Định lí ánh xạ co đa trị và tồn tại nghiệm của quan hệ biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN LONG

ĐỊNH LÍ ÁNH XẠ CO ĐA TRỊ
VÀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA QUAN HỆ BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2019


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N◊I
TRƯONG Đ�I HQC KHOA HQC Tlj NHIÊN

NGUYEN VĂN LONG

Đ�NH LÍ ÁNH X� CO ĐA TR�
VÀ TON T�I NGHI�M CuA QUAN H� BIEN
PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIAI TÍCH
Mã s6: 60 46 01 02

LU�N VĂN TH�C SY KHOA HQC

NGƯOI HƯONG DAN KHOA HOC: PGS. TS. TA. DUY PHƯQNG

Hà N9i - Năm 2016

M c l c
M đ u

2

1 Ki�n thuc cơ s
6
1.1 Kien thuc tơpơ và giai tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2 Ánh xc; đa tri................................................................................................11
1.2.1 Đinh nghĩa ánh xc; đa tri..............................................................11
1.2.2 Tính liên tl)c cua ánh xc; đa tri....................................................15
1.3 C�n sai so cua mot hi; tuyen tính..............................................................16
1.3.1 C�n sai so.......................................................................................16
1.3.2 Giá tri riêng Pareto....................................................................17
2 Đinh lí đi�m b§t đ9ng cua ánh x<; đa tri
19
2.1 Đinh lí đi@m b§t đong cua ánh xc; co đa tri..........................................20
2.1.1 Đinh nghĩa.....................................................................................20
2.1.2 Đinh lí đi@m b§t đong cua Nadler..................................................20
2.1.3 Đinh lí đi@m b§t đong cua Mizoguchi và Takahashi.....................21
2.2 Đinh lí đi@m b§t đong cua ánh xc; đa tri khơng nh§t thiet phai là
ánh xc; co......................................................................................................23
2.2.1 Hi; qua 1...........................................................................................27
2.2.2 Hi; qua 2...........................................................................................28

2.2.3 Ví dl) tìm đi@m b§t đong cua ánh xc; đa tri khơng co...............28
3 Bài toán quan h� bi�n phân (VRP)
30
3.1 Bài toán quan hi; bien phân.....................................................................30
3.2 Đi�u kii;n t6n tc;i nghii;m cua bài tốn VRP............................................31
3.3 Thu�t tốn tìm nghii;m cua VRP...........................................................34
3.4 Đinh lí 2........................................................................................................39
3.5 Đinh lí 3........................................................................................................39
KET LU�N...............................................................................................42
Tài li�u tham khao...................................................................................43

1


M đ u
Nguyên lí ánh xc; co Banach là mot trong nh-Gng ket qua quan tr9ng cua giai
tích hàm. Nguyên lí ánh xc; co Banach đã đưQc nhi �u nhà tốn h9c trên the giai
nghiên cuu và t6ng qt hóa v� ca lí thuyet cũng như các ung dl)ng, trong đó có
ma rong sang giai tích đa tri. Các bài báo cua Markin [9] và cua Nadler [11] là
các ket qua nghiên cuu theo hưang ma rong ánh xc; co cho ánh xc; đa tri, trong đó
khoang cách Hausdorff đưQc sU dl)ng đ@ đinh nghĩa ánh xc; co đa tri. Abdul Latif
và Đinh The Ll)c [4] đã ma rong cho trưang hQp ánh xc; đa tri khơng nh§t thiet
phai là ánh xc; co nhưng van t6n tc;i đi@m b§t đong.
Năm 2008, Đinh The Ll)c đã đưa ra mot lap bài toán mai, bài toán Quan ht bien
phân nh?im nghiên cuu mot mơ hình t6ng qt, theo nghĩa mot so lap bài
toán quen thuoc như bài toán cân b?ing, bài toán tva cân b?ing, bài toán bao
hàm thuc bien phân, bài tốn bao hàm thuc tva bien phân, bài tốn b§t đing
thuc bien phân,... n?im trong mơ hình bài tốn quan hi; bien phân.
Lu�n văn Đinh lí ánh xr; co đa tri và tiJn tr;i nghitm cua quan ht bien
phân có ml)c

đích trình bày moi quan hi; gi-Ga Đinh lí ánh xc; co đa tri và t6n tc;i nghii;m cua
quan hi; bien phân.
Ngồi ph§n ma đ§u và ph§n ket lu�n, lu�n văn đưQc chia thành 3 chương.
Chương 1. Ki�n thuc cơ s
Chương này giai thii;u cơ sa lý thuyet cho chương sau, nh�c lc;i mot so kien thuc
v� giai tích hàm, trình bày mot so khái nii;m và tính ch§t cua ánh xc; đa tri; tính
liên tl)c cua ánh xc; đa tri, c�n sai so cua mot hi; b§t phương trình tuyen tính.
Chương 2. Đinh lí đi�m b§t đ9ng cua ánh x<; đa tri
Ml)c đích chính cua chương này là trình bày đinh lí đi@m b§t đong cua ánh xc; co
đa tri cua Nadler Jr. [11], là ma rong cua nguyên lí ánh xc; co Banach cho ánh xc;
đa tri; đinh lí đi@m b§t đong cua Noriko Mizoguchi và Wataru Takahashi [10]; đinh
lí đi@m b§t đong cua ánh xc; đa tri khơng nh§t thiet phai là ánh xc; co cua Abdul
Latif và Đinh The Ll)c [4].
Chương 3. Bài toán quan h� bi�n phân (VRP)
Chương này lu�n văn trình bày bài tốn quan hi; bien phân, đi �u kii;n t6n tc;i
nghii;m cua bài toán quan hi; bien phân và thu �t toán tìm nghii;m cua bài tốn
quan hi; bien phân tuyen tính; đinh lí t6n tc;i nghii;m cua bài tốn quan hi; bien


phân trong trưang hQp ánh xc; đa tri không phai là ánh xc; co.
Lu�n văn Đinh lí ánh xr; co đa tri và tiJn tr;i nghitm cua quan ht
bien phân đưQc trình bày mot cách có hi; thong (vai mot so chung minh đưQc
giai thích cl) th@ và chi tiet) v� đi�u kii;n t6n tc;i nghii;m và thu�t tốn tìm
đi@m b§t đong cua bài tốn quan hi; bien phân.


Loi cam ơn
Lu�n văn này đưQc hoàn thành dưai sv hưang dan cua PGS. TS. Tc; Duy PhưQng.
Th§y đã dành thai gian hưang dan cũng như giai đáp các th�c m�c cua tơi trong
q trình làm lu�n văn. Tơi muon bày to lịng biet ơn sâu s�c đen th§y.

