Giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
--------------------

NGUYEN HUU CHỴNH

GIÂI TÍCH NGAU NHIÊN ĐOI VéI CÁC
Q TRèNH Cể BộC NHY

LUắN VN THAC S KHOA HOC

H Nđi 2013


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
--------------------

NGUYEN HUU CHỴNH

GIÂI TÍCH NGAU NHIÊN ĐOI VéI CÁC
Q TRÌNH CĨ BƯéC NHÂY

Chun ngành: LÍ THUYET XÁC SUAT-THONG KÊ TỐN HOC
Mã so: 60.46.15

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯŐI HƯŐNG DAN KHOA HOC:
PGS.TS.Tran Hùng Thao

Lèi nói đau
Giai tích ngau nhiên truyen thong nghiên cúu ve vi phân ngau nhiên, tích phân
ngau nhiên Itơ và ỳng dnng oi vúi cỏc hắ đng lnc chi phoi boi chuyen đ®ng
Brown.
Cùng sn phát trien nghiên cúu úng dnng, ngưịi ta nh¾n thay giai tích ngau
nhiên Itơ khơng đu nghiờn cỳu cỏc hắ đng lnc mụ ta v chi phoi boi các q
trình có bưóc nhay. Nhieu q trình trong thnc te khơng liên tnc theo thịi gian
mà có bien đoi theo kieu nhay b¾c, thí dn như giá bat đng san hoắc giỏ cua cỏc
ti san c so nào đó. Q trình Poisson và Poisson phúc hop là các ví dn rat pho
bien dùng trong ky thu¾t và trong kinh te tài chính, đó là nhung q trình có
bưóc nhay. Do đó hình thành nghiên cúu ve giai tích ngau nhiên đoi vói các
q trình có bưóc nhay. Trên the giói, giai tích ngau nhiên đoi vói các q
trình có bưóc nhay đã đưoc nghiên cúu manh vào khoang cuoi the ký 20, vói
các tác gia như R.S.Bass, R.Cont và P.Tankov vói nhieu úng dnng trong kinh te,
tài chính và trong ky thu¾t. Chính kha năng úng dnng thnc te to lón cua lý thuyet
này là lý do tụi cHQN ú l nđi dung nghiờn cỳu cua luắn văn này.
Lu¾n văn này đe c¾p các van đe cơ ban cua giai tích ngau nhiên đoi vói các
q trình có bưóc nhay, như tích phân ngau nhiên, cơng thúc đoi bien Itơ, đ%nh lý
Girsanov, cùng các q trình có bưóc nhay quan

TRQNG

là q trình Poisson, q

trình Lévy,... Các tài li¾u cơ ban đe chuan b% cho lu¾n văn này là ba tài li¾u quan
TRQNG

cua Bass, Cont và cuon sách ve tích phân ngau nhiên và phương trình vi

ii


phân ngau nhiên cua tác gia Philip Protter.
Lu¾n văn gom 3 chương:
Chương 1: Các kien thÉc chuan b%
Chương 2: Tích phân ngau nhiên đoi véi q trình có bưéc nhay
Chương 3: Các van đe liên quan


Mnc lnc
Lèi cam ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lèi nói đau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i
ii

Chương 1. Các kien thÉc chuan b% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
....
1.1.Quá trình ngau nhiên và các quy đao cadlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.Quá trình đo đưec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....

3

1.2.1. Đ%nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..

1.2.2. Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.

3

1.3.Q trình thích nghi véi b® LQC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.

3

1.4.Thèi điem dÈng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.

4

1.4.1. Mo đau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
1.4.2. Nđi dung trnc quan cua khỏi niắm "Thòi điem dùng" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5.Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..

6

1.6.Phân tích Doob-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.

7

1.7.Q trình kha đốn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.

7

1.8.Thèi điem dÈng kha đoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3

5


1.9.Semimartingales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Chương 2. Tích phân ngau nhiên đoi véi q trình có bưéc nhay . . . . . . . . .

9
11

2.1.Bien phân bắc hai cua mđt quỏ trỡnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
.
2.1.1. Đ%nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..

