Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số’’

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ Lời mở đầu.
Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà
nước. Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chun mơn của
trường THPT Hồng Lệ Kha năm học ………
Trong q trình giảng dạy, tơi được nhà trường tin tưởng giao cho dạy các
lớp mũi nhọn, đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh khá, giỏi. Chính vì vậy
ngồi việc giúp các em nắm chắc kiến thức cơ bản tơi cịn phải bồi dưỡng các
em tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh và đặc biệt tôi coi việc bồi
dưỡng cho các em ôn thi đại học là nhiệm vụ quan trọng số một.
Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần hàm số đóng vai trị quan
trọng hàng đầu. Phần hàm số là phần rất nhiều vấn đề và rất nhiều bài tập
phong phú điển hình là các bài tốn về đồ thị hàm số, trong đề tài của mình
tơi chọn vấn đề quan trọng của đồ thị hàm số là một số bài toán khoảng cách
liên quan đến đồ thị hàm số.
Từ lý do chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại
học, cùng với kinh nghiệm trong q trình giảng dạy. Tơi đã tổng hợp, khai
thác thành chuyên đề: ‘‘Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán khoảng
cách liên quan đến đồ thị hàm số’’.
Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một số
phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài toán
khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, tránh tình trạng khi các em gặp
phải các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số thường làm phức
tạp vấn đề hay không giải được. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các
bạn đồng nghiệp cùng các học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp

các bài tốn khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số.
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
1. Thực trạng vấn đề
Hiện nay khi gặp các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, một
số học sinh chưa tìm ra cách giải hoặc nếu có tìm ra cách giải thì thường làm
1
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

1
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

phức tạp hóa bài tốn nên khó kết thúc bài tốn, các em chưa biết lựa chọn
kiến thức hình học phù hợp với các bài toán.
2. Hệ quả của thực trạng trên
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời
gian để biến đổi bài toán. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa
biết cách phối hợp giữa hình học và các bài tốn đồ thị hàm số. Chính vì vậy
người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, để thuận lợi kết
thúc bài toán.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Các giải pháp thực hiện.
Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng
kiến thức hình học nào phù hợp. Sau đó giúp học sinh xây dựng phương pháp
giải phù hợp.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện.

Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán khoảng cách liên
quan đến đồ thị hàm số, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ơn tập các
kiến thức hình học về khoảng cách và kiến thức của hàm số. Sau đó giáo viên
chọn một số bài tốn điển hình cho các hàm số để học sinh vận dụng.
Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài toán tương đối đầy đủ về các bài
toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số.
1. Kiến thức tốn có liên quan
- Khoảng cách giữa hai điểm.
- Công thức khoảng cách từ một điểm đến đưịng thẳng.
- Kỹ năng tính nhanh cực trị của hàm đa thức bậc ba, hàm phân thức
bậc 2: bậc 1.
- Sử dụng bảng biến thiên của hàm số.
2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải
1
y = f ( x) = x 3 − mx 2 − x + m + 1
3
Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số
có

khoảng cách giữa các điểm cực đại cực tiểu là nhỏ nhất.
2
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

2
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

Phân tích bài tốn: Bài tốn giải theo ba bước
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đưa ra toạ độ các điểm
cực trị
Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị và sử dụng hàm số
hoặc các bất đẳng thức cơ bản đưa ra giá trị nhỏ nhất của khoảng cách đó từ
đó tìm ra m.
Bài giải:
2
2
Ta có: f '( x) = x − 2mx − 1 có ∆ = m + 1 > 0, ∀m f '( x) có hai nghiệm phân

biệt x1 ; x2 và hàm số đạt cực trị tại x1 ; x2 khi đó gọi các các điểm cực trị của đồ
thị hàm số là
A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ).
 x1 + x2 = 2m

Theo Viét ta có:  x1 x2 = −1 .

Thực hiện phép chia f ( x) cho f '( x) ta có:
1
2
2
f ( x ) = ( x − m). f '( x ) − (m 2 + 1) x + ( m + 1).
3
3
3

f


Do  f

−2 2
2

 y1 = f ( x1 ) = 3 (m + 1) x1 + ( 3 m + 1)

'( x1 ) = 0
 y = f ( x ) = −2 (m 2 + 1) x + ( 2 m + 1)
2
2
2
'( x2 ) = 0
3
3
nên 
.

