Cong thuc luy thua haylakho

CHỦ ĐỀ 1: CÔNG THỨC LŨY THỪA
I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Lũy thừa với số mũ nguyên dương.
*
n
Cho a   và n   . Khi đó a a.a.a....a (n thừa số a).

Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0
Cho

a   \  0

*

và n   . Ta có:

a n 

1 0
; a 1
an
.

Lũy thừa với số mũ ngun có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
0
0 n  n  * 
Chú ý: 0 và
khơng có nghĩa.

2. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên dương n 2 .
n
Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a b .

Khi n lẻ, b   : Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là

n

b.

Khi n chẵn và b  0 thì khơng tồn tại căn bậc n của số b.
Khi n chẵn và b 0 thì có duy nhất một căn bậc n của số b là
Khi n chẵn và b  0 có 2 căn bậc n của số thực b là

n

n

0 0 .

b và  n b .

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ
Cho số thực a  0 và số hữu tỷ

r

m
m
r

n
m


;
n


,
n

2
a

a
 n am .
n , trong đó
. Khi đó

4. Lũy thừa với số mũ vơ tỷ
lim rn 
r 
Giả sử a là một số dương và  là một số vô tỷ và n là một dãy số hữu tỷ sao cho n 
. Khi đó
lim a rn a

n  

.

II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Cho hai số dương a; b và m; n   . Khi đó ta có các cơng thức sau.
Nhóm cơng thức 1
m n
m n
1. a .a a
am
1


a m  n  m 0  n a  n 
n
a


2. a
m n

a 
3.

a m.n

Nhóm cơng thức 2
m

1.

 a

a n  n am 

n

m

n

2.

a n .b n  ab  , n a . n b  n ab
n

an  a  n a n a
  , n 
n
b
b
b
b
3.


 Tính chất 1:

a 0 1 a 0 

1
và a a .

 a  1; a m  a n  m  n

0  a  1: a m  a n  m  n
 Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): 
.
 am  bm  m  0
 m
a b  m 0
a

b

0
 Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): Với
thì 
.

3 2
3
Ví dụ 1: Cho biểu thức P  x. x . x , với x  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

13

13

13

12
A. P  x .

24
B. P  x .

3

3

13

6
C. P x .
Lời giải
7

7

3

13

8
D. P  x .

13

3 2
3
2
6
6

2
2
12
Ta có: P  x. x . x  x. x .x  x. x  x.x  x x . Chọn A.

x . 3 x 2 . x  x n với x  0 . Tìm n.

Ví dụ 2: Biết rằng
A. n 2 .

n

B.
1

2
3.

1

3

C.
Lời giải

1

5

3

1

5

1 5

6

x . 3 x 2 . x  x 2 . x 2 .x 2  x 2 . x 2  x 2 .x 6  x 2

Ta có:

n

4
3.

D. n 3 .

4

x 3 . Chọn C.
23

3 2 k
3
24
Ví dụ 3: Cho biểu thức P  x. x . x , với x  0 . Biết rằng P  x , giá trị của k bằng:

A. k 6 .

B. k 2 .

C. k 3 .
Lời giải

23

23

3 2 k 3
3 2 k 3
24
12
Ta có: P  x. x . x  x  x. x . x  x 
11

x 2 . k x3 x 4 

11
k

x3 x 4

P

Ví dụ 4: Cho biểu thức
3

A. P a .

Ta có:

P

2

3



a1

3
3



11

x 2 . k x 3  x12

3

 x k x 4  k 4 . Chọn D.



a 2 3 . a1

B.

a 2 3 . a1

3

D. k 4 .

3



1 3

, với a  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

a
P

1
a.

1 3



1 3

a 2 3 .a

C. P a .
Lời giải

 1 3  1 3 

a1

3



a 2 3 .a  2
a1

3



a
a1

D.

3
3



1

a . Chọn B.

P

1
a

3

.


m

a b a a
P  .4
 
b a b  b  với a; b  0 . Tìm m.
Ví dụ 5: Cho biểu thức
3

A.

m

7
24 .

7
m

12 .
B.

m 

C.
Lời giải

7
12 .

D.

m 

7
24 .

a
b
1
7
1
1
7
3
3
3
3
4 1

4 
x   x  1
3
4 1
8
8
2
2
24
P

x
x
x

x
x
.
x

x
x

x
.
x

x

x

b
a
Đặt
. Khi đó
.
7

a b a  a  24
7
P  3 .4
   m 
b a b b
24 . Chọn A.
Do đó
Q
Ví dụ 6: Cho biểu thức với
A. Q a .

