Khai niem dao ham t2

Chương 5: ĐẠO HÀM
Bài 1: KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
2

2

1

fx = 2x2 +x-1

A

Mo

qx = x-1

1

1/2
gx = 3x-2

-1

1
3
2

fx = x3

D

-2

gx = 3 x-2
-2

-4

Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

hx = x3+x2-2


Kiểm tra bài cũ
Câu 1. Cho f(x) = x2 – 1.
Tính f ’(2).
Câu 2. Cho f(x) = x3.
Tính f ’(-1), f ’(2), f ’(x0).
HD
Cách 1.
Câu 1. C
2 D y = f ( D x + x ) - f ( x ) = f ( D x + 2) - f ( 2)
0

=é
2) - 1ù
- 3 = ( D x ) + 4D2x + 4 - 4
ë( D xf+(x)
û
 f (2)
x 4

=lim
D y  lim
Dx( Dx +
x + 4.x  2
x 4) Þ2 D x = D
x
2
x
2
2

f '(2)

0

2

D
y lim (x  2) 4.
lim
=x lim
( D x + 4) = 4 Þ f '( 2) = 4.

2
Dx
D x®0

D x®0

Kiểm tra bài cũ
Câu 2. Cho f(x) = x3. Tính f ’(-1), f ’(2), f ’(x0).
HD Trước hết ta thấy

f (x)  f (x 0 )
x 3  x 30
lim
 lim

x  x0
x  x0
x  x0 x  x0

 lim (x 2  xx 0  x 02 ) 3x 02 .
x  x0

Nên f '(x 0 ) 3x 02 .
Bây giờ lần lượt thay x0 = -1, x0 = 2 ta tính được f ’(-1) = 3,
f ’(2) = 12.
(Cũng có thể tính trực tiếp f ’(-1), f ’(2), theo định nghĩa)


Tiết 75. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
(tiếp theo)

2

2

1

Mo

-1
qx = x-1

fx = 2x2+x-1

A

1

1

1/2
gx = 3x-2

fx = x3

gx = 3x-2

3
2

D

-2

-2

-4

hx = x3+x2-2


Tiết 75. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
(tiếp theo)
y
y = f(x) (C)
T
O
M

x
M0 M→M thì M M →M T
0
0
0
M0T: tiếp tuyến của (C) tại M0
M0: tiếp điểm


Tiết 75. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
(tiếp theo)
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
a)Tiếp tuyến
Cho (C) y = f(x), điểm M0(x0;y0) cố định thuộc (C), điểm
M(xM;yM) di động trên (C). Kí hiệu kM là hệ số góc của cát
tuyến M0M. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn lim k M k 0 .
xM  x0

Khi đó đường thẳng M0T đi qua M0 và có hệ số góc k0 được
gọi là tiếp tuyến của (C) TẠI điểm M0. Điểm M0 được gọi là
tiếp điểm.


M(xM;yM), M0(x0;y0) có xM
khác x0, tính hệ số góc kM của
đường thẳng M0M.
VTCP
của đường thẳng M0M là

M 0 M (x M  x 0 ; yM  y0 ),

nên hệ số góc của đường thẳng này
y M  y0 f (x M )  f (x 0 )
là
kM 

.
xM  x0

xM  x0


Vì hệ số góc của M0T là k 0  lim k M và hàm
xM  x0

số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 nên
f (x M )  f (x 0 )

k 0  lim k M  lim
f '(x 0 ).
xM  x0
xM  x0
xM  x0

Vậy f ’(x0) chính là hệ số góc của tiếp tuyến M0T.


Tiết 75. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
(tiếp theo)
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho y = f(x) (C) có đạo hàm tại điểm x = x0, khi đó f ’(x0) là
hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) TẠI điểm
Đường
thẳng
đi
qua
M
(x
;y
)
và
0
0
0
Tiếp
tuyến
M

T
đi
qua
M
(x
;y
M0(x0;y0)(C).
0
0 0 0)
hệ
sốhệTgóc
k(C)
thìcócó
phương
trình
Tiếp có
tuyến
của
phương
trình
và
cóM
số
góc
f
’(x
)
nên
có
0

0
y –đithế
yqua
= điểm
k(x –Mx0(x
Đường
thẳng
0 nào?
0)0;y0) và có
như
phương trình
hay
y ==cók(x
– )(x
x0)trình
+ xy0như
. thế
hệ số góc
phương
y –k ythì
f
’(x
–
)
0
0
0
nào?

hay y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).