12

2.1.2. Tính chat cua bien phân b¾c hai.............................................................................. 13
2.1.3. Bien phõn bắc hai cua mđt so quỏ trỡnh..................................................................13

2.2. Bien phõn b¾c hai và martingale...............................................................13
2.3. Bien phân b¾c hai và semimartingale.......................................................14
2.4. Tích phân ngau nhiên đoi véi q trình có bưéc nhay........................16
2.5. Cơng thÉc Itơ đoi véi q trình có bưéc nhay......................................19
2.5.1. Cơng thúc Itơ cho các q trình có bưóc nhay huu han............................................20
2.5.2. Cơng thúc Itơ cho q trình khuech tán có bưóc nhay.............................................22
2.5.3. H¾ qua cua cơng thúc Itơ.........................................................................................24

Chương 3. Các van đe liên quan............................................................................26
3.1. Công thÉc Itô đoi véi các q trình semimartingale và

semimartingale mũ có bưéc nhay...........................................................26
3.1.1. Cơng thúc Itơ đoi vói q trình semimartingale có bưóc nhay.................................26
3.1.2. Cơng thúc Itơ đoi vói q trình semimartingale mũ.................................................29

3.2. Đ%nh lý Girsanov đoi véi các q trình có bưéc nhay............................ 31
3.2.1. Đ® đo xác suat tương đương....................................................................................31
3.2.2. P-martingale............................................................................................................. 31
3.2.3. Đ%nh lý Girsanov đoi vói các q trình có bưóc nhay............................................32

3.3. Quá trình Poisson........................................................................................35
3.3.1. Đ%nh nghĩa quá trình Poisson................................................................................. 35
3.3.2. Q trình Poisson đoi TRQNG....................................................................................36
3.3.3. Đ® đo ngau nhiên và các q trình điem................................................................. 37
3.3.4. Đ® đo ngau nhiên Poisson....................................................................................... 38
3.3.5. Đ® đo ngau nhiên Poisson đoi TRQNG.....................................................................39
3.3.6. Tích phân ngau nhiên đoi vói đ® đo ngau nhiên Poisson........................................39

3.4. Q trình Lévy............................................................................................ 42
3.4.1. Mo đau......................................................................................................................42
3.4.2. Các bưóc nhay cua q trình Lévy...........................................................................44


3.4.3. Q trình Lévy là m®t semimartingale....................................................................49
3.4.4. Bieu thúc phân tớch mđt quỏ trỡnh Lộvy v cụng thỳc Lộvy-Khintchin..................52

Ket luắn.................................................................................................54


Chương 1

Các kien thÉc chuan b%
Chương 1 trình bày các kien thúc chuan b% cho Lu¾n văn, bao gom các đ
%nh nghĩa ve các q trình: đo đưac, thích nghi, q trình ngau nhiên, q trình
khá đốn, q trình semimartingale, q trình bưác nháy; thài điem dùng khá
đốn, martingale, martingale trên, martingale dưái và phân tích Doob-Meyer.

Cho (Ω, F, P) là m®t khơng gian xác suat.

1.1. Q trình ngau nhiên và các quy đao cadlag
Đoi tưong nghiên cúu cua quá trình ngau nhiên là

HQ

các bien ngau nhiên phn

thu®c tham so t ∈ T nào đó.

X =vơ {X
t ∈đó.T}
hàm
vói tham
bien thì
t ∈
Gia kí
suhi¾u
T là t¾p
hant, nào
Neulàvói
mőingau
t ∈ Tnhiên
, Xt là bien
ngau nhiờn
ta T .
ã Neu T l tắp em oc thỡ ta GQI X = {Xt, t ∈ T} là quá trình ngau nhiên vói
tham so rịi rac.

• Neu T = N thì ta GQI X = {Xn, n ∈ T} là dãy bien ngau nhiên.

1


ã Neu
mđt
trong
tắp
sau: (, +) , [a;+) , (, b] , (a, b]
, [a, Tb]thu®c

, (a, b]
, (a,
b) các
thì ta
GQI X = {Xt, t ∈ T} là q trình ngau nhiên
vói tham so liên tnc.
d
• Neu
thìhàm
ta GQI
X =f {X
t ∈ T}
là nghĩa
trưịngnhư
ngau
nhiên.
Ta Tse⊂xétRcác
cadlag
(t)t,đưoc
đ%nh
sau.

