Kiem Tra Toan 9 HK1

CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
 CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
Trong chương trình tốn, ta đã biết:
 Định nghĩa: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho
2

x =a .
 Chú ý:

√a

 Số dương a có đúng 2 căn bậc hai, một số dương kí hiệu là

−√ a

một số âm kí hiệu là

.

 Số 0 chỉ có duy nhất một căn bậc hai là 0 vì
 Số âm khơng có căn bậc hai.
 Không được viết:

x=√ a ⇔

√ a2=±a

{

và

√ 0=0

.

.

x ≥0
x2 =a

 Ta có:
 Với hai số bất kì a, b với a, b > 0. Ta có:

1. CĂN BẬC HAI

a=b ⇔ √ a= √b

;

a>b⇔ √ a> √ b

 Định nghĩa: Với số dương a, số √ a được gọi là căn bậc hai số học
của a.
 Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

x=√ a ⇔

{

x ≥0
x2 =a , với a≥0

 Ta viết:
 SO SÁNH CÁC CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
 Ta đã biết:
Với hai số a và b khơng âm, nếu a < b thì
 Ta có thể chứng minh được:
Với hai số a và b khơng âm, nếu
 Định lí: Với hai số a, b khơng âm, ta có:

√ a<√ b

√ a<√ b

.

thì a < b

a CĂN THỨC BẬC HAI

2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ
HẰNG
ĐẲNG
THỨC
2
√ A =¿ A∨¿

 Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi √ A là căn thức bậc hai
của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
 √ A chỉ có nghĩa khi và chỉ khi A≥0 .

 HẰNG ĐẲNG THỨC √ A 2=¿ A∨¿
 Định lí: Với mọi số A, ta có:

√ A 2=|A|= −A A

{

3. LIÊN HỆ GIỮA
NHÂN VÀ PHÉP
PHƯƠNG

PHÉP
KHAI

khi A≥0
khi A <0

 ĐỊNH LÍ
 Định lí: Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì √ ab= √a . √ b
 Chú ý: Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.
 CÁC QUY TẮC


 Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích các biểu
thức khơng âm, ta có thể khai phương từng biểu thức rồi nhân kết quả
với nhau.
 Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: Muốn nhân các căn thức bậc hai
của các biểu thức không âm ta có thể nhân các biểu thức dưới dấu căn
với nhau rồi lấy căn bậc hai của kết quả đó.
 ĐỊNH LÍ

√

a √a
=
b √b

 Định lí: Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì
 CÁC QUY TẮC
 Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương
4. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA
VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

A
B

của hai biểu thức A ≥ 0, B ≥ 0, ta có thể khai phương lần lượt biểu
thức bị chia A và biểu thức chia B. Sau đó lấy kết quả thứ nhất chia cho
kết quả thứ hai.
 Quy tắc chia hai căn bậc hai: Muốn chia căn thức bậc hai của biểu thức
không âm A cho căn thức bậc hai của biểu thức dương B, ta có thể chia
biểu thức A cho biểu thức B rồi lấy căn bậc hai của thương đó.
 Chú ý: Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm và biểu thức B
dương, ta có:

5. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU
THỨC CHỨA CĂN THỨC
BẬC HAI

√

A √A
=
B √B .

 ĐƯA MỘT THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN
 Đẳng thức
2

√ a b=a √ b

√ a2 b=a √ b

cho phép ta thực hiện phép biến đổi

. Phép biến đổi này được gọi là phép đưa thừa số ra ngồi

dấu căn.
 Đơi khi, ta phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng thích hợp rồi
mới thực hiện được phép đưa thừa số ra ngồi dấu căn.
 Có thể thực hiện được phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn
biểu thức chứa căn thức bậc hai.
 Một cách tổng quát, ta có:

√ A 2 B=|A|. √ B

, với B ≥ 0
 ĐƯA MỘT THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN
 Phép đưa thừa số ra ngồi dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là
phép đưa thừa số vào trong dấu căn.

 Ta có:

|A|√ B=√ A 2 B

, với B ≥ 0

 Ta có hai trường hợp:
Nếu A ≥ 0 thì

A √ B=√ A 2 B , với B ≥ 0.

√

2

Nếu A < 0 thì A B=−|A| B=− A B , với B ≥ 0.
 KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC LẤY CĂN
 Khi biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai, người ta có thể sử dụng
phép khử mẫu của biểu thức lấy căn.

√

√


 Một cách tổng quát, ta có:

A A .B 1
=
= √ A.B

B
B 2 |B|
với A.B ≥ 0, B

√ √

0.
 TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU
 Trục căn thức ở mẫu cũng là một phép biến đổi đơn giản thường gặp.
 Một cách tổng quát: Để trục căn thức ở mẫu, ta lựa chọn một trong hai
cách sau:
Cách 1: Phân tích tử và mẫu ra thừa số chung chứa căn rồi rút gọn thừa
số đó.
Cách 2: Nhân tử và mẫu với thừa số thích hợp để làm mất căn thức ở
mẫu. Có các dạng cơ bản sau:
 Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có:

A A √B
=
√B B

 Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0 và A ¿

¿

B2, ta có:

C ( √ A∓B )
C
=

√ A±B
A−B 2
 Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ¿

B, ta có:

C ( √ A∓√ B )
C
=
A−B
√ A±√ B

6. RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ
CHỨA CĂN BẬC HAI

 Để rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai, ta cần biết vận dụng thích
hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết. Và thông thường ta thực
hiện theo các bước:
Bước 1: Thực hiện các phép biến đổi đơn giản:
 Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn.
 Đưa một thừa số vào trong dấu căn.
 Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn.
 Trục căn thức ở mẫu.
Bước 2: Thực hiện phép tính.

7. CĂN BẬC BA – CĂN BẬC n

 KHÁI NIỆM CĂN BẬC BA

3

√a

 Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a, kí hiệu
thừa bậc ba của nó bằng a.
3

x=√ a ⇔ x 3=a
 Tổng quát, với mọi a

¿

√ a>0
3
√ a<0
3
√ a=0

.

 Nếu a > 0 thì
 Nếu a < 0 thì

3

(suy ra

R ln tồn tại

3

(√3 a ) =a
3

√a

, là một số mà lũy
)

.

.

 Nếu a = 0 thì
.
 TÍNH CHẤT
 Tương tự tính chất của căn bậc hai, ta có hai tính chất sau của căn bậc
ba:
3



3

a< b⇔ √ a< √ b


3



3

3

√ a . √b=√ ab
3
√ a =3 a
3
√b b , với b

√

¿ 0

 Dựa vào các tính chất trên, ta có thể so sánh, tính tốn, biến đổi các
biểu thức chứa căn bậc ba.
 CĂN BẬC N
 Căn bậc n (n ¿ N, n ≥ 2) của một số a là một dãy mà lũy thừa n
bằng a.
 Tổng quát:
 Đối với căn bậc lẻ (n = 2k + 1): Mọi số đều có một căn bậc lẻ duy nhất.
Căn bậc lẻ của số dương là số dương, của số 0 là 0, của số âm là số âm.
2k +1

√ a là giá trị của căn bậc lẻ.
Kí hiệu:
 Đối với căn bậc chẵn (n = 2k): Số âm không có căn bậc chẵn. Số 0 có
căn bậc chẵn là 0. Số dương có căn bậc chẵn là hai số đối nhau.
2k

2k

Kí hiệu: √ a và − √ a (trong đó
chẵn của một số a khơng âm.

https://giaidethi24h .net

2k

√ a≥0

) là giá trị các căn bậc