Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

BáGI ODệCV
TRìNG

OT O

I HC QUY NHèN

H

TRNG THI

NGHI M I Să CếA MáT Să LP PHìèNG TR NH VI PH
N I Să C P MáT

LU N

NTI NS TO NHC

Bnh nh - 2021


BáGI ODệCV
TRìNG

OT O

I HC QUY NHèN

H

TRNG THI

NGHI M I Să CếA MáT Să LP PHìèNG TR NH VI PH
N I Să C P MáT

Chuyản ng nh :

i s v l thuyt s

MÂ s

:

9460104

PhÊn biằn thứ nhĐt

:

GS.TSKH. Phũng Hỗ HÊi

PhÊn biằn thø hai

:

PGS.TS. Tr÷ìng Cỉng Qnh

Ph£n bi»n thø ba

:

PGS.TS. Mai Ho ng Biản

T P TH

HìNG D N KHOA HC
TS.NGL MXU NCH U
TS. L

THANH HI U

B…nh ành - 2021


i

Líi cam

oan

Tỉi xin cam oan måi k‚t qu£, nºi dung ca lun Ăn Nghiằm i s ca
mt s lợp phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt l do tổi thỹc hiằn dữợi sỹ
hữợng dÔn ca cĂc thy giĂo TS. Ngổ LƠm XuƠn ChƠu v TS. Lả Thanh
Hiu.
CĂc ni dung v kt quÊ sò dửng trong Lun Ăn ãu cõ trch dÔn v chú
thch nguỗn gc, kt quÊ l trung thỹc, ữổc cĂc ỗng tĂc giÊ cho php sò
dửng. Nu câ i•u g… gian l“n, tỉi xin ho n to n chu trĂch nhiằm trữợc
phĂp lut.
Quy Nhỡn, ng y 02 thĂng 11 nôm 2021
Ngữới thỹc hiằn

H Trồng Thi


ii

Líi c£m ìn
Lu“n ¡n ÷ỉc ho n th nh trong qu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cøu t⁄i
Khoa To¡n v Thng kả, Trữớng i hồc Quy Nhỡn, dữợi sỹ hữợng dÔn ca
TS. Ngổ LƠm XuƠn ChƠu v TS. Lả Thanh Hiu. CĂc thy  ch bÊo tn
tnh v hữợng dÔn tổi t nhng bữợc u l m nghiản cứu. CĂc thy hữợng
dÔn nghiảm túc v luổn to mt tnh cÊm thƠn thiằn trong sut thới gian
hồc tp. Trữợc tiản, tổi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc n TS. Ngổ LƠm
XuƠn ChƠu v TS. Lả Thanh Hiu.
Tổi xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh n LÂnh o Trữớng i hồc Quy Nhỡn,
Phặng o to sau i hồc  to iãu kiằn tt nhĐt tổi hồc tp. c biằt, tổi
xin gòi lới cÊm ỡn n LÂnh o Khoa To¡n v ThŁng k¶ cịng c¡c thƒy cỉ
gi¡o trong Khoa  luổn ng h, ng viản tổi trong sut thíi gian tham
gia håc t“p t⁄i tr÷íng.
Tỉi xin c£m ìn L¢nh ⁄o Sð Gi¡o dưc v o t⁄o B…nh ành, cĂc ỗng
nghiằp v bn b  ng h, ng viản v to iãu kiằn tt nhĐt tổi tham gia
hồc t“p.
Tr¥n trång.


iii

Mưc lưc
Mð ƒu
1 Ki‚n thøc chu'n bà

1
6

1.1 Ki‚n thøc cì sð v• ⁄i sŁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1 Mð rºng tr÷íng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2 K‚t thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2 ⁄i sŁ vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Trữớng vi phƠn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2 Nghi»m cıa a thøc vi ph¥n . . . . . . . . . . . . .

17

1.3 ÷íng cong ⁄i sŁ hœu t . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Ph†p bin

i tữỡng

22

ữỡng trản cĂc phữỡng trnh vi phƠn

i s cĐp mºt 25 2.1 Ph†p bi‚n Œi t÷ìng ÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2 Ph†p bi‚n Œi Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Nghiằm i s ca phữỡng trnh vi phƠn i sŁ c§p mºt
3.1 Nghi»m ⁄i sŁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Mºt sŁ t‰nh ch§t b£o to n cıa nghi»m . . . . . . . . . . . .

30

38
38
42


iv

3.3 Mºt ch°n b“c cho nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ . . . . . . . . .

45

4 Sü tữỡng ữỡng ca cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp
mt tham s hu t ữổc

50

4.1 Phữỡng trnh vi phƠn a thøc . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.1.1 B§t bi‚n vi ph¥n qua ph†p bi‚n Œi y = z + b . . . .