Qua đây, tơi xin gUi tai q th§y cơ Khoa Tốn-Cơ-Tin h9c, Trưang Đc;i h9c
Khoa h9c Tv nhiên, Đc;i h9c Quoc gia Hà Noi, cũng như các th§y cơ đã tham gia
giang dc;y khóa cao h9c 2013-2015, lai cam ơn sâu s�c nh§t.
Tơi xin trân tr9ng cam ơn Ban Giám hii;u Trưang Cao đing Sư phc;m Hà Tây
(nơi tôi đang công tác), các đ6ng chí đ6ng nghii;p đang cơng tác và giang dc;y tc;i
Trưang Cao đing Sư phc;m Hà Tây, trong thai gian qua đã luôn đong viên, tc;o
đi�u kii;n thu�n lQi đ@ tơi hồn thành nhii;m vl) đưQc giao.
Tơi xin cam ơn gia đình, bc;n bè thân men đã quan tâm, tc;o đi �u kii;n và c6 vũ,
đong viên tôi đ@ tơi hồn thành tot nhii;m vl) cua mình.
Hà N()i, tháng 10 năm
2016
Tác gia lu�n văn
Nguyen Văn
Long


Loi cam đoan
Tôi xin cam đoan ban lu�n văn này là cơng trình nghiên cuu cua riêng tơi,
dưai sv hưang dan cua PGS. TS. Tc; Duy PhưQng. Các ket qua trình bày trong
lu�n văn này là trung thvc và khơng trùng li,p vai các đ� tài khác.
Hà N()i, tháng 10 năm
2016
Tác gia lu�n văn
Nguyen Văn
Long


Chương 1

Ki�n thuc cơ s

Chương này trình bày mot so kien thuc v� giai tích hàm như các khái nii;m
khơng gian metric, khơng gian tơpơ, ngun lí ánh xc; co Banach,... và khái nii;m
ánh xc; đa tri, tính liên tl)c cua ánh xc; đa tri, đinh lí ánh xc; co đa tri,... và mot so
kien thuc cơ ban c§n thiet cho vii;c trình bày các noi dung a chương sau.

1.1 Ki�n thuc tơpơ và giai tích hàm
1.1.1 Khơng gian metric

Đinh nghĩa 1.1.1
Cho t�p X /= ∅, ánh xc; d tu tích Descartes X × X vào t�p hQp các so thvc R
đưQc g9i là mot metric trên X neu các tiên đ� sau đây đưQc thoa mãn:
1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đ điJng nh t);
2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đ đ i x ng);
3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đ tam giác).
T�p X vai metric d trang bi trên X đưQc g9i là khơng gian metric, kí hii;u là (X,
d) hay thưang đưQc viet là X. Các ph§n tU cua X g9i là các điem, so d(x, y)
đưQc g9i là khoang cách gi-Ga hai đi@m x và y trong X.
Hi; tiên đ� 1), 2), 3) g9i là ht tiên đ metric.
Đinh nghĩa 1.1.2
Cho X là mot không gian metric, mot đi@m x ∈ X và A ⊂ X. Khoang cách til
điem
x đen t(ip A đưQc xác đinh bai d(x, A) = inf d(x, a).
a∈A

Đinh nghĩa 1.1.3 (Khoang cách Hausdorff)
Cho X, Y là hai khơng gian metric và A, B l§n lưQt là các t�p con trong X, Y.
Khoang cách Hausdorff til t(ip A đen t(ip B đưQc xác đinh bai
h(A, B) = max {sup inf d(a, b), sup inf d(a, b)},
a∈Ab∈
B

hay

b∈Ba∈A


h(A, B) = max {supd(a, B), supd(b, A)}.
a∈
A

b∈B

Đinh nghĩa
1.1.4
Trong không gian metric X. Mot dãy {xn} đưQc g9i là dãy cơ ban neu
(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn, xm) < ε.

Đinh nghĩa 1.1.5
Dãy so {xn} trong không gian metric X đưQc g9i là có gidi hr;n hoi,c h()i t'(l
neu t6n tc;i mot so thvc x sao cho ∀ > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, d(xn − x) < . So x đưQc
g9i là gidi hr;n cua dãy xn và đưQc kí hii;u là x = lim xn hay viet g9n là x =
{
lim xn,
}
hoi,c là xn → x khi n → ∞.

n→∞

Nh�n xét 1.1.1
Mot dãy hoi tl) bao gia cũng là dãy cơ ban. Th�t v�y, neu xn → x, khi n → ∞ thì

ta có d(xn, x) → 0 khi n → ∞ và d(xm, x) → 0 khi m → ∞.
Khi đó, theo tiên đ� tam giác ta có
d(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(x, xm) → 0, (khi

m, n → ∞).

Suy ra d(xn, xm) → 0 (khi m, n → ∞). Do đó dãy {xn} là mot dãy cơ ban.
Nhưng ngưQc lc;i, mot dãy cơ ban trong mot khơng gian metric b§t kỳ khơng nh§t
thiet hoi tl).
Ching hc;n, neu xét khoang (0; 1) là mot không gian metric vai d(x, y) = |x
−
, n = 1, 2, · · · là dãy cơ ban và 1 → 0 ∈/ (0; 1), do đó
n

y|, ∀x, y ∈ (0, 1) thì dãy1
n
1
dãy
, n = 1, 2,
· · · khơng hoi tl) trong khơng gian §y.
n

Đinh nghĩa 1.1.6
Khơng gian metric X trong đó m9i dãy cơ ban đ�u hoi tl) (tai mot ph§n tU cua X)
đưQc g9i là mot không gian metric đay đu.
Đinh nghĩa 1.1.7
Ánh xc; f : X → X đưQc g9i là ánh xr; Lipschitz neu
∃k > 0 : d (f (x), f (y)) ≤ k.d(x, y), ∀x, y ∈ X.

Neu k = 1 thì f đưQc g9i là ánh xr; không

giãn. Neu 0 < k < 1 thì f đưQc g9i là ánh xr;
co.
Đinh lí 1.1.1 (Nguyên lý ánh x<; co Banach)
M9i ánh xc; co f tu không gian metric đu (X, d) vào chính nó đ�u có đi@m b§t đong
x¯ duy nh§t, nghĩa là t6n tc;i duy nh§t x¯ ∈ X thoa mãn hi; thuc f (x¯) = x¯.

Chung minh
L§y mot đi@m b§t kỳ x0 ∈ X. Xây dvng dãy li,p xn = f (xn−1), n = 1, 2, · · ·
Theo đinh nghĩa ánh xc; co ta có:
d(xn, xn+1) = d(f (xn−1), f (xn)) ≤ r.d(xn−1, xn),


d(xn−1, xn) ≤ r.d(xn−2, xn−1),
·········
d(x1, x2) ≤ r.d(x0, x1).

Tu đó suy ra vai m9i n ta có:
d(xn, xn+1) ≤ r.d(xn−1, xn) ≤ r2.d(xn−2, xn−1) ≤ · · · ≤ rn.d(x0, x1).