Tiết 75. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
(tiếp theo)
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
c) Ghi nhớ
Cho (C) y = f(x), điểm M0(x0;y0) thuộc (C), hàm số f(x) có đạo
hàm tại x = x0. Khi đó tiếp tuyến M0T của (C) TẠI điểm M0
có phương trình
y – y0 = f ’(x0)(x – x0)
hay y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).
M0(x0;y0): tiếp điểm.
x0: hoành độ tiếp điểm.
y0 = f(x0): tung độ tiếp điểm.
k = f ’(x0): hệ số góc của tiếp tuyến.


Muốn viết phương trình tiếp tuyến
cần biết những yếu tố nào?

Cần biết tiếp điểm và hệ số góc.
(Tức là phải biết x0, y0, f ’(x0))


VD1. Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x2 – 1 (C1) tại điểm M0(2; 3).
VD2. 1) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 (C2) tại điểm có hành độ x0 =
-1.
2) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 (C2) tại điểm M0 có tung độ y0 = 8.
3) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 (C2) biết tiếp tuyến có hệ số góc k
= 3.

HD.
VD2. Tiếp
1) Tađiểm
có y0M
=0f(x
) = Hệ
f(-1)
-1. của
Nhưtiếp
vậytuyến
tiếp điểm
VD1.
(2;03).
số=góc
là điểm M0(- 1; f-(x)
1). f (2)
x2  4
k f '(2) lại
limcác bài tập
 lim
 lim (x
 2)bài
4. cũ!
phần
kiểm
tra
HệXem
số góc của
tiếp

tuyến
x 2
x 2
x 2 x  2 3 x 2

f (x)  f (  1)
x 1
k f '( 1)  lim
 lim
 lim (x 2  x  1) 3.
1 4(x – x2)
 1 y x=4x
x  có
 1 PT xy=
+
 13x hay
 1 – 5.
Vậy tiếp tuyến

Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x + 1) -1 hay y = 3x + 2.


VD2.
2) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 (C1) tại điểm M0
có tung độ y0 = 8.
3) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x3 (C1) biết tiếp
tuyến có hệ số góc k = 3.

HD.
VD2. 2) Ta có y0 = f(x0)  8 = (x0 )3  x0 = 2. Như vậy tiếp

điểm là điểm M0(2; 8).
Hệ số góc của tiếp tuyến

f (x)  f (2)
x3  8
k f '(2)  lim
 lim
 lim (x 2  2x  4) 12.
x 2
x 2
x 2 x  2
x 2

Vậy tiếp tuyến có PT y = 12(x - 2) + 8 hay y = 12x - 16.


HD.
VD2. 3)Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị
hàm số đã cho là điểm M0(x0; y0).
2
Ở phần kiểm tra bài cũ ta đã tính được f '(x 0 ) 3x 0 .
Ta có k = f ’(x0)  3 = 3(x0 )2  x0 = 1 hoặc x0 = -1.
 TH1: x0 = 1  y0= 1. Tiếp điểm là điểm M0(1; 1).
Hệ số góc của tiếp tuyến k = 3.
Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x - 1) + 1 hay y = 3x - 2.
 TH2: x0 = -1  y0 = -1. Tiếp điểm là điểm M0(-1; -1).
Hệ số góc của tiếp tuyến k = 3.
Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x + 1) - 1 hay y = 3x + 2.

Câu
hỏi:
Có
bao
nhiêu
tiếp
tuyến
của
Tiếp tuyến của đồ 3thị hàm số y = x3
đồ tại
thịđiểm
hàmcó
sốhồnh
y = xđộ(Cx2)thì
có có
hệhệ
sốsốgóc
0
âm?
góc là
3
3

x  x0
k y '(x 0 )  lim
3x 02 0 (x 0  ).
x  x0 x  x0

Do đó đồ thị hàm số y = x3 khơng có
tiếp tuyến nào có hệ số góc âm.

Tiết 75. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
(tiếp theo)
4. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm
Vận tốc tức thời v(t0) tại thời điểm t0 (hay vận tốc tại t0) của
một chuyển động có phương trình s = s(t) bằng đạo hàm của
hàm số s(t) tại điểm t0, tức là v(t0) = s’(t0).


cđng cè
Qua bài này HS cần nắm được ý nghìa hình học của đạo
hàm và ghi nhớ cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số TẠI một điểm

y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).


VỊ nhµ
+ Các bài tập 4, 5, 6 (SGK tr 192).
+ BT bổ sung: Cho hàm số (C) y = - x 3 + 4x (C).
1) Tính y’(x0) bằng định nghĩa.
2) Viết PTTT của (C) tại điểm có tung độ y 0 = 0.
3) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc lớn nhất.
+ Các bài tập trong phiếu bài tập.


2

2

1

Mo

-1
qx = x-1

fx = 2x2+x-1

A

1

1

1/2
gx = 3x-2

fx = x3

gx = 3x-2

3
2

D

-2

-2

-4

hx = x3+x2-2