PHUONG TRINH LUONG GIAC CO BAN THUONG GAP

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1) Phương trình : sinx = a
(1)
+) Nếu | a | > 1 thì pt(1) vô nghiệm.
 x= +k2

 x= - +k2
+) Nếu | a |  1 thì ta đưa pt (1) về dạng : sinx = sin 

Đặc biệt: Khi a = 1 , sinx = 1

 x=


 k2
2

, kZ

, kZ

π
 x= - +k2π , k  Z
2
Khi a = - 1 , sinx = -1

Khi a = 0 , sinx = 0  x=kπ , k  Z
1
2
3
 ;

;
2
2
Các giá trị đặc biệt khác của a đối với sin : 2

1

sin 300 sin
2
6
2

sin 450 sin
2
4
3

sin 600 sin
2
3

;

1

sin(  300 ) sin(  )
2
6

2


sin(  450 ) sin(  )
2
4
3

;
sin(  600 ) sin(  )
2
3
;

Khi a không nhận các giá trị đặc ở trên ta làm theo cách sau :
 x arcsin a  k 2
sinx=a  
, k Z
 x   arcsin a  k 2
 x a 0  k 3600
s inx sin a  
0
0
0
 x 180  a  k 360
Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng cơng thức :
0

2) Phương trình : cosx = a
(2)
+) Nếu | a | > 1 thì pt(1) vơ nghiệm.
+) Nếu | a |  1 thì ta đưa pt (2) về dạng : cosx = cos   x   k2

Đặc biệt: Khi a = 1 , cosx = 1  x=k2 , k  Z
Khi a = - 1 , cosx = -1  x= +k2π , k  Z
Khi a = 0 , cosx = 0

 x=


+kπ , k  Z
2

, kZ

, kZ


1
2
3
 ;
;
2
2
Các giá trị đặc biệt khác của a đối với cos : 2

1

cos600 cos
2
3
2


cos450 cos
2
4
3

cos300 cos
2
6

;

1
2
cos1200 cos
2
3

2
3
cos1350 cos
2
4
3
5
;
cos1500 cos
2
6
;

Khi a không nhận các giá trị đặc biệt ở trên ta làm theo cách sau :
cosx=a  x arccos a  k 2 , k  
0
0
0
Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức : cosx cosa  x a  k 360 , k  Z

3) Phương trình : tanx = a

x   k
2
Điều kiện :

(3)

, k 

Đưa pt (3) về dạng : tanx = tan   x   k
Đặc biệt: Khi a = 1 , tanx = 1

 x=


 k
4

, kZ

, kZ

π
 x= - +kπ , k  Z
4
Khi a = - 1 , tanx = -1

Khi a = 0 , tanx = 0  x=kπ , k  Z

Các giá trị đặc biệt khác của a đối với tang :

3
1

tan 300 tan
6
3
3 tan 600 tan

;
;

( giống như sinx = 0 )

 3;

3 tan(  600 ) tan( 

1
3


)
3

1

tan( 30 0 ) tan(  )
6
3

Khi a không nhận các giá trị đặc biệt ở trên ta làm theo cách sau :
tanx=a  x arctan a  k , k  
0
0
0
Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng cơng thức : tanx tan a  x a  k180 , k  Z


4) Phương trình : cotx = a
Điều kiện : x k , k  

(4)

Đưa pt (4) về dạng : cotx = cot   x   k
Đặc biệt: Khi a = 1 , cotx = 1

 x=


 k

4

, kZ

, kZ

π
 x= - +kπ , k  Z
4
Khi a = - 1 , cotx = -1

Khi a = 0 , cotx = 0

 x=


+kπ , k  Z
2

Các giá trị đặc biệt khác của a đối với côtang :

6
1

cot 600 cot
3
3
3 cot 300 cot

;

;

3 cot( 30 0 ) cot( 

 3;

( giống như cosx = 0 )
1
3


)
6

1

cot(  600 ) cot(  )
3
3

Khi a không nhận các giá trị đặc biệt ở trên ta làm theo cách sau :
cotx=a  x arc cot a  k , k  
0
0
0
Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng cơng thức : cotx cot a  x a  k180 , k  Z

Lưu ý: Tất cả các em đều phải nhớ các vấn đề thầy trình bày ở trên thì mới có thể giải
được các phương trình lượng giác.

“ Sự khác biệt giữa những người thành công và những người thất bại không phải là ở sức
mạnh hay sự hiểu biết mà chính là ở ý chí .”


