Dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân hàm bị nhiễu

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

BÙI TRONG QUY

DÁNG ĐI›U NGHI›M
CÚA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM B± NHI€U

LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC
Chuyên ngành: Tốn giãi tích
Mã so: 60 46 01 02

HÀ N®I - 2015


BÙI TRONG QUY

DÁNG ĐI›U NGHI›M
CÚA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM B± NHI€U

LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC
Chun ngành: Tốn giãi tích
Mã so: 60 46 01 02

Giáng viên hưáng dan:
PGS.TS. Đ¾ng Đình Châu


Lài cám
ơn
Lu¾n văn này đưac hồn thành dưái sn hưáng dan trnc tiep và chi bão t¾n tình

cua thay PGS.TS. Đ¾ng Đình Châu. Trưác tiên, tơi xin đưac bày tõ lịng biet ơn tái
thay, ngưài đã t¾n tình chi bão, giúp đã và tao đieu ki¾n ve nhieu m¾t đe tơi có the
hồn thành lu¾n văn này.
Nhân d%p này, tơi cũng xin bày tõ lịng biet ơn tái tồn the thay giáo, cô
giáo đã và đang công tác tai khoa Toán - Cơ - Tin HQC, trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn
nhiên Hà N®i, nhung ngưài đã giãng day và cung cap nhung kien thúc khoa HQC
quý báu trong suot nhung năm HQC VÙA qua đe tơi có nen tãng kien thúc thnc hi¾n
lu¾n văn này.
Cuoi cùng, tơi xin cãm ơn gia đình và ban bè đã ln ã bên canh, đng viờn,
nhiắt tỡnh giỳp ó v chia se nhung khó khăn trong qng thài gian tơi làm lu¾n
văn cũng nh trong suot cỏc nm HQC tắp tai trng.
H Nđi, ngày 16 tháng 11 năm 2015
HQC VIÊN

Bùi TRQNG Quy

3


Lài nói
đau
Phương trình vi phân hàm lan đau tiên đưac A.D. Mushkic (nhà toán HQC Nga)
nghiên cúu tù năm 1950, cho đen nay đã đưac phát trien m®t cách khá hồn thi¾n.
Phương trình vi phân hàm có the đưac xem là các phương trình vi phân trong
khơng gian Banach vái các không gian pha là nhung không gian các hàm liên tnc
trên m®t mien J cua trnc thnc R. Các ket q ve lý thuyet đ%nh tính cua phương
trình vi phân hàm có rat nhieu úng dnng trong thnc tien (xem ti liắu [3], [7], [9],
[12]). Nđi dung luắn vn chu yeu t¾p trung nghiên cúu tính chat nghi¾m cua
phương trình vi phân có ch¾m. Phương pháp đưac su dnng chu yeu là các phương
pháp thông dnng trong lý thuyet đ%nh tính cua phương trình vi phân tuyen tính.

Trong phan cuoi có áp dnng thêm phương pháp nua nhóm và phương pháp HQ tốn
tu tien hóa trong khơng gian Banach.
Bo cnc cua luắn vn bao gom 3 chng:
ã Chng 1: Kien thúc chuan b%
• Chương 2: Phương trình vi phân tuyen tớnh cú chắm
ã Chng 3: Dỏng iắu tiắm cắn nghi¾m cua phương trình vi phân hàm b% nhieu.

M¾c dù có nhieu co gang nhưng bãn lu¾n văn khó tránh khõi nhung han che và
thieu sót. Chúng tơi rat mong nh¾n đưac sn góp ý và nhung ý kien phãn bi¾n cua
q thay cơ và các ban. Tơi xin chân thành cãm ơn!
Hà N®i, ngày 16 tháng 11 năm 2015
HQC VIÊN: Bùi TRQNG Quy

4


Mnc
lnc
1 Kien thỳc chuan b%
1.1

6

Mđt so khỏi niắm c bón ve nua nhóm liên tnc manh trong khơng gian
Banach và tốn tu sinh cua nó
6

1.2

Úng dnng cua phương pháp tốn tu Laplace đoi vái phương trình vi

phân có ch¾m
8

1.3

Khái ni¾m ve HQ tốn tu tien hóa liên tnc manh trong khơng gian Banach10

1.4

Tính chat nghi¾m cua các phương trình vi phân so sánh tích phân
đưac trong khơng gian Banach
13
1.4.1

Tính őn đ%nh phãi và tính őn đ%nh trái theo Lyapunov.................13

1.4.2

Các phương trình so sánh tích phân đưac............................... 15

1.4.3

Sn tương đương ti¾m c¾n cua các phương trình so sánh tích
phân đưac
15

2 Phương trình vi phân tuyen tính có ch¾m
2.1

Khái ni¾m ve phương trình vi phân hàm và phương pháp tìm nghi¾m

cua nó
17
2.1.1

Sn ton tai và duy nhat nghi¾m.....................................................17

