chuyen de Phuong trinh duong thang

Ngày soạn: 05/03/2019

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
MẶT PHẲNG
Tiết 28+29+30 Bài 1 CĐ: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức
+ Thuộc định nghĩa vecto chỉ phương, vecto pháp tuyến của đường thẳng
+ Nắm được dạng phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng
+ Thuộc được điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vng góc
với nhau
+ Thuộc được cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, góc giữa hai
đường thẳng
2. Về kỹ năng
+ Viết được phương trình tổng qt, phương trình tham số của đường
+ Tính được tọa độ của vecto pháp tuyến nếu biết tọa độ của vecto chỉ phương và ngược
lại
+ Biết chuyển đổi phương trình tổng quát, phương trình tham số
+ Sự dụng được cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
+ Tính được số đo góc giữa hai đường thẳng
3. Về thái độ
+ Nghiêm túc, tích cực học tập
4. Định hướng phát triển năng lực
+ Năng lực tự học
+Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
+ Năng lực giao tiếp và hợp tác
+ Năng lực tính tốn
II. HÌNH THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP
+ Hình Thức: Dạy học trên lớp
+ Phương pháp: Hoạt động nhóm, phát hiện và giải quyết vấn đề,…
III. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1. Chuẩn bị của giáo viên
+ Giáo án, hệ thống kiên thức và câu hỏi gợi mở,…
2. Chuẩn bị của học sinh
+ Vở ghi, sách giáo khoa, …, ôn tập kiến thức về vecto đã học
IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1. Ổn định lớp
+ Kiểm tra sĩ số
Lớp

Ngày dạy

Tiết

Sĩ số

2. Kiểm tra bài cũ
+ Kết hợp trong quá trình giảng bài mới

Học sinh vắng


3. Bài mới

Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm vecto chỉ phương của đường thẳng
H1: Nhận xét về giá của các vecto so với
đường thẳng?
D1: Giá của các vecto và giá của đường thẳng
song song hoặc trùng nhau.

H2: Nêu định nghĩa vecto chỉ phương của
đường thắng?

D2: Vecto u được gọi là vecto chỉ phương của
 
đường thẳng Δ nếu u ≠ 0 và giá của u song
song hoặc trùng Δ.
H3: Một đường thẳng có bao nhiêu vecto chỉ
phương?
D3: Một đường thẳng có vơ số vecto chỉ
phương
H4: Một đường thẳng có thể xác định nếu biết
một điểm thuộc đường thẳng và vecto chỉ
phương của đường thẳng hay ko?
D4: Một đường thẳng hoàn toàn được xác định
nếu biết một điểm và một vecto chỉ phương
của nó


a


u



b

1. Vecto chỉ phương của đường thẳng


Vecto u được gọi là vecto chỉ phương của
đường thẳng Δ khi u ≠ 0 giá của u song
song hoặc trùng Δ .
Nhận xét:

+ u là VTVP của  ⇒ vecto k u cũng
là VTCP của Δ
+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định
nếu biết một điểm và một vecto chỉ phương
của nó

Hoạt động 2: Tìm hiểu phương trình tham số của đường thẳng
*Bài toán: Cho đường thẳng Δ đi qua

M 0 (x 0 ; y 0 ) cho vecto chỉ phương u (u1;u2).
H1:Tìm điều kiện để điểm M(x;y) nằm trên Δ?
D1:
Ta có


M0 M cùng phương u
M




M M tu
 0
 x  x0 tu1
 y  y tu

0
2

 x  x0  tu1

 y y0  tu2 (tR) (I)
H2: Khi cho t một giá trị cụ thể ta được gì ?
D2: Ta xác định được một điểm trên đường
thẳng Δ.