TRƯỜNG THPT TRIỆU QUANG PHỤC
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a) sin x 

1
2

b) sin x 

e) sin( x  300 ) 

3
2

1
3

c) sin 5 x 

3
2

g ) sin(2 x 150 ) 

f ) sin 2 x 1

x
d ) sin(  200 ) 0
2
2
2

h) sin( x 1)  1

Bài 2. Giải các phương trình sau :
a ) cos2 x 

1
2

e) cos( x  300 ) 

b) cos( x 
3
2

2
1
)
3
2

c) cos3x 

3

2

x
d ) cos(  10 0 ) 1
2

g ) cos(2 x  10 0 ) 

f ) cos2 x 0

2
2

h) cos( x  2)  1

Bài 3. Giải các phương trình sau :
a ) tan 2 x  3
e) tan(2 x  450 )  1


1
)
6
3
x 
f ) tan(  ) 0
2 4
b) tan( x 

c) tan(3x  600 ) 

g ) tan(

3
3

d ) tan( x 1) 1

5
 x)  3
6

h) tan(10  3 x) 5

Bài 4. Giải các phương trình sau :
a ) cot 4 x  3
e) cot(2 x  150 )  1


1
)
6
3
x 
f ) cot(  ) 1
2 4
b) cot( x 

c) cot(2 x  300 ) 

3

3

d ) cot( x  2) 3


g ) cot(  2 x)  3
6


h) cot(  3 x) 0
2

Bài 5. Giải các phương trình sau :
sin 2 x
0
cos2 x  1
c) tan(2 x  600 ).cos( x  750 ) 0

a)


) 0
4
d ) (cot x 1).sin 3 x 0
b) cos2 x.cot( x 

Bài 6. Giải các phương trình sau :
a ) sin 3 x  cos2 x 0

b) tan 2 x.tan 3x  1

c) sin 2 x  cos5 x 0

d ) cot x.cot 2 x 1

Bài 7. Giải các phương trình sau :
a ) sin x  cosx 0
c ) sin x  cosx  1

b) sin x  cosx 1
d ) cosx  sin x 1

e) sin x  cosx 1


“ Đường đi khơng khó vì ngăn sơng cách núi mà khó vì lịng người ngại núi e sơng ”

TRƯỜNG THPT TRIỆU QUANG PHỤC

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Bài 1. Giải các phương trình sau :


)  1 0
b) cot(  x)  1
c) 3  2sin 3 x 0
3
4

3
2
e) cos 2 ( x  300 ) 
f ) (1  2 cos 2 x)( 3  2sin x) 0 g ) sin(2 x 150 ) 
4
2
DẠNG 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
a ) 2sin(4 x 

d ) 3 tan 2 x  1 0
h) 8cos 3 x  1 0

Bài 2. Giải các phương trình sau :
a ) 4 sin 2 x  4sin x  3 0

b) cos2 x  9 cos x  5 0

d ) tan 4 x  4 tan 2 x  3 0

e) 2 cos 2

c) sin 2 2 x  2 cos 2 x 

6x
8x
1 3cos
5
5

3

0
4

f ) 5sin x  2 3(1  sin x) tan 2 x

DẠNG 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Bài 3. Giải các phương trình sau :
b) sin x + 3 cos x 1
c) 2sin 2 x  3 sin 2 x 3

e) sin(  2 x)  3 sin(  2 x) 1
f ) sin x  sin 2 x  3(cos x  cos2 x )
2

g ) 2sin 5 x  3cos3 x  sin 3 x 0 h) 2 cos 2 (  2 x)  3cos4 x 4 cos 2 x  1
4

a ) 3 sin x  cos x  2
x
d ) 8sin 2  3sin x  4 0
2

DẠNG 4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.
Bài 4. Giải các phương trình sau :
2
2
a) 5sin x  2 3 sin x.cos x  3cos x 2

c)



2  1  sin2 x  sin 2 x   2  1 cos2 x  2

e) cos2x + 3sin2x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0

2
2
b) 3sin x  8sin x.cos x  4 cos x 0
4
2
2
4
d) 3cos x  4sin x cos x  sin x 0

f) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0


DẠNG 5. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx.
Bài 5. Giải các phương trình sau :
a ) 2sin 2 x  3 3(sin x  cos x)  8 0
c ) sin 2 x  2 sin( x 


) 1
4

b) cos x  sin x  3sin 2 x  1 0
d ) 2sin 3 x  s inx=2cos 3 x  cosx+cos2x

DẠNG 6. Một số phương trình lượng giác khác.
Bài 6. Giải các phương trình sau :
a ) cos x cos 7 x cos3 x cos 5 x

b) sin 4 x sin 7 x cos3 x cos 6 x

c) sin 3 x  sin x sin 2 x cos x  cos 2 x

d ) cos7 x  sin 8 x cos3 x  sin 2 x

e) 3cos x  2 cos 2 x  cos3 x 2sin x sin 2 x  1

f ) sin x 

1
cos x sin 3 x
4

“Cho con đi học vạn đắng cay
Lo đêm chưa hết đã lo ngày
Phận con cắp sách mà không học
Bất hiếu , vô tình đáng phạt thay.”