2.1.2

Phương pháp giãi phương trình vi phân hàm.............................19
5

17


Mnc
2.2 Phương trình vi phân tuyen tính có ch¾m...............................................21
lnc
2.3

Phương pháp nua nhóm cho phương trình vi phân có ch¾m.................24

3 Dáng đi¾u ti¾m c¾n nghi¾m cúa phương trình vi phân hàm b% nhieu

6

26


MUC LUC

3.1

HQ tốn tu tien hóa phi tuyen U (t, s) và sn ton tai duy nhat

.26

nghi¾m
cua phương trình tích phân Volterra có ch¾m . . . . . . . . . . . . . .
3.2

Các tính chat cua HQ tốn tu tien hóa U (t, s) . . . . . . . . . . . . . . . .28

3.3 Sn tương đương ti¾m c¾n cua phương trình vi phân hàm b% nhieu . . .31
Ket lu¾n

42

Tài li¾u tham kháo

42

Tài li¾u tham kháo

43

7


Danh mnc các kí hi¾u và chu viet tat
X - Khơng gian Banach

L((X
)) -Y
gian
Banach
cã trên
tốn
tính b% ch¾n trên X
X,
)Khơng
- Khơng
hàm
tnc ω
tùtuXtuyen
đen Y
C
ω
-Không
giangian
các các
hàmcua
liêntatliên
tnc
D(A) - Mien xác đ%nh cua A
C
các
hàmtham
khã vi
k trờn tớnh
J

(RT(k(A
(,
tJ))))A
Nua
nhúm
so liờn
cỏc tnc
toỏncap
tu tuyen

--t0
Tắp
gióigian
cua
A mđt
)Khụng
--Giói
cua
A
U (t, s) - HQ hai tham so cua các tốn tu tuyen tính...
Mn(R) - Khơng gian các ma tr¾n (thnc) vng cap n: A = (aij )n.n
l2 - Không gian các dãy so (ξ n ) đưac xác đ%nh bãi:
n=

vái chuan

.

:

l2 = {ξ ∈ l2, ξ = ( ξn )∞
. ∞

||ξ|| =

∑
n= 1

8

∞

∑ |ξn |2 < +∞
}

n= 1
2

|
|
ξn


Chương 1
Kien thúc chuan b%
Trong chương 1 này chúng tôi se trình bày m®t so ket q cơ bãn đưac su dnng
trong các chương sau. Các ket quã trong chương này khơng có chúng minh và đưac
trích dan trong các ti liắu [2],[4],[8], [10].

1.1

Mđt so khỏi niắm c bỏn ve núa nhóm liên tnc manh
trong khơng gian Banach và tốn tú sinh cúa nó

Đ%nh nghĩa 1.1. HQ các tốn tu tuyen tính b% ch¾n ( T (t))t≥0 trên khơng gian Banach X
đưac GQI là nua nhóm liên tnc manh neu nó thõa mãn:
. T (t + s) = T (t) T (s) vái MQI t, s 0
T(0) = 1
≥
và là liên tnc manh. Tnc là ánh xa quy đao ξx : t ›→ ξx(t) = T(t)x là liên tnc tn R+vào X
vái MQI x ∈ X.
Cáctrên
tínhX.chat trên thõa mãn trên R thay vì R + ta GQI ( T (t))t∈R là nhóm liên tnc
manh
M¾nh
đe
1.1. Cho nua nhóm(T(t))t≥0 trên khơng gian Banach X, các khang đ%nh sau là
tương đương:
(a) (T(t))t≥0 là liên tnc manh.
(b) lim T(t)x = x vái MQI x∈ X.
t→0(c)
tai t
T t
M vái MQI
Ton
δ>
>
và lim T (t) x = x vái MQI x∈ D.

0, M

⊂

t→0

9

1 và t¾p con trù m¾t D X sao cho:
ǁ ( )ǁ ≤
∈[


Chương 1. Kien thúc chuan b%
wt nhóm liên tnc manh( T ( t)) t≥0 , ton tai hang so w ∈ R và M ≥ 1
M¾nh
nua
sao cho đe
ǁ T (1.2.
t)ǁ Cho
≤ Me
vái MQI t ≥ 0.
Đ%nh nghĩa 1.2. Cho nua nhóm liên tnc manh( T (t))t≥0 , GQI

w0(T) = in f {w ∈ R : ∃Mw ≥ 1, ǁT(t)ǁ ≤ Mwewt ∀t ≥ 0}
là c¾n tăng trưãng ho¾c kieu tăng trưãng cua nua nhóm.
Trong
nua
GQI làđang
b% ch¾n
neut
có 0

the
0 và(1.2),
M =
1, nhóm
nua nhóm
cn neu ǁwT (=
t) x0,ǁ nua
= ǁnhóm
x ǁ váico
MQI
≥
vàlay
x đ%nh
∈wX.=nghĩa
Đ%nh
nghĩa
1.3.
Tốn tu
A :tuD(A) ⊆ X →1X cua nua nhóm liên tnc manh (T(t))t≥0
trên khơng
gian
Banach
X sinh
là tốn
.
Ax := ξx
xác đ%nh vái MQI x trong mien