Ta có:
4
AB 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( m 2 + 1)( x2 − x1 ) 2
9
4
= [( x2 + x1 ) 2 − 4 x1 x2 ][1 + ( m 2 + 1) 2 ]
9
4
4
= (m2 + 1)[1 + (m 2 + 1) 2 ] ≥ 4(1 + )
9

9
⇒ AB ≥

2 13
3

3
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

3
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

2 13
Vậy m=0 thì giá trị nhỏ nhất giữa điểm cực đại và cực tiểu là: 3 .
3
2
2
2
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) = − x + 3x + 3(m − 1) x − 3m − 1 . Tìm m để
đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu cách đều O.

Phân tích bài tốn: Bài tốn này ta làm theo hai bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay được cực trị.
Bước 2: Cho hai khoảng cách bằng nhau ta được giá trị m cần tìm.
Bài giải:

2
2
Ta có: f '( x) = −3 x + 6 x + 3( m − 1).

Hàm số đạt cực đại cự tiểu khi phương trình f '( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
2
2
Ta có: f '( x) = 0 ⇔ −3x + 6 x + 3(m − 1) = 0.
2
2
Ta cần có ∆ ' = 1 + m − 1 = m > 0 ⇔ m ≠ 0.

Với điều kiện đó hàm số có cực trị là x1 = 1 − m; x2 = 1 + m .
3
3
Gọi hai điểm cực trị là: A(1 − m; −2 − 2m ); B(1 + m; −2 + 2m ).

Khi đó:
OA = OB ⇔ (1 − m)2 + (−2 − 2m3 )2 = (1 + m)2 + (−2 + 2m3 )2
⇔ 16m3 − 4m = 0
m = 0
⇔
.
m = ± 1

2

Đối chiếu điều kiện

m=±

1
2.
y = f ( x) =

x 2 − mx + m
x −1
. Chứng minh với mọi m

Ví dụ 3: Cho hàm số
khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu là khơng đổi.

Phân tích bài tốn: Bài tốn này rất đơn giản ta làm theo hai bước
Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay được 2 cực trị.
4
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

4
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

Bước 2: Tính khoảng cách và đưa ra điều phải chứng minh.
Bài giải:
x2 − 2x
f '( x) =
( x − 1)2 .

Ta có:
x = 0
f '( x) = 0 ⇔ 
 x = 2 ⇒ hàm số có hai điểm cực trị là A(0;-m), B(2;4-m).
2
2
Khoảng cách hai điểm cực trị là: d = (2 − 0) + [(4 − m) − (−m)] = 2 5.

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
y = f ( x) =

x 2 + 2mx + 2
.
x +1
Tìm m để đồ thị hàm số có

Ví dụ 4: Cho hàm số
điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng (d):
x + y + 2 = 0 là bằng nhau.

Phân tích bài tốn: Bài tốn này ta giải theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cưc tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đư ra toạ độ hai điểm
cực trị.
Bước 3: Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
ta suy ra m.
Bài giải:

Ta có:

f '( x ) =

x 2 + 2 x + 2m − 2
2
( x + 1) 2
. Đặt: g ( x) = x + 2 x + 2m − 2; ∆ ' = 3 − 2m.

Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ f '( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ g ( x) = 0
∆ ' > 0
3 − 2 m > 0
3
⇔
⇔
⇔ m < (*)
2
có hai nghiệm phân biệt khác -1  g (−1) ≠ 0 3 − 2m ≠ 0
.

Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có: A( x1; 2 x1 + 2m), B( x2 ; 2 x2 + 2m).
 x1 + x2 = −2

x1 ; x2
g
(
x
)
=
0
Với
là hai nghiệm

, áp dụng viét ta có  x1 x2 = 2m − 2 .
5
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

5
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

Ta có:

d ( A;( d )) =

d ( B;(d )) =

Khi đó:

x1 + 2 x1 + 2m + 2
2

…..
=

x2 + 2 x2 + 2m + 2
2

=

3x1 + 2m + 2

2

;

3x2 + 2m + 2

d ( A; (d )) = d ( B; (d )) ⇔

2

.