B.
7

Q

1

a 6 .b 3
6

Ta có:

ab 2

7



7
6

a .b

1

ab 2 a; b  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

6

Q

a
b.

7

a 6 .b 3



1
2 6

 ab 

C. Q ab .
Lời giải

D. Q a b .

1

a 6 .b 3
1
6

1
3

a .b

a

2
6

. Chọn A.

3 2 6
Ví dụ 7: Cho x là số thực dương, viết biểu thức Q  x. x . x dưới dạng lũy thừa với số hữu tỉ
5
36

A. Q x .

2
3
B. Q x .

2

1

C. Q  x .
Lời giải
5

2
D. Q x .

1

3 2 6
3
6
6
6
Ta có: Q  x. x . x  x.x .x x .x x . Chọn C.

3

4 2
3

Ví dụ 8: Cho biểu thức P  x. x . x với x  0 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

5
6
A. P  x .

2

5

3
B. P x .

8
C. P  x .
Lời giải
1

1

5
 7  4  15  3
3
P  x. 4 x 2 . x 3  x. x 2 .x  3 x.  x 2   x 8   x 8
 


Ta có:
. Chọn C.
3

4

3
2

3
4
D. P  x .

2

T
Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức
4 6
A. T a .b .

a 2 .  a  2 .b3  .b  1

 a .b 
1

3

6 6
B. T a .b .

.a  5 .b  2

với a, b là hai số thực dương.

4 4
C. T a .b .

6 4
D. T a .b .


Lời giải
2

T
Ta có:

a 2 .  a  2 .b3  .b  1

 a .b 
1

3

.a  5 .b  2
xa

Ví dụ 10: Biết rằng x

Ta có: x

a 2 .a  4 .b 6 .b  1 a  2 .b5

a 6 .b 4

a  3 .b3 .a  5 .b  2 a  8 .b

. Chọn D.

2

b2

x9

với x  1 và a  b 3 . Tính giá trị của biểu thức P a  b .

B. P 3 .

A. P 1 .
xa



C. P 2 .
Lời giải

D. P 4 .

2

b2

x9  x a

2

 b2

1
x9  x
a 2  b 2 9   a  b   a  b  9  a  b 

3

x. 4

Ví dụ 11: Cho x, y  0 . Biết rằng
A. 0.

x

x3

y 2 . y. 3

xm
và

B. 2.

1
 yn
2
y

9
9
 3
a b 3
. Chọn B.

. Tính m  n .

C. 1.
Lời giải

D. 2.

1

3

x. 4

x

x3

Ta có:

y 2 . y. 3
Lại có:

8

2
1
1
4
x3
1
 x. 4 3  x. x 3  x.x 3  x 3  x 6  m 
x
6.
2
1
1
13
1
13
2
2
2
2
2
3
3
3
6
6

y
.
y
.

y

y
.
y
.
y

y
.
y

y
.
y

y
 n
2
y
6

.

Do đó: m  n  2 . Chọn D.



P  52 6

Ví dụ 12: Giá trị của biểu thức
A. P 5  2 6 .

Ta có:
Do đó:

B. P 5  2 6 .

2019

bằng:

C. P 10  4 6 .
Lời giải

D. P 10  4 6 .

 5  2 6   5  2 6  25  24 1 .


P  52 6

2018

 . 5  2 6 

Ví dụ 13: Giá trị của biểu thức

2019







 5  2 6 5  2 6 





M  32 2

 3  2 2  .2

2019

 

. 3 2 4

1009

1009
A. 2 .

Ta có:

2018

 . 5  2 6 

B.







2

2





. 5  2 6 5  2 6

C.
Lời giải
2019

bằng:

 3  2 2  .2

2018

 . 2  . 3  2 2 

9  8 1

. Chọn B.

2018

1009

.

3 2  4  2 3 2 2  M  32 2

 3  2 2   3  2 2  3   2 2 
Lại có:



2018

2018

.

D.

32 2 .

2018

.

 3  2 2  . 3  2 2 
nên

2018

1

.






M  3  2 2 .21009

Do đó:

. Chọn C.

x
x 1
2 x
Ví dụ 14: Cho 2 5 . Giá trị của biểu thức T 4  2 bằng:

504

A. 5 .

104
B. 5 .

T 4 x 1  22 x 4 x.4 

Ta có:

x
x
Ví dụ 15: Cho 4  4

A.

T

104
C. 25 .
Lời giải

504
D. 25 .

2
22
4
4 504
 2 x  .4  x 4.52  
x

2
2
5
5 . Chọn A.

2 x  2 x  3
T
34 . Tính giá trị của biểu thức
1  2 x 1  21 x .

3
4.

3
T
11 .
B.

C.
Lời giải

T

3
11 .