2. Phương trình tham số của đường thẳng
*Bài toán: Cho đường thẳng Δ đi qua

M 0 (x 0 ; y 0 ) cho vecto chỉ phương u (u1;u2).
Tìm điều kiện để điểm M(x;y) nằm trên Δ?
+Ta có 

M0 M cùng phương u
M


M0 M tu

 x  x0 tu1

y  y0 tu2

 x  x0  tu1

 y y0  tu2 (tR) (I)

a)Định nghĩa
+ Hệ phương trình (I) được gọi là phương trình
tham số của đường thẳng Δ, trong đó t là tham
số.
Ví dụ 1: Tìm một điểm có tọa độ xác định và
một vecto chỉ phương của đường thẳng có


H3: Để viết được phương trình tham số ta cần
xác định những yếu tố nào?
D3: Vecto chỉ phương và một điểm thuộc
đường thẳng
*Phương trình chính tắc
+ biểu diễn t theo x,y ta có:
¿
x − x0
=t
u1
 y − y0
=t
u2
¿{
¿
x − x0 y − y0
⇒
=
u1
u2

phương trình tham số:

 x 2  t

 y 3  2t
Giải
+ t = 2  M(4; –1)
t = –1  N(1; 5)

+ vecto chỉ phương u (1;-2)
Ví dụ 2: Lập phương trình tham số đường thẳng Δ

đi qua M(2; 1) và có VTCP u = (3; 4).
Giải
x 2  3t

Δ : y 1  4t
Ví dụ 3: lập phương trình tham số và phương trình
chính tắc của đường thẳng đi qua A(3;2) và B(5;6).
Giải

u=(2 ; 4)
Phương trình đường thẳng đi qua A(3;2) và có
VTCP u=(2 ; 4) là:

¿
x=3+2 t
y=2+ 4 t
¿{
¿
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
x −3 y −2

=
2
4

Hoạt động 3: Tìm hiểu mối liên hệ giữa vecto chỉ phương và hệ số góc của
đường thẳng
* Đường thẳng Δ là đồ thị của hàm số y=ax+b

và có vecto chỉ phương u (u1;u2) với u2 ≠ 0.
u2
u
Ta có hệ số góc: k = a = 1
Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường
thẳng Δ đi qua hai điểm A(2; 3) và B(3;1). Tính hệ
số góc của Δ.

b) Liên hệ giữa vecto chỉ phương và hệ số
góc
Ví dụ: Vecto
chỉ phương

AB = (1; –2)

AB = (1; –2)
 x 2  t

 :  y 3  2t

2
k = 1 = –2

Hoạt động 4: Tìm hiểu khái niện vecto pháp tuyến của đường thẳng
H1: Cho đường thẳng Δ có phương trình tham
¿
x=2+3 t
số là y=1+ 4 t và vecto n=(− 4 ; 3)
¿{
¿
CMR: Vecto n vng góc với vecto chỉ
phương của Δ
D1:
u=(3 ; 4)
n=(− 4 ; 3)

3. Vecto pháp tuyến của đường thẳng
+ Vecto n được gọi là vecto pháp tuyến của
đường thẳng Δ
⇔
n ≠0
n ⊥ u
¿{
Nhận xét:
+ Nếu n là VTPT của Δ thì k n cũng
làVTPT của 


u . n =3 .(− 4)+4 .3 =0
⇒ n ⊥ u
H2: Nếu n là vecto pháp tuyến của Δ thì có
nhận xét gì về vecto k n (k ≠ 0)?

+ Vecto k n cũng là vecto pháp tuyến của
Δ.
H3: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua một
điểm và vng góc với một đường thẳng cho
trước?
D3: Có một và chỉ một.

+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định
nếu biết một điểm và vecto pháp tuyến của
đường thẳng đó

Hoạt động 5: Tìm hiểu phương trình tổng quát của đường thẳng
4. Phương trình tổng qt cuat đường thẳng
*Bài tốn: Cho Δ đi qua M0(x0;y0) và có vecto *Bài tốn: Cho Δ đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có
vecto pháp tuyến n=(a ; b) . Tìm điều kiện
pháp tuyến n=(a ; b) . Tìm điều kiện để
để điểm M (x ; y )∈ Δ ?
điểm M (x ; y )∈ Δ ?
a)Định nghĩa
Giải
Dạng: ax+ by +c =0 với a2 +b 2 ≠ 0 Nhận
M (x ; y )∈ Δ
xét:
⇔
M 0 M ⊥ u
+ Nếu Δ :ax + by+ c=0 thì Δ có:
⇔ a( x − x0 )+b( y − y 0)=0
VTPT n=(a ; b)
⇔ax + by+(− ax0 − by 0)=0
VTCP u=(− b; a) , (b ; − a)