Vói mői ω, ta xét m®t quy đao f (t) = Xω (t) cua quá trình ngau nhiên X (t).
Đ%nh nghĩa 1.1. Hàm cadlag
: [0,
] →t ∈Rd[0,
đưac
cadlag
trái,Hàm
nghĩaf là

váiTmői
T ] GQI
các là
giái
han neu nó liên tnc phái có giái han
f (t−) =

lim f (s); f (t+) = lim f (s)

s

t

s

→t,s<

t

(1.1)

→t,s>

ton tai và f (t) = f (t+).
Hien nhiên, MQI hàm liên tnc là cadlag song đieu ngưoc lai không đúng. Neu t
là điem khơng liên tnc, ta ký hi¾u
Of (t) = f (t) − f (t−)

(1.2)

là "cõ bưóc nhay" cua f o t.
T
là là
giá tr% sau bưóc nhay f = 1[T0 ,TT) (t).
Trong trưịng hop
0 đưoc
này
Ví dnđ%nh
hàmnghĩa
cadlag
0 , giá tr% cua nó o thịi
−
+ hàm có bưóc nhay o thịi điem
điem f (T0 ) = 0, f (T ) = 1 và Of (T0) = 1. Tong quát hơn, cho hàm liên tnc g
: [0, T ] →
0 fi, i = 0, 1,..., n− 1; t = 0 ≤ t ≤ ... ≤ tn = T , thì hàm dưói đây
R và các hang so
0
1
là hàm cadlag
n
1

f (t) = g(t) +

−

fi1[ti,ti+1].

∑

(1.3)

i=0

hi¾n
o ti , ig ≥
1 vói
f (ti)như
= là
fi −
fi−1phan
. Khơng
MQI hàm cadlag đeu có
khai Hàm
đưoc
giai∆thích
thành
liên phai
tnc cua
f , các bưóc nhay cua
f xuat trien thành thành phan liên tnc và thành phan bưóc nhay.


1.2. Q trình đo đưec
1.2.1. Đ%nh nghĩa
trình ngau
: (X
0) có
đưoc

GQI là đo đưoc neu nó đo đưoc
t , t ≥đó
đoiM®t
vói q
σ -trưịng
tích nhiên
BR+ ⊗XF
. Đieu
nghĩa
là, vói MQI t¾p B ∈ BR+ ⊗
F , t¾p
hop:
{(t, ω) : X (t, ω) ∈ B}
thu®c ve σ -trưịng tích BR+ ⊗ F . Đó là σ -trưịng nho nhat chúa các t¾p có dang
[0, t] × A vói t ∈ R+, A ∈ F.

1.2.2. Chú ý
a)

MQI quá trình liên tnc là đo đưoc.

b) Neu X là m®t q trình đo đưoc
thì MQI quy đao cua nó Xω (t) đeu là
nhung hàm thnc Borel trên R+.

1.3. Q trình thích nghi véi b® LQC
a)M®t HQ các σ -trưịng con Ft ⊂ F đưoc GQI là m®t bđ LQC thoa món cỏc ieu
kiắn thụng thũng neu:
ii)
HQ

ú l liên tnc phai, túc là Ft =
Ft+ε. i)Đó là m®t HQ tăng, túc là FsT⊂ Ft
neu s < t.
ε 0
>

t¾p P-bo qua đưoc A ∈ F đeu chúa trong F0 (do đó nam trong
Ft ).

III)MQI

MQI


t
b)Cho m®t q trình ngau nhiên X : (Xt, t ≥ 0). Xét HQ σ -trưòng F X sinh
boi
bien ngau nhiên Xt (ω), túc là F X = σ (Xs , 0 ≤ s ≤ t). Khi đó HQ (F X , t ≥ 0)
t

t

đưoc GQI là b® LQC tn nhiên cua quá trình X , hay l%ch su cua X .
c)Cho m®t b® LQC bat kỳ (Ft, t ∈ R+) trên (Ω, F ). M®t q trình Y đưoc GQI là
thích nghi vói b® LQC này neu vói MQI t, Yt là đo đưoc vói σ -trưịng Ft .
X
MQI quá trình X = (Xt , t ∈ R+ ) là thích nghi vói l%chX su cua nó
+ (F , t ∈
R+ ). d)Cho m®t q trình
X vói l%ch su

cua
nó
là
(F
,
t
∈
R
).
M®t
q
trình Y bat kỳ là thích nghi vói l%ch su (F X ) cua quá trình X neu vàt chi neu Yt
(ω) có the
bieu dien đưoc dưói dang
t
t