V�y khi m > n, ta có
d(xn, xm) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xm)
≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + d(xn+2, xm)
≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + d(xn+2, xn+3) + · · · + d(xm−1, xm)
≤ (rn + rn+1 + rn+2 + · · · + rm−1)d(x0, x1)
≤ rn(1 + r + r2 + · · · + rm−n−1)d(x0, x1)
n

1 − rm−n
n

1 − rm−n

Vì r ∈ (0; 1) nên rõ ràng d(xn, xm) → 0khi m, n → ∞, tuc là dãy {xn} là mot
dãy cơ ban trong X và vì X là khơng gian metric đu nên xn phai d§n tai giai hc;n
x. Ta có xn = f (xn−1) mà sxn → x, f (xn) → f (x) vì d(f (xn−1), f (xn)) ≤
rd(xn−1, x) → 0. V�y f (x) = x, nghĩa là x là đi@m b§t đong cua f .
Ta chung minh đi@m b§t đong x là duy nh§t. Th�t v�y, gia sU y cũng là mot đi@m
b§t đong cua f , tuc là f (y) = y. Khi đó
d(x, y) = d(f (x), f (y)) ≤ rd(x, y)
⇒ d(x, y) ≤ rd(x, y), r ∈ (0; 1).

Đi�u này chi xay ra khi và chi khi d(x, y) = 0 ⇒ x = y.
1.1.2 Không gian tôpô

Đinh nghĩa 1.1.8 (Không gian tôpô)
Cho t�p X /= ∅. Mot h9 τ các t�p con cua X đưQc g9i là mot tơpơ trên X
neu nó thoa mãn các tính ch§t sau:
(i) ∅, X ∈ τ ;
(ii) Giao cua mot so h-Gu hc;n các ph§n tU thuoc τ thì thuoc τ ;
(iii) HQp cua mot so tùy ý các ph§n tU thuoc τ thì thuoc τ .
Khi đó ci,p (X, τ ) đưQc g9i là không gian tôpô.


Đinh nghĩa 1.1.9
Gia sU (X, τX) và (Y, τY ) là hai khơng gian tơpơ.
Xét tích Descartes X × Y = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ Y } và τ = {A × B|A ∈ τX, B ∈
τY } thì τ là mot tơpơ trên X × Y . Khi đó (X × Y, τ ) đưQc g9i là khơng gian
tơpơ tích cua các khơng gian tơpơ (X, τX) và (Y, τY ).
Đinh nghĩa 1.1.10
Cho hai tôpô τ1 và τ2. Ta nói τ1 yeu hơn τ2 (hay τ2 mr;nh hơn τ1) neu τ1 ⊂ τ2,

nghĩa là m9i t�p ma trong tôpô τ1 đ�u là t�p ma trong τ2.
Đinh nghĩa 1.1.11
Cho (X, τ ) là khơng gian tơpơ.
• T�p G đưQc g9i là t(ip mo trong X neu G ∈ τ.
• T�p F đưQc g9i là t(ip đóng trong X neu X\F ∈ τ.

Đinh nghĩa 1.1.12
Cho không gian tôpô (X, τ ), t�p A là t�p con cua X. T�p U đưQc g9i là mot lân
c(in cua t�p A neu trong U có mot t�p ma chua A. Khi A = {x} thì ta nói U là
mot lân c�n cua đi@m x.
Đinh nghĩa 1.1.13
} đưQc g9i là cơ so lân c(in cua
Mot h9 V = {V : V là lân c�n cua đi@m x ∈ X
điem x neu vai m9i lân c�n U cua đi@m x, t6n tc;i lân c�n V ∈ V sao cho x ∈
V ⊂ U. Đinh nghĩa 1.1.14
Cho không gian tôpô (X, τ ), A là mot t�p con b§t kì cua X. Đoi vai moi ph§n tU
b§t kì x ∈ X ta g9i:
(i) x là điem trong cua A neu t6n tc;i ít nh§t mot lân c�n cua x n?im trong A.
(ii) x là điem ngồi cua A neu t6n tc;i ít nh§t mot lân c�n cua x n?im trong X\A.
(iii) x là điem biên cua A neu x đ6ng thai không là đi@m trong và khơng là
đi@m ngồi cua A. Hay nói cách khác x là đi@m biên cua A neu m9i lân c�n
cua x đ�u có giao khác rong vai A và X\A.
Đinh nghĩa 1.1.15
Gia sU A là t�p con b§t kì cua không gian tôpô (X, τ ). Ta g9i phan trong cua A là
hQp cua t§t ca các t�p ma n?im trong A.
o

Kí hii;u là A hoi,c intA.
Nh�n xét 1.1.2
o

A là t�p ma lan nh§t trong A.

Đinh nghĩa 1.1.16
Gia sU A là t�p con b§t kì cua khơng gian tơpơ (X, τ ). Ta g9i bao đóng cua A là
giao cua t§t ca các t�p đóng n?im trong A.


Kí hii;u là A¯ hoi,c clA.
Nh�n xét 1.1.3
A¯ là t�p đóng nho nh§t chua A.
Đinh nghĩa 1.1.17
Cho X, Y là hai không gian tôpô. Mot ánh xc; f : X → Y đưQc g9i là liên t'(lc tr;i
điem x0 neu vai m9i lân c�n V cua f (x0) đ�u t6n tc;i mot lân c�n U cua x0 sao
cho f (U ) ⊆ V. Ánh xc; f đưQc g9i là liên t'(lc trên X neu nó liên tl)c tc;i m9i đi@m x ∈
X. Đinh nghĩa 1.1.18
Không gian tôpô (X, τ ) đưQc g9i là không gian Hausdorff (hay T2 − không
gian) neu m9i ci,p đi@m x, y ∈ X, x /= y đ�u t6n tc;i mot lân c�n U cua x và V
cua y sao cho U ∩ V = ∅.
Đinh nghĩa 1.1.19 Khơng gian tuyen tính
Gia sU t�p hQp X /= ∅ đưQc trang bi phép toán cong và phép toán nhân vai mot
so trên X, tuc là:
Phép cong xác inh trờn X ì X v lĐy giỏ tri trong X:
(x, y) −→ x + y, ∀x, y ∈ X.

Phép nhân vơ hưang xác đinh trên R × X và l§y giá tri trong X:
(λ, x) −→ λx, ∀λ ∈ R, ∀x ∈ X.

Khi đó, (X, +, ·) đưQc g9i là mot khơng gian tuyen tính (hay khơng gian
véctơ) neu các tiên đ� sau đây đưQc thoa mãn:

(1) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y ∈ X.
(2) x + y = y + x, ∀x, y ∈ X.
(3) T6n tc;i mot ph§n tU 0 ∈ X sao cho x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ X.
(4) Vai moi ph§n tU x ∈ X, ∃ − x ∈ X sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0.
(5) λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ X.
(6) (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ R, ∀x ∈ X.
(7) (λµ)x = λ(µx), ∀λ, µ ∈ R, ∀x ∈ X.
(8) 1.x = x.1 = x, ∀x ∈ X.
Đinh nghĩa 1.1.20 (Không gian tôpô tuyen tính)
Cho X là mot khơng gian véctơ và τ là mot tôpô trên X. (X, τ ) đưQc g9i là mot
khơng gian tơpơ tuyen tính (hay khơng gian véctơ tôpô ) neu các đi�u
kii;n sau đưQc thoa mãn:
(i)(X, τ ) là mot không gian tôpô.
(ii) Phép cong hai véctơ + : X × X → X, (x, y) −→ x + y là mot ánh xc; liên
tl)c cua hai bien x, y, tuc là vai m9i lân c�n V cua đi@m x + y đ�u có mot lân
c�n Ux cua đi@m x và mot lân c�n Uy cua đi@m y sao cho neu xI ∈ Ux, yI ∈ Uy
thì ta có xI + yI ∈ V .


