Dãy số và một số phương pháp giải toán về dãy số

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIấN
------------------

ắng Th% Thao

DY SO V MđT SO PHNG
PHP GIAI TỐN VE DÃY SO

LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC

Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP
Mã so: 60.46.40

Ngưài hưáng dan khoa HQC
GS. TSKH. NGUYEN VN
MắU

H NđI - NM 2011


MUC LUC

Ma đau

3

1 Dãy so
1.1 Đ%nh nghĩa và các đ%nh lý cơ ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mđt vi dóy so ắc biắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 M®t so bài tốn áp dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
9
13

2 M®t so phương pháp giai bài tốn ve dãy so
2.1 M®t so phương pháp giai bài tốn tìm so hang tőng quát cna
dãy so
2.1.1 Phương pháp quy nap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Phép the lưong giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Phương pháp su dung phương trình sai phân, tính chat
cna hàm so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4
Ky thu¾t tuyen tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 M®t so phương pháp giai bài tốn tìm giói han cna dãy so . . . .
2.2.1
Giói han cna dãy so l¾p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2
Giói han cna dãy trung bình Cesaro . . . . . . . . . . . . .
2.2.3
Giói han cna dãy phân tuyen tính . . . . . . . . . . . . . .
2.3 M®t so phương pháp giai bài tốn ve dãy so trong so HQc . . . . .
2.3.1
Phương pháp quy nap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2
Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3
Dãy so sinh boi phan nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 M®t so phương pháp ưóc lưong tőng và tích cna m®t so dãy so

..
2.4.1
Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2
Phương pháp đai so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3
Su dung so phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18
18

2

18
20
24
31
38
38
41
43
48
48
50
52
55
55
58
62

3 Mđt so phng phỏp thiet lắp bi toỏn mỏi ve dãy so
64
3.1 Xây dnng dãy so h®i tu sinh boi các đai lưong trung bình..............64
3.1.1 Trưịng hop cùng chi so.......................................................64
3.1.2 Trưịng hop l¾ch chi so.......................................................67
3.1.3 Phoi hop ba dãy so..............................................................76
3.2 Xõy dnng dóy so l nghiắm cna mđt HQ phương trình..................79
Ket lu¾n

86

Tài li¾u tham khao

87


Me ĐAU
Đe tài ve dãy so thu®c m®t lĩnh vnc rat khó và r®ng (xem [1] - [8]), su dung
nhieu kien thúc khác nhau cna toán hQc. Muc tiêu cna luắn vn ny nham e
cắp en mđt so van e cơ ban cna dãy so liên quan đen chương trình toỏn bắc
ph thụng. Nđi dung chn yeu cna e ti "Dãy so và m®t so phương pháp giai
tốn ve dãy so" l hắ thong mđt so phng phỏp giai toỏn ve dãy so và m®t so
cách xây dnng bài tốn mói ve dãy so. Đó là m®t so phương pháp giai bài toán
xác đ%nh so hang tőng quát cna dãy so, bài tốn tìm giói han cna dãy so, bài
tốn ve dãy so trong so HQc và bài tốn ưóc lưong tőng và tích cna dãy so. Và
m®t so cách thiet l¾p bài tốn mói ve dãy so như thiet l¾p dãy so tù các đai
lưong trung bình, dãy so là nghi¾m cna HQ phương trình. Đe giai quyet đưoc
nhung bài toán này, ta can nhung kien thúc tőng hop ve tính chat dãy so, giói
han cna dãy so,...Muc tiêu cna lu¾n văn là h¾ thong phương pháp và xây dnng

bài toán minh HQA, tőng quát ve các van đe ó nờu o trờn.
Nđi dung cna luắn vn gom phan Mo đau, Ket lu¾n và đưoc phân thành
ba chương, đe cắp en cỏc van e sau.
ã Chng 1 trỡnh by m®t so kien thúc cơ ban cna dãy so gom m®t so đ

%nh nghĩa, đ%nh lý, m®t vài dãy so ắc biắt v mđt so bi toỏn ỏp
dung.
ã Chng 2 hắ thong mđt so phng phỏp giai toỏn ve dóy so. Vói bài

tốn xác đ%nh cơng thúc tőng qt cna dãy so h¾ thong các phương
pháp như quy nap, phép the lưong giác, su dung phương trình sai
phân, tính chat cna hàm so, ky thu¾t tuyen tính hóa. Vói bài tốn tìm
giói han cna dãy so, xét các dang bài tốn dãy so dang l¾p, dãy trung
bình Cesaro, dãy phân tuyen tính. Vói bài tốn ve dãy so trong so HQc
có các phương pháp như quy nap, nguyên lý Dirichlet, dãy sinh boi
phan ngun. Vói bài tốn ưóc lưong tőng và tích cna dãy so, h¾
thong các phương pháp như sai phân, đai so, su dung so phúc.


ã Chng 3 trỡnh by mđt so cỏch thiet lắp bài tốn mói ve dãy so như

thiet l¾p dãy so tù các đai lưong trung bình (trung bình c®ng, trung
bình nhân, trung bình đieu hịa), dãy so là nghi¾m cna HQ phương
trình.
Tác gia xin bày to sn kính TRQng và lịng biet ơn sâu sac đen
GS.TSKH. Nguyen Văn M¾u. Thay đã t¾n tình hưóng dan, chi bao cho HQc
trị trong q trình HQc t¾p, nghiên cúu và giúp tác gia hồn thành đưoc lu¾n
văn này.
Tác gia cũng xin gui lịi cam ơn chân thành tói các thay giáo, cơ giáo Khoa
Toán - Cơ - Tin HQc và seminar Phương pháp Tốn sơ cap cna trưịng Đai HQc

Khoa HQc Tn Nhiên- ai HQc Quoc gia H Nđi ó nhắn xột, gúp ý cho ban lu¾n
văn này.
Xin bày to tình cam chân thành tói gia đình, ban bè đã quan tâm, đ®ng viên
và giúp đõ tác gia trong suot quá trình HQc t¾p tai trưịng.
M¾c dù đã có nhieu co gang, song trong q trình thnc hi¾n khơng tránh
khoi nhung sơ suat vì v¾y tác gia rat mong đưoc các thay cơ giáo, các ban
đong nghi¾p góp ý đe ban lu¾n văn đưoc hồn thi¾n hơn.
Tác gia xin chân thành cam ơn!
Hà Nđi, ngy 25 thỏng 11 nm 2011
HQc viờn
ắng Th% Thao


CHƯƠNG
1 DÃY SO
Chương này giói thi¾u nhung khái ni¾m cơ ban ve dãy so, đó là các đ
%nh nghĩa, đ%nh lý v mđt so dóy so ắc biắt. Nhung kien thúc này em
xem và trình bày lai trong [1], [2].

1.1

Đ%nh nghĩa và các đ%nh lý cơ ban

Đ%nh nghĩa 1.1. Dãy so l mđt hm so tự N (hoắc N) vo mđt tắp hop so
(N, Q, R, C) hay mđt tắp con nào đó cna các t¾p hop trên. Các so hang
cna dãy so thưịng đưoc kí hi¾u là un, vn, xn, yn thay vì u(n), v(n), x(n),
y(n). Ban thân dãy so đưoc kí hi¾u là {xn}.
Nh¾n xét 1.1. Vì dãy so l mđt trũng hop ắc biắt cna hm so nên nó
cũng có các tính chat cna m®t hàm so.
Đ%nh nghĩa 1.2. Dãy so {un } đưoc GQI là dãy so tăng (giam) neu vói MQI

n ta có un+1 ≥ un (un+1 ≤ un ). Dãy so tăng ho¾c giam đưoc GQI chung là dãy
đơn đi¾u.
Dãy so {un } đưoc GQI là b% ch¾n trên neu ton tai so thnc M sao cho vói MQI
n ∈ N ta có un ≤ M .
Dãy so {un } đưoc GQI là b% ch¾n dưói neu ton tai so thnc m sao cho vói MQI
n ∈ N ta có un ≥ m.
M®t dãy so vùa b% ch¾n trên, vùa b% ch¾n dưói đưoc GQI là dãy b% ch¾n.
Đ%nh nghĩa 1.3. Dãy {un } đưoc GQI là m®t dãy tuan hồn (c®ng tính) neu ton
tai so nguyên dương l sao cho
un+l = un,

∀n ∈ N.

(1.1)


So nguyên dương l nho nhat đe dãy {un } thoa mãn (1.1) đưoc GQI là chu kỳ cơ
so cna dãy.
Dãy {un } đưoc GQI là m®t dãy phan tuan hồn (c®ng tính) neu ton tai so
ngun dương l sao cho
un+l = −un,

∀n ∈ N.

(1.2)

So nguyên dương l nho nhat đe dãy {un } thoa mãn (1.2) đưoc GQI là chu kỳ
cơ so cna dãy.
Ví dn 1.1. Chúng minh rang dãy so {un} tuan hồn c®ng tính chu kỳ 2 khi và
chi khi dãy có dang

n+
1
un = [a + b + (a − b) 1 ], a, b ∈ R.
(−1) 2

Giai. Gia su u0 = b, u1 = a. Theo gia thiet, dãy so {un} tuan hoàn chu kỳ
2 nên ta có
un+2 = un, ∀n ∈ N.
- Neu n = 2k + 1 thì un = u2k+1 = a2 = 1 [a + b + (a − b)(−1)2k+2].
- Neu n = 2k thì un = u2k = b =2 1 [a + b + (a − b)(−1)2k+1].
1
V¾y
n+
un = [a + b + (a − b) 1
(−1) 2

], n ∈ N.

Ngưoc lai, neu un có dang
n+
1
un = [a + b + (a − b) 1 ], a, b ∈ R, n ∈ N
(−1) 2

thì vói MQI n ∈ N ta có
1

un+2 = [a + b + (a − b)
(−1) 2

n+
3

1

] = [a + b + (a −
2
b)(−1)

n+
1

] = un.

Suy ra un là dãy tuan hồn chu kỳ 2.
Ví dn 1.2. Chúng minh rang MQI dãy so {un } phan tuan hoàn c®ng tính chu
kỳ r đeu có dang
1

(vn − vn+r) vói vn+2r = vn.
(1.3)
2
= −un vói ∀n ∈ N và vn là dãy tuan hồn c®ng tính chu kỳ
un =

Giai. Ta có un+r
2r. CHQN un = vn , ta có
1

1

1


2

(vn − vn+r) =

2

(un − un+r) =

2

(un + un) = un.


Ngưoc lai , ta thay MQI dãy xác đ%nh theo (1.3) đeu là dãy phan tuan hồn
chu kỳ r. Th¾t v¾y
un+r

1
1
= (vn+r − vn+2r) = (vn+r − vn) = −un.
2
2

Ta có đieu phai chúng minh.
Nh¾n xét 1.2. Dãy tuan hồn chu kỳ 1 khi và chi khi đó là dãy hang.
Đ%nh nghĩa 1.4. Dãy {un } đưoc GQI là m®t dãy tuan hồn nhân tính neu ton

tai so ngun dương s (s > 1) sao cho
usn = un,

∀n ∈ N.

(1.4)

So nguyên dương s nho nhat đe dãy {un } thoa mãn (1.4) đưoc GQI là chu kỳ
cơ so cna dãy.
Dãy {un } đưoc GQI là m®t dãy phan tuan hồn nhân tính neu ton tai
so nguyên dương s (s > 1) sao cho
usn = −un,

∀n ∈ N.

(1.5)

So nguyên dương s nho nhat đe dãy {un } thoa mãn (1.5) đưoc GQI là chu kỳ
cơ so cna dãy.
Ví dn 1.3. Chúng minh rang dãy {un} tuan hồn nhân tính chu kỳ 2 khi và chi
khi dãy có dang
αn tùy ý vói n le,
u2k+1
vói n = 2m(2k + 1), m ∈ N∗, k ∈ N.

.u

n
Giai. Nh¾n =
thay

vói MQI n ∈ N đeu có the viet dưói dang n = 2s (2k + 1),
vói MQI s ∈ N. Do đó

un = u2s(2k+1) = u2k+1.

Vì
v¾y

αn tùy ý vói n le,
u2k+1
vói n = 2m(2k + 1), m ∈ N∗, k ∈ N.

.u

=nthay {un} xác đ%nh như trên là dãy tuan hồn nhân tính chu kỳ 2.
Ngưoc lai, de

Ví dn 1.4. Chúng minh rang dãy {un} phan tuan hồn nhân tính chu kỳ 2 khi
và chi khi dãy có dang

 αn tùy ý vói n
un =

2m+1
le, −u2k+1
+ 1), m ∈ N∗, k
 ∈ N, u2k+1vói n = 2 vói(2k
n
=
2 (2k + 1),

m ∈ N∗, k ∈ N.

2m


Giai. Nh¾n thay vói MQI n ∈ N đeu có the viet dưói dang n = 2s (2k + 1),
vói MQI s ∈ N. Do đó
.u

Vì
v¾y

=u


un
=

=sn

u2k+1 neu s = 2m, m ∈ N∗,
−u2k+1 neu s = 2m + 1, m ∈ N∗.

2 (2k+1)

αn tùy ý vói n le,

 −u
vói n = 22m+1(2k + 1), m ∈ N∗, k
 ∈ N2k+1

, u2k+1
vói n = 2
(2k + 1),
m ∈ N∗, k ∈ N.
2m

Ngưoc lai, de thay {un} xác đ%nh như trên là dãy phan tuan hồn nhân tính
chu kỳ 2.
Nh¾n xét 1.3. i) Dãy phan tuan hoàn chu kỳ l là dãy tuan hoàn chu kỳ 2l.
ii) Dãy phan tuan hoàn nhân tính chu kỳ s là dãy tuan hồn nhân tính chu kỳ
s2.
Đ%nh nghĩa 1.5. Ta nói dãy so {xn } có giói han huu han a khi n dan đen
vơ cùng neu vói MQI ε > 0, ton tai m®t so tn nhiên N0 (phu thu®c vào dãy so
xn và ε) sao cho vói MQI n > N0 ta có |xn − a| < ε.
lim

n→+
∞

xn = a ⇔ ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0, |xn − a| < ε.

Ta nói dãy so {xn } dan đen vơ cùng khi n dan đen vơ cùng neu vói MQI
so thnc dương M lón tùy ý, ton tai m®t so tn nhiên N0 (phu thu®c vào dãy so
xn và M ) sao cho vói MQI n > N0 ta có |xn | > M .
lim

n→+
∞

xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0, |xn| > M.

Dãy so có giói han huu han đưoc GQI l dóy hđi tu. Dóy so khụng cú giúi han
hoắc dan đen vô cùng khi n dan đen vô cùng GQI là dãy phân kỳ.
Đ%nh lý 1.1 (Tőng, hi¾u, tích, thương các dãy h®i tu). Neu {xn}, {yn} là các
dãy h®i,tu v,à có giói han tương úng là a, b thì các dãy so {xn + yn }, {xn
a
x
· (Trong
− yn }, {xcũng
n yn } h®i tu và có giói han tương úng a + b, a−b, a.b,
v n
b
à y trưòng
hop dãy so thương, ta gia su yn và b khác khơng)
Đ%nh lý 1.2 (Chuyen qua giói han trong bat đang thúc). Cho dãy so {xn} có
giói han huu han l, neu ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có a ≤ xn ≤ b thì a ≤ l ≤ b .


Đ%nh lý 1.3 (Đ%nh lý kep). Cho ba dãy so {xn}, {yn}, {zn} trong đó xn và zn
có cùng giói han huu han a và N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có xn ≤ yn ≤ zn. Khi đó yn
cũng có giói han là a.
Đ%nh lý 1.4 (Sn hđi tu cna dóy n iắu). Mđt dóy tng v b% chắn trờn
hay mđt dóy giam v b% chắn dúi thỡ hđi tu. Núi ngan GQN hn, mđt dóy n
iắu v b% chắn thỡ hđi tu.
%nh lý 1.5 (Ve dóy các đoan thang long nhau). Cho hai dãy so thnc {an},
{bn} sao cho
a) ∀n ∈ N, an ≤ bn;
b) ∀n ∈ N, [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn];
c) bn − an → 0 khi n → ∞.
Khi đó ton tai duy nhat so thnc a sao cho ∩[an, bn] = {a}.

Đ%nh lý 1.6 (Bolzano-Weierstrass). Tự mđt dóy b% chắn luụn cú the trích
ra m®t dãy con h®i tu.
Đ%nh nghĩa 1.6. Dãy xn đưoc GQI là dãy Cauchy neu ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N :
∀m, n > N0 , |xm − xn | < ε.
Đ%nh nghĩa 1.7 (Tiêu chuan Cauchy). Dãy so {xn} có giói han huu han khi và
chi khi nú l dóy Cauchy.

1.2

Mđt vi dóy so ắc biắt

Cap so cđng
%nh ngha 1.8. Dóy so {un} hoắc (un) (huu han ho¾c vơ han) thoa mãn
đieu ki¾n
u1 − u0 = u2 − u1 = . . . = un+1 − un = . . .

đưoc GQi là m®t cap so c®ng.
Khi dóy so {un } lắp thnh mđt cap so cđng thì hi¾u d = u1 − u0 đưoc GQI là công


sai cna cap so đã cho.
Vói d > 0 ta có cap so c®ng tien và d < 0 ta có cap so c®ng lùi.
Ví dn 1.5. Dãy các so tn nhiên le: 1, 3, 5, . . . , 2n − 1, . . . là m®t cap
so c®ng vói cơng sai d = 2.
Ví dn 1.6. Dãy −3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là m®t cap so c®ng vói cơng sai d = 4.
Tính chat 1.1. Neu {un} là m®t cap so c®ng thì ke tù so hang thú hai, moi so
hang (trù so hang cuoi đoi vói cap so c®ng huu han) đeu là trung bình c®ng
cna hai so hang đúng ke nó trong dãy, túc là
uk =

uk−1 + uk+1
·
2

Tính chat 1.2 (So hang tőng quát cna m®t cap so c®ng). Neu m®t cap so
c®ng có so hang đau là u1 và cơng sai d thì so hang tőng qt un cna nó
đưoc tính theo cơng thúc sau
un = u1 + (n − 1)d.

Tính chat 1.3 (Tőng n so hang đau tiên cna m®t cap so c®ng). Gia su {un }
là m®t cap so c®ng. Vói moi so nguyên dương n, GQI Sn là tőng cna n so hang
đau tiên cna nó (Sn = u1 + u2 + . . . + un ). Khi đó, ta có
Sn=

(u1 + un)n
·
2

Cap so nhân

0, ∀n ∈ N thoa

Đ%nh nghĩa 1.9. Dãy so {un}(huu han ho¾c vơ han) có
{un} =

mãn đieu ki¾n
u1
= ...= = . . .
=
u0 u2 u un+1

đưoc gQI là m®t cap so nhân. 1
un

Khi dãy so
{un

u1
} lắp thnh mđt cap so nhõn thỡ thng q = đưoc GQI là cơng
0
u

b®i cna cap so đã cho.

Ví dn 1.7. Dãy so {un} vói un = 2n là m®t cap so nhân vói so hang đau vói
u1 = 2 và cơng b®i q = 2.


Ví dn 1.8. Dãy −2, 6, −18, 54, −162 là m®t cap so nhân vói so hang đau u1 = −2
và cơng b®i q = −3.
Tính chat 1.4. Neu {un} là m®t cap so nhân thì ke tù so hang thú hai, bình
phương moi so hang (trù so hang cuoi đoi vói cap so nhân huu han) bang
tích cna hai so hang đúng ke nó trong dãy, túc là
u2k= uk−1uk+1.

Tính chat 1.5 (So hang tőng quát cna m®t cap so nhân). Neu m®t cap so
nhân có so hang đau là u1 và cơng b®i q ƒ= 0 thì so hang tőng qt un cna
nó đưoc tính theo cơng thúc sau
un = u1qn−1.

Tính chat 1.6 (Tőng n so hang đau tiên cna m®t cap so nhân). Gia su {un} là

m®t cap so nhân vói cơng b®i q ƒ= 1 thì Sn đưoc tính theo cơng thúc
u1(1 − qn)
Sn =
·
1−q

Nh¾n xét 1.4. Theo đ%nh nghĩa ta có:
i) Neu {un} là m®t cap so c®ng và a > 0 thì dãy {vn} vói vn = aun, n N
lắp thnh mđt cap so nhân.
ii) Neu {un} là m®t cap so nhân vói so hang dương và 0 < a ƒ= 1 thì dãy {vn} vói
vn = loga un, ∀n ∈ N l¾p thành mđt cap so cđng.
Nhắn xột 1.5. Neu |q| < 1 thì {un } đưoc GQI là cap so nhân lùi vô han.
Tőng cna cap so nhân lùi vô han đưoc tính theo cơng thúc
u1
S =1 − q ·

Chú ý 1.1. Đoi vói các dãy so {un} xác đ%nh theo cơng thúc truy hoi
un+1 = aun + b, a, b ∈ R,


có the xem như m®t cap so suy r®ng (khi a = 1 ta thu đưoc m®t cap so
c®ng, khi b = 0 ta thu đưoc m®t cap so nhân).
Cap so đieu hòa
Đ%nh nghĩa 1.10. Dãy so un thoa mãn đieu ki¾n
2un−1un+1
un =
un−1 + un+1

đưoc gQI là cap so đieu hịa.
Ví dn 1.9. Chúng minh rang dãy so {un}(un ƒ= 0, n N) lắp thnh mđt cap

so ieu hũa khi và chi khi
un+ =
1

Giai. Ta có

1
2
un

−

1

, ∀n ∈ N∗.

(1.6)

un−1

1
2
1
2
1
1
(1.6) ⇔
=
−
⇔

=
+
u
un+1 un un−1
un un+1
un−1

⇔

n

=

2un−1un+1
un−1 + un+1

,

túc {un} là m®t cap so đieu hịa.
Dãy Fibonacci
Dãy so Fibonacci rat đ¾c bi¾t này đưoc m®t ngưịi Ý tên là Leonardo
Fibonacci cơng bo năm 1202 và đưoc bien hóa hau như vơ t¾n. Chính đieu
đó, đã thu hút đưoc rat nhieu sn quan tâm cũng như làm chúng ta say mê
nghiên cúu, khám phá các tính chat cna nó.
V¾y dãy so Fibonacci là dãy so như the
nào? Ban đau, ơng Fibonacci xét bài tốn
sau:
Gia su cú mđt cắp tho man e cỳ cuoi moi thỏng lai sinh ra mđt cắp
múi. Neu moi cắp múi đó cũng lai đe sau m®t tháng và neu khơng có con
nào b% chet ca thì sau m®t năm có bao nhiêu c¾p tho?

Và đó là tien thân cna dãy so đưoc xác đ%nh bang cách li¾t kê các phan
tu như sau:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 . . .

Trong đó các phan tu nam trong dãy so này ln ln bang tőng cna 2 so
lien trưóc nó. Neu lay tőng hay hi¾u cna các so liên tiep chúng ta se đưoc
m®t dãy so tương tn.


Đ%nh nghĩa 1.11. Dãy so Fibonacci là dãy so đưoc đ%nh nghĩa boi
f0 = 0, f1 = 1, ∀n ∈ N, fn+2 = fn+1 + fn .

Dãy so Fibonacci có rat nhieu tớnh chat thỳ v% v xuat hiắn mđt cách tn
nhiên trong nhieu lĩnh vnc khác nhau. Chúng ta có cơng thúc sau đe tìm so
hang tőng qt cna dãy so Fibonacci:
Cơng thÉc Binet.

.
fn =

√
1+ 5
2

Σn

.
−

√

1− 5

Σn

2

√

·
Nói chung, các dãy so xác đ%nh boi công thúc
5 truy hoi fn+2 = fn+1 + fn (vói f0 , f1
bat kỳ) đưoc GQI là dãy Fibonacci mo r®ng.

Dãy Farey
Đ%nh nghĩa 1.12. Dãy Farey Fn vói moi so ngun dương n là t¾p hop các
phân so toi gian dang vói 0 ≤ a ≤ b ≤ n và (a, b) = 1 sap xep theo thú tn tăng
a

b
,0 1
F =
,
1
12132
, ,
, , , ,
5
1 5
,
3 5 2 5

4
3

dan.
Ví dn 1.10.

,

3 4 1
, 1,
45

.

Ngoai
trù F , F có so le các phan tu và luôn nam o giua. GQI
1
p

p

,

j

1

n

là các so hang liên tiep trong dãy Farey thì

2

pq J− qpJ = 1 và
p

=

p+p

q qJ

JJ

q + q JJ

·

j

qJ

So các so hang N (n) trong dãy Farey đưoc tính theo cơng thúc
n
Σ

N (n) = 1 + ϕ(k) = 1 + φ(n).
k=1

1.3

M®t so bài tốn áp dnng

và

pJJ
qJJ


Bài tốn 1.1. Chúng minh rang đieu ki¾n can và n e dóy so {an} lắp thnh
mđt cap so cđng là dãy đã cho phai thoa mãn h¾ thúc
2am+n = a2m + a2n, ∀m, n ∈ N.

(1.7)


Giai.
ieu kiắn can. Gia su dóy {an} l mđt cap so c®ng vói cơng sai d. Khi đó
an = a0 + (n − 1)d, ∀n ∈ N∗.

V¾y
nên

2am+n = 2[a0 + 2(m + n − 1)d]

và
a2m + a2n = a0 + (2m − 1)d + a0 + (2n − 1)d = 2[a0 + 2(m + n − 1)d].

Do đó, ta có đieu can chúng minh.
Đieu ki¾n đu. Gia su dãy {an} thoa mãn đieu ki¾n (1.7). Ta chúng minh

dãy {an} là m®t cap so c®ng vói cơng sai d = a1 − a0.
Thay m = 0 vào (1.7) ta đưoc
2an = a0 + a2n.

Suy ra

a2n = 2an − a0.

(1.8)

Tương tn cho n = 0 ta
đưoc

a2m = 2am − a0.

(1.9)

Thay (1.8) và (1.9) vào (1.7) ta thu đưoc
2am+n = 2am + 2an − 2a0

hay

am+n = am + an − a0.

Thay m = 1 và (1.10), ta
có

an+1 = an + a1 − a0.

(1.10)

V¾y {an} là m®t cap so
c®ng.
Bài tốn 1.2. Chúng minh rang đieu ki¾n can và đn đe dãy các so dương {an}


lắp thnh mđt cap so nhõn l dóy ó cho phai thoa mãn h¾ thúc
2

am+ = a2ma2n, ∀m, n ∈ N.
n

(1.11)


Giai. Đ¾t ln an = bn, ∀n ∈ N, khi đó an = ebn và (1.11) có dang
e2bm+n = eb2m+b2n, ∀m, n ∈ N

hay
2bm+n = b2m + b2n, ∀m, n ∈ N.

(1.12)

Theo bài tốn 1.1 thì (1.12) chính là đieu ki¾n can và đn đe dãy {bn} l¾p
thành cap so cđng vúi cụng sai d = b1 b0.
Theo nhắn xét 1.4 ta có đieu phai chúng minh.
Bài tốn 1.3. Cho dãy so {un} là m®t cap so suy r®ng thoa mãn đieu ki¾n
un+1 = aun + b, a, b ∈ R.

Tính tőng

Sn = u1 + u2 + . . . + un.

Giai. Ta có
u2 + u3 + . . . + un+1 = a(u1 + u2 + . . . + un) + nb

và
Sn+1 = u1 + u2 + . . . + un + un+1 = u1 + a(u1 + u2 + . . . + un) + nb.

M¾t khác

un+1 − nb − u1 = (u1 + u2 + . . . + un)(a − 1).

V¾y nên, neu a ƒ= 1
thì

Sn un+1 − nb − 1
·
=
ua−1

Theo quy nap, ta có

n

Sn =

a u1
+

an − 1

a − b − nb − u1
·
1a − 1

Neu a = 1 thì un là m®t cap so c®ng vói cơng sai b. Do đó
S =n

(u1 + un)n
2

=

[2u1 + (n − 1)b]n
2

·


Bài toán 1.4 (VMO, 1994, Bang B). Cho dãy so Fibonacci {un}, (n = 1, 2, . . .)
đưoc xác đ%nh boi
u1 = u2 = 1, un+2 = un+1 + un

vói MQI n = 1, 2, , . . ..
Hãy tìm so ngun dương m sao
cho

m−1

Σ

=

s−1
s.u2s−1.u
2k+
k

1

u 2 + u2k+
m

m

k

1

vói MQI k = 1, 2, 3, . . ..
Giai.
+) Tù gia thiet thì so m can tìm phai thoa mãn vói k = 1, lúc đó
m−1

Σ

u2m + u3m =

2

3

s=1

hay
m−1

Σ

1+2 =
m

(1.13)

s.2s−1.

s=1

Đ¾t tőng o ve phai cna (1.13) là S thì ta có 2S
=

m−
1Σ

s.2s.

s=
1

Tù đó ta có
m−1

S = 2S − S =

Σ

m−1

s.2 −
s

s=1

=

Σ

s.2s−1

s=1
m−1
Σ

(m − 1).2m−1 −

2s−1(s − (s − 1))

s=1

= (m − 1).2m−1 − (2m−1 − 1) = (m − 2).2m−1 + 1. (1.14)

Tù (1.13) và (1.14) ta có
1 + 2m = (m − 2).2m−1 + 1 ⇒ m = 4.

+) Vói m = 4 su dung h¾ thúc đã biet cna dãy Fibonacci
2
u2k+ − 2 = u2k.u2k+1 + 1, ∀k = 1, 2, 3, . . . .
1
u2k

Ta có

u

+
u

4
4

2k+1
2

. 2
u


2k

−

2u2k

+1
2k

2
2k

2
2k+1

=
u

.
u

+ 2u2k.u2k+1 + 1


hay

4
u2k+
1

4
+ 2 =2 1 + 2u2k.u2k+1 +
u 3u
k

2
k

2

. 2k+
u1

, ∀k = 1, 2, 3, . . . .

V¾y m = 4 là so duy nhat thoa
mãn đieu ki¾n đe bài.
Bài tốn 1.5 (THTT/
T12/ 410). Vói so
ngun dương n lón
hơn 2, tìm so các hàm
so
thoa
mãn
tính
chat

f : {1, 2, . . . , n} →
{1, 2, 3, 4, 5}

|f (k + 1) − f (k)| ≥ 3 vói
k ∈ {1,
2, . . . , n}.

Giai. Ta su dung nh¾n
xét sau đây: Neu hàm
so f thoa mãn đieu
ki¾n bài ra thì vói MQI
n > 2 cho trưóc ta
ln có f (n) ƒ= 3.
Th¾t v¾y, neu f (n) =
3 thì suy ra f (n − 1)
≤ 0 ho¾c f (n − 1) ≥
6, đieu này là vơ lí.
Ký hi¾u an, bn, dn,
en là so các hàm f :
{1, 2, . . . , n} → {1,
2, 3, 4, 5} thoa mãn

tính chat đã cho úng
vói f (n) tương úng lan
lưot bang 1,2,4,5.
Khi đó thì a2 = e2 và b1 = d2
= 1, nên
a
n
+


=
+
bn+1
en, e
=a

bn, d
=
1

T
i
e
p
t
h
e
o
,
t
a
c
a
n
t
í
n
h

b
n

+
d
n

=
e

+
e

+

n

.

T
a
c
ó
a
2

d

1
.

T
i
e
p
t
h

e
o
,

n
+
1

t
a

=

t
h
a
y

a
n
+
1

+

=

b

e

n
+
1

a
2

=
2

2

v
à
b

S

d

=

=

a

F

n

+
1

2

=

v
à

a

a

n

3

2

=

2

=

.

a

B
a
n

+

n
+
2

n
+
1

t
ő
n
g

n

a

.

Do v¾y, {an }
chính là dãy
Fibonaci {Fn }
vói cách cHQN
F0 = 0, F1 =

=
e
2

+

d2 = 3 = F3 . Do đó,
an = Fn vói n ≥ 2.
Suy ra S = 2(an + bn )
= 2en+1 = 2Fn+1 vói n
≥ 2.


CHƯƠNG 2
M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI BÀI
TỐN VE DÃY SO
Các bài tốn ve dãy so có n®i dung khá đa dang. e đây ta quan tâm đen
may dang chính sau:
1) Các bài tốn tìm so hang tőng qt cna dãy so(ban chat đai so).
2) Các bài tốn tìm giói han cna dãy so(ban chat giai tích).
3) Các bài tốn ve dãy so trong so HQc.
4) Các bài tốn ưóc lưong dãy so.
Các phương pháp cơ ban đe giai các bài toán dãy so trên khá đa dang.
Chúng ta đi xét cu the m®t so phương pháp đó.

2.1
2.1.1

M®t so phương pháp giai bài tốn tìm so hang

tong qt cua dãy so
Phương pháp quy nap

Nguyên lý quy nap
Neu khang đ%nh S(n) thoa mãn hai đieu ki¾n sau:
a) Đúng vói n = k0 (so tn nhiên nho nhat mà S(n) xác đ%nh).
b) Tù tính đúng đan cna S(n) đoi vói n = t (ho¾c đoi vói MQI giá tr% cna
n, k0 ≤ n ≤ t) suy ra tính đúng đan cna S(n) đoi vói n = t + 1, thì
S(n) đúng vói MQI n ≥ k0.
Gia su khang đ%nh T (n) xác đ%nh vói MQI n ≥ t0 . Đe chúng minh T (n)
đúng vói MQI n(n ≥ t0 ) bang quy nap, ta can thnc hi¾n hai bưóc.


a. Cơ so quy nap.
Thnc hi¾n bưóc này túc là ta thu xem sn đúng đan cna T (n) vói n = t0,
nghĩa là xét T (t0) có đúng hay không?
b. Quy nap.
Gia su khang đ%nh T (n) đã đúng vói n = t, (t ≥ t0 ) (ho¾c đoi vói MQI n,
(t0 ≤ n ≤ t)). Trên cơ so gia thiet này mà suy ra tính đúng đan cna T
(n) đoi vói n = t + 1, túc T (t + 1) đúng.
Neu ca hai bưóc trên đeu thoa mãn, thì theo ngun lý quy nap, T (n)
đúng vói MQI n ≥ t0 .
Ta xét m®t so bài tốn mà su dung phương pháp quy nap đe tìm so hang
tőng quát cna dãy so.
Bài toán 2.1. Xác đ%nh so hang tőng quát cna dãy so {un} cho boi h¾ thúc sau
u1 =

1

u

2

, un+1 =

1
2 −n

, ∀n ≥ 1.

Giai. Nh¾n thay m®t so so hang đau tiên là
u1 =

1
2
3
, u2 = , u3 =
·
2
3
4

Bang phương pháp quy nap ta chúng minh dãy so đã cho có so hang tőng quát
n

(2.1)

un =

, ∀n ≥ 1.

n+1
Th¾t v¾y, theo trên thì (2.1) đã đúng tói n =
3. Gia su (2.1) đúng tói n, khi đó
un+1 =
u

1
2 −n

=

1
n

=

n+1
n+2

·

2−

n+
1

V¾y (2.1) đúng vói n + 1 nên (2.1) đúng vói MQI n ∈ N∗ .
Bài tốn 2.2. Cho dãy {un} xác đ%nh boi công thúc
u1 = 5, u2 = 19, un = 5un−1 − 6un−2, n ∈ N∗, n ≥
3.

Tìm so hang tőng quát un.