Các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

NGUYEN TH± KIM THAO

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIAI
PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BAT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TY

Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP
Mã so: 60460113

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Ngưài hưáng dan khoa

HQC:

PGS. TS. NGUYEN ĐÌNH SANG

HÀ N®I - NĂM 2015


Mnc lnc
Me ĐAU

3

1 KIEN THÚC CHUAN B±
1.1 Cách giai phương trình b¾c . . . . . . . . . . . . . . .
ba

1.1.1 Phương pháp đao
. . . . . . . . . . . . . . .
hàm
1.1.2 Phương pháp bien đői thơng thưịng . . . . . . . .
1.2 Cách giai phương trình b¾c bon . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phương trình b¾c bon tőng quát . . . . . . . . . .
1.2.2 Phương trình x4 + cx2 + dx + e = 0 . . . . . . .
.
1.3 M®t so bat đang thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Bat đang thúc AM - GM . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Bat đang thúc Cauchy . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Tính chat cna hàm đơn đi¾u, kha vi và úng dung . . . . .
1.4.1 Tính đơn đi¾u cna hàm so . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Đ%nh lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Đ%nh lý Lagrange và áp dung . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Đ%nh lý Cauchy và áp dung . . . . . . . . . . . . .
1.5 Giá tr% lón nhat (GTLN), giá tr% nho nhat (GTNN) cna
mđt
hm so v cna mđt tắp hop . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Đ%nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Các đieu ki¾n đn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
.5
.5
.7
.8
.8
.9
.10

.10
.11
.11
.11
.12
.12
.13

.15
.15
.15

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIAI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TY 17
ii


2.1 Phương pháp bien đői tương đương ho¾c bien đői h¾ qua
. .17
2.1.1 Nâng lũy thùa b¾c chan hai ve cna phương trình .
.17
2.1.2 L¾p phương hai ve cna phương trình.....................21

2.2

2.3

2.4

2.5

2.1.3 Nhân liên hop...........................................................23
2.1.4 Bien đői đưa ve phương trình tích...........................33
Phương pháp đ¾t an phu...................................................36
2.2.1 Đ¾t an phu cơ ban..................................................37
2.2.2 ắt an phu khụng hon ton...................................41
2.2.3 ắt mđt hoắc nhieu an phu đưa ve phương trình
đang cap..................................................................46
2.2.4 Đ¾t an phu a ve tớch............................................51
2.2.5 ắt mđt hoắc nhieu an phu a ve h¾ phương trình54
2.2.5.1 Đ¾t an phu đưa ve h¾ thơng thưịng........54
2.2.5.2 Đ¾t an phu đưa ve h¾ đoi xúng loai II.....58
2.2.5.3 Đ¾t an phu đưa ve h¾ gan đoi xúng........66
Phương pháp đánh giá....................................................... 69
2.3.1 Su dung hang đang thúc..........................................69
2.3.2 Su dung bat đang thúc.............................................70
2.3.3 Su dung tính chat hình HQc phang...........................77
Phương pháp hàm so......................................................... 84
2.4.1 Su dung tính chat hàm liên tuc và đơn đi¾u............84
2.4.2 Phương pháp đ%nh lý cơ ban ve hàm kha vi..........91
Phương pháp lưong giác hóa.............................................94

3 GIAI BAT PHƯƠNG TRÌNH THƠNG QUA GIAI
PHƯƠNG TRÌNH
103
3.1 Cơ so lý thuyet....................................................................103
3.2 Bài t¾p áp dung..................................................................104
KET LU¾N

110

Tài li¾u tham khao

111

iii


Me ĐAU
Phương trình và bat phương trình vơ ty là loai tốn có v% trí
đ¾c bi¾t quan TRQng trong chương trình tốn HQc b¾c phő thơng.
Nó xuat hi¾n nhieu trong các kì thi HQc sinh gioi cũng như kì
thi tuyen sinh vào đai HQc. HQc sinh phai đoi m¾t vói rat nhieu
dang tốn ve phương trình và bat phương trình vơ ty mà
phương pháp giai chúng lai chưa đưoc li¾t kê trong sách giáo
khoa.
Vi¾c tìm phương pháp giai phương trình và bat phương trình
vơ ty là niem say mê cna khơng ít ngưịi, đ¾c bi¾t là nhung ngưịi
đang trnc tiep day tốn. Chính vì v¾y, đe đáp úng nhu cau
giang day và HQc t¾p, tác gia đã cHQN đe tài "Các Phương
Pháp Giai Phương Trình Và Bat Phương Trình Vơ Ty" làm
đe tài nghiên cúu cna lu¾n văn.
Muc đích cna lu¾n văn này là h¾ thong hóa các phương pháp
giai phương trình và bat phương trình vơ ty, giúp nh¾n dang các
bài toán, đe xuat các phương pháp giai và cHQN phng phỏp toi
u.
Nđi dung cna luắn vn oc chia làm 3
chương: Chương 1: Trình bày các kien thúc
chuan b%.
Gom mđt so cỏch giai phng trỡnh bắc ba, phng trỡnh
bắc bon, mđt so tớnh chat cna hm so n iắu, kha vi và