(0) = lim −(T(h)x
h→0 h

x)

D(A) := {x ∈ X : ξx là khã vi}
M¾nh
1.3. Vái tốn tu sinh A : D(A) ⊆ X → X cua nua nhóm (T(t))t≥0 ta có các tính
chat sauđeđây:
∫ +∞ −
(a) Neu λ ∈ C sao cho R(λ)x = 0
e λs T(s)xds ton tai vái MQI x ∈ X thì λ ∈ ρ(A) và
R(λ, A) = R(λ).
(b) Neu Reλ > w thì λ ∈ ρ(A ) và giãi thnc R(λ, A) xác đ%nh trong phan (a).
(c) ǁR(λ, A)ǁ ≤ Re M w ∀λ : Reλ > w.
λ
∫
−
0

Khi đó R(λ, A) x = +∞ e−λs T (s) xds GQI là bieu dien tích phân cua giãi thnc.
Đ%nh lý 1.1. (Xem tài li¾u [10])( Đ%nh lý Hille- Yosida ve toán tu sinh)
Đoi vái toán tu (A, D (A )) trên không gian Banach X các tính chat sau là tương đương:
(a) (A,D(A)) sinh nua nhóm co liên tnc manh.
(b) (A,D(A)) là đóng, xác đ%nh trù m¾t và vái mői λ > 0 ta có λ ∈ ρ(A) và

ǁλR(λ, A)ǁ ≤ 1

10


(c) (A,D(A)) là đóng, xác đ%nh trù m¾t và vái mői λ ∈ C vái Reλ > 0 ta có λ ∈ ρ(A ) và

1

ǁR(λ, A)ǁ ≤

.

1.2

Reλ

Úng dnng cúa phương pháp tốn tú Laplace đoi vái
phương trình vi phân có ch¾m

( Xem tài li¾u [2])
Đ%nh
1.4.mãn
Hàm
giá tr%
phnc
goc neunghĩa
nó thõa
3 đieu
ki¾n
sau: f (t) = u(t) + iv(t) cua bien thnc t đưac GQI là hàm
1) f (t) ≡ 0, vái MQI t < 0.
2) fliên
(t)tnc
liên
tnckhúc
(ho¾c

liên
tncn).tnng khúc), có đao hàm liên tnc đen cap n (ho¾c đao hàm
tnng
đen
cap
3) sao
Khi cho
t → vái
+∞,
hàm
có b¾c tăng b% ch¾n, tnc là ton tai các so M > 0 và α > 0
MQI
t >f (0t)thì
| f (t)| ≤ Meαt
Tnc là hàm | f (t)| tăng không nhanh hơn hàm mũ.
Đ%nh
nghĩa 1.5. Giã su f (t) là hàm goc. Khi đó hàm bien phnc F (p ) đưac xác đ%nh bãi
công thnc:
F( p ) = ∞ f (t )e −pt dt
∫0

đưac GQI là ãnh cua f (t) qua phép bien đői Laplace. Phép bien đői
L : f (t) → F ( p )
đưac GQI là phép bien đői Laplace. Ta kí hi¾u:

Giã su f (t) là hàm goc và

F (p ) = L[ f (t)]

F(p) =

∫

+∞

0

f (t )e− ptdt


Đ%nh lý 1.2. Giã su f (t) là hàm goc
1) MQI hàm goc f (t) đeu có ãnh.
2) là
Ãnh
= Lcua
[ f hàm
(t)] flà(thàm
chiF (sop)tăng
). chinh hình trong nua m¾t phang Rep > α0, trong đó α0
Đ%nh lý 1.3. (Đ%nh lý ch¾m)
Neu
L : f (t) → F(p)

là phép bien đői Laplace
thì

L : f (t − t 0 ) → e−t 0 p
F(p)

trong đó t0 là so dương bat kì và Rep > α0.