3
T
13 .
D.

2

Ta có:

4 x  4 x 34  22 x  2  2 2 x 36   2 x  2 x  36  2 x  2  x 6

Khi đó:

6 3
3
3
T


x
x
1  2  2  2  1  2.6 11

Ví dụ 16: Cho hàm số

f  x 

A. T 0 .

x
x
(Do 2  2  0 ).

. Chọn C.

9x
9 x  3 , với a, b   và a  b 1 . Tính T  f  a   f  b  .

B. T 1 .

C. T  1 .
Lời giải

D. T 2 .

9
a
9
9
9
T  f  a   f  b  f  a   f 1  a   a
 1 a
 a
 9
9 3 9 3 9 3 9 3
9a
Ta có:
a

1 a

a

9a

9
9a
3


 a
1
a
a
a
9  3 9  3.9
9 3 9 3
. Chọn B.
ax
f  x  x
a  a ta có f  x   f  1  x  1 .
Tổng quát: Cho hàm số

Ví dụ 17: Cho hàm số

f  x 

 1 
S f 

2005


Tính tổng
A. S 1002 .

4x
4x  2 .

 2 
f
  ... 
 2005 

B.

S

3008
3 .

 2004 
f

 2005 

 2005 
f

 2005  .

C. S 1003 .
Lời giải

D.

S

2005
2 .


f  x 

Sử dụng tính chất tổng quát: Với hàm số

ax
a x  a ta có f  x   f  1  x  1 .

  1 
  1002 
 2004     2 
 2003  
 1003  
S  f 
 f 
   f 
 f 
   ...   f 
 f 
   f  1
 2005     2005 
 2005  
 2005  
  2005 

  2005 
Khi đó
1  1  ...  1  f  1 1002 

4 3008

6
3 . Chọn B.

1  x 1  x  1
x 1  x  1 
Q  . 


x  x 1  x  1
x  1  x  1 
Ví dụ 18: Rút gọn biểu thức
với x  1 ta được
A. Q 1 .

B. Q 2 x .
2


Ta có:

x 1  x  1 



x 1 .

Và

 



x 1 

1 
Q .
x

Suy ra

C. Q 2 .
Lời giải

x 1 

x 1



2

2 x  2 x 2  1  2 x  2 x 2  1 4 x



1x  1  x  1  x  1  x  1 2
2

  x 1 
x  1  .  1x  1 

x 1  x  1 



x 1 

Ví dụ 19: Đơn giản biểu thức
4
A. T  a .

T 4

a
a


x  1
x 1

2

4

4

Ta có:

4

a

4

b

2

4

a





4

4

4

a b

.

2

1 4x
 . 2
x 2



4

a4b

4

Ta có:

a 2  4 ab





  3  a 2  4ab  

3

625



3 a 2  10 ab

a 4 b
a 2  4 ab





3

625

4
C. 21 .
Lời giải

B. 2.

 1 


 125 

 5

2
 3 a  4 ab



 4
 5 3 
 

3a 2  10 ab

a 4

b 21 . Chọn C.



3 a 2  10 ab

a
. Tính tỉ số b .
76
D. 3 .

4
 3 a 2 4 ab 
3a 2  10 ab 
  5 
 5  3 

4
3a 2  10ab   4  3a 2  10ab   9  a 2  4ab  0


3

,b 0
 21a 2 4ab  a
 21a 4b 

4
D. T  b

. Chọn B.

 1 


Ví dụ 20: Cho a, b là hai số thực khác 0. Biết rằng  125 
76
A. 21 .

.Chọn C.

4
4
C. T  a  b .
Lời giải

a4b

.

a  4 ab
4
a  4 b ta được

b

4
b

4
B. T  b .

 a   b
T

D. Q  2 .


x

Ví dụ 21: Cho

9 9

x

14,

A. P 10 .

6  3  3x  3 x 
2 3

x 1

1 x

3

B. P  10 .



a a
b ( b là phân số tối giản). Tính P ab .
C. P  45 .
Lời giải

D. P 45 .

2

Ta có:

9 x  9 x  3x  3 x   2 14  3x  3 x 4
6  3  3x  3 x 

Suy ra

2 3

x 1

1 x

3



6  3  3x  3 x 
2  3 3  3
x

x





.

6  3.4
9
  P ab  45
2  3.4
5

. Chọn C.

Đây là một trích đoạn nhỏ nội dung bộ tài liệu “17000 bài tập tách theo chuyên đề từ

đề thi thử 2019” Hot nhất hiện nay!
1)Link coi thử:
/>
2)Link đăng ký:
/>PyDzvQ/viewform