51

4.1.2 BĐt bin vi phƠn qua ph†p bi‚n Œi z = aw . . . . .

57

4.1.3 BĐt bin vi phƠn qua php bin i y = aw + b . . .

58

4.2 Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n Riccati . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.3 Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.4 Phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt tham sŁ hœu t ÷ỉc . 72
4.5 Nghi»m tŒng qu¡t ⁄i s ca phữỡng trnh tham s hu t
ữổc thuc lợp autonom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

K‚t lu“n

87

Danh mưc c¡c cỉng tr…nh cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n Lu“n ¡n

90

T i li»u tham kh£o

91


v

B NGC CKịHI U
C

trữớng s phức

i

s phức ỡn v Êo

C(x)

trữớng vi ph¥n c¡c h m hœu t theo bi‚n x

K

bao âng ⁄i sŁ cıa tr÷íng K

v nh a thøc n bi‚n x = (x1; : : : ; xn) vỵi h» sŁ trong K

K [x]
deg(f)

b“c cıa a thøc f

K fyg

v nh cĂc a thức vi phƠn theo bin y trản tr÷íng K

prem(P; F ) phƒn d÷ cıa ph†p chia a thøc vi ph¥n P cho a thøc

vi ph¥n F

res(f; g; x)

k‚t thøc cıa f v g theo bi‚n x bi»t

disc(f)

thøc cıa a thøc mºt bi‚n f

F

b“c tŒng th” vi ph¥n ca a thức vi phƠn F

AODE
M
M

(1)
K

tp cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt trản trữớng K
au + b
php bi‚n
Œi Mobius tr¶n K; M(u) = cu + d
¡nh x⁄ hu t tữỡng ứng vợi php bin
i Mobius M;
M (u;

v) = M(u);

@M

@x

(u)

+

@M

@u

(u)

v

vi

GK

(1)

nhâm c¡c ph†p bi‚n Œi song hœu t d⁄ng M
(1)

t¡c ºng cıa nhâm GK

Tc

(1)

l¶n AODE K

¡nh x⁄ tành ti‚n theo h‹ng c


1

M U
0

Mt phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt câ d⁄ng F (y; y ) = 0; trong
0
0
0

â F 2 C (x)[y; y ] v F câ chøa bi‚n ⁄o h m y
. N‚u F 2 C [y; y ] th… ta
0
nâi ph÷ìng tr…nh F (y; y ) = 0 l autonom (tøc l måi h» sŁ cıa F ãu l

hng s).
Viằc nghiản cứu cĂc phữỡng trnh vi phƠn ⁄i sŁ c§p mºt b›t ƒu tł cuŁi

th‚ k 19 v u th k 20 vợi cĂc cổng trnh tiảu bi”u cıa L. Fuchs [14], H.
0

Poincar† [27] v J. Malmquist [19]. Mºt nghi»m chung cıa F (y; y ) = 0
v @ F (y; y0) = 0 ÷ỉc gåi l mºt nghi»m ký dà. C¡c nghi»m ký dà cıa
0

@y

0

ph÷ìng tr…nh F (y; y ) = 0 luæn l nghi»m ⁄i s v cõ hu hn nghiằm
ký d nhữ vy, ỗng thíi vi»c t…m c¡c nghi»m ký dà n y l ỡn giÊn. Tuy
0

nhiản, viằc xĂc nh liằu phữỡng trnh F (y; y ) = 0 câ nghi»m tŒng
qu¡t ⁄i sŁ hay khỉng v ÷a ra mºt thu“t to¡n t‰nh to¡n t÷íng minh mºt
nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ nh÷ v“y l mt vĐn ã khõ.
Cho n nay, vĐn ã tm nghiằm tng quĂt i s ca mt phữỡng trnh
vi phƠn cĐp mºt mỵi ch¿ gi£i quy‚t mºt c¡ch câ h» thŁng cho trữớng hổp
phữỡng trnh vi phƠn autonom. Trong trữớng hổp n y sỹ tỗn ti mt
nghiằm i s khổng tm thữớng quyt nh sỹ tỗn ti nghiằm tng quĂt i

s. CƠu họi tỹ nhiản t ra l liằu cõ cặn nhng lợp phữỡng trnh n o


2

khĂc rng hỡn v cụng cõ tnh chĐt nhữ vy hay khổng?
VĐn ã tữỡng tỹ cho cĂc phữỡng trnh vi phƠn cĐp mt khổng
autonom (non-autonomous) mợi ch giÊi quyt cho mt s trữớng hổp c
0