Trong quá trình áp dnng phương pháp Laplace đe giãi các phương trình vi phân,
ngồi vi¾c su dnng các tính chat cơ bãn cua phép bien đői Laplace, chúng ta còn
phãi dna vào đ%nh lý ve sn ton tai phép bien đői ngưac cua phép bien đői Laplace
sau đây.
Đ%nh lý 1.4. ( Đ%nh lý Mellin)
Giã
su
chinh
F(p)tiatrong
mien
Rep
ãnh
cuađó
hàm
(t)điem
trơn liên
tnngtnc
khúc
ta
có:
0 làα
trên
mői
hđuhình
han cua
[0, ∞
) vái
chi >
so α
tăng

tai fcác
cua
0. Khi
hàm
f (hàm
t)đoan
1
α
pt
f (t) =2π ∫xx−i∞
+i e F ( p ) dp, x > 0
∞
i
Neu
f
:
[
0,
∞
)
→
R
là
đo
đưac
và
thõa
mãn: Công thnc trên đưac GQI là công thnc
Mellin.
| f (t)| ≤ aebt,t ∈ [0, ∞)

vái a và b là hang so nào đó, thì bien đői Laplace L( f ) đ%nh nghĩa:
∫∞

L( f )(λ) =
ton tai và giãi tích trên mien Repλ > b.

0

e−λt f (t)dt


Chúng ta kí
hi¾u

c+iT

1 ∫
∫
,
= lim
T→∞ 2πi

(c)

trong đó c là so thnc.

c−iT

( Xem trang 313 tài li¾u [2]).
Bo đe 1.1. (Bien đői Laplace ngưac)

Giã
su fc trên
:>[0,
∞)kì,
→ R là hàm
chot trưác,
so sao chotrờn
f cú[0,
bienphõn
%
compact
bat kỡ,
f (b1t)>
e0btllmđt
khóhang
tớch Lebesgue
). Khib
ú,chắn
vỏi
btắp
bat
2

(
c)

L( )

f

1.3

etd

2

. 1 f (0+)
t = 0.
[ f (t+) + f (t−)] t

(λ) =

Khái ni¾m ve HQ tốn tú tien hóa liên tnc manh trong
khơng gian Banach

(xem tài li¾u [8])
Giã
làtakhơng
gian
vàtrong
J=
] gian
. Vái
∈xét
J bài
trong
gian
Banach
xét
tốn

tu Banach
tuyen
tính
A
(t)[khơng
:0,DT(A
(⊂
t))RBanach
⊂
X mi
X.X,tTata
gió
sutoỏn
f khụng
(t)vỏil giỏ
mđt
hm su
xỏcXX%nh
trờn
J nhắn
giỏ tr%
tr% ban au
.
(1.1)
udu)dt(t
= A(t)u(t) + f (t) vái 0 ≤ s < t

≤T
(s) = x
Bài toán vái giá tr% ban đau (1.1) đưac GQI là bài tốn tien hóa. Giã su u : [s, T ] → X

[u
s,
→
nghi¾m
tốn
tien
neu
utrên
là hàm
T]:,
là
xác
đ%nh
trêns J"cő
khơng
gian
khi
đóTtrên
ta thõa
nói[s,u
(hàm
t)T]∈
DX
(A
(làt))
vái
tđien"
≤ giá

Tcuatr%
vàbàiutrong
là khã
vihóa
liên
tncBanach
s X,
t tnc
≤
mãn
phương
trình
(1.1).
Vi¾c nghiên cúu sn ton tai duy nhat nghi¾m cua bài tốn tien hóa thưàng liên quan
đen phương trình Volterra. Xét phương trình Volterra có dang:
∫

x(t) = g(t) + t A(τ)x (τ)dτ
t0

(1.2)


vái g(t) là hàm vectơ liên tnc trên I và chi ra nú cú mđt nghiắm liờn tnc trờn oan

[a, b] ⊂ I.
Bo
đe 1.2.này
Phương

(1.2)dưái
có nghi¾m
Nghi¾m
có the trình
bieu dien
dang: duy nhat xác đ%nh trên đoan [a; b] ∈ I.
∫

x(t) = g(t) + t A(t 1)

)dt1

t0

g(t1

+

∞
∑

∫ t∫ t ∫ t
n
2
...

(1.3)

t0
n=2 t0

A(tn)A(tn−1)...A(t1)g(t1)dt1...dtn−1d

t0

tn
∞

hay:

x(t) = g(t) +

∑

gk(t)

k =1

trong
đó:

∫

gk (t) = t

k−
1

(τ)dτ, (t) = g(t)

A(τ)g
t0

g0

tính
(tlý) 1.5.
b%
Khitr%
đóban
neu
hàm(1.1)
tvà→giã
A(duy
tsu
) l
liờn
tnc
theo
toỏn
tu toỏn
thỡ vỏi
%nh
Cho
Xtrờn
l X.
khụng
gian
Banach
vỏi

mi
t, nghiắm
0 chuan
s<
T
tu
tuyenAmi
x chắn
X bi
toỏn
giỏ
dau
cú
nhat
mđt
c tien
u.
Bõy già ta xét bài toán giá tr% ban đau thuan nhat:
.udu) (t
dt

= A(t)u(t) vái 0 ≤ s < t ≤

(1.4)

T

(s) = x
ti¾n
cho

vi¾c
trình
bày
chúng
taBanach
xét
đơn
sau.
[Đe
T
mői
tX∈
trong
khơng
gian
tahap
xétX
tu tuyen
tính
)=:
D0,
(Athu¾n
(t]))Vái
⊂
X tốn
→
là JTrong
b%
ch¾n
trong

X,này
túc
làcó
Atrưàng
(đ%nh
tX
)∈
L(
)tốn
vàgiãn
hàm
t →Kí
A
(hi¾u
t) Alà(tJliên
tnc
theo
chuan
tu.
trưàng
hap
ta
lý
sau.
tính
Amői
(tlý) 1.6.
b%
X.
Khi tr%

đó neu
hàm
A(nhat
tsu
) l
liờn
tnc
theo
chuan
thỡ "c
vỏi
%nh
Cho
Xtrờn
l
khụng
gian
Banach
vgió
vỏi
micú
t,duy
0
s<
ttoỏn

Ttu toỏn
tu
tuyen
x chắn

X bi
toỏn
giỏ
ban
dau tthuan
(1.4)
nhat
mđt
nghiắm
ien" u.


toỏnthuắn
giỏnghiắm:
tr%tiắn
bancho
au
ta xỏc
toỏn v
tu nghiờn
tuyen tớnh
(t, schat
) tự nghiắm
X vo Xcua
mbi
ta
GQItoỏn
e
viắc
bieu%nh

dienmđt
nghiắm
cỳuUtớnh
l
tu
U(t, s) : x → u(t) vái 0 ≤ s ≤ t ≤ T
e đây u(t) là nghi¾m cua phương trình thuan nhat (1.4).
Bo đe 1.3. (Gronwal-Belman)
Giã su u(t), f (t) là các hàm liên tnc trên [t0, +∞) và u(t) ≥ 0, f (t) ≥ 0 vái MQI t ≥ t0,
∫≤

u (t )

c + t f (τ)u(τ)dτ
t

ã đây c là hang so dương. Khi đó vái MQI t ≥ 0t0 ta có
ce
∫t

t
0

f (τ)dτ
u(t) ≤
Dna vào bő đe này ta có the chúng minh đ%nh lý sau:

Đ%nh
lý đây:
1.7. HQ toán tu tien hóa U (t, s) tương nng vái phương trình (1.4) có các tính

chat sau
a) U(t, t) = I.
b) U(t, r)U(r, s) = U(t, s) vái 0 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T.
c) (t, s) → U(t, s) là liên tnc theo tô pô đeu vái 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
τ ∫ t
d) ||U(t, τ)|| ≤ exp [ ||A(τ)||dτ].
e) ∂U(t, s)/∂t = A(t)U(t, s) vái 0 ≤ s ≤ t ≤ T.

(f)τ∂U
≤(tt,).s)/∂s = −U(t, s )A(s ) vái 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
Vi¾c chúng minh các tính chat ta có the xem trong [8] phan đ%nh lý 5.2 trang 128.
Đ%nh nghĩa 1.6. M®t HQ hai tham so cua tốn tu tuyen tính b% ch¾n U (t, s), 0 ≤ s ≤ t ≤ T
trên X GQI là m®t HQ tien hóa liên tnc manh neu thõa mãn hai đieu ki¾n sau:
(a) U(s, s) = I, U(t, r)U(r, s) = U(t, s) vái 0 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T.

(b) (t, s) → U(t, s) là liên tnc manh vái 0 ≤ s ≤ t ≤ T.


1.4
1.4.1

Tính chat nghi¾m cúa các phương trình vi phân so
sánh tích phân đưac trong khơng gian Banach
Tính on đ%nh phái và tính on đ%nh trái theo Lyapunov.

(Xem tài li¾u [8])
Cho X là khơng gian Banach. Ta giái thi¾u vài khái ni¾m ve dáng đi¾u nghi¾m cua
phương trình vi phân tuyen tính:

dx

= A(t )x
(1.5)
dt
Giã
vái
mői
0Cauchy
≤hóa
slàU
t(t)sphương
≤)∈cua
T,L(
tốn
tu tuyen
((tt))hi¾u
:là Dliên
t0
))) ⊂
X
là
ch¾n
trong
X,
túc
A
Xtrình
) và
hàm

→ AAkí
theo
đeu.
Vái
tốn
tut,tu
tien
(t,
phương
trìnht tính
(1.5),
U( A
(t,(tnc
=X
U (tơ
t→
) pơ
và
U
(b%
t)su
GQI là
tốn
(1.5).
chính
hơn lai
là őn
phãi)trình
neu (1.5)
MQI là

nghi¾m
cua
nó tuyen
b% ch¾n
trên
Chúng
ta nhac
rangđ%nh
phương
phương
trình
tính
nên[0,
nó ∞
őn )đ.
%nh( xác
Bo đe 1.4. Đieu ki¾n can và đu đoi vái tính őn đ%nh cua phương trình (1.5) là tính b%
ch¾n đeu cua tốn tu Cauchy cua nó:
sup
||U(t)|| < ∞.
t0
≥

Nh¾n xét 1.1. Ta có the nói rõ hơn đieu ki¾n cua bő đe, là đieu ki¾n can và đu cua őn đ
%nh phãi là sn ton tai hang so q > 0 sao cho nghi¾m x(t) cua phương trình (1.5) thõa
mãn

giá tr% q0 đưac xác đ%nh bãi:

|x(t)|| ≤ q||x(0)||

(1.6)

q0 = sup||U(t)||
t≥0

cho mői
nghi¾m
x (t) bat
cuađ%nh
phương
mãn
vái
MQIso
t≥
≥ 00:sao
Phương
trình
(1.5) đưac
GQI kỳ
là őn
phãitrình
neu thõa
ton tai
m®t
hang
N s>

||x(t)|| ≤ N||x (s)||

(1.7)


Có the chúng tõ rang tính őn đ%nh phãi đeu tương đương vái đieu ki¾n sau:

s≥
N = t≥
sup
||U(t, s)||
0
Giá tr% cua N là tot nhat có the đoi vái đánh giá (1.7).

(1.8)

Nh¾n
xétki¾n
1.2. Giã
su A(t) = A là tốn tu hang. Trong trưàng hap U(t, s) = eA(t−s) de
thay
đieu
őn đ%nh:
sup||eAt|| < ∞
(1.9)
t≥0

trùng vái đieu ki¾n őn đ%nh
đeu.
Phương trình (1.5) là őn đinh trái neu ton tai hang so qJ > 0 sao cho nghi¾m x (t)
bat kỳ cua phương trình này thõa mãn đánh giá:

|| x (0)|| ≤ qJ || x (t)||
t≥0
Trong tài li¾u [8] đã chúng minh đưac rang: On đ%nh trái là tương đương vái tính b%
ch¾n đeu cua toán tu U−1(t)
qJ = tsup
||U −1 (t)|| < ∞
≥0
Chúng ta nh¾n thay rang do nghi¾m cua phương trình liên hap

dX

d
t

= −A(t)X đưac

bieu dien bãi cơng thúc X(t) = X(0)U−1(t), tính őn đ%nh trái cua phương trình (1.5)
tương đương tính őn đ%nh phãi cua phương trình liên hap.
Tính őn đ%nh trái đeu tương đương vái đieu ki¾n:
t supǁU(t, s) < ∞

ǁ

(1.10)

≥s ≥0

Ta
phương
là phãi.

song őn
trêntrình
nua [(1.5)
0, ∞là) song
neu nó
vùa làneu
őnvà
đ
%nh
trái
và vùatrình
là őn(1.5)
đ%nh
Hayđ%nh
phương
őnlàđ%nh
chinói
neu:
sup
ho¾c neu và chi neu:

0≤t<
∞

{||U±1(t)||} < ∞
{||U(t, s)||} < ∞

0

sup

≤s,t<∞

(1.11)


So sánh đieu ki¾n này vái (1.8) và (1.10) chúng tõ rang m®t phương trình là song őn
őn
đ%nh
neu
ton tai
sođ%nh
q > phói
0 sao
choNúi
nghiắm
x(t)lthừa
ỏnhtrỡnh
giỏ: l
%nh
thỡ n
%nh
trỏihang
v n
eu.
cỏch khỏc
mđtmón
phng
song

1.4.2

||x(t)|| q||x(s)||
(0 s, t ≤ ∞)
Các phương trình so sánh tích phân đưac

Giã su trên nua khoãng [0, ∞) chúng ta xét 2 phương trình:
dx

= Ak(t )x
(k = 1, 2)
Ta nói các phương trình nàydy
là so sánh đưac neu:
2

1

0

(1.12)

2

|| A − A ||1 = ∫ ∞ || A (t) − A (t)||dt < ∞
Bo đe 1.5. Neu m®t trong hai phương trình so sánh đưac (1.12) là őn đ%nh trái ho¾c őn đ%nh
phãi đeu ho¾c song őn đ%nh, thì phương trình cịn lai cũng v¾y.
Đ%nh lý 1.8. Giã su quan h¾ (1.12) đưac thõa mãn. Khi đó giái han
U(∞) = lim U(t)
t →∞

ton tai và là tốn tu khã ngh%ch.

1.4.3

Sn tương đương ti¾m c¾n cúa các phương trình so sánh tích phân
đưac

Neu phương trình (1.5) là őn đ%nh trái thì nghi¾m cua các phương trình này se tien
tái 0 tai vơ han ho¾c đong nhat bang 0. Chúng ta nói các phương trình (1.12) là tương
đương ti¾m c¾n neu giua các nghi¾m cua chỳng cú the xỏc lắp mđt ỏnh xa n tr%
x1(t) ←→ x2(t) sao cho:
lim [x2(t)− x1(t)] = 0.

t→∞

Đ%nh lý 1.9. Giã su các phương trình (1.12) là so sánh tích phân đưac và m®t trong so
chúng là song őn đ%nh. Khi đó, chúng se là tương đương ti¾m c¾n, đong thài giđa các
nghi¾m cua


chỳng cú the xỏc lắp duy nhat mđt quan hắ đơn tr% x1(t) ←→ x2(t) qua đánh giá sau:
|| x2 (t) − x1 (t)|| = O 
 || A2 (s) − A1 (s)|| ds
∫

∞

t



(1.13)

Hơn nña, giá tr% ban đau đưac thõa mãn bãi các nghi¾m tương nng liên ket vái toán tu khã ngh
%ch liên tnc.


Chương 2
Phương trình vi phân tuyen tính có ch¾m
2.1

Khái ni¾m ve phương trình vi phân hàm và phương
pháp tìm nghi¾m cỳa nú

(Xem ti liắu[7])

2.1.1

Sn ton tai v duy nhat nghiắm
1
2

2
2

n

ã Cho
R R
là không

gian Euclid, x ∈ R , | x | = .x + x + ... + x2 GQI l chuan
x trong
.
n

n

n

ã Vỏi h > 0 ta kớ hiắu C là không gian các ánh xa liên tnc tù [−h, 0] vào Rn. Vái

ϕ ∈ C thì chuan cua ϕ đưac đ%nh nghĩa là:

||ϕ|| = sup

−h≤θ≤0 |ϕ(θ)|

• CH = { ϕ ∈ C : || ϕ || ≤ H, H > 0||}
ã Gió
) x%nh
lt l
mđt
xỏctu%nh
vỏi
h
ubói:
< che
A (Acua
> x0()uv
vỏi bat

k[tt
[
Ax](ul
co
tahm
kớphan
hiắu
xcua
%nh
ngha
han
) trờn
an

t lC
h, th,
]su, tỳc
mđt
xỏc%nh

x t ( ) = x(t + θ),

−h ≤ θ ≤ 0

Giã su x. (t) là đao hàm phãi cua x(u) tai u = t và chúng ta xét phương trình vi
phân:
x. (t) = f (t, xt)

20

(2.1)


Chương 2. Phương trình vi phân tuyen tính có ch¾m
e đây f (t, Φ) ∈ Rn xác đ%nh trên Ω ⊂ [0, δ] × CH
f : [0, δ] × CH → Rn
Ta GQI phương trình (2.1) là phương trình vi phân hàm trên Ω.
Sau đây
tamãn
xét bài
tốn
váicho
giá trưác:
tr% ban
x(+
t) tcua
(2.1)
thõa
đieu
ki¾n
x(đau:
t) =Tìm
ϕ(tnghi¾m
),
−h
t ≤ t0 trình vi phân
Ho¾c:
0 ≤phương
. dx
dt

Ho¾c:

= f (t, xt) t ≥ t0

x ( t ) = ϕ ( t ) t0 − h ≤ t ≤ t0

∫t

x
t
t
f ( , x )d τ t ≥ 0
( ) = ϕ( 0 )
τ
τ
+
 x ( t ) = ϕ (t ) t − h ≤ t ≤ t
0
0

Nghi¾m
cua
bài
tốn
nàyxtrên
có
hi¾u
=
xtt)(t)t0=

, ϕt0)tr%
đưac
đ%nh
như
sau.
n nghĩa
%nh
nghĩa
2.1.
(t0the
,[ban
(∈t0xC
,Aϕ
đưac
cuamãn
phương
tki¾n
trình
(2.1)
váihàm
đieu
đau
tai
,GQI
ttrong
≥là 0nghi¾m
, neu
ton
tai
so

> 0
H
saoxcho
)Mđt
%nh
t)kớ
(hoắc
h, txl
+
] )(
nhắn
giỏ
R
thừa
cỏcA
tớnh
t(
chat
(i)
(vi
t0x,phõn
t)0 ,
Cxỏc
tsau:
H vỏi t0 t 0t0 + A 0


(ii) xt0 (t0, ϕ) = ϕ
(iii) xt(t0, ϕ) thõa mãn phương trình (2.1) vái t0 ≤ t < t0 + A.
Bang cách su dnng nguyên lí ánh xa co (ho¾c bang phương pháp xap xi liên tiep)

ta có the chúng minh các ket quã sau đây.
Bo đe 2.1. (Ton tai nghiắm) (Xem ti liắu [7])
Gió
su
l
R
ì C,
f l(hm
tnccompact
trờn .KNeu
)Cneu
,ton
thỡ tai
tonso
taidng
0, ì
nghiắm
phng
(2.1)
i qua
ttrong
). tắp
0, liờn
Chỳng
tacua
GQItắp
f (mó
t, trong
)trỡnh
l Lipschitz

vỏi
cua(tR
k > 0 sao cho, vái mői (t, φi) ∈ K, i = 1, 2, ...

| f (t, φ1) − f (t, φ2)| ≤ k |φ1 − φ2|
Bo đe 2.2. (Duy nhat nghiắm) Gió su l tắp mó trong R ì C, f : Ω → Rn liên tnc và
f (t, φ) cua
là Lipschitz
vái φ (2.1)
trên mői
t¾pt0compact
trong Ω. Neu (t0, ϕ) ∈ Ω thì có duy nhat
nghi¾m
phương trình
đi qua
, ϕ.

21


2.1.2

Phương pháp giái phương trình vi phân hàm

Ta có the đi tìm nghi¾m cua phương trình vi phân hàm (2.1) bang hai
phương pháp là phương pháp tùng bưác và phương pháp toán tu Laplace.
(a) Phương pháp tnng bưác

Theo phương pháp này, cơng thúc nghi¾m tìm đưac bang cách lay tích phân trên
tùng đoan có đ® dài thích hap. Nói chung khơng nêu đưac m®t cơng thúc giãi tích

trên cã bán trnc R+.
Ví dn 2.1. Xét phương trình vi phân có ch¾m sau:
. x J (t) = 6x (t − 1)
ϕ (t )

= t, 0 ≤ t ≤ 1

Ta se tìm nghi¾m x(t0, ϕ), t0 = 1 cua phương trình vi phân trên [0, 3].
Nghi¾m cua phương trình vi phân có dang:
t
 x
∫

ds, t ≥ 1
6x s −
( t ) = ϕ (1)

(
1
+
1)
x (t) = ϕ(t) 0 ≤ t ≤ 1
Trên đoan [1,2] ta có:
t
 x
∫

6x s − ds, 1 ≤ t ≤ 2
(t ) = ϕ (1)


(
1
+
1)
x ( t ) = ϕ (t ) 0 ≤ t ≤ 1
Trên đoan [2,3] ta có:
t

∫
 (t ) = ϕ (2)
6x s − ds, 2 ≤ t ≤ 3
x

+

Suy ra :

1

(

1)

x (t)= 1 + 3(t − 1)2 , 1 ≤ t ≤ 2

. x(t) = 6(t − 2)[(t − 2)2 + 1] + 4,

2≤t≤3

x(t )

=1+
3(t −
1)2, 1

≤t≤
2
V¾y nghi¾m cua phương trình trên đoan [0,3] là:
 x(t) = t, 0

t 1
≤
 x(t) = 1 + 3(−
t 1)2, 1≤ t
≤


x(t)

2

= 6(t − 2)[(t − 2)2 + 1] + 4,

2≤t≤3


(b) Phương pháp tốn tu Laplace

Ví dn 2.2. Xét phương trình vi phân:

. x J ( t ) = x ( t − 1)
ϕ(t) = t, −1 ≤ t ≤ 0
Su dnng phép bien đői Laplace (Xem mnc 1.2)

x(t) → X(p) = ∫ 0∞ x(t)e−ptdt
Khi đó theo đ%nh lý ve đao hàm goc ta có
x J (t) → pX ( p)
x(t − t0) → e−t0 p X(p)

và x(0) = ϕ(0) = 0
Theo đ%nh lý ch¾m ta có

V¾y nên
0

x t
1

∫e−p

( − )→

e

[−1

ϕ(

1

1−
e− p

t dt X
p

pt−

+ ( )] =

p2

−

p

e−p X p

+

( )

)
Thay x J (t) và x (t − 1) vào phương trình vi phân đã cho ta đưac phương trình đai so:
1
pX p
1−
e−p X p
e− p

( )=

Suy ra

X
p=có:
Tiep tnc khai trien Taylor
( )ta
−
X(p

p2
1

−

p(p − e−p)

p

+

+
( )
1 − e−p
p2(p − e−p)

)=−
...
Σ

1

.1

+


e− p
p

e−2p

+

e−kp

... +
+
+ ...Σ +
k
p2 p
2 −p .
p
−
p
−
2p
1 e
e

e
e−kp
−
+
1+
+ ...
+
p2
p
p2
pk
1

=−

∑

p

1

+
2

+
+
−
kp
e

∞

k=

− pk+2
p3