3x1 + 2m + 2
2

=

3x2 + 2m + 2
2

⇔ 3 x1 + 2m + 2 = 3 x2 + 2m + 2
⇔ (3 x1 + 2m + 2) 2 = (3 x2 + 2m + 2) 2
⇔ (3 x1 − 3 x2 )(3 x1 + 3 x2 + 4m + 4) = 0
1
⇔ 3 x1 + 3 x2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m = .
2

Đối chiếu (*)

m=

1
2 thoả mãn.

Ngồi cách làm trên ta cịn có thể dùng hình học để giải dựa vào cơ sở hai
điểm A, B cách đều (d) khi AB song song với d hoặc trung điểm của AB
thuộc (d).
x 2 + mx
y = f ( x) =
.
1 − x Tìm m để hàm số có cực trị
Ví dụ 5: Cho hàm số

khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 10.
Phân tích bài tốn: Bài tốn này làm theo ba bước:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để tìm toạ độ của điểm cực
đại, điểm cực tiểu.
Bước 3: Tính khoảng cách và áp dụng viét ta có m.
Bài giải:

Ta có:

f '( x) =

− x2 + 2x + m
(1 − x) 2
.

2

Đặt: g ( x) = − x + 2 x + m; ∆ ' = 1 + m .

Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1
6
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

6
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

∆ ' > 0
m + 1 > 0
⇔
⇔
⇔ m > −1(*).
 g (1) ≠ 0 1 + m ≠ 0

Khi đó sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có hai điểm cực trị là:
A( x1; −2 x1 − m); B ( x2 ; −2 x2 − m).

Với ⇔ x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình

g ( x) = 0 .
 x1 + x2 = 2

Theo viét:  x1 x2 = −m .

Ta có:
AB = 10 ⇔ AB 2 = 100 ⇔ ( x2 − x1 )2 + 4( x2 − x1 ) 2 = 100
⇔ ( x2 − x1 ) 2 = 20 ⇔ ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = 20
⇔ 4 + 4m = 20 ⇔ m = 0.

Đối chiếu (*) m=4 thoả mãn.
y = f ( x) =

3x − 5
x − 2 có đồ thị (H). Tìm trên (H) điểm

Ví dụ 6: Cho hàm số
M để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (H) là nhỏ nhất.
Phân tích bài tốn:
Bước 1: Tìm tiệm cận đứng và ngang.

Bước 2: Tính tổng các khoảng cách, áp dụng bất đẳng thức cơsi tìm giá
trị nhỏ nhất. Từ đó tìm được điểm M.
Bài giải:
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3 , tiệm cận đứng x = 2 .
Gọi toạ độ

M (a; a +

tiệm cận là:

1
) ∈ (H )
a−2

. Khi đó tổng khoảng cách từ M đến hai đường

d ( M ) = xm − 2 + y M − 3 = m − 2 +

Dấu bằng xẩy ra khi:

m−2 =

1
1
≥ 2 m−2 .
=2
m−2
m−2

m = 1
1
⇔ ( m − 2) 2 = 1 ⇔ 
m−2
m = 3

Từ đó ta có M(1;2) và M(3;4).
7
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

7
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

y = f ( x) =

…..
x 2 + 3x + 3
x + 2 có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C)

Ví dụ 7: Cho hàm số
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Phân tích bài tốn:

Bước 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bước 2: Gọi toạ độ của M ra và tính tổng khoảng cách từ M đến hai
tiệm cận sau đó áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có giá trị nhỏ nhất từ đó tìm
được M.
Bài giải:
Ta dễ tìm được tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là: x + 2 = 0 ; Tiệm cận
xiên của đồ thị hàm số là x − y + 1 = 0 .
a 2 + 3a + 3
a;
a + 2 ) thuộc (C). Tổng khoảng cách từ M đên hai tiệm cận là :
Gọi M(
x0 − y0 + 1
1
= x0 + 2 +
2
2 x0 + 2

d ( M ) = x0 + 2 +

Theo bất đẳng thức cơsi ta có:

d ( M ) ≥ 2 x0 + 2

1
=48
2 x0 + 2

4
Tức là giá trị nhỏ nhất của d(M) là 8 khi


 x0 = −2 +
1
1
2
x0 + 2 =
⇔ ( x0 + 2) =
⇔
2 x0 + 2
2

 x0 = −2 −

Vậy toạ độ M(

−2 +

1
2
1
4

2
4

1
1
1
1
4
4
;
−
1
+
2
+
−
2
−
;
−
1
−
2
−
4
4
4
4
2
2 ) hay M(

2
2 ).