Yt (ω) = ft (Xs1 (ω), Xs2 (ω),...),
trong đó s1, s2, ... là m®t dãy các phan tu trên đoan [0, t] (phn thu®c vo t) v
ft
l mđt hm Borel thnc trờn R ì (cũng phn thu®c vào t). Đó là theo tiêu chuan
co đien cua Doob ve tính đo đưoc.
N

Như v¾y, neu q trình Y thích nghi vói l%ch su (FtX ) cua X thì khi đó vói MQI
t và vói MQI ω, muon biet giá tr% cua Yt tai điem ω, chi can biet quy đao tương
úng
s −→ X (s, ω)

và thnc ra, chi can biet các han che cua quy đao này trên đoan [0, t] .

1.4. Thèi điem dÈng
1.4.1. Me đau
xét m®t khơng gian xác suat (Ω, F , P), trên đó ta co đ%nh m®t
b®Ta
LQCvan
(Fln
t )t∈R+ . Khi ta nói m®t q trình là thích nghi, ta ln hieu rang q
trình đó thích nghi vói b® LQC (Ft ) đã cho.


a)Cho T là m®t ánh xa Ω −→ [0, ∞] . Muon cho T là m®t bien ngau nhiên (lay giá
tr% so), đieu ki¾n can và đu là: vói MQI so thnc t ≥ 0, ta phai có {T < t} ∈ F .
b)Trong trưòng hop T còn thoa mãn đieu ki¾n ch¾t hơn sau đây
{T < t} ∈ Ft vói MQI t ≥ 0
thì ta nói rang T là m®t thịi điem dùng.

1.4.2. N®i dung trEc quan cua khái niắm "Thối iem dẩng"
a)Ta
cHQN
bđdựng
LQC (Ft ) l bđ LQC tn nhiên cua q trình ngau nhiên X . Khi đó
thịi
điem
T có nghĩa là, vói MQI t ≥ 0, t¾p hop {T ≤ t} có the bieu
dien
dưói dang
{T ≤ t} = {ω : (Xs1 (ω), Xs2 (ω),...) ∈ B},
trong đó s1, Ns2, ... là m®t dãy các phan tu trên đoan [0, t] v B l mđt tắp
Borel cua R ì . Nh vắy, muon biet mđt phan tu l thoa mãn h¾ thúc T

(ω) ≤ t hay là nó thoa mãn h¾ thúc đoi l¾p t < T (ω), ta chi can biet quy
đao
−→trình
X (s,X ω)
cua squá
, mà thnc ra chi can biet han che cua quy đao này trên đoan

[0, t] .
b)Tro lai trưịng hop chung vói Ft là m®t b® LQC tùy ý, gia thiet rang T là m®t
thịi điem dùng và Y là m®t q trình liên tnc thích nghi cho trưóc. Khi đó ta
có the đ%nh nghĩa m®t q trình mói Z bang cách
 Y (t, ω) neu t < T (ω)

Z(t, ω) =
hay viet cách khác Z(t, ω) = Y (T (ω) ∧t, ω).
trình
Có
thetachúng
q
Z(ω),
van
cịn
là Yliên
thíchngau
nghi.
Ta nói
Y (T
neu
ttai
>tnc

T
rang,
nh¾n minh
đưoc Zrang
bang
cách
dùng
qω)
trình
thịivàđiem
nhiên
T
và ký hi¾u là Y |T : Z = Y |T .


c)

