Toan cau 41 de tham khao 2019

Bài giải để tham khảo câu 41 (Đề tham khảo của Bộ GD&ĐT năm 2019)
---------------------------------------------------Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;-2;4), B(-3;3;-1) và mặt phẳng (P): 2x-y+2z-8=0.
2
2
Xét M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của 2 MA +3 MB bằng :
A. 135
B. 105
C. 108
D.145
Bài giải tham khảo
Đặt

M ( x ; y ; z )∈( P)⇔ 2 x− y+ 2 z=8 (1)

2
2
2
⃗
MA=(2−x ;−2− y ;4−z )⇒ MA 2 =( 2−x ) + (2+ y ) + ( 4−z )
⃗
MB=(−3−x ; 3− y ;−1−z)⇒ MB 2 =( 3+x )2 + ( 3− y )2 + ( 1+z )2

Do đó:

2 MA 2 +3 MB 2 =5 x 2 +5 y 2 +5 z 2 +10 x−10 y−10 z+105
2
2
2
=5 ( x + y +z +2 x−2 y−2 z ) +105
=5 [ ( x +1 )2 + ( y−1 )2 + ( z−1 )2 ] +90
Mặt khác : (1)⇔ 2 x +2− y+1+2 z−2=8+1⇔ 2( x+1 )−( y−1)+2( z−10=9

Ta có:

√

9=|2( x+ 1)−( y−1 )+2 (z −1)|≤ 9 [ ( x +1 )2 + ( y−1 )2 + ( z−1 )2 ]
2

2

2

2

2

2

2

2

⇒81≤9 [ ( x+ 1 ) + ( y−1 ) + ( z−1 ) ] ⇒ 9≤( x +1 ) + ( y −1 ) + ( z−1 )
2

2

2

2

⇒ 45≤5 [ ( x +1 ) + ( y −1 ) + ( z−1 ) ] ⇒ 45+ 90≤5 [ ( x +1 ) + ( y−1 ) + ( z−1 ) ]+ 90
2

2

2 MA +3 MB ≥135
2
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của 2 MA +3 MB
⇒

bằng 135.

Đáp án A

Cách giải khác (Tổng quát hơn)
Trước hết ta xét bài tốn sau:

BÀI TỐN :“TÂM TỈ CỰ”
+Định nghóa: (Vật Lý). Trong không gian (hay trên mặt phẳng) cho n điểm A;B;C;...Điểm I được gọi
→

→

→

→

là tâm tỉ cự của hệ thống n điểm với các hệ số a,b,c,...nếu : a . IA +b. IB +c. IC +. . .=0

+Úng dụng để giải bài tốn cực trị: “ Trong khơng gian Oxyz cho n điểm A,B,C,... Tìm điểm M trên
mặt phẳng (P) ( hay đường thẳng d ) sao cho :

→
1/ Môđun của véc tơ tổng :

→

→

|a.MA +b.MB +c.MC +...|

 a.MA

2

 b.MB 2  c.MC 2  ...

có giá trị nhỏ nhất.



2/ Tổng bình phương :
có giá trị nhỏ nhất.
+Ví dụ để minh họa phương pháp giải:
*Ví dụ : Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm : A(-1;2,0), B( 2;1;3); C(-2;3;4) và mặt phẳng
(P):x-2y+3z-2=0. Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho :

→

→

→

|2.MA +3.MB +5MC|

1/

có giá trị nhỏ nhất
( MA  2 MB  3MC ) có giá trị nhỏ nhất
2

2/

2

2

Giải.
1/ Với điểm M trên mặt phaúng (P) và với điểm I bất kỳ trong khơng gian ta có:

→

→

→

→

→

→

→

→

→

2MA +3 MB +5MC =2 ( MI +IA )+3 ( MI +IB )+5 ( MI +IC )
→

→

→

→

=10 MI +(2 IA +3 IB +5 IC )


→

→

→

→

Ta tìm tọa độ điểm I sao cho : 2 IA +3 IB +5 IC =0

2 x A  3 xB  5 xC
3


 xI 
10
5

2 y A  3 yB  5 yC 11


 yI 
10
5

2 z A  3 z B  5 zC 29


 zI 
10
10

Ta được :
 3 11 29 
I ; ; 
Vậy với điểm  5 5 10  thì

→

→

→

→

|2 MA +3MB +5 MC|=|10 MI|=10MI

nên:

ycbt ⇔ MI min ⇔ MI ⊥( P)⇔ M =hc I ( P )
(Từ đó tìm được M).
2/ Tương tự tìm điểm I (tâm tỉ cự của A;B;C ứng với các hệ số 1, 2 ,3.)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phương pháp: Khi giải trắc nghiẹm,để tìm M, trước hết ta tìm I sao cho: a IA +b IB+c IC=0
+Nếu tìm điểm M trên (P) hay d thì M là hình chiếu của I trên (P) hay d
+ Nếu tìm M trong khơng gian Oxyz thì M chính là I.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài giải đề nghị câu 41

⃗

⃗

⃗ ⃗

Gọi M là điểm trên (P) và I là điểm bất kỳ trong khơng gian Oxyz,tacó:
2
2MA 2+3 MB 2 =2 ⃗
MA 2 +3 ⃗
MB 2=2 ( ⃗
MI + ⃗
IA ) +3 (⃗

MI +⃗
IB2 )
=2IA 2+3IB 2 +5 IM 2 +2 ⃗
MI (2 ⃗
IA+3 ⃗
IB)

Chọn I(x;y;z) sao cho
Ta có :

2⃗
IA +3 ⃗
IB=⃗0

2⃗
IA=( 4−2 x ;−4−2 y; 8−2z ) ; 3 ⃗
IB= (−9−3 x ; 9−3 y ; −3−3 z )
2⃗
IA+3 ⃗
IB=⃗0 ⇒ I (−1;1;1)

.

.

Do đó:

⃗
IA=(3;−3;3)⇒ IA 2 =27
⃗

IB=(−2;2;−2)⇒ IB 2 =12
Khi ấy:

2

2

2

2

2

2

2 MA +3 MB =2 IA +3 IB +5 IM =2. 27+3 . 12+ 5 IM =90+5 IM

2

Vậy với điểm I chon được thì:

(1 )−8|
( 2 MA 2+3 MB 2 ) min ⇔ IM min ⇔ IM ⊥( P ) ⇔ IM =d ( I ,( P ))=|2(−1)−1+2
=3
2
2
2
Ta được:

( 2 MA 2 + 3 MB 2 ) min=135

√ 2 +(−1 ) +2

Vĩnh Long, ngày 7 tháng 12 năm 2018.
Người viết
Nguyễn Ngọc Ấn
(Trường Bán Công Vĩnh Long)