(iii) Phép nhân véctơ vai mot so thvc λx : R × X → X, (λ, x) −→ λx là ánh xc; liên
tl)c cua hai bien α, x, tuc là vai m9i lân c�n V cua αx đ�u có mot so > 0 tùy ý và
mot lân c�n U cua x sao cho |αI − α| < , xI ∈ U thì ta có αIxI ∈ V .

1.2 Ánh x<; đa tri
1.2.1 Đinh nghĩa ánh x<; đa tri

Đinh nghĩa 1.2.1
Cho X, Y là hai t�p hQp b§t kì và t�p các t�p con cua Y (đưQc kí hii;u là 2Y ). Ta
nói F là ánh xr; đa tri tu X vào Y neu vai moi x ∈ X, F (x) là mot t�p hQp con
cua Y . Kí hii;u: F : X ⇒ Y, hay F : X → 2Y .

Ví d 1.2.1
Ánh xc; F : R ⇒ R xác đinh bai:
[0; 1] neu x ∈
(1.1)
F
Q;(x) =
[−1; 0] neu x ∈/
Q,
là ánh xc; đa tri trên R.
Ví d 1.2.2
Ánh xc; F : Rn ⇒ Rn xác đinh bai
F (x) = {y ∈ Rn : 1y − x1 ≤ 1}

(1.2)

là mot ánh xc; đa tri trên Rn, nó bien moi đi@m thành mot hình c§u đóng tâm x
bán kính b?ing đơn vi.
Ví d 1.2.3
Ánh xc; F : Rn ⇒ Rn xác đinh bai
[−1; 1]
neu
(1.3)
F (x) =
x = 0;
0
neu x /=
0.

là mot ánh xc; đa tri trên Rn.
Ví d 1.2.4

Ánh xc; F : R ⇒ R đưQc cho bai công thuc




F (x) =

là mot ánh xc; đa tri trên R.
Nh�n xét 1.2.1

{0}

= 0;
[−1; 1] neu
0;



1

neu x
x=

neu x > 0.

(1.4)


Neu vai moi x ∈ X t�p F (x) chi g6m đúng mot ph§n tU cua Y , thì ta nói F là
ánh xr; đơn tri tu X vào Y . Khi đó, thay cho kí hii;u F : X ⇒ Y b?ing kí hii;u

quen thuoc f : X → Y .
Đinh nghĩa 1.2.2
ĐiJ thi graphF , mi n htu hitu domF và mi n anh rgeF cua ánh xc; đa tri F : X
⇒Y
tương ung đưQc xác đinh b?ing các cơng thuc
graphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ;
domF = {x ∈ X : F (x) /= ∅};
rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}.

Đinh nghĩa 1.2.3. T(ip liJi
Gia sU A là mot t�p hQp khác rong trong không gian véctơ thvc, neu vai m9i
x, y ∈ A và vai m9i t ∈ [0; 1] ta có tx + (1 − t)y ∈ A thì ta nói A là mot t(ip liJi.

Đinh nghĩa 1.2.4
Cho X, Y là các khơng gian véctơ. Khi đó X × Y cũng là khơng gian véctơ. Ta nói
ánh xc; đa tri F là:
1. Ánh xr; đa tri liJi neu graphF là t�p l6i trong khơng gian tích X × Y.
2. Ánh xr; có giá tri liJi neu F (x) là t�p l6i vai m9i x ∈ X.

Nh�n xét 1.2.2
Gia sU X, Y là các t�p l6i cua khơng gian tuyen tính. Khi đó, ánh xc; đa tri
F : X ⇒ Y đưQc g9i là ánh xr; đa tri liJi khi và chi khi vai m9i x1, x2 ∈
X và t ∈ [0, 1] thì
tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2).
(1.5)
Th�t v�y, gia sU F là ánh xc; đa tri l6i, tuc là graph F là l6i. L§y hai ph§n tU x1, x2
b§t kì sao cho y1 ∈ F (x1), y2 ∈ F (x2), khi §y (x1, y1), (x2, y2) ∈ graphF. Vai t ∈ [0,
1] , do graphF l6i nên
(tx1 + (1 − t)x2, ty1 + (1 − t)y2) ∈ graphF.

Suy ra, ty1 + (1 − t)y2 ∈ F (tx1 + (1 − t)x2) đúng vai m9i y1 ∈ F (x1), y2 ∈ F (x2).
Vì the,
tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2).

Trong trưang hQp ánh xc; F là ánh xc; đơn tri, F (x) = {f (x)} thì F là l6i khi
f (tx1 + (1 − t)x2) ≤ tf (x1) + (1 − t)f (x2).

(1.6)

Ta nh�n th§y r?ing (1.5) tương thích vai (1.6).
Th�t v�y, gia sU f : X → R là ánh xc; đơn tri. Hàm F đưQc xác đinh bai F (x) =
f (x) + R+ = {f (x) + α, α ≥ 0} , vai f là hàm l6i, se là ánh xc; đa tri l6i.


Th�t v�y, vai t = 0 hoi,c t = 1 thì ket qua (1.5) đúng. Khi đó F là ánh xc; đa tri l6i.
Neu 0 < t < 1 thì ta có
(

tF (x1) = t f (x1) + R+ = tf (x1) + R+,

(

(1 − t)F (x2) = (1 − t) f (x2) + R+ = (1 − t)f (x2) + R+

L§y w ∈ tF (x1) + (1 − t)F (x2). Khi đó t6n tc;i s1, s2 ∈ R+ sao cho
u = tf (x1) + ts1,
v = (1 − t)f (x2) + (1 − t)s2.

Do f là hàm l6i nên tf (x1) + (1 − t)f (x2) ≥ f (tx1 + (1 − t)x2). Suy ra t6n tc;i α
≥0

sao cho
tf (x1) + (1 − t)f (x2) = f (tx1 + (1 − t)x2) + α.