Vói MQI t ∈ [0, ∞] thì hang so t (xem như m®t ánh xa Ω −→ [0, ∞] là mđt thũi
iem dựng.
d)Thũi iem au tiờn i vo mđt tắp hop.
+ là m®t b® LQC liên tnc phai và cho X l mđt quỏ trỡnh ngau
Cho
t )tR
nhiờn(F
liờn
tnc phai.
Cho mđt tắp mo U cua R và đ¾t

.
T (ω) = inf t ∈ R+ : X (t, ω) ∈ U

Σ
trong đó qui ưóc inf∅ = ∞.
Ta chú ý rang
[

T{< t} =

{Xs ∈ U} ∈ Ft.
ss∈Q
+

Do đó T là m®t thịi điem dùng. Thnc ra cú the lay U l mđt tắp Borel bat kì
cua R.

1.5. Martingale
Đ%nh nghĩa 1.2. Quá trình cadlag (Xt )t∈[0,T ] đưac GQI là martingale neu:
i) Xt là thích nghi vái Ft.
ii) E [| Xt |] < ∞, ∀t ∈ [0, T ] .
iii) E [Xs | Ft ] = Xt, ∀s > t.
Neu (Mt )t∈[0,T ] là martingale và T1, T2 là các thịi điem dùng thích nghi, vói
T ≥ T2 ≥ T1 ≥ 0 h.c.c thì


E [MT2 | FT1 ] = MT1 .
(1.4)
Đ%nh
1.3.thài
Quá
trình

(Xt(T
)t∈[0,T
đưac GQI là martingale đ%a phương neu
ton tainghĩa
dãy các
điem
dùng
n ) vái] Tn → ∞ (h.c.c) sao cho (Xt∧Tn )t∈[0,T ] là
mar- tingale.


1.6. Phân tích Doob-Meyer
Đ%nh nghĩa 1.4. Q trình cadlag (Xt )t∈[0,T ] đưac GQI là martingale trên neu:
i) Xt là thích nghi vái Ft.
ii) E [| Xt |] < ∞, ∀t ∈ [0, T ] .
iii) E [Xs | Ft ] ≤ Xt, ∀s > t.
Đ%nh nghĩa 1.5. Quá trình cadlag (Xt )t∈[0,T ] đưac GQI là martingale dưái neu:
i) Xt là thích nghi vái Ft.
ii) E [| Xt |] < ∞, ∀t ∈ [0, T ] .
iii) E [Xs | Ft ] ≥ Xt, ∀s > t.
Ta nhac lai ket quá sau đây đưac GQI là phân tích Doob-Meyer:
Giá su Xt là martingale trên vái các quy đao liên tnc phái có giái han trái và
martingale
tăng
đốn At sao cho Xt = Mt −A t . Khai trien này
t và q
t¾p hap cácMbien
ngautrình
nhiên
{Xkhá

T : T là thài điem dùng} là khá tích đeu. Ton tai
là duy nhat.

1.7. Q trình kha đốn
Đ%nh nghĩa 1.6.
1) σ-đai so các t¾p hồn tồn đo đưac trên [0, T ] × Ω.
Đó là σ -đai so O các t¾p con nhó nhat cua [0, T ] × Ω mà đoi vái nó, MQI q
trình liên tnc phái và có giái han trái là đo đưac.
2)Neu X = (Xt (ω))t∈[0,T ] là ánh xa đo đưac tù [0, T ] × Ω vào (R, BR) thì ta nói
X là q trình hồn tồn đo đưac.


3) σ-đai so khá đốn trên [0, T ] × .
ú
P cỏc
cua
tnc l
trỏi-ai
thớchso
nghi
trờn tắp
[0, Tcon
]ì
.[0, T ] ì sinh bái các quá trình liên
4)Ánh xa X : [0, T ] × Ω → Rd đo đưac đoi vái P đưac GQI là q trình khá đốn
Tù đ%nh nghĩa ta thay tat ca các q trình kha đốn đưoc "sinh" tù các q trình
liên tnc trái, tuy nhiên có q trình kha đốn khơng liên tnc trái. Ta có chú ý sau:
Cadlag (liên tnc phai)+ tương thích =⇒ Hồn tồn đo đươc
Caglad (liên tnc trái)+ tương thích =⇒ Kha đốn.
Đ%nh nghĩa 1.7. (σ -trưàng kha đốn)