biằt; cĂc lợp nghiằm hnh thức cıa ph÷ìng tr…nh F (y; y ) = 0 ÷ỉc
quan tƠm nghiản cứu l nghiằm hu t , nghiằm i sŁ, nghi»m liouville, ...
Hi»n nay c¡c thu“t to¡n hœu hi»u tm kim cĂc dng nghiằm nõi trản
ch giợi hn i vợi cĂc phữỡng trnh vi phƠn c biằt (hoc cõ bc thĐp nhữ
phữỡng trnh vi phƠn tuyn tnh, phữỡng trnh Clairaut, phữỡng tr
nh Riccati, phữỡng trnh Abel).
Viằc sò dửng c¡c ph†p bi‚n Œi Mobius tr…nh b y trong c¡c b i b¡o
[22, 23] câ th” ch¿ ra mºt lỵp cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt
khổng autonom những cõ th bin i mt cĂch tữỡng ữỡng vã ph÷ìng tr…
nh autonom v câ nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ. Nhữ vy chúng ta cn nhng
nghiản cứu lỵ thuyt cho vĐn ã n y.
Bản cnh õ, dỹa v o mt ch°n b“c cho c¡c nghi»m ⁄i sŁ khỉng tƒm
th÷íng cıa mt phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt autonom, ta câ th”
suy ra mºt ch°n b“c cho nghi»m tŒng quĂt i s. VĐn ã n y ữổc m rng
nhữ th n o cho cĂc phữỡng trnh vi phƠn cĐp mt khổng autonom
cụng l mt cƠu họi m cn ữổc nghiản cứu.
0

Mt nghiằm ca phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt F (y; y ) = 0
trong mt trữớng mð rºng vi ph¥n K cıa C(x) l mºt phƒn tß 2 K sao cho F

0

( ; ) = 0, trong â

0

l ph†p ⁄o h m tr¶n K mð rºng php o h m thổng
0

thữớng trản C(x). Nu F l a thức bc mt theo y th phữỡng trnh vi
0

phƠn tữỡng ứng ữổc vit dữợi dng hu t y = P (z; y)=Q(z; y),


3

trong â P v Q l c¡c a thøc 2 bin khổng cõ nhƠn tò chung. B i toĂn tm
mt ch°n b“c cho c¡c nghi»m ⁄i sŁ cıa ph÷ìng tr…nh vi phƠn dng n y
ữổc bit n vợi tản gồi b i to¡n Poincar†. Trong mºt b i b¡o n«m 1994, M.
M. Carnicer [4] ¢ gi£i b i to¡n Poincar† trong tr÷íng hỉp tŒng qu¡t, tøc
l ký dà cıa ph÷ìng trnh l nondicritical. Nôm 1998, A. Eremenko
[12]  ữa ra mºt ch°n b“c cho c¡c nghi»m hœu t cıa ph÷ìng tr…nh vi
0

ph¥n F (y; y ) = 0: Li»u k‚t qu£ n y câ th” mð rºng ÷ỉc cho c¡c nghiằm
i s hay khổng vÔn l mt cƠu họi m.
Gn ¥y, R. Feng v c¡c cºng sü [13, 2] ¢ ÷a ra mºt ch°n b“c cho c¡c
nghi»m ⁄i sŁ tŒng quĂt ca cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mºt
autonom. Hìn nœa, vi»c t‰nh mºt nghi»m tŒng qu¡t ⁄i s ca cĂc phữỡng

trnh nhữ vy ữổc quy vã viằc tnh mt nghiằm i s khổng tm thữớng.

VĐn ã tnh to¡n t÷íng minh nghi»m hœu t , nghi»m ⁄i sŁ ca cĂc
phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt khổng autonom vÔn tip tửc thu hút
nhiãu sỹ quan tƠm nghiản cøu cıa c¡c nh to¡n håc trong v ngo i nữợc
trong nhng nôm gn Ơy. Phữỡng phĂp tm nghiằm hu t trong b i
b¡o cıa R. Feng [13], ¡p döng cho cĂc phữỡng trnh autonom, ữổc m
rng cho lợp cĂc ph÷ìng tr…nh khỉng autonom tham sŁ hâa ÷ỉc trong
c¡c b i b¡o cıa L. X. C. Ngo v F. Winkler [25, 26, 22]. CĂc vĐn ã n y ữổc
nghiản cứu ƒy ı hìn trong lu“n ¡n ti‚n s¾ cıa N. T. Vo [34] vỵi c¡c thu“t
to¡n mỵi ” t…m nghi»m hu t ca cĂc phữỡng trnh nhữ vy.
Bản cnh vĐn ã giÊi tng phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt, vĐn ã xĂc
nh sỹ tữỡng ữỡng gia cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cụng ữổc t ra.
Trong cĂc b i b¡o [23, 24, 21], c¡c t¡c gi£ ¢ ÷a ra c¡c quan h»