úng dung đe giai m®t so phương trình đong thịi cũng nhac
lai m®t so bat đang thúc đưoc su dung ve sau.
Chương 2: Trình bày các phương pháp giai phương trình
vơ ty trong pham vi chương trình phő thông.
4


Moi phương pháp, tác gia co gang tőng quát hóa các dang
mà có the su dung phương pháp này, nh¾n xét ve cách giai cna
bài tốn, tőng hop hóa dang tốn, nêu cách giai khác cna bài
tốn neu có, cách sáng tao ra các bài tốn khác, đong thịi cho
m®t so ví du minh

HQA

cùng vói m®t so bài tốn tham khao.

Chương 3: Trình bày ve phương pháp giai bat phương
trình vơ ty thơng qua giai phương trình vơ ty tương úng.
Trong chương này trình bày cách giai phương tình tương
úng và l¾p bang xét dau đe ket lu¾n nghi¾m trên cơ so tính
liên tuc cna hàm sơ cap.
Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan trnc tiep cna
PGS.TS Nguyen Đình Sang. Em xin đưoc bày to lịng biet ơn
chân thành và sâu sac đoi vói ngưịi Thay cna mình, ngưịi đã
nhi¾t tình hưóng dan, chi bao em trong suot q trình làm lu¾n
văn. Em cũng xin chân thành cam ơn q thay cơ trong
Ban giám hi¾u, Phịng đào tao Đai HQc và sau Đai hQc
Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà
N®i, cùng quý thay cơ tham gia giang day khóa HQc đã tao MQI

đieu ki¾n, giúp đõ em trong suot q trình HQc t¾p đe em hồn
thành khóa HQc và hồn thành ban lu¾n văn này.
Trong q trình làm, đe tài khơng tránh khoi nhung thieu
sót. Kính mong q thay cơ và các ban góp ý xây dnng.
Em xin chân thành cam ơn!

Hà n®i, ngày 12 tháng 9 năm 2015
HQc viên
Nguyen Th% Kim Thao


Chương 1
KIEN THÚC CHUAN B±
1.1
1.1.1

Cách giai phương trình b¾c ba
Phương pháp đao hàm

Xét phương
trình:
f (x) = x3 + ax2 + bx + c = 0

(1.1)

Phương trình này ln ln có ớt nhat mđt nghiắm.
Ta cú:
J
2
2

23b 0 thỡ
f
(x)
=
3x
2ax
+
b
Neu
a

(1.1)
cú
ỳng
mđt
nghiắm.
Neu
a
>
3b
3
nghiắm
khi
fmax fmin 0 Dùng khai trien
Taylor tai +
x
=f
α(α)
f (α)
f (x) = f (α) + j

(x − α) + jj
(x − α)2 + (x − α)3
1!
2!

(1.2)

Jj

−
Σ

x =α

Neu f (α) = 0 thì f (x)
=0⇔

(α)
= 0(x
2 α) + f J (α)

(x − α)2
f
+
Neu f JJ (α) = 0 đưa (1.2) ve dang:

t3 + pt + q = 0
Đe giai (1.3) ta tìm nghi¾m dưói dang t = u + v dan đen h¾:


u3 v 3

p3

(1.3)


= −

27



u3 + v3

= −q


Xét phương trình

3
+ qX
= 0 có ∆ 2= 4p3
q
+ −p
27
27
.