Cho (Ft ) là b® LQC đay đu liên tnc phái. Chúng ta đ%nh nghĩa σ -trưàng khá đốn
P là σ-trưàng trên Ω × [0, ∞) đưac sinh ra bái tat cá các quá trình có dang
H(ω, s) =

n

∑

Ki(ω)1(ai,bi](s),

(1.5)

i=1

á đó Ki là Fai -đo đưac và b% ch¾n. Q trình đo đưac đoi vái P đưac GQI là khá
đốn. M®t đieu có the thay rang các quá trình liên tnc trái (là các quá trình mà
quy đao cua chúng liên tnc trái), là đo đưac đoi vái P.
Neu Xt là quá trình liên tnc phái có giái han trái, chúng ta đ¾t
Xt− = s→
lim Xs, OXt = Xt −Xt−.
ts
Bái v¾y OXt là cã bưác nháy cua Xt tai thài điem t.

1.8. Thèi điem dÈng kha đốn
tăng
tói T ta
vóiGQI
Tnthịi
< Tđiem

trên dùng
t¾p (TTví neu
dn làton
T=
: Bt điem
= 1},dùng
o đó
Bt Chúng
khaM®t
đốn
tai inf{t
dãy thịi
Tn


là chuyen đ®ng Brown, trong trưịng hop này chúng ta có the lay Tn = inf{t : Bt =
1
1 − }.
nS, ta có P(T = S) = 0. M®t ví dn là T = inf{t : P = 1}, o đây P là q
đốn
t điem
trình Thịi điem dùng T là hồn tồn khơng đat đưoc tneu vói MQI thịi
dùng kha thay rang S ∧ M là kha đoán. Neu chúng ta chúng minh đưoc P(T =
S ∧ M) = 0 Poisson. Đe thay đieu này, gia su S là kha đốn. Cho M là so tn
nhiên lón tùy ý. De
vói MQI M thì P(S = T ) = 0. Boi v¾y ta có the gia su S b% ch¾n. Lay Sn tăng tói S.
Chú ý rang

 0 neu t < T

P boi
= v¾y
 1bang
Q trình Pt − t là martingale,
neu tcách
= cHQN thòi điem dùng
t



E(PSn∧T ) = E(Sn ∧T ) ↑ E(S ∧T ) = E(PS∧T ) = P(S ≥ T ).
M¾t
khác
n∧T
) và do
đó E(P
P(S S=
T)) =
= P(S
0. n ≥ T ) −→ P(S > T ). Boi v¾y P(S > T ) = P(S ≥ T
Chú ý rang neu T là kha đốn thì 1[0,T (ω)) = lim 1[0,Tn(ω)]. Nhưng 1[0,Tn(ω)] là q
trình liên tnc trái, do đó P đo đưoc.

1.9. Semimartingales
đ%nh
là m®tgiói
q trình
dang[0,
Xt =t]X0vói
+ Mmői

t+
At Ta
, quy
đaonghĩa
cuam®t
nósemimartingale
có bien phân
n®i cótrên
t. o đó X0 là huu han, Mt là m®t martingale đ%a phương và At là m®t q trình
mà
Ngưịi ta đã chúng minh đưoc rang
A)

MQI quá trình bien phân huu han là semimartingale.

B)

MQI martingale bình phương kha tích là semimartingale.


Nh¾n xét:

MQI

to hop tuyen tính cua huu han các semimartingale là semimartin-

gale. Tù nh¾n xét này và 2 ví dn trên cho phép ta ket lu¾n các q trình dưói đây
là semimartingale:
+)Quá trình Wiener (vì quá trình này ban thân đã là martingale. Hơn nua nó
cũng là martingale bình phương kha tích).

+)Q trình Poisson (vì nó là q trình bien phân huu han).
+)Q trình Lévy (vì q trình Lévy có the phân tích thành tong cua martingale
bình phương kha tích và quá trình bien phân huu han).