4

tữỡng ữỡng khĂc nhau trản cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt. T õ
vĐn ã giÊi mt phữỡng trnh vi phƠn i s cõ th ữa vã viằc giÊi mt
phữỡng trnh trong lợp tữỡng ữỡng v sỹ phƠn lo⁄i c¡c ph÷ìng tr…nh theo
quan h» t÷ìng ÷ìng â.
Mưc ‰ch ca ã t i nhm tm kim mt s lợp phữỡng trnh vi phƠn i
s cĐp mt cõ th xĂc nh ữổc sỹ tỗn ti hay khổng mt nghiằm tng
quĂt i s v trong trữớng hổp xĂc nh, hÂy ữa ra c¡c thu“t to¡n t‰nh
t÷íng minh mºt nghi»m tŒng qu¡t i s nhữ vy. Cử th, lun Ăn tp trung
nghiản cứu vĐn ã vã sỹ tỗn ti v tnh toĂn nghiằm tng quĂt i s ca cĂc
phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt tữỡng ữỡng vợi phữỡng trnh
autonom v phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt tham s hœu t ÷ỉc. Tł â
÷a ra c¡c thu“t to¡n hœu hi»u ” t…m nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa c¡c

ph÷ìng tr…nh â.
Lu“n ¡n, ngo i phƒn Mð ƒu, K‚t lu“n, BÊng cĂc kỵ hiằu, Danh mửc cĂc
cổng trnh khoa hồc cıa t¡c gi£, T i li»u tham kh£o, ÷ỉc bŁ cưc trong
4 ch֓ng:
Ch÷ìng 1 tr…nh b y nhœng kh¡i ni»m v kt quÊ cỡ bÊn ữổc sò dửng
trong lun Ăn bao gỗm kin thức cỡ s vã i s, i s vi phƠn, v ữớng cong i
s hu t .
Chữỡng 2 tr…nh b y tŒng quan v• c¡c ph†p bi‚n i tữỡng ữỡng trản
cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s cĐp mt v nghiản cứu php bin i tữỡng
ữỡng tữỡng ứng vợi mt php bin i Mobius. Chúng tổi ữa ra mt tnh
chĐt bĐt bin vã bc tng th vi phƠn ca cĂc phữỡng trnh vi phƠn i s
cĐp mt.


5

Chữỡng 3 ữa ra mt s tnh chĐt bÊo to n nghiằm ca cĂc phữỡng
trnh vi phƠn i s cĐp mt thuc mt lợp tữỡng ữỡng dữợi tĂc ng ca c¡c
ph†p bi‚n Œi Mobius. °c bi»t, c¡c nghi»m tŒng qu¡t i s ữổc bÊo to n.
Kt hổp vợi tnh chĐt bĐt bin ca bc tng th vi phƠn, chúng tổi ÷a
ra mºt ch°n b“c cho nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ ca phữỡng trnh
vi phƠn i s cĐp mt thuc mt lợp autonom. T õ chúng tổi ã xuĐt mt
thut toĂn t…m nghi»m tŒng qu¡t ⁄i sŁ cıa c¡c ph÷ìng tr…nh thuc lợp
tữỡng ữỡng autonom.
Chữỡng 4 ữa ra mt tiảu chu'n kim tra sỹ tữỡng ữỡng ca cĂc
0

phữỡng trnh vi phƠn a thøc d⁄ng y = P (x; y): Tł â chóng tỉi ÷a ra mºt
thu“t to¡n ki”m tra sü t÷ìng ữỡng gia cĂc phữỡng trnh vi phƠn
i s cĐp mt tham s hu t ữổc. Cui cũng chúng tổi ã xu§t mºt thu“t

to¡n kh¡c ” t‰nh nghi»m tŒng qu¡t ⁄i s ca cĂc phữỡng trnh vi phƠn i
s cĐp mt tham s hu t ữổc v thuc mt lợp tữỡng ÷ìng autonom.


6

Ch֓ng 1
Ki‚n thøc chu'n bà
Chóng tỉi tr…nh b y nhœng khĂi niằm v kt quÊ cỡ bÊn ữổc sò dửng
trong lun Ăn bao gỗm kin thức cỡ s vã i s, i s vi phƠn, v ữớng cong i
s hu t .

1.1
1.1.1

Kin thức cỡ s vã

i s

M rng trữớng

CĂc khĂi ni»m v k‚t qu£ trong phƒn n y ÷ỉc tr…nh b y düa theo t i
li»u [18].
ành ngh¾a 1.1. Cho K l mºt tr÷íng. N‚u K l tr÷íng con cıa mºt tr÷íng L
th… ta nâi L l mºt mð rºng tr÷íng cıa K.
Ta câ th” xem L nh÷ l mºt khổng gian vctỡ trản trữớng K. Ta nõi L
l mt mð rºng hœu h⁄n cıa K n‚u chi•u cıa L trản K l hu hn. Kỵ hiằu
[L : K] l chiãu ca khổng gian vctỡ L trản K v gồi [L : K] l b“c
cıa mð rºng L tr¶n K.

7

ành ngh¾a 1.2. Cho L l mºt mð rºng cıa trữớng K. Phn tò 2 L ữổc
gồi l mt phn tò i s trản K nu cõ mt a thức mºt bi‚n kh¡c
khỉng trong K[x] nh“n l m nghi»m; ng÷ỉc li,
siảu viằt trản K.

