hoặc “điểm M(x; y) cách I(a; b) một khoảng R” nghĩa là “MI =
”, hay “elip” là “tập hợp các điểm thoả mãn phương trình với a > b > 0”,…
19


Bước 2. Khi bài tốn đã chuyển sang ngơn ngữ toạ độ, sử dụng những kết quả của
bước 1, tính tốn bằng cơng cụ đại số để tìm đáp số của bài tốn.

Trong bước 1, có thể cho học sinh vẽ phác hoạ các đường, có sử dụng những yếu
tố của đề bài để hỗ trợ.
Ví dụ 1.
Lập phương trình tham số của đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) đi qua hai điểm A(1; - 4) và B(-3; 5).
b) đi qua điểm M(1; -2) và có vectơ pháp tuyến .
c) đi qua điểm M(3; -5) và có hệ số góc k = -3.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo 2 bước:
 Bước 1. Phương trình tham số của đường thẳng: ,
ở đó (x0; y0) là toạ độ một điểm thuộc đường thẳng,
(u1; u2) là toạ độ vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Riêng ý c) còn phải chuyển giả thiết “hệ số góc k = -3” thành “phương trình
đường thẳng có dạng y = - 3x + a”.
 Bước 2. Tìm (x0; y0), (u1; u2) từ giả thiết?
Giải
a) Đường thẳng đi qua A(1; - 4) và B(-3; 5) nên
nhận làm vectơ chỉ phương
đi qua hai điểm A(1; - 4).
Phương trình tham số của đường thẳng là:
b) Từ giả thiết có đường thẳng nhận làm vectơ chỉ phương
đi qua điểm M(1; -2).
Phương trình tham số của đường thẳng là:
c) Đường thẳng có hệ số góc k = -3 nên phương trình đường thẳng có dạng
y = - 3x + a, do đó có vectơ chỉ phương .
hơn nữa đi qua điểm M(3; -5) (giả thiết).
Do đó phương trình tham số của là:
Sau đó, cho học sinh so sánh với những hiểu biết trước đây về đường thẳng để
tìm thấy sự tương đồng: giống như trong hình học tổng hợp, bằng cơng cụ toạ độ
20

ta cũng có kết luận đường thẳng hồn tồn xác định (viết được phương trình) khi
biết hai yếu tố:
 Một điểm thuộc đường thẳng và phương (cụ thể là vectơ chỉ phương);
 Một điểm thuộc đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng;
 Hai điểm thuộc đường thẳng.
Ví dụ 2.
Cho hai đường thẳng m và n lần lượt có phương trình tổng quát là
(m): 2x - y - 5 = 0
(n): x - 3y - 10 = 0
Tìm giao điểm của m và n.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ
 Bước 1. Giao điểm của hai đường thẳng có toạ độ nghiệm đúng (m), (n).
Tìm giao điểm của (m), (n) là tìm (x; y) nghiệm đúng .
 Bước 2. Giải hệ, tìm (x; y).
Giải.
Toạ độ giao điểm M (x; y) của hai đường thẳng (m) và (n) là nghiệm của hệ
phương trình:
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M(1; -3)
Ví dụ 3.
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm M(2; 5) và N(5; 1). Lập phương trình
đường thẳng đi qua điểm M sao cho khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng đó
bằng 3.
Giáo viên dẫn dắt để học sinh suy nghĩ theo 2 bước:
 Bước 1. Đường thẳng cần lập có phương trình ax + by + c = 0 (*).
(đã cân nhắc đến yếu tố khoảng cách trong đề bài)
đi qua M nghĩa là toạ độ của M thoả mãn phương trình (*).
Khoảng cách từ N đến đường thẳng bằng 3 nghĩa là:
d(N, ) = .
 Bước 2. Tìm a, b, c từ hệ phương trình thu được.

21


Với bài trên, để giảm số biến phải tìm, nên xuất phát từ phương trình với hệ số
góc k.
Giải
Trước hết ta thấy ngay, trong hệ toạ độ đó đường thẳng x = 2 thoả mãn điều
kiện đề bài.
y

Ta đi tìm phương trình đường thẳng

x=2

đi qua M(2; 5) có hệ số góc k:

5

y = k(x - 2) + 5 kx - y - 2k + 5 = 0.

M(2; 5)

Ta có :
d(N,) = = 3

N(5; 1)

.

O

Do đó đường thẳng có phương trình là 7x + 24y - 134 = 0.

5

x

Hình- 12
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn đề bài là x = 2 và 7x + 24y
134 = 0.