Xét
w= u+ v
= tf (x1) + ts1 + (1 − t)f (x2) + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2) + α + ts1 + (1 − t)s2
= f (tx1 + (1 − t)x2) + β
∈ F (tx1 + (1 − t)x2)

vai β = α + ts1 + (1 − t)s2 ≥ 0
V�y tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2). Hay F là ánh xc; đa tri l6i.
Ví d 1.2.5
Ánh xc; đa tri F : R ⇒ R xác đinh bai
{

}

F (x) = y ∈ R : y ≥ x2 ,

là ánh xc; đa tri l6i.
Th�t v�y, xét đ6 thi cua ánh xc; đa tri F (x) trong khơng gian R2. Khi đó, graphF
là mot t�p l6i trong R2 suy ra F (x) là mot ánh xc; đa tri l6i.
Ví d 1.2.6
Ánh xc; đa tri F : R ⇒ R xác đinh bai
(1.7)
0
neu x = 0;


F (x) =
[−1, 1] neu x /= 0
,
không phai là ánh xc; đa tri l6i vì l§y x2 =
.
−x1 x1 > 0 và t =1
2
Khi §y ta có

Nh�n xét
1.2.3

1
tF (x1) + (1 − t)F (x2) =
{[−1, 1] + [−1, 1]}
1
2
=
[−2, 2] rz F (tx1 + (1 − t)x2) = F (0) = {0}
2


Tu nh�n xét 1.2.2 ta có ánh xc; đa tri F : X ⇒ Y đưQc g9i là ánh xr; đa tri
lõm
neu vai m9i x1, x2 ∈ X và t ∈ [0, 1] thì
tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊇ F (tx1 + (1 − t)x2).

Đinh nghĩa 1.2.5
Cho X và Y là các không gian tôpô và F : X ⇒ Y là ánh xc; đa tri.
1. F đưQc g9i là ánh xr; đóng (hoi,c ánh xr; có điJ thi đóng ) neu graphF

là t�p đóng trong khơng gian tơpơ tích X × Y.
2. F đưQc g9i là ánh xr; có giá tri đóng neu F (x) là t�p đóng vai m9i x ∈
domF.
3. F đưQc g9i là ánh xr; mo (hoi,c ánh xr; có điJ thi mo ) neu graphF là
t�p ma trong khơng gian tơpơ tích X × Y.
4. F đưQc g9i là ánh xr; có giá tri mo neu F (x) là t�p ma vai m9i x ∈ domF.

Nh�n xét 1.2.4
Trong không gian metric, neu ánh xc; đa tri F có graphF đóng thì F (x) là đóng vai
m9i x ∈ domF. Th�t v�y, l§y dãy (xn , yn ) ∈ graphF sao cho (xn , yn ) hoi tl) tai
(x¯, y¯). Do (xn , yn ) ∈ graphF nên yn ∈ F (xn ). Mi,t khác, graphF là đóng nên y¯
∈ F (x¯), tuc
là vai m9i dãy xn → x¯, vai yn ∈ F (xn ) y¯ ∈ F (x¯). V�y F (x¯) là đóng vai
thì
m9i
x ∈ domF.
Ví d 1.2.7
Ánh xc; đa tri F : R ⇒ R xác đinh bai
[−1, 1]
neu
x = 0;
(1.8)
F (x) =
0

neu x /=
L§y dãy (xn , yn ) ∈ graphF b§t kì,0.(xn , yn ) → (x¯, y¯).
Vì (xn, yn) ∈ graphF nên yn ∈ F (xn) hay yn ∈ [−1, 1] vai m9i
n. Do đoc;n [−1, 1] là compact và yn → y¯ nên y¯ ∈ [−1, 1].
Trưang hQp 1: Neu xn → x¯ = 0 thì F (x¯) =

[−1, 1]. Do đó y¯ ∈ F (x¯) hay (x¯, y¯) ∈ graphF .
Trưang hQp 2: Neu xn → x¯ /= 0 thì t6n tc;i N > 0 sao cho xn /= 0 vai m9i n ≥ N.
Do yn ∈ F (xn) và F (xn) = 0 vai m9i n ≥ N nên yn = 0 vai m9i n ≥ N.
Suy ra yn → y¯ = 0 hay (x¯, y¯) = (x¯, 0) ∈ graphF.
V�y graphF là đóng.
Ví d 1.2.8
Ánh xc; đa tri F : R ⇒ R xác đinh bai
(−1, 1)
neu
F (x) =
0;
0
neu x = 0

không phai là ánh xc;
1
x /= đa tri đóng vì , 1 −
1
1
∈ gphF và


(1.9)

n

n

n

→ 0, 1 −

1
n

→1

nhưng đi@m (0; 1) ∈/ graphF.
1.2.2 Tính liên t c cua ánh x<; đa tri

Cho X, Y là các không gian tôpô và ánh xc; đa tri F : X ⇒ Y .
Đinh nghĩa 1.2.6
Ánh xc; F là:
(i) Nita liên t'(lc trên tc;i x0 ∈ domF (kí hii;u usc) neu vai m9i t�p ma V ⊂
Y thoa mãn F (x0) ⊂ V, t6n tc;i t�p ma U cua x0 sao cho F (x) ⊂ V vai
m9i x ∈ U ∩ domF ;
(ii) Nita liên t'(lc dưdi tc;i x0 ∈ domF (kí hii;u lsc) neu vai m9i t�p ma V ⊂ Y
thoa mãn F (x0 ) ∩ V /= ∅, t6n tc;i t�p ma U cua x0 sao cho F (x) ∩ V
/= ∅ vai m9i x ∈ U ∩ domF ;
(iii) Liên t'(lc tc;i xa0 ∈ domF neu nó vua nUa liên tl)c trên và nUa liên tl)c dưai
tc;i x0.

Neu F liên tl)c tc;i m9i đi@m thuoc domF, thì F đưQc g9i là liên t'(lc o trên t(ip X.
Ví d 1.2.9
Xét ánh xc; đa tri F : R ⇒ R xác đinh bai
[−1, 1] neu x /=
(1.10)
F (x) =
0;
0

neu x =
0.

Ánh xc; đa tri F là ánh xc; nUa liên tl)c dưai tc;i x = 0 nhưng không là ánh xc; nUa
−1 1
liên tl)c trên tc;i x = 0. Th�t v�y, l§y mot lân c�n ma V =
,
cua F (0).
2 2
Khi §y vai
m9i lân c�n U = (−δ1, δ2) cua 0 thì t6n tc;i x ∈ U, x /= 0 sao cho F (x) = [−1, 1]
/⊂ V.

Do đó ánh xc; F khơng là ánh xc; nUa liên tl)c trên tc;i x = 0.
Mi,t khác, vai m9i lân c�n V sao cho F (0) ∩ V /= ∅. Vì F (0) = {0} nên 0 ∈
V, do đó ta có th@ coi V = (− 1, 2). Ch9n U = (−δ, δ) b§t kì, khi §y ta có
F (x) ∩ V = [−1, 1] ∩ (− 1 ,

2

) = (− 1 ,

V�y ánh xc; F là ánh xc; nUa liên tl)c dưai tc;i x = 0.
Ví d 1.2.10
Xét ánh xc; đa tri F : R ⇒ R xác đinh bai
0

F (x) =
0;

neu x /=

2

) vai ∀x /= 0, x ∈ U.