ữổc gồi l

p 2 R l i sŁ tr¶n Q v… a thøc x2
V‰ dư 1.3. Phƒn tò
2
p 2 l mt nghiằm.

phn tò

2 2 Q[x]

nhn

Mằnh ã 1.4. Cho 2 L l mt phn tò i s trản K. Khi â câ duy nh§t mºt a
thøc mºt bi‚n bĐt khÊ quy trản K cõ bc b nhĐt v câ h» sŁ cao nh§t
b‹ng 1 nh“n l m nghi»m.
a thức trong mằnh

ã trản ữổc gồi l a thức ti tiu ca phn tò

trản trữớng K.
nh nghắa 1.5. Mt m rºng L cıa K ÷ỉc gåi l ⁄i sŁ n‚u mồi phn tò

ca L l i s trản K.
Mằnh ã 1.6. N‚u L l mºt mð rºng hœu h⁄n cıa K th… L l mºt mð rºng ⁄i sŁ
tr¶n K.

2 L. Ta kỵ hiằu

Cho K l mt trữớng, L l mºt mð rºng cıa K v

K( ) l tr÷íng con b† nh§t cıa L chøa K v

. Ta câ

f( )

K( ) =

j f; g 2 K[x]; g( ) =6 0 :

g( )
Mằnh ã 1.7. Cho l mt phn tò i sŁ tr¶n K. Khi â K( ) = K[ ] v [K( ) : K]
b‹ng b“c cıa a thøc tŁi tiu ca trản K.
Cho K l mt trữớng con ca L v

1; : : : ; n 2 L. Kỵ hi»u K( 1; : : : ; n)

l tr÷íng con b nhĐt ca L chứa K v cĂc phn tò 1; : : : ; n. Khi â
j f; g 2 K[x ; : : : ; x ]; g( ; : : : ; ) 6= 0
K( 1; : : : ;

n)

=

g( 1; : : : ; n)

f( 1; : : : ;

1

n)

n

1

n

:


8

nh nghắa 1.8. M rng L ca K ữổc gồi l hu hn sinh trản K nu tỗn
ti cĂc phn tß 1; : : : ; n 2 L sao cho L = K( 1; : : : ; n).
M»nh • 1.9. Cho L l mºt mð rºng hœu h⁄n cıa K. Khi â L l hœu h⁄n sinh
tr¶n K.
M»nh • 1.10. Cho L = K( 1; : : : ; n) l mºt mð rºng hœu h⁄n sinh tr¶n K.
N‚u 1; : : : ; n l ⁄i sŁ tr¶n K th… L = K( 1; : : : ; n) l m rng hu hn trản
K.
nh nghắa 1.11. Mºt tr÷íng L ÷ỉc gåi l âng ⁄i sŁ n‚u mồi a thức trong

L[x] vợi bc dữỡng cõ nghiằm trong L.
Mồi trữớng K ãu cõ mt m rng i s v nh÷
th‚ ÷ỉc gåi l bao âng ⁄i sŁ cıa K v

õng i s. Mt m rng
kỵ hiằu l K:

p

V dử 1.12. a) Ta cõ dÂy m rng trữớng Q Q( p) R C, trong â p l mºt
sŁ nguy¶n tŁ.

p

b) Ta câ dimQ Q( p) = 2 vỵi mºt cì sð l f1;

p

pg; dimR C = 2 vỵi mºt cì

2

sð l f1; ig, i = 1; R l mºt khổng gian vctỡ vổ hn chiãu trản Q.
c) Tp Q tĐt cÊ cĂc s phức i s trản Q lp th nh mºt tr÷íng v l bao
âng ⁄i sŁ cıa Q. Mð rºng Q khæng l mºt mð rºng hœu h⁄n cıa Q.

1.1.2

K‚t thøc

C¡c kh¡i ni»m v k‚t qu£ trong phƒn n y ÷ỉc tr…nh b y düa theo t i
li»u [8].


9

ành ngh¾a 1.13. Cho hai a thøc f; g 2 K[x] câ b“c d÷ìng
m

f =amx +

+ a 0;

n

g =bnx +

+ b 0;

K‚t thøc (resultant) cıa f v g

am a m 1 a m 2
B 0 am am 1
.
B ..
..
.
.

.

..

ành thøc

ành nhữ sau

0

B

bn 6= 0:

i vợi x, kỵ hiằu res(f; g; x), l

cıa ma tr“n Sylvester c§p (m + n) x¡c

.

am 6= 0

a1

a0

0

0

01

a2
.

a1
.

a0

0

0C

.

.

.

..

.

....

C
C

.

C

.

. .. ..

B

C
C

C
C

B

a0 C

Syl(f; g; x) = B 0

a

0

a

m

m 1

a

a

m 2

0C ;

m 3

0 C

C

C

B

B

b

B

n

B

b
n 1

b

b

n 2

0

0

B

b

B 0
B
B

B

C

.

.

B

.

.

n

b

n 1

.. .

..

.

b

..

..

.

1

b

0

.

..

.

..

C
C
C
C

C

C
A

b0

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

B
B
B

B

0

0

0

bn

b

n 1

@
trong â sŁ dỈng c¡c h» sŁ cıa f l n v sŁ dỈng c¡c h» sŁ cıa g l m.
M»nh

• 1.14. Hai a thøc f; g 2 K[x] cõ nhƠn tò chung trong K[x] khi

v ch¿ khi res(f; g; x) = 0.

M»nh • 1.15. Cho c¡c a thøc f; g 2 K[x] câ b“c d÷ìng. Khi õ tỗn ti cĂc a
thức A; B 2 K[x] sao cho

res(f; g; x) = Af + Bg:


Hìn nœa, c¡c h» sŁ cıa A; B l
v

g.

c¡c a thøc nguy¶n theo c¡c h» sŁ cıa f


10

K‚t thøc câ th” ành ngh¾a cho c¡c a thøc nhiãu bin bng cĂch xem
cĂc a thức nhiãu bin nhữ l c¡c a thøc mºt bi‚n vỵi h» sŁ thuºc v nh cĂc a
thức theo cĂc bin cặn li.
Mằnh ã 1.16. Cho f; g 2 K[x 1; : : : ; xn] l c¡c a thøc câ b“c d÷ìng theo x 1.
Khi â

1. res(f; g; x1) 2 hf; gi \ K[x2; : : : ; xn].
2. res(f; g; x1) = 0 khi v ch¿ khi f v g câ mºt nhƠn tò chung trong K[x 1;
: : : ; xn] câ b“c d÷ìng theo x1.
H» qu£ 1.17. Cho f; g 2 C[x]. Khi â res(f; g; x) = 0 khi v ch¿ khi f; g câ
mºt nghi»m chung trong C.
M»nh • 1.18. Cho f; g 2 C[x1; : : : ; xn] l c¡c a thøc câ b“c d÷ìng theo x 1
vợi cĂc hằ s u theo x1 ln lữổt l ak; bl. N‚u res(f; g; x1) tri»t ti¶u t⁄i (c2; : :
n 1

: ; c n) 2 C

th… ho°c

1. ak ho°c bl tri»t ti¶u t⁄i (c2; : : : ; cn), hoc
n

2. tỗn ti c1 2 C sao cho f v g tri»t ti¶u t⁄i (c1; c2; : : : ; cn) 2 C .
ành ngh¾a 1.19. Bi»t thøc (discriminant) cıa a thøc 1 bi‚n f 2 K[x] b“c
m, kỵ hiằu disc(f), ữổc xĂc nh bi

disc(f) =

( 1)

m(m 1)
2

am

0

res(f; f ; x):
2

0

V‰ dö 1.20. a) Cho f(x) = a0 + a1x + a2x . Khi â f (x) = a1 + 2a2x v
1 a a a

2

disc(f) =
a2

1

0

2a2 a1 0
0

2a 2

a1

=a

2
1

4a a:
0

2


11
2

3

0

2

b) Cho f(x) = a0 + a1x + a2x + a3x . Khi â f (x) = a1 + 2a2x + 3a3x
v ta câ

a3

a2

0

a

3

a

0

= 27a0a3
Łi vỵi

0 0
a1

0 3a3

2 2

2a2 a1

3

4a a

0 2

0

3

4a a

+

1 3

2 2

+ 18a0a1a2a3:

a1a2
3

a thøc b“c ba d⁄ng khuy‚t f(x) = x + px + q, bi»t

thøc cıa a thøc n y l
M»nh

a 1 a0

3a3 2a2 a1

a3
0 3a 3 2a 2

°c bi»t,

2

1

disc(f) =

0

a1 a0

disc(f) =

4p3

27q2:

• 1.21. a thøc f 2 K[x] cõ nhƠn tò bi (tức l f chia ht cho K[x]

h2 vợi h 2 cõ bc dữỡng) khi v ch khi disc(f) = 0. Trản trữớng s a thøc câ
phøc, mºt nghi»m bºi khi v ch¿ khi bi»t thøc cıa nâ b‹ng 0.

1.2

⁄i sŁ vi ph¥n

Trong phƒn n y chóng tỉi tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thức cỡ s vã v nh vi
phƠn, trữớng vi phƠn v i ảan vi phƠn. Nhng khĂi niằm n y ữổc sò dửng
l

m ngổn ng i s xƠy dỹng kh¡i ni»m nghi»m tŒng qu¡t, nghi»m ký

dà cıa c¡c ph÷ìng trnh vi phƠn. Ni dung ca phn n y ữổc tham kh£o
tł c¡c t i li»u [30, 16, 3]. Xuy¶n suŁt lu“n ¡n, c¡c v nh •u l v nh giao hoĂn,
cõ ỡn v v cĂc trữớng ãu cõ c sŁ khæng.


12

1.2.1

Trữớng vi phƠn

CĂc khĂi niằm v kt quÊ trong phn n y ÷ỉc tr…nh b y düa v o t i li»u
[3].
ành ngh¾a 1.22. Cho R l mºt v nh. Mºt ph†p ⁄o h m tr¶n R l mºt ¡nh x⁄
D : R ! R sao cho vỵi måi x; y 2 R thọa mÂn cĂc iãu kiằn

D(x + y) = Dx + Dy;

D(xy) = yDx + xDy:

(1.1)
(1.2)

Nâi c¡ch kh¡c, D l mºt ¡nh x⁄ cºng t‰nh v thäa m¢n quy t›c Leibniz.
Ph†p ⁄o h m D câ th” ¡p dửng nhiãu ln trản mt phn tò. Vợi mỉi s
tỹ nhiản n, vợi mỉi a 2 R, o h m cĐp n ca a, kỵ hiằu a
mt cĂch quy np nhữ sau: a

(0)

(n)

=ava

nh nghắa 1.23. Cp (R; D)
mt trữớng th ta nâi (R; D) l

= D(a

(n)

, ÷ỉc x¡c ành

(n 1)

) vợi n 1.

ữổc gồi l mt v nh vi phƠn. Nu R l

mt trữớng vi phƠn.

Nu khổng cõ sỹ nhm lÔn th ta thữớng nõi R l mt v nh (trữớng)
vi phƠn thay cho cp (R; D).
V dử 1.24. Mt v nh bĐt ký l mt v nh vi phƠn vỵi ph†p ⁄o h m khỉng,
tøc l ⁄o h m ca mồi phn tò ãu bng 0.
V dử 1.25. V nh c¡c a thøc mºt bi‚n C[x] l mºt v nh vi phƠn vợi
d
php o h m thổng thữớng dx x¡c
!
dx

d

n

X
i=0

aixi

ành nh÷ sau:
=

iaix

i 1

n

Xi
=0

:


13

V‰ dö 1.26. Cho (R; D) l mºt v nh vi ph¥n. V nh c¡c a thøc mºt bi‚n

R[x] l mt v nh vi phƠn vợi php o h m
n

D

!

aixi

D x¡c ành nh÷ sau:
n
i
D(ai)x ;

=

X

Xi

i=0

=0

tøc l ph†p ⁄o h m ÷ỉc thüc hi»n b‹ng c¡ch ¡p dưng ph†p ⁄o h m D lản
tĐt cÊ cĂc hằ s ca a thức cıa R[x]. Chflng h⁄n, x†t R = C[y] vỵi
d . Khi â ph†p ⁄o h m d
ph†p ⁄o h m thổng thữớng
trản C[y][x]
dy

dy

@
cụng
@ chnh l php o h m riảng @y . Tữỡng tỹ, trản v nh a thức C[x][y] ta câ d =
.

@x

dx

Tł ành ngh¾a ta suy ra nhœng tnh chĐt ỡn giÊn sau ca php o h
m.
0

Mằnh

ã 1.27. Cho (R; ) l mºt v nh vi ph¥n. Khi â
0

0

1. 1 = 0;0 = 0:
2. (an)0 = nan
vỵi måi s nguyản n

a

1 v vợi mồi a 2 R:

1 0

3. (a 1)0 =
n 0

a

0

a
n

(a ) = na
a
ab
4.
=
b

vỵi måi a 2 R kh£ nghàch. Tł â suy ra

2

1

0

0

Chøng minh.

0

(a) vỵi måi s nguyản n.
ba
, vợi mồi a; b 2 R v b kh£ nghàch.
0

b

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

= 1 + 1 : Suy ra 1 = 0:

1. Ta câ 1 = (1 1) = 1 1 + 11

0

T÷ìng tü, 0 = (0 + 0) = 0 + 0 : Suy ra 0 = 0.
2. Ta chứng minh quy np theo n nguyản dữỡng. flng thức luổn úng
vợi n = 1. GiÊ sò flng thức úng vỵi n = k

(a

k 10

) = (k 1)a

1, tøc l

k 2 0

a :


14

Khi â ta câ
k0

0 k 1

(a ) = a a

+ (a

0

k 10

0 k 1

) a=a a

1 0

3. Ta câ 0 = 1 = (a a )

0

+ a(k 1)a

1

k 2 0

k 1 0

a = ka

a:

1 0

= a (a ) + (a ) a. Tł â suy ra
1 0

0

2

(a ) = a a :
GiÊ sò n l mt s nguyản Ơm, ta câ
n 0

Suy ra

1 n 0

(a ) = (a )

n 0

1 0

0

2

(a ) = n( a a )a
a
0

4. Ta câ a =
Suy ra

b

0

b

=

a

n+1

a

0

0

b+b

b

1 n 1

= n(a ) (a )

b

:

0 n 1

= na a

:

:

0

a

b

b=a

b

Do â

a

0

0

b

:

0

a
b

=

ab
0

ba

:
2
0

b

ành ngh¾a 1.28. Cho (K; D) l mºt trữớng vi phƠn. Tp hổp

C = fc 2 K j Dc = 0g
l mºt tr÷íng con cıa tr÷íng K v

÷ỉc gồi l trữớng cĂc hng ca K.

nh nghắa 1.29. Cho (R; D) v (S; )

l

c¡c v nh vi ph¥n. Ta nâi

(S; ) l mºt mð rºng vi ph¥n cıa (R; D) v a = n‚u R l mºt v nh con cıa S
Da vỵi måi a 2 R.


15

Mằnh ã 1.30. Cho (R; D) l mt miãn nguyản vi phƠn v F l trữớng cĂc
thữỡng ca R. Khi õ tỗn ti duy nhĐt mt php o h m tr¶n F sao cho (F; ) l
mºt mð rºng vi ph¥n cıa (R; D). Cư th”, n‚u x 2 F v x =

a

b vỵi a; b 2 R, b

6= 0 th

x=

bDa 2 aDb:

b
V dử 1.31. Trữớng C(x) cĂc phƠn thức theo bin x l trữớng cĂc thữỡng
d
ca miãn nguyản C[x]. Do â ph†p ⁄o h m thỉng th÷íng dx cıa cĂc a
thức ữổc m rng mt cĂch duy nhĐt th nh ph†p ⁄o h m cıa c¡c ph¥n
thøc
dx Q(x)
Q(x) d P (x) P (x) d Q(x)
d

P (x)

dx

=

Q2

dx

(x)

:

M»nh • 1.32. Gi£ sß L l mºt mð rºng ⁄i sŁ cıa mºt trữớng vi phƠn (K; D) .
Khi õ tỗn ti duy nhĐt mt php o h m trản L m rng php o h m trản K.
Cử th, vợi mỉi 2 L, gi£ sß P (x) 2 K[x] l a thøc tŁi ti”u cıa tr¶n K. Khi â

=

D(P)(
d

d
trong â

dx

)

;

P ()

D l cĂc php o h m ữổc nh nghắa trong V dư 1.25
v

dx
v V‰ dư 1.26.
V‰ dư 1.33. Gi£ sß l
p

l bi”u di„n h m

mºt nghi»m cıa a thøc Y

2

x 2 C(x)[Y ], tøc
d

x. Khi â câ duy nh§t mºt ph†p ⁄o h m dx mð

d

rºng ph†p ⁄o h m dx tr¶n C(x)
C(x) v

d

1

dx = 2 .

” C(x)( ) l mºt mð rºng vi ph¥n cıa


16

Mằnh ã 1.34. GiÊ sò (K; D) l mt trữớng vi phƠn v t l siảu viằt trản

K. Khi õ vợi mỉi w 2 K(t) tỗn ti duy nhĐt mt ph†p ⁄o h m
K(t) sao cho

t = w v (K(t);

tr¶n

) l mºt mð rºng vi ph¥n cıa (K; D).

p dưng mằnh ã trản cho C(x), ta suy ra rng
duy nhĐt trản C(x) sao cho dc = 0 vợi mồi c 2 C v
dx

d
ph†p ⁄o h m
dx l
dx = 1.
dx

M»nh • 1.35. Gi£ sß (L; ) l mºt mð rºng vi phƠn ca mt trữớng vi phƠn
(K; D). Khi õ
1. Nu c 2 L l

i s trản trữớng hng C ca K th… c l

h‹ng.

2. N‚u c 2 L l h‹ng v c ⁄i sŁ tr¶n K th… c ⁄i sŁ trản trữớng hng C ca K.

Chứng minh. 1. GiÊ sò P (X) l a thøc ìn cüc ti”u cıa c tr¶n C. ⁄o h m flng

thøc P (c) = 0 ta suy ra

dP
0=
dP
V… ( DP ) = 0 v

(P (c)) = ( DP )(c) + dx (c) c:

(

c = 0. Do â c l mºt h‹ng.
dx nc) =6 0 n¶n
n 1

2. Gi£ sß P (X) = X + an 1X

+ + a1X + a0 l a thøc ìn cüc ti”u cıa c

tr¶n K. ⁄o h m hai v‚ flng thøc P (c) = 0 v sß dưng gi£ thi‚t c = 0 ta suy ra

(Dan

1)c

n 1

+

+ (Da1)c + Da0 = 0:

Do tnh cỹc tiu ca P (X) nản iãu n y x£y ra khi måi h» sŁ Dan

Da1; Da0 •u b‹ng 0. V… v“y an

1;

: : : ; a1; a0 l c¡c h‹ng cıa K.

1;

:::;