X2

√
Neu ∆ ≥ 0 tìm nghi¾m t = u + v
−q − ∆
= .3
3
+
2
Neu ∆ < 0:
√
3
u
i =

v3 =

−q +
√
∆
2
−q − |∆| = r(cosϕ + isinϕ)
2
√
= r(cosϕ − isinϕ)
−q +|∆|

i

2

Khi đó 3 nghi¾m thnc:

√3
t =2
ϕ
1

rcos

3

√3
2π
, t2

√3

ϕ+

rcos
2

3

, t3 =

ϕ + 4π

rcos

3

=2
Đ%nh lí 1.1. Đieu ki¾n can và đn đe đo th% hàm so (1.1) nh¾n điem
(α; f (α)) làm tâm đoi xúng là f JJ (α) = 0.
ChÚng minh:
Đieu ki¾n đn: Gia su f JJ (α) = 0. Tù khai trien Taylor ta có:
3
J
Y
= α)
y−
(α)
f (α)
(x −
Xyf −
=
x −=
α (x − α) + f (α)

Ta đưa hàm so y = x3 + ax2 + bx + c ve dang:
.Đ¾t
Y = X 3 + f J (α)X
Đây là hàm le nên tâm đoi xúng là: .
là
tâm đoi xúng.
Đieu ki¾n
can:

X = 0
hay (x = α; y = f (α))
Y =

0


y − f (α) = f J (α)(x − α)
2+
.Đ¾t

f (α)
jj

(x − α)2

−
+ (x − α)3

X = x α
Y = y− f (α)
Ta đưoc:
Y = X3 +

f (α)
jj

2

X 2 + f J (α)X


Hàm so này nh¾n (X = 0; Y = 0) là tâm đoi xúng nên F (−X) + F
(X) = 0 ⇔ f JJ (α) = 0.

Đ%nh lí 1.2. Đieu ki¾n can và đn đe đo th% hàm so.
(1.1) cat truc
f ()
JJ
honh tai 3 iem cú honh đ lắp thnh m®t cap so c®ng
là
f (α)
= 0

1.1.2

Phương pháp bien đoi thơng thưàng

Nh¾n thay

MQI

phương trình b¾c ba có dang:

a1x3 + b1x2 + c1x + d = 0, a 0
đeu đưa đưoc ve dang:
x3 + ax2 + bx + c = 0
(1.4)
Cách 1: Nham nghi¾m roi phân tích đa thúc:
Neu x = α l mđt nghiắm cna phng trỡnh f (x) = 0 thì ta ln có
sn
phân tích f (x) = (x − α)g(x).
a
Cách 2: Bang phép đ¾t y = x − phương
trình (1.4) tro thành :

3

y3 − py = q
a3
2a3 ab
vói p = − b, q = − + − c.
3
27
3
Xét phương trình (1.5):
• Neu p = 0 thì phương trình (1.5) cú nghiắm duy nhat x =
ã Neu p > 0, đ¾t y =
2t.

p

3

(1.5)

√3

q


thì phương trình (1.5) tro
thành:

√
3

q
√
2p
4t3 − 3t = m vói p

(1.6)

m=
- Neu m = 1 thì phương trình (1.6) có nghi¾m đơn t = 1 và nghi¾m
1
kép t = −
2


- Neu m = −1 thì phương trình (1.6) có nghi¾m đơn t = −1 và
1
nghi¾m kép t =
2
- Neu |m| < 1, đ¾t m = cosα, phương trình (1.6) có ba
nghi¾m
α
t = cos = cosα ± 2π
3
,
t
3
1
1
- Neu |m| > 1, đ¾t m = (d3 +
)(∗), vói d đưoc xác đ%nh

là
2
d3
√
3
∗
nghi¾m cna phương trình ( ), túc là d = m
+
m2 − 1 (ho¾c d3 =
√
m − m2 − 1)
Khi đó phương trình có nghi¾m duy nhat:
1
1
t = (d − )
2
d

1.2
1.2.1

Cách giai phương trình b¾c bon
Phương trình b¾c bon tong quát

Xét phương
trình:
x4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

(1.7)

Đ¾t f (x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e
Hưóng giai quyet là đưa ve phương trình tích.
Cách 1: Nham nghi¾m roi phân tích đa thỳc:
Neu x = l mđt nghiắm cna phng trỡnh f (x) = 0 thì ta ln có sn
phân tích f (x) = (x − α)g(x).
Đe dn đốn nghi¾m ta dna vo cỏc chỳ ý sau:
ã
ã
ã