⇔ax + by+ c=0 với c=− ax 0 − by 0
Ví dụ 1: Đường thẳng có phương trình tham
số:
Ví dụ 1 Giải
 x 2  t
u=(1 ; −2)

 y 3  2t
n=(2 ; 1)
a) Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng
b) Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng
Ví dụ 2: Giải
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của
a)Phương trình tổng quát
đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:
1( x − 3)+3 ( y − 5)=0
a)Đường thẳng đi qua M(3;5) và có vecto pháp
⇔ x +3 y −13=0
tuyến n=(1 ; 3)
b)Vecto pháp tuyến
b) Đường thẳng đi qua M(3;5) và có vecto chỉ
n=(4 ; −7)
phương u=(7 ; 4 )
4 ( x − 3)−7 ( y −5)=0
+
c) Đường thẳng đi qua hai điểm A(1;3) và
4 x −7 y +1=0
B(3;8)
c)Ta có:


Ví dụ 3: Cho hai điểm A(1;6) và B(5;4). Viết
AB=(2 ; 5)
phương trình tổng quát của đường thẳng trung
Vecto pháp tuyến n=(5 ; −2)
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua trực đoạn AB.
A(1;3) và có vecto pháp tuyến n=(5 ; −2)
là:
5( x − 1)−2( y − 3)=0
5 x −2 y+ 1=0
Ví dụ 3: Giải

AB=( 4 ; −2)
Gọi I( x I ; y I ) là trung điểm AB, ta có:


¿
1+5
xI =
2
6 +4
yI =
2
⇒ I (2; 5)
⇔
¿ x I =2
y I =5
¿{
¿
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
I (2; 5) và có vecto pháp tuyến


AB=(2 ;1) là:
4 (x − 2) −2( y −5)=0
⇔ 2 x −2 y+ 2=0
⇔ x − y +1=0

Hoạt động 6: Tìm hiểu các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát
b)Các trường hợp đặc biệt
Cho Δ :ax + by+ c=0

(1)

+Nếu a=0 thì (1)⇔ y =−
⇒ Δ⊥ Oy

+ a=0

c
b

y
Δ

c
−
b

c
tại (0 ; − )
b

O
+Nếu b=0 thì (1)⇔ x=−
⇒ Δ⊥ Ox

c
a

x

+ b=0
y

c
tại (− ; 0)
a

−

c
a

O
+Nếu c=0 thì (1) trở thành
Khi đó Δ đi qua gốc tọa độ.

ax+ by=0

x

+ c=0
y
Δ

+Nếu a , b , c ≠ 0 thì
(1) ⇔ ax+by=− c
ax by
⇔
+
=1
−c −c
x
y
⇔
+
=1
c
c
−
−
a
b
c
c
Đặt a0 =− ,b 0=−
a
b

O

+ a,b,c≠0
y
ta có:

N

x


x y
+ =1
(2)
a0 b 0
(2) được gọi là đường thẳng theo đoạn chắn đi
c
c
qua hai điểm M (− ; 0) , N (0 ; − )
a
b
Ví dụ: Phương trình đường thẳng đi qua
A (3 ; 0) và B (0 ; 5) là:
x y
+ =1
3 5

−

c
b
Δ

−

O

c
a

M

x

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua
A (3 ; 0) và B (0 ; 5)