x 2 + 5 x + 15
y = f ( x) =
x+3
Ví dụ 8: Cho hàm số
có đồ thị (C). Tìm M thuộc

(C) sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M
đến trục tung.
8
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

8
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

Phân tích bài tốn:
Bước 1: Gọi toạ độ của M
Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến trục hoành d1, khoảng cách từ M
đến trục tung d2. Ta có phương trình d1=2d2 từ đó tìm được M.
Bài giải:
Gọi toạ độ M(

a;

a 2 + 5a + 15
a+3
)

Khoảng cách từ M đến trục hoành là:

a 2 + 5a + 15
d1 =
a+3

.

Khoảng cách từ M đến trục tung là: d 2 = a .

Ta có:

d1 = 2d 2 ⇔

a 2 + 5a + 15
=a
a+3

Xét hai trường hợp:

−1 + 61
a =
a + 5a + 15
2
= a ⇔ a 2 + a − 15 = 0 ⇔ 

a+3

−1 − 61
a =

2
+ Trường hợp 1:
2

−1 + 61
−1 − 61
; −1 + 61); (
; −1 − 61)
2
2
Khi đó toạ độ M là:
.
(

a 2 + 5a + 15
= − a ⇔ 3a 2 + 11a + 15 = 0
a+3
+ Trường hợp 2:
phương trình này vô

nghiệm.
−1 + 61
−1 − 61
; −1 + 61); (
; −1 − 61)

2
2
Vậy toạ độ M là:
.
(

y = f ( x) =

x −1
x + 1 có đồ thị (H). Tìm M thuộc (H)

Ví dụ 9: Cho hàm số
sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
Phân tích bài tốn:
9
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

9
THPT Hồng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

Bước 1: Gọi toạ độ của M sau đó tính tổng khoảng cách từ M đến hai
trục toạ độ.
Bước 2: Ta tìm cách hạn chế miền tìm giá trị nhỏ nhất để thuận lợi cho
việc tìm giá trị nhỏ nhất.
Bài làm:

Gọi toạ độ M(

a;

a −1
a + 1 ) thuộc (H).

Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là:
d (M ) = a +

a −1
.
a +1

Để ý rằng với M(1;0) thì d(M)=1 do đó để tìm giá trị nhỏ nhất d(M) ta
 a <1
 −1 < a < 1

⇔
⇔ 0 < a < 1.
 a −1
 a + 1 < 1 1 − a < 1 + a
chỉ cần xét khi: 

Với 0 < a < 1 thì

d (M ) = a +

Áp dụng cơsi ta có:

a −1
a −1
1
=a+
= (a + 1) +
−2
a +1
a +1
a +1

d ( M ) ≥ 2 (a + 1)

2
−2 = 2 2 −2
(a + 1)

2

a + 1 =
a + 1 ⇔ a = 2 −1


Khi đó giá trị d(M) nhỏ nhất khi: 0 < a < 1

Vậy toạ độ M( 2 − 1;1 − 2 ).
y = f ( x) =

x2 + x − 6
x − 3 có đồ thị là (C). Tìm điểm M

Ví dụ 10: Cho hàm số
thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ M(

a;

6
a2 + a − 6
a; a + 4 +
a − 3 ) hay M(
a − 3 ).

10
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

10
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

Bước 2: Tính tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ, giới hạn miền
lấy giá trị nhỏ nhất, sử dụng hàm số tìm giá trị nhỏ nhất.
Bài giải:
Gọi toạ độ M(

x;

6
x2 + x − 6
x; x + 4 +
x − 3 ) hay M(
x − 3 ).

Tổng khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là:
d (M ) = x + x + 4 +

6
x−3 .

Do M(2;0)thuộc (C) nên tìm giá trị nhỏ nhất d(M) ta chỉ cần xét với x ≤ 2 , xét
hai khả năng:
*) Nếu −2 ≤ x ≤ 0 thì
g '( x ) =

d ( M ) = g ( x) = 4 +

6
x−3

−6
<0
( x − 3) 2
suy ra giá trị nhỏ nhất trên [-2;0] là g(0)=2.