Chương 2

Tích phân ngau nhiên đoi véi
q trình có bưéc nhay
Chương này nham xây dnng tích phân ngau nhiên đoi vái các q trình có bưác
nháy và các cơng thúc đői bien kieu Itơ cho q trình có bưác nháy huu han và
q trình khuech tán có bưác nháy.
Trưác het q trình ngau nhiên có bưác nháy là q trình X (t, ω) mà các quy đao
cua nó là các hàm so cua t có gián đoan loai 1, vái các bưác nháy có cã là

∆Xt = Xt −Xt−.
Ta can nghiên cúu q trình này bái vì
• Nhieu q trình trong thnc te không liên tnc theo thài gian mà có bien đői
theo kieu nháy b¾c, thí dn như giá bat đng sỏn hoắc giỏ cua cỏc ti sỏn c
sỏ nào đó. Q trình Poisson và Poisson phúc hap là các ví dn rat phő bien
dùng trong ky thu¾t và trong kinh te tài chính, đó là nhung q trình có bưác
nháy.
• Ta chú ý rang trong mơ hình Black-Scholes vái giá chúng khốn St thóa mãn


hắ thỳc
dSt =St (àdt + dWt )
hoắc St

.à

2
2

t+Wt

.

thỡ quỏ trỡnh St này là liên tnc và không phán ánh đưac MQI tính chat cua th%
trưàng, vì th% trưàng có the có nhung bien đ®ng đ®t ng®t (có bưác nháy).
Trưóc tiên ta nhac lai mđt so khỏi niắm v ket qua ve bien phân b¾c hai.

2.1. Bien phân b¾c hai cua m®t q trình
2.1.1. Đ%nh nghĩa
a) Cho
∈ [0,q
T ]trình
là m®t
q
trìnhxác
liênđ%nh
tnc. Bien
[0, TX]t,lt mđt
ngau
nhiờn
boi phõn bắc hai [X ]t , t
[X ]0 = 0
[X ]t − [X ]s =

n−1

lim

∑

.

Xtk+1 −Xtk Σ 2

(2.1)

|O|→0

k=0 chan, vói MQI phân hoach
neu như giói han o ve phai ton tai hau chac

D : s = t0 < t1 < · · · < tn = t,

b)

khi bán kính | O |= max | tk+1 −tk | dan tói 0.
Bien phân b¾c hai cua hai q trình Xt và Yt đưoc đ%nh nghĩa tương tn
[X,Y ]0 = 0
n−1

[X,Y ]t − [X,Y ]s = lim
Σ.
Σ
Ytk+1 −Ytk
|O|→0 k=0

neu giói han phai ton tai hau chac chan.

∑
(2.2)

.

Xtk+1 − Xtk


2.1.2. Tính chat cua bien phân b¾c hai
i) [X, X ]t = [X ]t ≥ 0.
ii) Tính đoi xúng: [X,Y ] = [Y, X ] .

iii) Song tuyen tính: [a1X1 + a2X2,Y ] = a1 [X1,Y ] + a2 [X2,Y ] .

2.1.3. Bien phõn bắc hai cua mđt so quỏ trình
a)

Neu Bt là m®t chuyen đ®ng Brown thì [B]t − [B]s = t −s, nói riêng [B]t = t.

b)

Neu Bt v BtJ l cỏc chuyen đng Brown đc lắp thỡ [B, BJ]t = 0 vói MQI t.

c)

Neu Xt =

t

t

∫
0

t

f (r)dBr và Yt =

∫
0

g(r)dBr vói s co đ%nh thì [X,Y ]t =

∫
0

f

(r).g(r)dr.
d)

∫t

t

Neu Xt = 0 f (r)dBr và Yt = 0 g(r)dBJr, trong đó B và BJ là hai chuyen đ®ng
∫

Brown đc lắp thỡ [X,Y ]t = 0.
e) Neu
Xt l liờn
mđttnc,
semimartingale
tnc,
tỳccúlbien
Xt phân
= Mb%
At vói
t + ch¾n
martingale
At là q trìnhliên
thích
nghi
thìM
[Xt là
]t
ton tai và [X ]t = [M]t .

