On tap dao ham 11

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
· Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Ỵ (a; b):
f '(x 0 )  lim

f(x)  f(x 0 )

x x 0

x  x0

y
= x 0 x
lim

(x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0) )

2. Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học:
+ f¢ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
3. Qui tắc tính đạo hàm
*(C)' = 0
v¢

* (xn)¢ = n.xn–1

* (x)¢ = 1

*(uv)¢ = u¢v + vÂu

nẻN
n 1



u  uÂv vÂu

v2
* v
(v ạ 0)


*

M x 0 ;f(x 0 ) 

M  x 0 ;f(x 0 ) 

1
¢
x 
2 x

*(ku)¢ = ku¢

.

là:

* (u ± v)¢ = u¢
1 Â
vÂ
2
v (v
* v

ạ0)

à o hm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u¢x và hàm số y = f(u) có đạo hàm
tại u là y¢u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: y¢x y¢u.u¢x
LOẠI 1 : ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA :
PP:

Giả sử cần tính đạo hàm của hàm số y =f(x) tại điểm x 0.Ta thực hiện 2 bước :
+Bước 1. Cho số gia Δ x tại điểm x0 , tính số gia Δ y = f(x0+ Δ x) – f(x0)

x
+Bước 2. Tìm tỷ số y

Δy
Δy
Kết luận f/(x0)= lim
Δx →0 Δx
Δx 0 x
Bài 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm:
+Bửụực3 Tớnh giụựi haùn

lim

1) f(x) = 2x2 + 3x + 1 t¹i x 0 = 1
2) f(x) = 2x - 1 t¹i x 0 = 1
Bài 2. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau(Ti im x tựy ý thuc tp xác định):
2x - 3
3
1) y = 5x – 7
2) y = 3x2 – 4x + 9
3) y = x - 1 4) y = x + 4
5) y = x3 + 3x – 5
LOẠI 2 : ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC :

v Bảng các đạo hàm:
Hàm số thường gặp
(x ) = n.x
/
1
1
   2
x (x ¹0 )
 x
/
1
x 
2 x (x >0)
n

/

n-1

Hàm hợp
(u ) = n.u .u
/
u/
1

 
u 2 (u ¹0)
u
/
u/
u 
2 u (u>0)
n

/

/

n -1

 

 

( sinx)/ = cosx
(cosx)/ = - sinx
1

1  tan 2 x

 k
2
(tanx)/ = cos x
(x ạ 2
;k ẻ Z)
1

(1 cot 2 x )
2
/
(cotx) = sin x
(x ạk ; kẻ Z)

( sinu)/ = u/ cosu
(cosu)/ = - u/ sinu
u/

u / (1  tan 2 u )
 k
2
(tanu)/ = cos u
( u¹ 2
;k Ỵ Z)
/
u

 u / (1  cot 2u )
2
/
sin

u
(cotu) =
(u ạ k ;k ẻ Z)


¯ Một số công thức bổ sung:
 sin 2 x  ' sin 2 x
1)

ab
/

2

3)

cd
 ax  b 

 
2
 cx  d   cx  d 

;

 cos x  '  sin 2 x

2)

/

2

 ax  bx  c 

 
dx  e 

4)

;

ab 2
ac
ad
x 2
x
0d
0e
de

 dx  e 

2

Bài 1 :Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

y 2x 4 

1 3
x 2 x  5
3

b)

2
2
2
d) y (x  1)(x  4)(x  9)

3
y
2x  1
g)

y

3
x

2

2
x  x x.
3



y

1  x  x2
y
1  x  x2
i)

x 2  3x  3
y
x 1
k)

(x  1)2

2
4
a) y (x  x  1)

y

3

(x  1)

d)
e)
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
a) y  2x  5x  2

y

4x  1
x2  2

4  x2
x

f)



l)

2

f)

x3
x 1

2x2
x2  2x  3

y  3  2x 2 

4

2
d) y (x  2) x  3

c) y  x  x
y

y

2 5
b) y (1  2x )

(x  2x  5)2

e)
f)
g)
Bài 4:Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 sin x 
y 

 1  cosx 
a)

 1

x 1 
 1
 x


1

3 3

b) y  x  x  2

y



f)

2x  1
y
1  3x
h)

3

y

2
e) y (x  3x)(2  x)

Bài 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 2x  1 
y 

 x 1 
c)

3
2
c) y (x  2)(1  x )

h)

y  (x  2)3



i) y  1  1  2x

3

2

y  sin x  2x

3
b) y  x.cos x c) y sin (2x  1)

d) y  cot 2x

2
1
y  tan 2x  tan3 2x  tan 5 2x
3
5
g)

2
3
h) y 2sin 4x  3cos 5x

2
e) y sin 2  x

LOẠI 3: ĐẠO HÀM CẤP CAO
PP: Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng cơng thức:

Bài 1:

y(n) (y n 1 )/ .

Cho hàm số f(x) 3(x  1)cos x . a) Tính f '(x),f ''(x)

b)

Tính

 
f ''(), f ''   ,f ''(1)
 2

Bài 2:

Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:

a) y cos x, y'''
e) y xsin x, y''

4
3

2
b) y 5x  2x  5x  4x  7, y''

f) y x tan x, y''

c)

y

x 3
, y''
x4

2
3
g) y (x  1) ,y''

2
d) y  2x  x , y''

1
y
, y(5)
i) 1  x

LOẠI 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

BÀI 1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) Ỵ (C) là: y  y 0  f '(x 0 )(x  x 0 )
BÀI 2. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k
BÀI 3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết tiếp tuyến(d)song song với đường thẳng  cho

trườc
BÀI 4. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết tiếp tuyến(d) vng góc với đường thẳng  cho
trườc
BÀI 5. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1, y1) cho trước


2

Bài 1 : Cho hàm số (C): y  f(x) x  2x  3. Viết phương trình tiếp với (C):
a) Tại điểm có hồnh độ x0 = 1.
b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
c) Vng góc với đường thẳng x + 4y = 0.
d) Vng góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ.
y f(x) 

2  x  x2
x 1
(C). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M(2; 4).

y f(x) 

3x  1
1  x (C).