*) Nếu 0 ≤ x ≤ 2 thì
p '( x ) = 2 −

d (M ) = p( x) = 2 x + 4 +

6
x−3

x = 3 − 3
6
=
0
⇔

( x − 3) 2
 x = 3 + 3

Lập bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất d(M) trên [0;2] là p(0)=p(2)=2.
Vậy toạ độ M(2;0) và M(0;2).
y = f ( x) =

4x − 9
x − 3 có đồ thị (H). Tìm trên mỗi

Ví dụ 11: Cho hàm số
nhánh của (H) hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ nhất.
Phân tích bài tốn:
Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với hoành độ lớn
hơn 3 và hoành độ nhỏ hơn 3, ta gọi toạ độ của A(

α + 3; 4 +

3
3
3− β;4 −
β)
α ); B(

với α , β là hai số dương.
11
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

11
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

Bước 2: Tính khoảng cách AB theo α , β sử dụng linh hoạt bất đẳng
thức cơsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B.
Bài giải:
Gọi toạ độ của A(

α + 3; 4 +

3
3
3− β;4−
β ) với α , β là hai số dương.
α ); B(

3 3
AB 2 = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A )2 = (α + β )2 + ( + ) 2
α β áp dụng cơsi.
Ta có:

AB 2 = (α + β ) 2 +

AB 2 ≥ 4(αβ +

9(α + β ) 2
9
9
= (α + β ) 2 [1 +
] ≥ 4αβ [1 +
]
2
2
(αβ )
(αβ )
(αβ ) 2

9
9
) ≥ 4.2 αβ .
= 24
αβ
αβ

α = β > 0


9 ⇔α = β = 3

αβ
=

αβ
Dấu bằng xẩy ra khi: 

Vậy toạ độ A( 3 + 3; 4 + 3 ); B( 3 − 3; 4 − 3 ).
y = f ( x) =

− x2 + 2x − 5
x −1
có đồ thị là (C). Tìm trên

Ví dụ 12: Cho hàm số
mỗi nhánh của đồ thị (C) hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng là
nhỏ nhất.
Phân tích bài tốn:
Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với hoành độ lớn
hơn 1 và hoành độ nhỏ hơn 1, ta gọi toạ độ của A(

α + 1; α +

4
4
1 − β ; −β −
β)
α ); B(

với α , β là hai số dương.
Bước 2: Tính khoảng cách AB theo α , β sử dụng linh hoạt bất đẳng
thức cơsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B.
Bài giải:
Gọi toạ độ của A(

α + 1; α +

4
4
1 − β ; −β −
β ) với α , β là hai số dương.
α ); B(

12
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

12
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

Ta có:
AB 2 = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 = (α + β ) 2 + [(α + β ) + (
= (α + β ) 2 [1 + (1 +

4 4 2
+ )]
α β

4 2
) ]
αβ

Áp dụng cơsi ta có:
AB 2 ≥ (2 αβ ) 2 (2 +

8
16
8
8
+ 2 2 ) = 8(αβ +
+ 4) ≥ 8(2 αβ .
+ 4) = 32( 2 + 1)
αβ α β
αβ
αβ

α = β > 0

8 ⇔ α = β = 4 8.

αβ
=

αβ

Dấu bằng xẩy ra: 
4
4
4
4
4
4
Vậy toạ độ hai điểm A, B là: A( 1 + 8; − 8 − 2 2 ); B( 1 − 8; 8 + 2 2 ).

x2 + 4x + 5
y = f ( x) =
x + 2 có đồ thị (C). Tìm M thuộc
Ví dụ 13: Cho hàm số
(C) để khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ : 3x + y + 6 = 0 nhỏ nhất.

Phân tích bài tốn:
Bước 1: Gọi toạ độ của M thuộc (C).
Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến ∆ : 3x + y + 6 = 0 , sau xử lý khéo giá
trị tuyệt đối để áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số.
Bài giải:
Gọi điểm M(

m;

1
m 2 + 4m + 5
m; m + 2 +
m + 2 ) hay M(
m + 2 ) thuộc (C).