4
3
2
Neunghiắm
a thỳcú
f phai
(x) =
bxe,
+
dx +
thỡ
l x
úc+cna
vúicx
ieu+kiắn
b, ec,cú
d,nghiắm
eZ
4
3

2
Neu
a so
thỳc
f (x)
+ cú
bxmđt
+ nghiắm
cx + x
dx=+1 e cú tőng
các h¾
bang
0 thì=đaxthúc
4
3
2
Neu
đacna
thúcb¾c
f (x)
=bang
x +tőng
bx các
+ cx
+ cna
dx b¾c
+ e le
cúthỡ
tng
hắ

so
chan
hắ so
acỏc
thỳc
cú mđt
nghiắm
x = 1


Cách 2: Đưa phương trình (1.7) ve phương trình đ¾c
bi¾t: Mđt so dang ắc biắt cna phng trỡnh (1.7):
Xột khai trien Taylor tai x =1x0 cna đa thúc 1
f (x):
2
)+
f
JJ
)JJJ + f
(x
(x
f (x) = )
)
)
)
2
6
f (x0

+f J (x (x−x

(x−x
0

0

0

• Phương trình
dang:

)3+(x−x0)4

(x−x
0

0

0

x4 + bx2 + c = 0

(1.8)

f (x) = 0
H¾ phương trình . JJJf
j
có nghi¾m x = x0
Bang phép đ¾t x − x0 = t đưa phương trình (1.7) ve dang (1.8).
• Phương trình dang:

x4 + cx2 + dx + e = 0
(1.9)
b
Phương trình f JJJ (x) = 0 có nghi¾m = − , bang phép đ¾t x−x
0
4
x0
=
t đưa phương trình (1.7) ve phương trình (1.9).
• Phương trình dang đoi xúng:
x4 + ax3 + bx2 ± ax + 1 = 0
Đ¾t t = x
±
x

(1.10)

1
đưa phương trình (1.7) ve dang t2 + at + bJ = 0.

1.2.2 Phương trình x4 + cx2 + dx + e = 0
Xét phương
trình:
x4 + cx2 + dx + e = 0
Cách 1: Bien đői phương trình (1.11) ve dang:

(1.11)


x4 = −cx2 − dx − e

⇔ x4 + 2mx2 + m2 = (2m − c)x2 − dx + (m2 − e)
⇔ (x2 + m)2 = (2m − c)x2 − dx + (m2 − e)
CHQN m sao cho VP(∗) là bình phương cna m®t nh% thúc, túc là:
∆ = d2 − 4(2m − c)(m2 − e) = 0

(∗)


⇔ 8m3 − 4cm2 − 8em + 4ce − d2 = 0
()
Phng
trỡnh
()
l
phng
trỡnh
bắc
3
an
m,
giai
phng
trỡnh
tỡm
oc
m (cHQN mđt giỏ tr% thớch hop).
ã Neu 2m − c > 0. Khi đó (∗) có dang:
2
2
2

(x
+
m)
= cách
(nx bien
+ p)đői
∗
∗)
Phương
trình
(∗
∗
∗)
giai
bang
ve phương(∗trình
tích.
• Neu 2m − c < 0. Khi đó, (∗) có dang:

(x2 + m)2 + (nx + p)2 = 0
x +m= 0
Phương trình này có nghi¾m thoa mãn: . nx
2 + p
=
• Neu 2m − c = 0. Khi đó, VP(∗) là m®t nh% thúc.
Cách 2: Su dung h¾ so bat đ%nh:
Do VT(1.11) khơng có đai lưong b¾c 3 nên bien đői VT(1.11) ve dang:

x4 + cx2 + dx + e = (x2 + mx + n)(x2

− mx + p)
Su dung h¾ so bat đ%nh đe tìm m, n, p. Tuy nhiên, khơng phai lúc nào ta
cũng có the tìm đưoc giá tr% cna m, n, p.

1.3

M®t so bat đang thÉc

1.3.1

Bat đang thÉc AM - GM

Cho a1, a2, ..., an là các so thnc khơng âm. Khi đó ta có bat đang thúc:
a1 + a2 + ...
+ an
n

≥

√n

a1 a2

...an


Dau "=" xay ra khi và chi khi a1 = a2 = ... = an.


