GIOI HAN DAY SO

GIỚI HẠN DÃY SỐ
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
lim

1.DẠNG 1:

un   
 
vn   


- Cách nhận biết dạng  là khi n   thì un   và vn  

- Phương pháp thường dùng để khử dạng  khi gặp phân thức đại số, ta chia cả tử và mẫu cho

lũy thừa bậc cao nhất của n có mặt ở phân thức đó.
* Những khó khăn học sinh thường mắc phải:

+Học sinh hiểu  =1 là sai lầm .Gv cần đưa ra cách giải thích cho học sinh hiểu đúng hơn


+Khi chia n (hoặc đặt thừa số chung n ) cho tử số và mẫu số của biểu thức tính giới hạn đơi

khi các em gặp khó khăn. Gv nên nhắc lại một cơng thức mà các em đã học ở lớp dưới
a
a  

a
(Với  ,  là những số nguyên dương , a 0)

+Khi gặp dạng có chứa căn thức, học sinh càng gặp khó khăn khi chia tử số và mẫu số của



biểu thức tính giới hạn cho n (hoặc đặt n làm thừa số chung) để khử dạng vô định.
n
+Khi gặp dạng có chứa số hạng a (chẳng hạn bài f dưới đây), học sinh thường lúng túng khi
lim q n 0, q  1

n

phân tích đưa biểu thức cần tính giới hạn về dạng q ,để áp dụng định lí
+Khi gặp bài toán chưa đúng dạng (chẳng hạn như bài e dưới đây), học sinh chưa định hướng
để phân tích đưa về dạng đã biết.
*Bài tập áp dung:Tìm các giới hạn
a)

lim

n 3  2n 2  n
n3  1

;b)

lim

2

d)

lim

n  1  4n
3n  2

;e)

lim

n 2  2n
n3  1

1  2  3  ...n
n2 1

;
;

c)
f)

lim

n4  n2  n
n3  n

lim

4.3n  7 n 1
2.5n  7 n

Giải

2 1
1  2
1 0  0
lim n n 
3
2
n  2n  n
1
1 0
lim
1 3
3
3
n
n 1
a)
Chia tử và mẫu số cho n ta được
=1
1 2
 2
n
n 0  0
lim
2
n  2n
1
1 0
lim 3
1 3
3

n
n 1
b)
Chia tử và mẫu số cho n ta được
=0
1 1
1 2  3
lim n n 
n4  n2  n
1 1
lim

4
3
n n3
n  n Chia tử và mẫu số cho n ta được
c)


1
4
1 0  4 5
n2


2
3

0
3

3
n

1
lim

n 2  1  4n
3n  2
d)
Chia tử và mẫu số cho n ta được
1  2  3  ...n
lim
n2 1
e)
lim

Trước khi tính giới hạn ta đi tính tổng 1+2+3+…+n
n( n  1)
2
Ta có
(tổng n số hạng đầu của cấp số cộng)
n(n  1)
n(n  1)
n2  n
2
1  2  3  ...n lim

lim

lim

2
lim
n2 1
2n 2  2
2(n  1)
n2 1
Khi đó
=
1  2  3  ...  n 

1
n 1
lim
2
2 2 2
2
n
Chia tử và mẫu cho n ta được
n
n 1
4.3  7
lim
2.5n  7 n
f)
1

Áp dụng công thức:

lim q n 0, q  1

n
n
. Để xuất hiện dạng q , ta chia tử và mẫu cho 7 :
n

4.3n  7 n 1
lim
2.5n  7 n

 3
3n
4.    7
4. n  7
4.0  7
7
lim 7 n
lim   n

n
n
5
2.0  1
 5
4.3  7 .7
2. n  1
2.

1
lim



7
7
2.5n  7 n =
=
=7

*Bài tập tương tự: Tìm các giới hạn sau:
3

a)

lim

n3  5n  9
3n  2

; b)

lim

 n 3  2n 2  1
n2  n  1
n

;c)

lim

n3  n 2  5

n 4  2n 2  1

2.5  9
12  22  32  ...n 2
lim
1  9n
5n 3  n 2  1
d)
;e)
;f)
2.DẠNG 2: lim(un – vn) (  )
- Cách nhận biết dạng (  ) là khi n   thì un   và vn  
-Phương pháp thường dùng để khử dạng (  ) khi gặp phân thức đại số , ta nhân lượng liên
2

lim

9n  1  2n
6n  2

n 1

lim


hợp (hoặc qui đồng phân thức) để đưa về dạng  , sau đó sữ dụng cách giải ở dạng 1

-Các dạng liên hợp thường dùng:
+Lượng liên hợp bậc hai: a – b có lượng liên hợp là a + b
a +b có lượng liên hợp là a – b

+Lượng liên hợp bậc ba: a – b có lượng liên hợp là a2 +ab +b2
a + b có lượng liên hợp là a 2 - ab +b2
-Những khó khăn học sinh thường mắc phải:
+Học sinh thường hiểu sai    = 0
+Học sinh thường lúng túng khi khi sữ dụng lượng liên hợp


+Học sinh sữ dụng qui tắc về dấu để tính giới hạn cịn lung túng
*Bài tập áp dụng:Tìm các giới hạn sau:
1 
 1
lim 

3 
 1 n 1 n 
; b)