Hoạt động 7: Tìm hiểu cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
H1: Có bao nhiêu vị trí tương đối của đường
thẳng ?
D1: Có 3 vị trí tương đối củng đường thẳng là:
cắt nhau, song song, trùng nhau.
H2: Cho hai đường thẳng
Δ 1 :a1 x+b1 y+ c 1=0
Δ 2 :a 2 x +b2 y+ c 2=0
Tìm tọa độ giao điểm của chúng?
D2: Tọa độ giao điểm của Δ 1 và Δ 2 là
nghiệm của hệ phương trình
¿
a1 x+ b1 y + c1 =0
a2 x+ b2 y+ c 2=0 (I)
¿{
¿

Δ1

y
Δ2

O

x

Y

Δ1
Δ2

O

x

Giải
a) d với

Δ1
¿
x − y +1=0
2 x + y − 4=0 có nghiệm (1;2)
¿{
¿
⇒ d cắt Δ 1 tại (1;2)
b) d với Δ 2

¿
x − y +1=0
x − y −1=0 vô nghiệm
¿{
¿
⇒ d // Δ 2
c) d với Δ 3
¿
x − y +1=0
2 x +2 y − 2=0 có vơ số nghiệm
¿{
¿

Y

Δ1
Δ2

O

x

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng
Δ 1 :a1 x+ b1 y+ c 1=0
Δ 2 :a 2 x +b2 y+ c 2=0
Tọa độ giao điểm của Δ 1 và Δ 2 là
nghiệm của hệ phương trình

⇒

d ≡ Δ3

¿
a1 x+ b1 y + c1 =0
a2 x+ b2 y+ c 2=0 (I)
¿{
¿
⇔ (I) có nghiệm
+ Δ 1 cắt Δ 2
⇔ (I) vô nghiệm
+ Δ 1 // Δ 2
Δ
Δ
⇔ (I) có vơ số nghiệm
+ 1
2
Ví dụ1: Cho đường thẳng d : x − y +1=0
Xét vị trí tương đối của d với các đường thẳng
sau:
a) Δ 1 :2 x+ y − 4=0
b) Δ 2 : x − y − 1=0
c) Δ 3 :2 x+ 2 y −2=0

Hoạt động 8: Tìm hiểu cách xét vị trí tương đối của đường thẳng dựa vào các
hệ số của phương trình tổng quát
GV hướng dẫn HS nhận xét qua việc giải hệ
phương trình ở trên.
H1: Khi nào hệ (I) có :

+ Một nghiệm
+ Vô nghiệm
+ Vô số nghiệm
a1 b 1
≠
D1: + Hệ (I) có nghiệm khi
a2 b 2
a1 b1 c 1
= ≠
+ Hệ (I) vô nghiệm khi
a2 b 2 c 2
a1 b1 c1
= =
+ Hệ (I) có vơ số nghiệm khi
a2 b 2 c 2

*Nhận xét:
Giả sử a2 , b2 , c2 ≠ 0
+ Hệ (I) có nghiệm khi
cắt

Δ2

+ Hệ (I) vơ nghiệm khi
⇒

a1 b 1
≠
a2 b 2

⇒

Δ1

a1 b1 c 1
= ≠
a2 b 2 c 2

Δ 1 // Δ 2

+ Hệ (I) có vơ số nghiệm khi

a1 b1 c1
= =
a2 b 2 c 2

Δ 1 ≡ Δ2
⇒
Ví dụ 2: Thực hiện lại ví dụ 1 bằng cách xét tỉ
số của các hệ số.

Hoạt động 9: Tìm hiểu cách tính góc giữa hai đường thẳng
GV giới thiệu về góc giữa hai đường thẳng

H1: So sánh góc giữa ( Δ 1 , Δ 2) với góc giữa
( n1 , n2) ?
( n1 , n2)
¿
180∘ −(n1 , n2 )
D1:

¿
¿
¿
( Δ 1 , Δ 2)=¿
GV vẽ hình minh họa

6. Góc giữa hai đường thẳng
Δ 1 cắt Δ 2 tạo thành bốn góc ( Δ 1
khơng vng góc với Δ 2 ) góc nhọn trong
bốn góc được gọi là góc giữa hai đường thẳng.
Kí hiệu: ( Δ 1 , Δ 2) hoặc
+ Δ 1 ⊥ Δ2 ⇒( Δ1 , Δ2 )=90∘
+ Δ 1 // Δ 2 ⇒ ( Δ 1 , Δ 2)=0∘
∘
∘
0 ≤ ( Δ1 , Δ2 )≤ 90
Cho Δ 1 :a1 x+ b1 y+ c 1=0
Δ 2 :a 2 x +b2 y+ c 2=0
ϕ=( Δ1 , Δ2 )
Đặt


H2: Nhắc lại cơng thức tính cos góc giữa hai
vecto?
D2: a =( a1 , b 1) , b=( a2 , b 2)
a a +b b
a . b

cos (a , b)=
= 2 1 22 12 2

|a|.|b| √ a 1+ b1 √ a 2+ b2
Ví dụ 1: Giải
− 2¿ 2
¿
− 1¿ 2
¿
32 +¿
a)
12 + ¿
√¿
|1. 3+(−2).(− 1)|
cos (d 1 , d 2 )=
¿
Vậy (d 1 , d2 )=45∘

2
n1 , n¿
|n1 . n2|
cos ¿=
|n1||n2|
cos ϕ=¿
⇒cos ϕ=

a1 a2 +b1 b2
2
1

2
1

2
2

√ a +b √ a +b

2
2

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng
a) d 1 : x −2 y +5=0
d 2 :3 x − y +2=0
b) d :4 x +3 y +1=0
d 2 :3 x −4 y+ 1=0

2

−4¿
¿
32 +¿
b)
√ 4 2+3 2 √ ¿
|4 . 3+3 .(− 4)|
cos (d 1 , d 2 )=
¿
Vậy (d 1 , d2 )=90 ∘
H3: Cho Δ 1 ⊥ Δ2 nhận xét về các vecto
n1 và n2 ?
D3: Δ 1 ⊥ Δ2
⇔ n2 ⊥ n2
⇔ n 1 . n2=0

Chú ý:
+ Δ 1 ⊥ Δ2 ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ a1 a2 +b1 b2=0
+ Δ 1 : y=k 1 x +m1
Δ 2 : y=k 2 x +m 2
Δ 1 ⊥ Δ2 ⇔ k 1 k 2 =−1

Hoạt động 10: Tìm hiểu cách tính khoảng cách từ một điểm đến
một đường thẳng
GV đưa ra cơng thức tính khoảng cách từ một
điểm tới một đường thẳng
Ví dụ 1: Giải
2

− 2¿
¿
2
3 +¿
√¿
|3 .(−2)− 2. 1 −1|
d (M , Δ)=
¿
− 2 ¿2
¿
2
3 +¿
√¿
|3 .(0)−2 .0 −1|
d (O , Δ)=
¿

4. Củng cố

7. Cơng thức tính khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng
Cho Δ:ax + by+ c=0 và điểm M 0 (x ; y ) .
Khoảng cách từ M 0 đến Δ kí hiệu:
d ( M 0 ; Δ)
|ax 0 + by0 + c|
d (M 0 , Δ)=
√ a2 +b 2
Chứng minh (Sgk-79)
Ví dụ 1: Tình khoảng cách từ điểm
M (−2 ; 1) và O(0 ; 0) đến đường thẳng
Δ :3 x − 2 y −1=0


* Nhấn mạnh
+ Vecto chỉ phương, phương trình tham số, hệ số góc của đường thẳng
+ Cách lập phương trình tham số của đường thẳng
+ Vecto pháp tuyến, phương trình tổng quát của đường thẳng
+ Cách lập phương trình tổng quát của đường thẳng
+ Cách xét vị trí tương đối của đường thẳng
+ Cách tình góc giữa hai đường thẳng
+ Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
5. Hướng dẫn học bài ở nhà
+ Làm bài tập 1→ 10 (sgk-80,81)
+ Làm các bài tập trong sách bài tập
+ Đọc trước bài tiếp theo