1.3.2

Bat đang thÉc Cauchy

Cho a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn là các so thnc. Khi đó ta có:
1

2

1

2

(a2 + a2 + ... n+ a2 )(b2 + b2n + ... + b2 ) ≥ (a1b1 + a2b2 +
... + anbn)2
Dau "=" xay ra khi và chi khi (a1, a2, ..., an) và (b1, b2, ..., bn) là hai
b® so
ti l¾ ai = tbi ho¾c bi = tai ∀i = 1, 2, ..., n.

1.4
1.4.1

Tính chat cua hàm đơn đi¾u, kha vi và Éng dnng
Tính đơn đi¾u cua hàm so

Cho hàm so y = f (x) liên tuc và có đao hàm trên (a; b) và f J (x)
= 0
chi vúi mđt so huu han iem. Khi ú:
ã f l hàm so tăng trên (a; b) ⇔ fJ(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b)
• f là hàm so giam trên (a; b) ⇔ fJ(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b).
Đ%nh lí 1.3. Gia thiet f (x) là m®t hàm liên tuc và đong bien (ho¾c

ngh%ch bien) trên [a; b].
Khi đó:
1) Phương trình f (x) = 0 có nhieu nhat là mđt nghiắm trờn [a; b]
2) Phng trỡnh f (x) = f (y) tương đương vói phương trình x = y

neu
x; y đeu thu®c [a; b].
Đ%nh lí 1.4. Gia thiet f (x) là hàm liên tuc và đơn đi¾u tăng trên [a;
b], g(x) là hàm liên tuc và đơn đi¾u giam trên [a; b]. Khi đó, phương
trình f (x) = g(x) cú nhieu nhat l mđt nghiắm trờn [a; b].
Nhắn xột 1.1. Các đ%nh lý trên đây cịn có the xem là h¾ qua cna đ
%nh lý sau đây khi f (x), g(x) là nhung hàm sơ cap.


%nh
1.5.
Gia
thiet
f=
(x)
l ớthm
kha
trờn
b)1 1<
x).;
x
hai
nghiắm
phõn
biắt

cna0 phng
trỡnh
(x)
=c(a;
0(x
2 l
Khi
ú,lớ
phng
trỡnh
f J (x)
cú
nhat
mđtfvi
nghiắm
(x
;v
xx
2 ).21


H¾ qua 1.1. Neu f (x) kha vi và đong bien (ho¾c ngh%ch bien) trên
(a; b). Khi đó, phương trình f (x) = 0 cú nhieu nhat mđt nghiắm.
Hắ qua 1.2. Neu f (x) kha vi và f (x) = 0 có n nghi¾m thì phương trình
f J (x) = 0 có ít nhat n − 1 nghi¾m.
H¾ qua 1.3. Neu f (x) là hàm kha vi và f J (x) = 0 có nghi¾m duy
nhat thì phương trình f (x) = 0 có nhieu nhat là hai nghi¾m.
1.4.2

Đ%nh lý Rolle

Gia su hàm f : [a; b] → R thoa mãn:
• f liên tuc trên [a; b]
• f kha vi trong khoang (a; b)
• f (a) = f (b)
Khi đó ton tai ít nhat m®t điem c ∈ (a; b) sao cho f J (c) = 0.
(k)
(k−1)hàmphân
f
(x) H¾
=
0qua
có
m
nghi¾m
bi¾t
(a;
Khi+
phương
so0y có
= nghi¾m
f trong
(x) cókhoang
đao hàm
đen
cap
nđó,
và
trình
trình

fCho
(x) =
nhieu
nhat
làb).(m
1)
nghi¾m
trong
[a;1.4.
b].
1.4.3
Đ%nh lý Lagrange và áp dnng

Đ%nh lí 1.6. (Đ%nh lý Lagrange) Gia thiet hàm so y = f (x) xác đ%nh
trên
[a; b] thoa mãn:
i) Liên tuc trên [a; b]
ii)

Kha vi trên

(a; b)

Khi đó, ton tai ít nhat m®t điem c ∈ (a; b) sao cho:
f (b) − f (a) = f J (c)(b − a)
lý
Lagrange
phương
trìnhffJ (x)
(x1ƒ=

) =0,f (x
x1b),
= vói
x2,f (x)
∀x1thoa
, x2
∈
(a;
b).thiet
H¾thì
qua
1.5. Neu
∀x2 )∈⇔(a;
mãn
gia
đ%nh