Khoảng cách từ M đến ∆ : 3x + y + 6 = 0 là:
3m + ( m + 2 +
d (M ; ∆) =

1
)+6
m+2

1
m+2
10

4m + 8 +

=
32 + 12
1
4(m + 2) +
1
1
1
1
2 10
m+2
=
=
(2 m + 2 +
)≥
.2 2 m + 2 .
=

m+2
m+2
5
10
10
10

13
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

13
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

Khoảng cách từ M đến ∆ : 3x + y + 6 = 0 nhỏ nhất bằng

2 10
5 , xẩy ra khi

5

m=−

1
2
4 m+2 =

⇔ 4(m + 2) 2 = 1 ⇔ 
m+2
m = − 3

2
5 5
3 5
(− ; − );(− ; ).
2 2
Vậy toạ độ M là: 2 2
3x 2 cos α + 4 x sin α + 7
y = f ( x) =
x −1
Ví dụ 14: Cho hàm số
có đồ thị (C).

Tìm α để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên đạt giá trị lớn nhất.
Phân tích bài tốn:
Bước 1: Ta tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bước 2: Tính khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên, sử dụng bất đẳng
thức Buanhiacopski để đư ra giá trị lớn nhất, từ đó tìm được α .
Bài giải:
Ta có:
3x 2 cos α + 4 x sin α + 7
4sin α + 3cos α + 7
y=
= 3 x cos α + 4sin α + 3cos α +
x −1
x −1

Từ đó ta dễ có tiệm cân xiên của đồ thị hàm số là:
y = (3cos α ) x + 4sin α + 3cos α ⇔ (3cos α ) x − y + 4sin α + 3cos α = 0 .

Khoảng cách từ O(0;0) đến tiệm cân xiên ∆ là:

d (O; ∆ ) =

4sin α + 3cos α
9 cos 2 α + 1

4.sin α +
=

3
. 10 cos α
10

sin 2 α + 10 cos 2 α

Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacopski ta có:

d (O; ∆ ) ≤

(42 +

9
)(sin 2 α + 10 cos 2 α )
13 10
10
=

10
sin 2 α + 10 cos 2 α

14
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

14
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

13 10
Khoảng cách lớn nhất từ O(0;0) đến tiệm cân xiên ∆ là 10

Khi
Vậy

sin α
4
40
40
=
⇔ tan α =
⇔ α = arctan( ) + kπ , (k ∈ ¢ )
3
3
3

10.cos α
10

α = arctan(

40
) + kπ , ( k ∈ ¢ )
3
.

Ví dụ 15: Giả sử ∆ là tiếp tuyến tại M(0;1) của đồ thị hàm số
2x +1
1 − x (C). Tìm trên (C) những điểm có hồnh độ lớn hơn 1 mà
khoảng cách từ điểm đó đến ∆ là nhỏ nhất.
y = f ( x) =

Phân tích bài tốn:
Bước 1: Tìm phương trình tiếp tuyến ∆ .
Bước 2: Dùng phương pháp tiếp tuyến để tìm khoảng cách nhỏ nhất
trên miền (1; +∞) .
Bài giải:
Ta có:

y' =

3
(1 − x )2 .

Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = 3x + 1 .
Gọi N ( x0 ; y0 ) ∈ (C )( x0 > 1) có khoảng cách tới ∆ nhỏ nhất.

Thế thì x0 là nghiệm của phương trình:
y '( x0 ) = 3 ⇔

 x0 = 2
3
=3⇔ 
⇒ x0 = 2
2
(1 − x0 )
 x0 = 0

Vậy toạ độ điểm cần tìm là N(2;-5).
BÀI TẬP ÁP DỤNG
3
2
Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) = 2 x + mx − 12 x − 13 . Tìm để đồ thị hàm số có điểm
cực đại và cực tiểu cách đều trục Oy.

15
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

15
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

y = f ( x) =

2x + 1
x − 3 có đồ thị (C). Tìm toạ độ M trên (C) sao

y = f ( x) =

−4 x + 7
2 x − 1 có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để tổng

y = f ( x) =

5x − 8
3x + 2 có đồ thị (C). Tìm M trên (C) sao cho tổng

y = f ( x) =

−2 x + 5
3 x + 2 có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của (C)

y = f ( x) =

x+2
x − 2 có đồ thị (C). Tìm M trên (C) cách đều hai

y = f ( x) =

x +1
x − 2 có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để tổng

y = f ( x) =

x+2
x − 3 có đồ thị (C). Tìm M trên (C) sao cho

Bài 2: Cho hàm số
cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 3: Cho hàm số
khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 4: Cho hàm số
khoảng cách giữa hai trục toạ độ là nhỏ nhất.