[0, 1]

neu x =


(1.11)
Ánh xc; F là ánh xc; nUa liên tl)c trên tc;i x = 0 nhưng không là ánh xc; nUa liên tl)c
dưai tc;i x = 0. Th�t v�y, l§y lân c�n V cua F (0) sao cho F (0) ⊂ V. Vì F (0) =
[0, 1] nên ta có th@ coi V = (− , + 1). Ch9n U = (−δ, δ), khi §y ta có 0 = F (x)
⊂ V vai m9i x ∈ U, x /= 0.
V�y ánh xc; F là ánh xc; nUa liên tl)c trên tc;i x = 0.
1 3
Mi,t khác, l§y mot lân c�n ma V = , .
Khi §y F (0) ∩ V = [0; 1] ∩ (
)=(

1

1 3
,

2 2
; /= ∅.
1]

2 2
2
Vai m9i lân c�n U = (−δ1 , δ2 ) cua 0 thì x ∈ U, x /= 0 ta có F (x) = {0} nên F
(x)∩V = ∅.
Do đó ánh xc; F không là ánh xc; nUa liên tl)c dưai tc;i x = 0.

Ví d 1.2.11
Xét ánh xc; đa tri F : R ⇒ R đưQc cho bai công thuc:

F (x) =

(1.12)

[−1, 1] neu x =
0;


{1} neu x >
0.

Ánh xc; đa tri F là ánh xc; nUa liên tl)c trên trong R, nhưng không là ánh xc; nUa
liên tl)c dưai tc;i x = 0.

1.3 C�n sai s6 cua m9t h� tuy�n tính
1.3.1 C�n sai s6

Cho hi; tuyen tính Ax ≤ b trong khơng gian Rn, trong đó A là ma tr�n cĐp k ì
n, b l mot vộct k chiu. Tp nghii;m cua hi; đưQc kí hii;u là P . Khi đó P là mot
nón l6i, tuc là

(1) ∀x ∈ P thì λx ∈ P ;
(2) ∀x1 , x2 ∈ P thì αx1 + (1 − α)x2 ∈ P, ∀α ∈ [0; 1].
Khi x là mot nghii;m cua hi; Ax ≤ b, tuc là x ∈ P thì d(x, P ) = 0.
Khi x không phai là nghii;m cua hi; tuyen tính Ax ≤ b, vii;c đo khoang cách tu x
đen t�p nghii;m P là r§t quan tr9ng.
Khoang cách tu đi@m x tai t�p nghii;m P cua mot hi; b§t phương trình đc;i so
tuyen tính đưQc tính theo cơng thuc (xem Bergthaller [7]):
d(x, P ) =
max

{0}
 max
I∈I
< 0;


neu x

λ∈R|I| \{0}


(λ, AIx − bI)

1 AT λ 1

I

(1.13)
vai |I| là lvc lưQng cua t�p I. I là t�p con cua t�p các chi so, I ⊆ {1, 2, 3, ..., k} thoa
mãn hai đi�u kii;n dưai đây:

(1) I /= ∅ và các dòng ai, i ∈ I cua ma tr�n A là đoc l�p tuyen tính.
(2) T6n tc;i ph§n tU y ∈ P sao cho I bao hàm trong t�p chi so I(y) tc;i y,tuc là
aiy = bi, i ∈ I, (AI là ma tr�n con cua ma tr�n A) cua các dòng ai, i ∈ I và IAT là
ma tr�n chuy@n vi,
,

d(x, P ) ≤ αd(Ax − b, −+
Rk ) = α 1 (Ax − b)+ 1,

(1.14)

trong đó (Ax − b)+ là véctơ nh�n đưQc tu (Ax − b) b?ing cách thay the t§t ca các
k
véctơ khơng bai so 0, còn R+
= {(x1, x2, · · · , xk) | xi ≥ 0, i = 1, 2, · · · , k}.
H?ing so α đưQc g9i là c(in sai s cua mot hi; hay còn g9i là hang s Hoffman.
1.3.2 Giá tri riêng Pareto

Kí hii;u Mn là t�p t§t ca cỏc ma trn vuụng thvc cĐp n ì n
n. @ cho thu�n tii;n ta đ6ng nh§t mot ánh xc; tuyen tính A : R
+
Rn

+

vai mot ma

tr�n vng thvc A c§p n × n.
Chúng ta xét mot hi; tuyen tính đoi xung
x ≥ 0, Ax − λx ≥ 0, (x, Ax − λx) = 0,

(1.15)

liên ket vai nón Pareto Rn+, trong đó ma tr�n A ∈ Mn.
Ta đinh nghĩa x ≥ 0 khi và chi khi x ∈ R+n , tuc là
x = (x1, x2, · · · , xn),

trong đó xi ≥ 0 ∀ i = 1, 2, · · · , n.

Đinh nghĩa 1.3.1
Cho A ∈ Mn. λ ∈ R đưQc g9i là giá tri riêng Pareto cua ma tr�n A neu t6n
tc;i véctơ x ∈ Rn, x /= 0 thoa mãn hi; (1.15). Khi đó x đưQc g9i là véctơ
riêng Pareto cua ma tr�n A tương ung vai giá tri riêng λ.
T�p t§t ca các giá tri riêng Pareto cua ma tr�n A ∈ Mn đưQc g9i là phb Pareto
cua ma tr�n A và đưQc kí hii;u là Π(A).
Nh�n xét 1.3.1
n
Vì R+
là mot nón l6i đóng, theo Hi; qua 2.1 trong [12], moi mot ma tr�n A ∈ Mn
đ�u có mot giá tri riêng Pareto nho nh§t.
Khi đó, c�n sai so tot nh§t cũng đưQc kí hii;u là α, nh�n đưQc b?ing cách cvc đc;i
hóa hàm

d(x, P )
1 (Ax − b)+ 1
max[γ(I)]

, x ∈/ P , nó đưQc cho bai công thuc α =

−1

2 , I ∈ I,


trong đó γ(I) là giá tri riêng Pareto nho nh§t cua ma tr�n AIAIT , hay γ(I) chính
là nghii;m cua bài tốn cvc đc;i hóa yT AIATI y trên t�p
{y ∈ R|I|
: 1 y2 1= 1}.
+

Neu ta kí hii;u P I là t�p nghii;m cua hi; nhieu Ax ≤ bI thì
h(P, P I ) ≤ α 1 b − bI 1 khi

P, P I /= ∅.

(1.16)


Chương 2

Đinh lí đi�m b§t đ9ng cua ánh
x<; đa tri
Mot trong nh-Gng ket qua quan tr9ng cua giai tích hàm là nguyên lí ánh xc; co
Banach, đưQc phát bi@u như sau:
Neu f : X → X là mot ánh xc; co trong khơng gian metric đ§y đu (X, d), tuc là t6n
tc;i r ∈ (0; 1) sao cho d(f (x), f (y)) ≤ r.d(x, y), ∀x, y ∈ X thì f có mot đi@m b§t đong
duy nh§t.
Hơn the n-Ga, đi@m b§t đong đó có th@ tìm đưQc b?ing mot thu�t tốn li,p đơn
gian. Cl) th@ là, b�t đ§u tu mot đi@m x0 ∈ X ban đ§u b§t kì, dãy li,p xn+1 = f
(xn) vai n = 0, 1, 2, ... se hoi tl) tai đi@m b§t đong.
Tu khi ngun lí Banach đưQc cơng bo, đã có r§t nhi�u nhà tốn h9c nghiên cuu

và ma rong nguyên lí này. Trong so đó, sv ma rong sang ánh xc; đa tri đã thu hút
đưQc r§t nhi�u nhà tốn h9c quan tâm bai vì có r§t nhi�u ung dl)ng trong giai
tích phi tuyen. Ching hc;n như, các nghiên cuu cua Markin [9] và cua Nadler [11]
là mot trong nh-Gng nghiên cuu đ§u tiên theo hưang đi này, trong đó khoang cách
Haussdorff đưQc sU dl)ng đ@ đinh nghĩa ánh xc; co đa tri.
Chương 2 trình bày đinh lí đi@m b§t đong cua ánh xc; co đa tri cua Nadler [11],
đinh lí đi@m b§t đong cua ánh xc; co đa tri cua Mizoguchi và Takahashi [10] là
mot đinh lí t6ng quát hơn cua đinh lí đi@m b§t đong cua Nadler [11]. Tuy nhiên,
trong nh-Gng trưang hQp ánh xc; đa tri không phai là ánh xc; co thì có t6n tc;i đi@m
b§t đong hay khơng? - Abdul Latif và Đinh The Ll)c [4] đã chung minh đưQc r?ing
trong nh-Gng trưang hQp ánh xc; đa tri không nh§t thiet phai là ánh xc; co nhưng
van t6n tc;i đi@m b§t đong và trình bày cách sU dl)ng hai hàm khác nhau đ@ đánh
giá khoang cách gi-Ga hai đi@m liên tiep nhau trong q trình tính đi@m b§t đong
cua ánh xc; đa tri khơng nh§t thiet phai là ánh xc; co.
Trong chương này, chúng ta gia sU (X, d) là mot khơng gian metric đ§y đu, A là


mot t�p con khác rong cua X, khoang cách tu a ∈ X tai A đưQc kí hii;u bai
d(a, A) = inf d(a, x).
x∈A

Khoang cách Hausdorff tu t�p A đen t�p B đưQc kí hii;u bai
h(A, B) = max sup d(a, B), sup d(b, A) .
a∈
A

b∈
B

2.1 Đinh lí đi�m b§t đ9ng cua ánh x<; co đa tri

2.1.1 Đinh nghĩa

Cho (X, d) là mot khơng gian metric đ§y đu. Mot ánh xc; đa tri F : X → P
(X), trong đó P (X) là t�p hQp các t�p con cua X, ánh xc; đa tri F đưQc g9i là h - co
neu t6n tc;i k ∈ (0; 1) sao cho h(F (x), F (y)) ≤ k.d(x, y), ∀x, y ∈ X.
Ma rong cua nguyên lí ánh xc; co Banach cho ánh xc; đa tri ta thu đưQc đinh lí
đi@m b§t đong cua Nadler [11].
Kí hii;u CB(X) = {C ⊂ X, C /= ∅, đóng và bi chi,n trongX}
2.1.2 Đinh lí đi�m b§t đ9ng cua Nadler

Gia sU (X, d) là mot khơng gian metric đ§y đu và ánh xc; F : X → CB(X), là mot
ánh xc; h - co, nghĩa là t6n tc;i k ∈ (0; 1) sao cho h(F (x), F (y)) ≤ k.d(x, y), ∀x, y ∈
X thì ánh xc; co đa tri F có đi@m b§t đong, tuc là ∃x ∈ X sao cho x ∈ F (x).
Chung minh
Ch9n k1 ∈ (k; 1) và x0 ∈ X. Sau đó l§y x1 ∈ F (x0) thoa mãn x1 /= x0, tuc
là d(x1, x0) > 0. Neu không t6n tc;i x1 thoa mãn như trên thì chung to r?ing x0 là
đi@m b§t đong cua F .
Vì
d(x1, F (x1)) ≤ sup d(x, F (x1))
x∈F (x0)

≤ max { sup d(x; F (x1)), sup d(y, F (x0))}
x∈F (x0)

y∈F
(x1)

= h(F (x0), F (x1)) ≤ k.d(x0, x1) < k1.d(x0, x1).

Theo tính ch§t cua sup, ta có x2 ∈ F (x1) sao cho d(x1, x2) < k1.d(x0, x1).

Tương tv như v�y và b?ing quy nc;p ta ch9n đưQc mot dãy {xn}, n ≥ 1 sao
cho xn+1 ∈ F (xn), ∀n ≥ 1 và d(xn, xn+1) ≤ kn.d(x0, x1), ∀n ≥ 1.
1 dãy Cauchy.
Tu đó ta có dãy {xn} ⊂ X, n ≥ 1 là mot
Do (X, d) là mot khơng gian metric đ§y đu nên {xn} → x ∈ X.
Bây gia ta chung minh x ∈ F (x), khi đó x là đi@m b§t đong cua F . Th�t v�y, ta có
d(xn+1, F (x)) ≤ h(F (xn), F (x)) ≤ kd(x, x0) → 0.


Vì v�y, d(x, F (x)) = 0. Do đó ta có x ∈ F (x).
Nh�n xét 2.1.1
i) Đi@m b§t đong trong đinh lí 2.1.2 có th@ khơng là đi@m b§t đong duy nh§t.
Th�t v�y, neu F (x) = X, ∀x ∈ X thì khi đó ta ch9n b§t kì x ∈ X ⇒ x ∈ F (x),
tuc là x là đi@m b§t đong cua F .
(ii) T�p các đi@m b§t đong cua F kí hii;u là Fix(F ) là t�p đóng.
Th�t v�y, l§y dãy xn ⊂ Fix(F ). Gia sU xn → x, ta chung minh x ∈ Fix(F ), nghĩa
là chung minh x ∈ F (x). Th�t v�y, ta có d(xn, F (x)) ≤ h(F (xn), F (x)) ≤ k.d(xn,
x), trong đó d(xn, x) → 0 khi n → ∞.
Suy ra d(xn, F (x)) = 0 ⇒ x ∈ F (x). V�y Fix(F ) là đóng.
2.1.3 Đinh lí đi�m b§t đ9ng cua Mizoguchi và Takahashi

Đinh lí
Gia sU (X, d) là mot khơng gian metric đ§y đu và T : X → CB(X) là mot ánh
xc; đa tri, trong đó kí hii;u CB(X) là t�p hQp các t�p con l6i, đóng cua t�p
hQp X, thoa mãn
h(T (x), T (y)) ≤ k(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X, x /= y,

trong đó k : (0; +∞) → [0, 1) sao cho lim sup k(r) < 1 vai moi t ∈ [0; +∞).
r→t+

Khi đó T có đi@m b§t đong, tuc là t6n tc;i x0 ∈ X sao cho x0 ∈ T (x0).
Chung minh
Gia sU T khơng có đi@m b§t đong, tuc là d(x, T (x)) > 0, ∀x ∈ X . Tu gia thiet
vai moi t > 0 t6n tc;i các so dương M (t) và e(t) sao cho k(r) ≤ M (t) < 1 vai m9i r
thoa mãn t < r < t + e(t). Chúng ta ch9n b§t kì x1 ∈ X và đi,t t1 = d(x1, T (x1)).
Trưang hQp 1: d(x1, T (x1)) < d(x1, y), ∀y ∈ T (x1), ch9n mot so dương d(t1) sao cho
1
d(t1) < min {e(t1), (

Đi,t
(x1

) = min

d(t1)

M (t1 )

, 1 . Khi đó, t6n
2

∈T
(x1

− 1)t1}.
) sao cho

{ tc;i x t1
d(x1, x2) < }
d(x1, T (x1)) + (x1)d(x1, T (x1)) = (1 + (x1))d(x1, T (x1)).

Chú ý r?ing x1 /= x2, theo gia thiet T khơng có đi@m b§t đong và tu
d(x2, T (x2)) ≤ h(T (x1), T (x2)) ≤ k(d(x1, x2))d(x1, x2),

chúng ta có
d(x1, T (x1)) − d(x2, T (x2)) ≥ d(x1, T (x1)) − k(d(x1, x2))d(x1, x2)
1
>
1 + (x1 ) d(x1, x2) − k(d(x1, x2))d(x1, x2)
1
={
− k(d(x1, x2))}d(x1, x2).
1 + 1)

Hơn n-Ga,

(x

(2.1)


t1 = d(x1, T (x1)) < d(x1, x2) < d(x1, T (x1)) + (x1)d(x1, T (x1)) ≤ t1 + d(t1)
< t1 + e(t1). Bai v�y, k(d(x1, x2)) ≤ M (t1) < 1.
1
Tu (x 1) ≤ d(t1) < 1
− 1, chúng ta có
> M (t ) và do đó
1
1
M

1 + (x1)
1+
(t1)
t1
− k(d(x1, x2)) > 0.
(x1
)

Trưang hQp 2: d(x1, T (x1)) = d(x1, x2) vai moi x2 ∈ T (x1), chúng ta có
d(x1, T (x1)) − d(x2, T (x2)) ≥ d(x1, T (x1)) − h(T (x1), T (x2))
≥ d(x1, T (x1)) − k(d(x1, x2))d(x1, x2)
> {1 − k(d(x1, x2))}d(x1, x2).

Tiep theo, đi,t t2 = d(x2, T (x2)). Trong trưang hQp d(x2, T (x2)) < d(x2, y), ∀y ∈ T
(x2), vai e(t2) và M (t2), ta ch9n d(t2) vai
1
− 1)t2}
0 < d(t2) < min {e(t2), (
)
2
M (t

và
t�p

(x ) = min {d(t2) 1 t1 − 1}.
, ,
2
t2 2 t2

SU dl)ng phương pháp tương tv như a trên, chúng ta nh�n đưQc x3 ∈ T (x2) thoa
mãn
d(x2, x3) < (1 + (x2))d(x2, T (x2))

và

1
d(x2, T (x2)) − d(x3, T (x3)) ≥ {

Tu (x2)

1+
2 (x )

− k(d(x2, x3))}d(x2, x3) > 0.

t1

≤ 2 − 1 suy ra
t
d(x2, x3) < (1 + (x2))d(x2, T (x2)) ≤ d(x1, T (x1)) ≤ d(x1, x2).

Trong trưang hQp d(x2, T (x2)) = d(x2, x3) vai moi x3 ∈ T (x2), chúng ta cũng
có
d(x2, T (x2)) − d(x3, T (x3)) ≥> {1 − k(d(x2, x3))}d(x2, x3) > 0

và
d(x2, x3) = d(x2, T (x2)) < d(x1, T (x1)) ≤ d(x1, x2).

Vì v�y, b?ing quy nc;p, chúng ta có th@ xây dvng mot dãy {xn} trong X vai xn+1

∈ T (xn), (n = 1, 2, 3, · · · , ) sao cho dãy {d(xn, xn+1)} và dãy {d(xn, T (xn))} là
nh-Gng dãy so dương giam d§n và
1
d(xn, T (xn)) − d(xn+1, T (xn+1)) ≥ {
1
+ δ(x

)

− k(d(xn, xn+1))}d(xn, xn+1),

1
) là so thvc thoa mãn 0 ≤
)
≤
, (n = 1, 2, 3, · · · , ). Khi đó dãy các
δ(xn
n
δ(xn
so thvc dương {d(xn, xn+1)} giam d§n và hoi tl) tai mot so khơng âm.

trong đó

n


B?ing gia thiet,
lim supk(d(xn, xn+1)) < 1.
n→∞

Đi,t an

1
=
−
1 n+ δ(x
n )
k(d(x

)), (n = 1, 2, 3, · · · ), chúng ta có
,
xn+1
1
lim infan ≥ lim
− lim supk(d(xn, xn+1)) > 0
n→∞
n→∞ 1 +
n→∞
δ(xn)

và do đó t6n tc;i b > 0 sao cho
d(xn, T (xn)) − d(xn+1, T (xn+1)) ≥ b.d(xn, xn+1)

vai moi n đu lan, dãy các so dương {d(xn, d(xn))} giam d§n là dãy hoi tl) và
chúng ta có
m−1

d(xn, xm) ≤

d(xi, xj+1)

j=n

≤ .
d(x
b

m−
1
1

j=n

,T
(x

))}

{d(x , T (x )) −
i
j

i+1

j+1

1
=

b

.{d(xn, T (xn)) − d(xm, T (xm))} → 0

khi m, n → ∞ và do đó dãy {xn} ⊂ X hoi tl) tai x0 ∈ X.
Neu x0 /= xn, thì
h(T (x0), T (xn)) ≤ k(d(x0, xn))d(x0, xn) ≤ d(x0, xn),

còn neu x0 = xn thì h(T (x0), T (xn)) ≤ d(x0, xn) theo B6 đ� 2 trong [13] ta
có x0 ∈ T (x0). Đi�u này là mâu thuan vai gia sU T khơng có đi@m b§t đong a trên.
Do v�y, gia sU trên là sai, tuc là T có đi@m b§t đong. Đinh lí đưQc chung minh.

2.2 Đinh lí đi�m b§t đ9ng cua ánh x<; đa tri khơng
nh§t thi�t phai là ánh x<; co
Các đinh lí 2.1.2 (Đinh lí đi@m b§t đong cua ánh xc; co đa tri cua Nadler [11])
và đinh lí 2.1.3 (Đinh lí đi@m b§t đong cua ánh ánh xc; co đa tri cua Mizoguchi và
Takahashi [10]) đã chi ra r?ing ln t6n tc;i đi@m b§t đong cua ánh xc; co đa tri,
nhưng trong h§u het các trưang hQp cịn lc;i cua ánh xc; đa tri F thưang khơng
phai là ánh xc; co thì vii;c chi ra t6n tc;i đi@m b§t đong cua ánh xc; đa tri F tra lên
phuc tc;p hơn r§t nhi�u và làm cách nào đ@ có th@ xác đinh đưQc có hay khơng có
đi@m b§t đong cua ánh xc; đa tri trong trưang hQp không nh§t thiet phai là ánh