H¾ qua 1.6. Neu hàm so y = f (x) thoa mãn các gia thiet đ%nh lý
Lagrange và f (x) ∈ (a; b) f J (x) ƒ= −1, ∀x ∈ (a; b) thì phương
trình f [f (x)] = x ⇔ f (x) = x.
ChÚng minh
f [f (x)] = x ⇔ f [f (x)] − f (x) + [f (x) − x] = 0
⇔ f J (c)[f (x) − x] + [f (x) − x] = 0 (Đ%nh lý
Lagrange)
⇔ [f J (c) + 1][f (x) − x] = 0
⇔ f (x) = x
1.4.4

Đ%nh lý Cauchy và áp dnng

Đ%nh lí 1.7. (Đ%nh lý Cauchy) Gia su f (x) và g(x) là hai hàm so
cùng xác đ%nh trên [a; b] có tính chat:
1) f và g là hai hàm liên tuc trên [a; b]
2) f và g cùng kha vi trên (a; b)
Khi đó, ton tai c ∈ (a; b) sao cho:
[f (b) − f (a)]g J (c) = [g(b) − g(a)]f J (c)
f (b) −
Neu g J (x) = 0 x (a; b) thì
f J (c)
=
f (a)
ƒ
∀
g J (c)
∈
g(b) − g(a)
Đ%nh lí 1.8. Gia su f, g là hai hàm kha vi cùng tính đơn đi¾u(cùng
tăng ho¾c cùng giam thnc sn) trên (a; b). Khi đó, h¾ phương trình n
an

 f (x1) = g(x2)

f (x2) = g(x3)
...
f (xn−1) =
g(xn)
f
(xn) x1 = x=2


g(x
chi
các nghi¾m
bang
nhau
=
...1)=mat
xncó
.tính
ChÚng
Khơng
tőng minh
qtta có the gia su h¾ có nghi¾m j=
(xj)n
1

n
vói
j= (xj)

1


là
tăng
snJ (Khi
(ho¾c
thnc
chang
x1)(x

<1; xx22)
< dãy
...
<
xnthnc
< b.
đó,fgiam
theo
lý Cauchy
tai
c(x∈
sao
cho:
f
(x2)đ%nh
− fsn)
f (x2han
)ton
−a
f<
1
=
< 0
c) =
(x1)
A=
f (x1) − f (xn)
gJ(
c)
g(x2) −

J
f (c)
g(x1)
M¾t khác A
> 0 mâu thuan. Vì v¾y x1 = x2
J
= g(x2) = f g(x
.
(c)
)
1
g(x3) = f (x2) = f
(x1)
⇔ g(x ) = g(x )
2

3

Do g tăng nên x1 = x2 =
x3
Bang lý lu¾n tương tn ta có: x1 = x2 = x3 = ... = xn.
Đ%nh lí 1.9. Gia su f và g là hai hàm liên tuc trên [a; b] và kha vi trên
(a; b), f là hàm đơn đi¾u tăng thnc sn, g là hàm đơn đi¾u giam thnc
sn trên (a; b). Khi đó, h¾ phương trình

f (x ) = g(x2
 1
) 1)
g(x
 f (xn) =

=
neu có nghi¾m (x1, x2, xf3, (x
...,2)xn..
) thì
g(x3
x1 = x.3 = ...
)
ChÚng minh
.Neu

x =x

x2 = x4 = ...
f (x1) =
g(x1)

⇒ x1 = x2 = x3

f (x2) =
3)
thìtn1 x2 = x g(x
Tương
2 = ... = xn neu f (t) = g(t) có nghi¾m. Neu x1
< x2 <
x31

thì f (x1) < f (x2) < f (x3), g(x2) < g(x3) < g(x4) vơ lý vì f
tăng cịn g
giam

J
J
J (a; b)
Ta gia su x1 =cho:
x33), ftheo
đ%nh
lý
Cauchy
∃c
sao
−
g J (c)[f
3 )f
1 )] ∈
(x
−2(c)[g(x
(xx
(c).0
=
g=
(c)[g(x
1 )]
4)
−
g(x
)]f ⇔
x4g(x
2 =
J

J
Khi đó, f (c1 )[g(x4) − g(x2 )] = g (c1)[f (x4) − f
(x2 )]

0 = g J (c1 )[g(x5) − g(x3 )] ⇔ x5 = x3


1.5
1.5.1

Giá tr% lán nhat (GTLN), giá tr% nho nhat
(GTNN) cua mđt hm so v cua mđt tắp hap
%nh ngha