2

a) lim( n  n  n)
c)

lim



n2 1 

n 2  2n




;d) lim

3

n3  n 2  n



Giải
2
a) lim( n  n  n) ta nhân lượng liên hợp

2

a) lim( n  n  n) =


lim

lim

=

n2  n  n



n 2  n  n , ta được:

n2  n  n

n2  n  n
n


1 
n  1   1
n 


 lim

n


( )
n2  n  n 

1
1

2
1
1  1
n

lim

1 
 1
lim 

3 
 1  n 1  n  Qui đồng biểu thức giới hạn ta được
b)
1 1

n2  n  1  1
n2  n
n n2 0
lim

lim

lim
1
1  n3
1  n3
1
n3

c)
lim

lim





n2 1 

2

n 1 

n 2  2n

2

n  2n

=





Nhân lượng liên hợp :

lim



2

2

n 1 

n  2n



2

n 2  1  n 2  2n

2

2

n  1  n  2n
2

n  1  n  2n



 lim

1
2
1  2n
n
lim
lim

 1
1
2
1
2
n 1 2  n 1
1 2  1
n
n
n
n
=

a) lim



3

3


lim

=
 n n  n
2

n n n
3

3

2

3

3

n3  n 2  n
3



3

(n 3  n 2 ) 2  n 3 n 3  n 2  n 2



( n3  n 2 ) 2  n 3 n 3  n 2  n 2

3

2

 n2
2

1 

1
1 
1


n2 . 3  1  2   n2 . 3 1   n2
n2 . 3  1  2   n2 . 3 1   n2
n
n
 n 
 n 
=lim
= lim
1
1

2
3
1 
1

3 1
3 1


1

2 
n
=lim  n 

* Bài tập tương tự: Tìm các giới hạn sau:
2
2
2
4
a) lim( n  2n  1  n  7 n  3) ; b) lim(1  n  n  3n  1)

ta được;
1  2n
2

n  1  n 2  2n


lim



n 1 

n

lim





n2  n 1  n



c)
; d)
3.DẠNG 3: Sữ dụng qui tắc tính giới hạn
Khó khăn là học sinh thường áp dụng qui tắc khơng chính xác. Do đó cần phải có một cách
cho học sinh dễ nhớ và vận dụng
*Bài tập áp dụng: Tìm các giới hạn sau:
3
2
a) lim(  3n  4n  5n  6)


( 1) n 
lim  9  2 
n 1 
; c) 

4
3
; b) lim 3n  5n  6n  1

 cos4n

lim 
 6

d)  5n

; e)
Giải

lim

1
3n  1 

n
; f) lim 3.4  2n 1

n 1

4 5 6
lim[n3 (  3   2  3 )]
n n n
a) lim(  3n  4n  5n  6) =
4 5 6
lim( 3   2  3 )  3  0
3
2
3
n n n
Vì limn =  và
, nên lim(  3n  4n  5n  6) =  
3

2

5 6 1

5 6 1
n 4 (3   3  4 ) lim n 4 . 3   3  4
n n n =
n n n
b) lim 3n  5n  6n  1 =lim
5 6 1
lim 3   3  4  3  0
4
n n n
Vì lim n  và
3
2
Nên lim(  3n  4n  5n  6) = 
4

3


( 1) n 
( 1) n
lim  9  2 
lim
n 1 
n2 1 = 9 + 0 = 9
c) 
=lim 9 +
 cos4n

cos4n
lim 

 6
lim
 lim 6 0  6  6
 =
5n
d)  5n
1
lim
3n  1  n  1 Nhân lượng liên hợp 3n  1  n  1
e)
3n  1  n  1
lim
( 3n  1  n  1)( 3n 1  n  1)

=

=

lim

3n  1  n  1
lim
2n

ta được
n

3 1
1 1
 2 n


n n
n n2
2n

3 1
1 1
 2 

n n 2 0
lim n n
2
n

f) lim 3.4  2n  1
n

=

lim 4n (3 
lim 3 

2n 1
2n 1
 n ) lim( 4n . 3  n  n )
n
4
4
4
4

2n 1

 3 0
4n 4n

Vì lim 4  và
*Bài tập tương tự: Tìm các giới hạn sau;
a) lim(2n  cos2n)

1
lim( n 2  3sin 4n  6)
2
;b)

n
Nên lim 3.4  2n 1 = 


3

3 3
2
c)lim n  n  n  1

n 6  n5  7 n  8
lim
 2n  6
;d)

4.DẠNG 4:Vận dụng cơng thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
-Phương pháp chung là biến đổi biểu thức cần tính về tổng của một dãy số quen thuộc
-Khó khăn của học sinh;
+Thường học sinh xác định sai cấp số nhân lùi vơ hạn, để tính tổng.
+Phân tích tổng ban đầu để xuất hiện tổng quen thuộc đôi khi gặp khó khăn, chẳng hạn bài
1b) dưới đây
*Bài tập áp dụng : Tính tổng sau:
1 1 1
1 1 1
1
2     ... 2  (    ...  n 1  ...)
3 6 12
3.2
a) S= 3 6 12
=
1 1 1
1
   ...  n 1  ...
3.2
Với 3 6 12
là tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu
1
1
u1 = 3 và công bội q = 2
1
u1
2
 3 
1 1 1
1

1
3
   ...  n 1  ... 1  q 1 
2
3.2
Do đó 3 6 12
=
1 1 1
1
2 8
2  (    ...  n 1  ...)

3 6 12
3.2
Vậy S =
= 2+ 3 3

b) S = 1+ 2x +3x2 +4x3 +…

Với

x 1

 xS  x  2 x 2  3x 3  4 x 4  ...
 S  xS 1  x  x 2  x 3  ...

(Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn u1 = 1 và q = x, với

x 1

)

1
 S  xS 1  x  x 2  x 3  ... 
1 x
Do đó
1
1
S (1  x) 
 S
1 x
(1  x )2
Hay

*Bài tập tương tự: Tính tổng sau:
1 1 1
1
3     ... n 1  ...
2.2
a) S= 2 4 8

; b) S = 1+ 3x +5x2 +7x3 +9x4 +…

Với

x 1