Ví dụ 4.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho , biết A(- 6 ; -3), B(- 4 ; 3), C(9; 2). Viết
phương trình đường thẳng d chứa phân giác của góc BAC.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo 2 bước:
 Bước 1. Phương trình phân giác của góc giữa các đường thẳng AB, AC có
dạng:

, ở đó a1x + b1y + c1 = 0,

a2x + b2y + c2 = 0 lần lượt là phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, AC.
Đường thẳng AB, AC tương ứng có phương trình như thế nào?
B, C nằm về hai phía của phân giác cần tìm tương ứng với kết luận nào?
 Bước 2. Các kết quả trên thu được một hệ, kết hợp lại sẽ có đáp số.
Cũng có thể tìm d bằng cách lập phương trình đường thẳng qua A, có vectơ
chỉ phương là vectơ tổng của hai vectơ đơn vị cùng hướng với .
Giải
Đường thẳng AB có phương trình tổng qt là: 3x - y + 15 = 0
Đường thẳng AC có phương trình tổng quát là:

x - 3y - 3 = 0

Do đó hai đường phân giác trong và ngồi của góc A có phương trình là:
3x - y + 15 = (x - 3y - 3)
22


Tức hai đường thẳng d1: x + y + 9 = 0 (lấy dấu + ở vế phải)
d2: x - y + 3 = 0 (lấy dấu - ở vế phải)
Để tìm phương trình phân giác trong

A(-6;-3)

của góc A, ta thay toạ độ của B và C
vào phương trình d1, thấy B, C nằm
cùng phía đối với d1.
Chứng tỏ d2 là đường thẳng cần tìm.
B(- 4; 3)

Vậy phương trình đường thẳng
cần tìm là: x - y + 3 = 0.

d
Hình 13

23

C(9; 2)

Ví dụ 5.
Cho hai đường thẳng 1: x + 2y - 3 = 0,
: 3x - y + 2 = 0.

2

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P(3; 1) và cắt 1, 2 lần lượt ở A, B
sao cho tạo với 1, 2 một tam giác cân có cạnh đáy là AB.
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ:
 Bước 1. có phương trình ax + by + c = 0.
đi qua điểm P(3; 1) nên 3a + b + c = 0 (*).
Phân giác l của góc tạo bởi 1, 2 có phương trình a’x + b’y + c’ = 0
(a’, b’, c’ tính được từ giả thiết)
cắt 1, 2 lần lượt ở A, B sao cho tạo với 1, 2 một tam giác cân có cạnh đáy
là AB nên vng góc với l aa’ + bb’ = 0 (**)
 Bước 2. Giải hệ (*), (**) tìm a, b, c.

1

Giải

B1

l2

Vì tạo với 1, 2 một tam giác
cân có cạnh đáy là AB nên vng góc

A1

B2

với phân giác của góc tạo bởi 1, 2.

2

Phân giác của góc tạo bởi 1, 2 có
phương trình là:

P

A2

l1
Hình 14

hay l1:
l2: .
Suy ra đường thẳng cần tìm (đi qua P) là
và .
Rút gọn ta có và là hai đường thẳng cần tìm.

Những nguyên tắc và biện pháp sư phạm nêu trên là có cơ sở khoa
học, đã được tôi vận dụng trong dạy học khái niệm, tính chất về vectơ, toạ
độ và lập quy trình giải toán bằng phương pháp vectơ, toạ độ. Nếu tiếp tục
được kiểm nghiệm sâu rộng trong thực tiễn, hy vọng sẽ mang lại những giá
trị ứng dụng nhất định.

24

3.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Để đảm bảo tính khoa học, chứng ming cho những nhận định của mình tơI đã
tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm mục đích kiểm nghiệm khả năng thực thi và
tính hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
3.1 Nội dung thực nghiệm
Để đạt được mục đích thử nghiệm nêu trên, tơi lựa chọn thực nghiệm 11 tiết
sau đây trong chương trình hình học 10:
- Tiết 1, 2: Các định nghĩa
- Tiết 3: Tổng của hai vectơ
- Tiết 6, 7: Tích của một vectơ với một số
- Tiết 13: Ôn tập chương I
- Tiết 28: Phương trình tham số của đường thẳng
- Tiết 34, 35: Đường tròn
- Tiết 37, 38: Đường elip
Trong các tiết dạy tôi tiến hành thể hiện những nguyên tắc và biện pháp đã
đề ra.
3.2 Tổ chức thực nghiệm
3.2.1. Đối tượng thực nghiệm
Học sinh hai lớp 10D,10E trường PH DTNT Tỉnh Hòa Bình. Trong đó 10E
là lớp thực nghiệm, 10D là lớp đối chứng. Học lực của học sinh và khả năng nhận
thức của các em ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là như nhau.
Cụ thể:
Lớp thực nghiệm
Lớp
Sĩ số
Kí hiệu
10E
29
TN

25

Lớp đối chứng
Lớp
Sĩ số
Kí hiệu
10D
30
ĐC