Bài 5: Cho hàm số
các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.
Bài 6: Cho hàm số
trục toạ độ.

Bài 7: Cho hàm số
khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.

Bài 8: Cho hàm số
khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận
ngang.
x2 + 2x − 5
y = f ( x) =
x − 2 có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) sao cho
Bài 9: Cho hàm số

tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
y = f ( x) =

x2 − x + 1
x − 1 có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) sao cho

y = f ( x) =

x2 + 2x − 2
x − 1 có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) sao

Bài 10: Cho hàm số
khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.

Bài 11: Cho hàm số
cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.

16
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

16
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

y = f ( x) =

x2 + x − 5
x − 2 có đồ thị (C). Chứng minh rằng tích

y = f ( x) =

x2 + x − 5
x − 2 có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của

Bài 12: Cho hàm số
khoảng cách từ M bất kỳ trên (C) đến các tiệm cận là hằng số.

Bài 13: Cho hàm số
(C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.

x2
y = f ( x) =
x − 1 có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của (C)
Bài 14: Cho hàm số

các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 15: Cho hàm số
(C)

y = f ( x) =

x2 − x + 1
x − 1 có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của

Các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.
y = f ( x) =

−3 x 2 + 7 x − 1
2x + 1

có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh

Bài 16: Cho hàm số
của đồ thị (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chung nhỏ nhất.

2 x 2 − 3x − 5
y = f ( x) =
x −1
Bài 17: Cho hàm số
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để

khoảng cách từ M đến trục hoành gấp 3 lần khoảng cách từ M đến trục tung.
y = f ( x) =

4 x 2 − 7 x + 18
2x − 5
có đồ thị (C). Tìm M trên (C) sao

y = f ( x) =

x 2 − 3x + 5
2 x − 2 có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để tổng

Bài 18: Cho hàm số
cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 19: Cho hàm số
khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là lớn nhất.

2 x 2 sin α − 3 x cos α + 6
y = f ( x) =

x −1
Bài 20: Cho hàm số
có đồ thị (C). Tìm α để

khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên là lớn nhất.
Bài 21: Cho hàm số

y = f ( x) =

4 x 2 sin α + 5 x cos α − 11
x−2
. Tìm α để khoảng cách từ

A(-1;0) đến tiệm cận xiên là lớn nhất.
17
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

17
THPT Hoàng Lệ Kha


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

C. KẾT QUẢ
I. Kết quả nghiên cứu
Thơng qua hệ thống các bài tốn về khoảng cách liên quan đến đồ thị
hàm số ở trên, ta thấy khi gặp các vấn đề trở nên đơn giản hơn rất nhiều, dễ
vận dụng, không quá phức tạp với học sinh.

Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống
bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác
nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại khi gặp các
bài tốn này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên
sáng sủa, ngắn gọn. Hầu hết các em vận dụng tốt.
II. Kiến nghị
Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết
thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, nhất là
các sáng kiến đổi mới phương pháp giảng dạy cần được tập hợp trong một kỷ
yếu khoa học của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và
phụ huynh được tham khảo.

MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ......................................................................Trang 1.
I. Lời mở đầu............................................................................Trang 1.
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu...........................................Trang 1.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.......................................................Trang 2.
I. Các giải pháp thực hiện........................................................Trang 2.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện...............................................Trang 2.
1. Kiến thức chuẩn bị................................................................Trang 2.
2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải.............Trang 2.
C. KẾT QUẢ.............................................................................Trang 17.

18
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

18
THPT Hoàng Lệ Kha

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

…..

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa hình học 10 Nâng cao.
2. Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 12 Nâng cao.
3. Sách bài tập Đại số - Giait tích 12 Nâng cao.
4. Hàm số tập 1. Tác giả: Phan Huy Khải.
5. Hàm số tập 1. Tác giả Trần Phương.
6. Báo toán học và tuổi trẻ.
7. Các đề thi đại học mơn tốn từ 2002 - 2012.
8. Nguồn khác: Internet.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05
năm 2013
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.
Mai Văn Ngọc

19
Giáo viên: Mai Văn Ngọc

19
THPT Hoàng Lệ Kha