Bài 2:Cho hàm số
b) Viết phương trình ttiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = - 1.

Bài 3:Cho hàm số
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
1
y  x  100
2
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d:
.

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc với : 2x + 2y – 5 = 0.
3

2

Bài 4:Cho hàm số (C): y x  3x .
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2).
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.
2
Bài 5:Cho hàm số (C): y  1  x  x . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):

1
.
a) Tại điểm có hồnh độ x0 = 2

Baøi 1:

b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0.
LOẠI 5: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
Giải phương trình f '(x) 0 với:

a) f(x) 3cos x  4sin x  5x
d)

f(x) sin x 

f(x) sin3x 

cos 4x cos6x

4
6

3 cos3x  3(cosx 

e)

f(x) 1  sin(  x)  2 cos

3  x
2

f)

3 sin x)

f(x) sin 4 3x

Baøi 2:
Giải PT : f '(x) g(x) với: a) g(x) sin 6x

x
f(x) 2x 2 cos2


2
g(x) x  x 2 sin x
Bài 3:
Giải bất phương trình f '(x)  g'(x) với:
3

2
c) f(x) sin x  2 cos x

b) f(x) cos x  3 sin x  2x  1

 f(x) sin3 2x

b) g(x) 4 cos2x  5sin 4x

f(x) 2x3  x2  3, g(x) x3 

2

x2

2

c)

3

a) f(x) x  x  2, g(x) 3x  x  2
b)

Baøi 4:
Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Ỵ R:
f '(x)  0 với f(x) 

mx3
 3x 2  mx  5
3

f '(x)  0 với f(x) 

mx3 mx 2

 (m  1)x  15
3
2

a)
b)
Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau đúng với các hàm số được chỉ ra:


x 3
y 

x4
2y¢2 (y  1)y''

y  2x  x 2
 3
y y'' 1 0

y xsin x
 y x tan x

 2
2
2
a) xy'' 2(y' sin x)  xy 0 b)
c) x y'' 2(x  y )(1  y) 0 d)
Bài 6. Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn hệ thức
b) y x sin 2 x ta có
a ) y cos 2 3x ta có 18(2y-1)  y // 0
xy //  4 xy 2( y /  sin 2 x)
c) y x 2 sin x

ta có

xy // -y /  xy-3x 2 cosx 0

d ) y  x cos x

ta có

xy-2(y /  cos x)  xy / / 0


Bài 7. CM phương trình sau ln có 2 nghiệm với mọi m Ỵ R: f '(x) 0 với
f(x) 

x3

 (m  1)x 2  (m  3)x  5
3

3
2
a)
b) f(x) x  (m  2)x  (m  6)x  5m  3
Bài 8. Tìm m dể phương trình sau ln có 2 nghiệm phân biệt :

a)

f '(x) 0 với f(x) 

x3
 (m  2)x 2  (m  2)x  3
3

3
2
b) f '(x) 0 với f(x) mx  (m  3)x  (m  2)x  m  1

ĐỀ THAM KHẢO
ĐỀ 1
Câu 1: Cho hàm số

f  x 

2x  1
x2 .

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hồnh độ x0  1 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến song song với đ t
y 5 x  3 .
Câu 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2 x
x4 x2
4
;
b) y    1;....c ) y  sin 3 x  sin 3x;
d ) y  3x 2  x . 1  2 x 2
2x  5
4 2
3
3
2
Câu 3: Cho y  x  3 x  mx  2 .
a) Khi m = 0, giải bất phương trình y¢  0 .
b)Tìm m để y¢  0, x Ỵ  .



a) y 

Câu 4:





3

tan x
y
1  tan 2 x , chứng minh rằng y¢ cos 2 x .
Cho hàm số

ĐỀ 2
4

2

b) y 

x2  2x  2
;
x 1

Câu 1: (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y  x  4 x  1;
3
2
¢
Câu 2: (2 điểm) Cho y  x  3x  mx  2 . Khi m = 0, giải bất phương trình y  0 .

3
2
Câu 3: (2 điểm) Cho (C): y x  3x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)tại điểm có

hồnh độx 0 = - 1
Câu 4: (2 điểm) Cho ( C) : y=

f  x 

2x  1
x  2 .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

( C),biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 5 x  3
f(x) 

x3
 (m  1)x 2  (4  2m)x  4
3
.Chứng

Câu 5: (2 điểm) Cho hàm số:
minh
f
'(x)

0
phương trình :
ln ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi x Ỵ R:
ĐỀ 3
2x  1
f  x 
x2 .
Câu 1: Cho hàm số

a.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hồnh độ x0  1 .
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng y 5 x  3 .

Câu 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2 x
x4 x2
4
a) y 
;
b) y    1;......c) y  sin 3 x  sin 3x;
2x  5
4 2
3
3
2
Câu 3: Cho y  x  3x  mx  2 .

a.Khi m = 0, giải bất phương trình y¢  0 .

d ) y  3x 2  x . 1  2 x 2





b.Tìm m để y¢  0, x Ỵ  .

tan x
y
1  tan 2 x , chứng minh rằng y¢ cos 2 x .
Câu 4: Cho hàm số



3