2.2. Bien phân b¾c hai và martingale
Neu a(t) là hàm tat đ%nh có bien phân b% ch¾n và {0 = s0 ≤ s1 ≤ · · · ≤ sn = t}
là m®t phân hoach cua [0, t], ta kí hi¾u
Σ
n .
n
a(t )2 = ∑ a s 2 a s
2 (= ∑ a s
( i−1)

( i)
i=1
i=1 ( i)
n

−

+

a s
(

i−1))(

a s

as

( i) − (

i−1))


=

i=1

∑

(2a(si−1) + a(si) −a(si−1))(a(si) −a(si−1))

Cho qua giói han ta đưoc
∫t

a(t)2 =

0

∫t

(2a(s−) + Oa(s)) da(s) =
2

a(s−)da(s) +

s
(Oa(s))
∑

2

.

(2.3)

0

Neu Mt là martingale bình phương kha tích thì theo bat đang thúc Jensen Mt2 là
martingale dưói. Theo phân tích Doob-Meyer, ton tai q trình tăng kha đốn, kí

hi¾u (M)t , sao cho Mt2 −(M) t là martingale. Nó cho phép ta đ%nh nghĩa
[M]t = (Mc)t +

∑
s≤t

| OMs |2 .

Ő đây Mc là thành phan liên tnc cua martingale Mt .
M¾nh đe 2.1. Mt2 − [Mt ] là martingale.
ChÉng minh. Do tính trnc giao nên (M) = (Mc) + ∑ (Mi) . Do M2 − (M) là
t

t

i

t

t

t

martingale, ta chi can chúng minh rang [M]t −(M)t là martingale, ho¾c

∑i (Mi)t − ∑∑

| OMi(s) |2 là martingale.

i s

Tù (2.3), ta có

∫t

Mi(t)2 = 2

0

Mi(s−)dMs +

| OMi(s) |2 .
∑
s≤t

(2.4)

Bang cách xap xi boi tong Riemann và thnc te Mi là martingale nên ta de dàng
kiem tra đưoc tích phân trong ve phai cua (2.4) là martingale.
Boi v¾y M2(t) − ∑ | OMi(s) |2 là martingale. Do đó M2(t) −(Mi)t là martingale.
i

s≤t

i

2.3. Bien phân b¾c hai và semimartingale
Cho (Xt )t∈[0,T ] là q trình đưoc quan sát trên mang lưói thịi gian

Π = {t0 = 0 < t1 < ... < tn+1 = T}, bien phân b¾c 2 cua X đưoc đ%nh nghĩa như
sau:

∑

VX (Π) =

Σ2

.

(2.5)

1

.

Xt

−X t

i+

i

ti∈Π

Ta có
.
Xt

−

ti+

i

i+
1

Σ2

Xt

t

i

i

1

2

.
−X 2 − 2Xt Xt

=X2

T

2

i

i+
1

0

VX (Π) = X −X − 2

∑

ti∈ΠX

.

i

t

Xt

i+
1

Σ
−X t . Do đó

i

−X t

Σ

. (2.6)

Bây giị ta xét X là semimartingale vói X0 = 0. Do (Xt )t∈[0,T ] là quá trình liên
tnc phai có giói han trái và là q trình thích nghi nên có the đ%nh nghĩa q trình
X
(Xt−)t∈[0,T
tráitncó
giói
hanxác
phai).
ta chúng
minh đưoc các
− =Riemann
] (liên
tong
trong
(2.6)tnc
h®i
đeu
theo
suatNgưịi
đen bien
ngau nhiên
∫T

Xu−dXu,

[X, X ]t :=| XT |2 −2

(2.7)

0

là bien phân b¾c 2 cua X trên [0, T ]. Chú ý rang bien phân b¾c 2 là bien ngau
nhiên, khơng là so. Tù đó ta có đ%nh nghĩa:
GQI

Đ%nh nghĩa 2.2. Q trình bien phân b¾c 2 cua semimartingale X là q trình
cadlag thích nghi đ%nh nghĩa bái
T

∫

(2.8)
[X, X ]t :=| XT |2 −2 Xu−dXu
0Σ
.
n
n
n
n
Neu Π = t = 0 < t < ... < t = T là dãy các phân hoach cua [0, T ]
sao
0

n

n

cho | Π |= sup | t −t
k

k

n

1

k−1

n+1

|−→ 0 khi n → ∞ thì

.≤

0 t t

≤i

∑