VONG 2 KHTN GIAI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

Đề chính thức

KY THI TUYẾN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYEN KHTN
NĂM HỌC 2019 - 2020

.

Môn: TOAN ( Chuyên) (27/5/2019)
;
Thời gian lam bai: 150 phut (khong ké thoi gian phái đê)

Tén : Truong Huynh Nhat Vinh
Địa chỉ: Xã Nghĩa Thăng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
Diện thoại: 0353276871.
Cau I.

1.Giai hé phuong trinh
2.Giai phuong trinh

wx

2

2

_

3 Faxy=8

(x+ y)(x

+xy+2)=8

Ý27+x+xˆ

_

2+4[5-(x+2°)

V27+2x

24+ V5—2x

Cau IL.

1.Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta ln có

((27n+5)' +10)’ +(0n +27)’ +5) +((Sn +10)’ +27) chia hét cho 42

2.Với x.y là các số thực dương thỏa 4+? +4y? +17xy+5x+5y >1. tìm giá trị nhỏ nhất
của P=17x?+17y”
+l6xy

Câu III. Cho tam giác ABC cân tại A, có đường trịn nội tiếp (1). Các điểm

E, E theo

thứ tự thuộc các cạnh CA, AB (E khác C và A; F khác B và A) sao cho EF tiếp xúc

với đường tròn (I) tại điểm P. Gọi K, L lần lượt là hình chiêu vng góc của E, F lên
BC. Giả sử FK cắt EL tại J. Gọi H là hình chiếu vng góc của J lên BC.
1) Chứng minh rằng HJ là phân giác của góc EHF

2) Ký hiệu 5:5, lần lượt là diện tích các tứ giác BFJL và CEJK.Chứng minh
S, _ BF’

S, CE

3) Gọi D là trung điểm cạnh BC.Chứng minh 3 điểm P.J,D thăng hàng

Câu IV. Cho M là tập tất cả 4039 số nguyên liên tiếp từ -2019 đến 2019.Chứng minh

trong 2021 số đôi một phân biệt được chọn bất kỳ từ tập M ln tồn tại 3 số đơi một

phân biệt có tổng bằng 0
Câu I.

Taos |

3x? + yy? +4xy =8
(x+y)@ ằ+xy+2)=8§

|

3x?+y?+4xy=8

2|
(2)

(+ y)3x+y)—(x+y)@Ì+xy+2)=0

(x+y)3x+y)=8

()

(x+y)@ +xy+2)=Đ

(2)

(1)

)_
y=-x

Ta cú (x+y)(3x+y)-(x+y)(x+xy+2)=0â[|

x=l
y=2-x

Vi y=-x thay vo (1) ta cú 0x =8(vơ nghiệm).
Với x=1 thay vào (1) ta có


Với y=2-x thay vào (1) ta có x=1.
5—-(x+x”)>0
27+2x>0

2.Ta có điều kiện

27+x+x

.Ta có đặt

>0

a=x+x?;b=2x.Khi đó

5—-2x>0
V27+x4+x°

24+/5—(x+2°)
|

2
=0
X=

V27+2x

c

V27+a

2+4J5—2x

2
+

_

V27+b

2+AJ5-a
+

J27+a+A27+b_

A27+a+A27+b_
c© ,

_

2+A5-b

32

421+a^Al5-b+A|27+b^xl5-a
32

A427+a^Al5-b+^A|27+bxl5-a

ak

2

|E0sa=sdo

>0)

~

. Thử lại thây thỏa mãn .

Cau II.

1.Tac6 x’ = x(mod42).V6i moi n nguyén duong ta ln có

((27n+5)’ +10) +(d0n+27)” +5) +((Sn+10)' +27)

=(27n+5)' +10+(10n +27)’ +5+(5n+10)’ +27(mod42) = 42(n
+ 1)(mod42) = 0(mod42). Vay

với mọi n nguyên dương ta ln có

((27n+5)’ +10) +(0n+27)’ +5)’ +((Sn+10)' +27) chia hết cho 42
chia hết cho 42
2

2.Ta có

4=x+yiay < T¡1<4XÊ +4yÊ +17Xy C5N ky <5a+ 4a +

ỏ,

5 \ >2âa><(2~I).Lỳc
2
ơ
ú ta cú

=|ItSa

2

ơ

tre

2

kK,

P=17x+17y +16xy >17a” —4,5a” = cư > 2(/2 -1ỷŸ =6—4N2.Vậy giá trị nhỏ nhất của

Plà 6-42 khi x=y=22-)
Câu III. Cho tam giác ABC cân tại A, có đường trịn nội tiếp (1). Cac diém

E, F theo

thứ tự thuộc các cạnh CA, AB (E khác C và A; F khác B và A) sao cho EF tiêp xúc
với đường tròn (I) tai diém P. Goi K, L lân lượt là hình chiêu vng góc của E, F lên

BC. Giả sử FK cắt EL tại J. Gọi H là hình chiêu vng góc của J lên BC.
1) Chứng minh rằng HJ là phân giác của góc EHF

2) Ký hiệu 5:5, lần lượt là diện tích các tứ giác BFJL và CEJK.Chứng minh
S, _ BF’

S, CE

3) Gọi D là trung điểm cạnh BC.Chứng minh 3 điểm P.J,D thăng hàng

Gidi:
a) FL/EK = FJ/JK = LH/HK => các tam giác FLH và EKH đồng dạng (c.g.c.) =>
⁄LHFE = ⁄ KHE => 90— ⁄LHF =90”— xKHE => ⁄JHE= ⁄JHF


b) Cac tam gidc BLF va CKE dong dang (g.g.); JLF va JEK dong dang (g.g.) =>
Spie/Scxe = (BE/ CE)

= (LF/ KE) = Syip/Syxe = (Spie + Sytp)/(Scxe + Syke) =

Spru/Scen => Spen/Sce = BF/CE

c) Trudéc hét ta chttng minh BE, CF, DP dong qui

B*

C

Gọi các tiếp điểm trên AB, AC là M, N. Qua E kẻ các đường thắng song song với BC
cắt PD tại T; song song với BC cắt MN tai V. PD cat CF tai Q, MN cat CF tai Q’. Ta

c6 ZFPT= ZBDT= ZFTP; ZFMV = ZANV = ZFVM => cac tam giac FPT,
FMV can tai F => FT = FP = FM = FV => FQ/QC = FT/CD = FP/CN = FV/CN =

FQ’/Q’C => Q tring Q’ hay MN, CF, PD déng qui tai Q. Tuong tu BE, PD, MN

đồng qui tại Q => BE, CE, PD đồng qui tại Q.Trở lại bài toán: Vì tam giác ABC cân

tai A => A, I, D thang hang.

A

M

P

F

E
T

N

JKT

B

L

HD

K

C

Áp dụng định lí Menelauyt cho tam giác ACF với bộ 3 điểm B, Q. E ta được
FQ/QC.EC/EA.BA/BE = 1 => FQ/QC = EA/EC.BF/BA

=> FT/DK = FT/DC.DC/DK = FQ/QC.AC/AE = EA/EC.BF/BA.AC/AE =
EA/AE.AC/BA.BF/CE = BF/CE = LF/EK = FJ/JK => T, J, D thang hang.

Vay P, J, D thang hang.