Cho hm so y = f (x) xác đ%nh trên t¾p D ⊂ R.
M đưoc GQI là GTLN cna hàm so trên D neu đong thịi thoa mãn hai đieu
ki¾n:
i) f (x) ≤ M ∀x ∈ D
ii) ∃x0 ∈ D : f (x0) = M
Khi đó, ký hi¾u M = max f (x) ho¾c M = yln.
x∈D

m đưoc GQI là GTNN cna hàm so trên D neu đong thòi thoa mãn hai
đieu ki¾n:
i) f (x) ≥ M ∀x ∈ D
ii) ∃x1 ∈ D : f (x1) = m
Khi đó, ký hi¾u m = min f (x) ho¾c m = ynn.
x∈D

1.5.2

Các đieu ki¾n đu

- M®t hàm so liên tuc trên m®t [a; b] ⊂ R thì đat GTLN, GTNN trên
đoan đó. Ký hi¾u, max f, min f .
[a;b]
- M®t hàm so f liên[a;b]
tuc và
đơn đi¾u trên [a; b]
R thì max f =
⊂
max f (a), f (b)
và min f = min f (a), f (b) [a;b]
.
{
}
{
}
[a;b]
- iem dựng: Cỏc iem thuđc tắp xỏc %nh cna hàm f (x) mà tai đó đao
hàm cna nó bang khơng ho¾c khơng ton tai đưoc GQI là điem dùng (điem
tói han) cna hàm đã cho.
huu
điem
tói so han
, (x
x12),
, f⊂...,
xnkhi
. fcóKhi

1f
đó,
- so
Gia han
sumax
f (x)
liên
tucxtrên
[a;
b]
R và
f là=hàm
max
f (a),
(x
...,
(xn), f
2),chi
m®t
(b)
{
}
[a;b]


min f = min f (a), f (x1), f (x2), ..., f (xn), f
{
(b)
}
[a;b]

Chú ý: Ta có the thay [a; b] là t¾p xác đ%nh cna hàm f (x) bang t¾p D
⊂R
và dan đen khái ni¾m max f và min f .
D

D

Đ%nh lí 1.10. Gia su y = f (x) là hàm liên tuc trên [a; b] ⊂ R. Khi
đó, 1)Phng trỡnh f (x) = c cú nghiắm thuđc [a; b] khi và chi
khi
min f (x) ≤ c ≤ max f (x)
[a;
b]

[a;
b]

2) Bat phương trình f (x) ≥ c có nghiắm thuđc [a; b] khi v chi khi

max f (x) c
≥
[a;b]

3) Bat phương trình f (x) < c có nghi¾m thu®c [a; b] khi và

chi khi

min f (x) < c
[a;b]

4) Bat phương trình f (x) > c có nghi¾m đúng ∀x ∈ [a; b] khi và chi

khi

min f (x) > c
[a;b]

5) Bat phương trình f (x) ≤ c có nghi¾m đúng ∀x ∈ [a; b] khi và chi khi

max f (x)
[a;b]

≤

c


Chương 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIAI
PHƯƠNG TRÌNH VƠ TY
2.1

Phương pháp bien đoi tương đương ho¾c bien
đoi h¾ qua

Vói phương pháp này ta cú mđt so chỳ ý sau:
ã Nhắn xột xem neu dùng phương pháp nâng lũy thùa hai ve thì ta
nên lũy thùa hai ve, chuyen ve sau đó nâng lũy thùa hay làm như
the nào (m®t so dang thưịng gắp se trỡnh by cu the sau).

ã Neu dựng phng pháp bien đői h¾ qua thì phương trình thu
đưoc có the xuat hi¾n nghi¾m ngoai lai, can phai kiem tra lai.
ã Su dung mđt so phộp bien i khỏc trúc khi nâng lũy thùa cũng
như phép bien đői thêm bót e nhõn liờn hop.
ã Chỳ ý en nham nghiắm cna phương trình.
2.1.1

Nâng lũy thÈa b¾c chan hai ve cua phương trỡnh

a) ắt van e v hỏng giai quyet
e giai mđt so phương trình vơ ty có chúa căn b¾c chan, ta có the
nâng lũy thùa b¾c chan ca hai ve cna phương trình. Tuy nhiên can
chú ý đen đieu ki¾n cna phép bien đői là tương đương.
M®t so dang cơ ban: