Một số lớp phương trình tích phân dạng chập

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIấN

MđT SO LộP PHNG TRèNH
TCH PHN DANG CHắP
LUắN VN THAC SĨ TỐN HOC

HÀ N®I - 2015


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIấN

MđT SO LộP PHNG TRèNH
TCH PHN DANG CHắP

LUẳN VN THAC SĨ TOÁN HOC

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIAI
MÃ SO : 60 46 01 02

TÍCH

Ngưài thEc hi¾n: NGUYEN TH± HỒN
Cao HQC khóa 2013-2015
Ngưài hưáng dan: TS. NCVC. NGUYEN VĂN NGOC

HÀ N®I - 2015


Mnc lnc

Ma đau

2

1 Bien đoi Fourier và bài toán biên Riemann
3
1.1 M®t so kien thúc bő tro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1 Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2 Các bat đang thúc và các đ%nh lý ve tích phân . . . . . . .
4
1.1.3 Tích ch¾p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.4 Bien phân b% ch¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1
đői Fourier trong L (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Bien
1.2.1
Đ%nh nghĩa bien đői Fourier trong L1(R) . . . . . . . . . . . 8
1.2.2
Các tính chat cơ ban cna bien đői Fourier . . . . . . . . . . 9
Công thúc ngưoc trong L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3
1.3 Bien
đői Fourier trong L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Tích
phân Cauchy và tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1

Lóp hàm Holder C0,α.........................................................................15
1.4.2 Các lóp hàm {0} và {{0}} . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Giá tr% chính cna tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Hàm đeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Bài tốn biên Riemann đoi vói nua m¾t phang . . . . . . . . . . .
1.5.1 Chi so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Phát bieu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Bài tốn bưóc nhay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Bài toán thuan nhat. Hàm chính tac . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Bài tốn khơng thuan nhat . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

15
15
16
18
18
19
19
20
20
21
22


2 Mđt so lỏp phng trỡnh tớch phõn dang chắp trờn trnc thEc 24

2.1 Phng trỡnh tớch chắp LQAI mđt...................................................24
2.2 Phương trình tích ch¾p loai hai.....................................................26
2.3 Phương trình tích ch¾p trên nua truc (Wiener- Hopf)....................30
3 Phương trình c¾p tích phân dang ch¾p và Éng dnng
33
3.1 Phương trình c¾p tích phân vúi nhõn phu thuđc vo hiắu cỏc bien
so...........................................................................................................33
3.2 Phng trỡnh cắp tớch phõn vúi nhõn phu thuđc vo hiắu v tőng
các bien so......................................................................................35
3.3 Bài tốn biên hon hop đoi vói phương trình đa đieu hịa trong
nua m¾t phang...............................................................................38
3.3.1 Phương trình đa đieu hịa...................................................38
3.3.2 Bài tốn 1...........................................................................39
3.3.3 Bài tốn 2...........................................................................40
Ket lu¾n

42

Tài li¾u tham khao

43


Ma đau
Phương trình tích phân kỳ d% và phương trình tích phân dang ch¾p đã đưoc
xây dnng và phát trien rat manh me trong vòng nua the ky, tù năm 1920 đen
năm 1970. Các ket qua này gan lien vói tên tuői nhieu nhà toán HQc női tieng
như Noether, Muskhelishvili, Gakhov,Vekua,. . . Cùng song hành và tiep ngay
sau đó là sn ra đòi cna hàng loat các lý thuyet tốn tu kỳ d% trùu tưong trong
khơng gian tuyen tính tőng qt gan vói lý thuyet các phương trình tích phân

kỳ d% vói d%ch chuyen và liên hop phúc cũng như nhieu dang bài tốn biên khác.
Tai Vi¾t Nam, tù nhung năm 1980, đã có rat nhieu ngưịi quan tâm
đen lĩnh vnc các bài tốn biên Riemann, các phương trình tích phân kỳ d%
Cauchy, phương trình tích phân dang ch¾p và đã thu đưoc m®t so ket qua nhat
đ%nh. Tù đó, lý thuyet tốn tu và phương trình tích phân kỳ d% đã tro thành
m®t mang lón khá hap dan trong tốn HQc hi¾n đai o Vi¾t Nam . Tuy nhiên,
cho đen nay tài li¾u nghiên cúu sâu ve lĩnh vnc này van cịn rat ít, nhat là là các
phương trình tích phân dang ch¾p đ¾c bi¾t, như phương trình Wiener-Hopf,
phương trình c¾p tích phân, v.v.. Ngồi ra, vi¾c nghiên cúu còn cho ta thay
đưoc sn phong phú cna nhieu loai phương trình tích phân nói chung và phương
trình tích phân dang ch¾p nói riêng ve lý thuyet cũng như úng dung.
Xuat phát tù nhung lý do nêu trên, tôi đã cHQN đe tài "M®t so lóp phương
trình tích phân dang ch¾p " làm lu¾n văn cao HQc vói hy vQNG se tìm hieu sâu
hơn lý thuyet và úng dung cna các phương trình tích phân dang ch¾p.
Cau trúc lu¾n văn Lu¾n văn gom phan Mo đau, Ket lu¾n, Tài liắu tham
khao v 3 chng.
Chng 1 trỡnh by mđt so kien thúc bő tro, như tích ch¾p, bien đői
Fourier trong L1(R) và L2(R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier và bài tốn
biên Riemann đoi vói nua m¾t phang.
Chương 2 trình by mđt so lúp phng trỡnh tớch phõn dang chắp trên truc
1


thnc: phng trỡnh tớch chắp loai mđt, loai hai v phương trình tích ch¾p trên
nua truc (phương trình Wiener-Hopf). Đoi vói moi lóp phương trình đã đưa ra
ví du minh HQA.
Chương 3 trình bày ve phương trình c¾p tích phân dang ch¾p và úng
dung. Đã xét phương trình c¾p tích phõn vúi nhõn phu thuđc vo hiắu cỏc
bien so, phu thuđc vo hiắu v tng cỏc bien so. Trỡnh by úng dung cna
các phương trình c¾p nói trên giai bài tốn bien hon hop cna phương trình

đa đieu hịa trong nua m¾t phang.
Ban lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn
NGQc. Tơi bày to lịng biet ơn sâu sac tói Thay đã dành nhieu cơng súc và thịi
gian đe hưóng dan, kiem tra, giúp đõ tơi trong vi¾c hồn thành ban lu¾n văn
này.
Tơi xin gui lòi cam ơn đen lãnh đao và các thay, cơ trong khoa Tốn - Cơ
- Tin HQc, Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, ĐHQG Hà N®i ve các kien
thúc và nhung đieu tot đep mang lai cho tôi trong thịi gian hQc t¾p tai
trưịng. Tơi xin cam ơn tói Phịng Sau Đai HQc ve nhung đieu ki¾n thu¾n loi đã
dành cho tơi trong vi¾c hồn thành thn tuc HQc t¾p và bao v¾ lu¾n văn.
Cuoi cùng tơi bày to lịng biet ơn gia đình, ngưịi thân là cho dna ve tinh
than v vắt chat cho tụi trong cuđc song v trong HQc tắp.

H Nđi, thỏng 11 nm 2015

Nguyen Th% Hoàn


Chương 1
Bien đoi Fourier và bài tốn biên
Riemann
Chương này trình by mđt so kien thỳc b tro, nh tớch chắp, bien đői
Fourier trong L1(R) và L2(R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier và bài tốn
biên Riemann đoi vói nua m¾t phang. N®i dung cna chương này đưoc hình
thành chn yeu tự cỏc ti liắu [1] v [3].

1.1
1.1.1

Mđt so kien thẫc bo tra

Khơng gian Lp

Vói p là so thnc: 1 ™ p < ∞, Ω ∈ Rn ta đ%nh nghĩa Lp (Ω) là lóp các hàm f (x)
xác đ%nh trên Ω, sao cho
Σ p1 < ∞, dx = dx1dx2 . . . dxn.
.
p
|f (x)|
dx
ǁfǁp = ∫Ω
So ǁf ǁp đưoc gQI là chuan cna hàm f (x).
Lp (Ω) là m®t khơng gian Banach. ắc biắt, L2() l mđt khụng gian
Hilbert vúi tớch vơ hưóng
∫
(f, g) = f (x)g(x)dx,
Ω

trong đó g(x) là liên hop phúc cna g(x).
Hàm xác đ%nh trên Ω đưoc GQI là chn yeu b% ch¾n trên Ω, neu ton tai hang so
dương C , sao cho |f (x)| ™ C hau khap nơi trên Ω. C¾n dưói lón nhat cna f
(x) đưoc ký hi¾u là ess supx∈Ω |f (x)|.
Ta ký hi¾u L∞(Ω) là khơng gian cna tat ca các hàm chn yeu b% ch¾n trên Ω.


Chuan trong L∞(Ω) đưoc xác đ%nh theo công thúc
ǁf ǁ∞ = esssupx∈Ω |f (x)|

, trong đó sup lay trên tat ca các phân hoach đơn v% cna [a, b].
Dưói đây là m¾nh đe quan TRQNG ve sn trù m¾t trong Lp .
Đ%nh lý 1.1. (ve sn trù m¾t)

(i) Neu khoang (a, b) là huu han thì các láp hàm sau đây se trù m¾t khap nơi
trong Lp(a, b):
M−láp các hàm b% ch¾n,
C−láp các hàm liên tnc,
S−láp các hàm b¾c thang,
P−láp các đa thúc đai so,
T−láp các đa thúc lưang giác trù m¾t khap nơi trong Lp(−π, π).
(ii)Láp Sc cua tat ca các hàm b¾c thang trù m¾t trong Lp(−∞, ∞), (p “
1).

1.1.2

Các bat đang thÉc và các đ%nh lý ve tớch phõn

%nh lý 1.2 (bat ang thỳc Hoălder). Neu f ∈ Lp , g ∈ Lq , trong đó p, q “ 1,
thì
1

1
+ = 1.
p q

ǁf gǁ1 ™
ǁf ǁp ǁgǁq ,

Đ%nh lý 1.3 (bat đang thúc Minkowski). Neu p “ 1, thì
ǁf + gǁp ™ ǁfǁp + ǁgǁp.

Đ%nh lý 1.4 (Đ%nh lý Lebesgue). Gia su trên Ω cho dãy các hàm kha tőng
∞

{fk (x)}

h®i tn hau khap nơi đen hàm f (x). Neu ton tai hàm thnc F (x)

1

“

0, F (x) ∈ L (Ω), sao cho |fk(x)| ™ F (x), x ∈ Ω, ∀k thì f (x) ∈ L1(Ω)
1

và

lim

k→
∞

fk(x)dx =

∫
Ω

f (x) dx.

Đ%nh lý 1.5 (Đ%nh lý Fubini). Cho F (x, y) kha tích trên Ω1 × Ω2. Khi đó x →
∫ F (x, y)dy kha tích trên Ω , y ∫→ F (x, y)dx kha tích trên Ω . Ngồi ra
1

Ω2

∫

∫

∫

2

Ω1

∫

∫


dx
Ω1
Ω2

F (x, y) dy
=
Ω2

dy
Ω1

F (x, y) dx =
Ω1×Ω2

F (x, y) dxdy.


1.1.3

Tích ch¾p

Gia su f,g là các hàm đưoc xác đ%nh trong R. Hàm so h(x) = (f ∗ g)(x)
đưoc xác đ%nh boi công thúc
(1.1)

(f ∗ g)(x) = ∫ f (x − y)g(y)dy,
R

vói gia thiet tích phân trên ton tai hau khap nơi vói moi x ∈ R đưoc GQI là tích
ch¾p cna f và g. Tù (1.1) de dàng suy ra f ∗ g = g ∗ f.
Đ%nh lý 1.6. Neu f, g ∈ L1(R) thì f ∗ g ton tai hau khap nơi và f ∗ g ∈ L1(R).
Ngoài ra
||f ∗ g|| ≤ ||f ||1 ||g||1 .

Chúng minh. Theo Đ%nh lý Fubini ta có
∫ |f ∗ g|dx ≤ ∫ ∫ |f (x − y)g(y)|dydx =
R

∫ ∫
=

R

R

|f (x − y)|dx|g(y)|dy = ∫ |f (x)|dx ∫ |g(y)|dy = ||f ||1 ||g||1

R
Tù đó suy ra Rđpcm.

R

R

Đ%nh lý 1.7. Gia su 1 ≤ p ≤ ∞. Neu f ∈ Lp(R), g ∈ L1(R) thì f ∗ g ∈ Lp(R).
(1.2)

||f ∗ g||p ≤ ||f ||p ||g||1 .

Chúng minh. Trưòng hop p=1 đã đưoc chúng minh trong đ%nh lý 1.6. Xét
trưòng hop 1 < p < ∞ và 1/p+1/p’=1. Ta có
(1.3)

|(f ∗ g)(x)| ≤ ∫ |f (x − y)||g(y)|dy.
R

Vì |g(y)| = g(y)1/p+1/pj , theo bat đang thúc Holder ta có
p

∫ |f (x − y)||g(y)|dy ≤ (∫ |f (x − y)| |g(y)|

1/p
|g(y)|dy)

.
R

dy) (∫
1/p

Do đó

R

R

p

∫ |f ∗ g| dx ≤ ∫

p/p

f (x y) p g(y) dydx g
∫ |R
− | |
|
||

R
R

Su dung đ%nh lý Fubini, ta có

||

J

1

.


J

p
||f ∗ g||
= ∫ |f ∗ g|pdx ≤ ∫ ∫
p

p/p
p
|f (x − y)|
|g(y)|dydx||g||
1

R
R

= ∫ |f (x − y)|
p
dx ∫

p/p

J

p
|g(y)|dy||g||
p||g||1 .
1 = ||f|| p

R

R

Tù đó suy ra (1.2) Neu p = ∞, theo (1.3), ta có
|f ∗ g(x)| ≤ ||f ||∞ |g(y)|dy = ||f ||∞ ||g||1 .
∫

Như
v¾y

||f ∗ g||∞ ≤ ||f ||∞ ||g||1 .

Đ%nh lý đưoc chúng
minh
Ta can đ%nh lý sau
Đ%nh lý 1.8. Gia su f (x) ∈ L1/(1−λ) (E), g(x) ∈ L1/(1−µ) (E) trong đó λ > 0, µ >
0, λ + µ < 1. Khi đó
| ∫ fgdx| ≤ (∫ |f |1/(1−λ) |g|1−(1−µ) dx)1−µ−λ
E
E

∫

∫
(

E

|f |1/(1−λ) )µ (

|g|1/(1−µ) )λ .

(1.4)

E

Chúng minh. Bat đang thúc Holder cho ba hàm se là
| ∫ ΦψXdx| ≤ (∫ |φ|1/α dx)α (∫ |ψ|1/β dx)β (∫ |X|1/γ dx)γ ,
E

E

E

trong đó α + β + γ = 1, αE> 0, β > 0, γ > 0. Đe cú bat ang thỳc trờn ta ắt
= à, = λ, α = 1 − (µ + λ)
α/(α+β) γ/(γ+α)

|φ| = |f|

β/(β+α)

γ/γ+α

g
, |ψ| = |f|
, |X| = |g|
.
Rõ ràng α + β + γ = 1, |φψX| = |fg|. Tù đó suy ra đieu phai chúng minh.

Đ%nh lý 1.9. (Bat đang thúc Young ve tích ch¾p). Gia su f và g thóa mãn các
đieu ki¾n cua Đ%nh lý 1.7. Khi đó
||f ∗ g||1/1−λ−µ ≤ ||f ||1/(1−λ) ||g||1/(1−µ) .

(1.5)


ChÉng minh: Theo bat đang thúc Young ve tích phân ta có
|(f ∗ g)(x)| ≤ . ∫
×.||f
||1/
(1−λ)

|f (x − y)|1/(1−λ) |g(y)|1/(1−µ) dy Σ
R
d

Σµ/
(1−λ) .

||

||1/
g(1−µ)

Σλ/(1−µ)
.


Do
đó

∫R |(f ∗ g)(x)|1/(1−λ−µ) ≤ ∫ |f (x − y)|1/(1−λ) dx
d

|g(y)|1/(1à) dy



R

R

ì.||f ||1/

||1/

à/(1)
(1à) .

(1)

(1à)

/(1à)(1à)
.

||
g

= .||f ||1/1 1/

||g||

(1à) .

Suy ra

1/(1à)
.

/1à

||f g||1/(1à) ||f ||1/(1) ||g||1/(1à)

Chỳ ý: Neu ắt
1

p=

1

thỡ cụng thỳc (1.5) có
dang
||f ∗
g||

1

≥ 1, pJ =
1−
µ

≥ 1, r =
1−λ−µ

1

1
≤ ||f || ||g||J , 1 ≤ p, pJ <1∞,
+
r

p
p

p

1 1
− 1.
≥ 1, = 1 +
pJ

r p pJ

.

(1.6)

Đ%nh lý đưoc chúng minh

1.1.4

Bien phân b% ch¾n

Đ%nh nghĩa 1.1. Cho f là hàm so ( thnc ho¾c phúc ) xác đ%nh trên
đoan [a, b]. Gia su p = {x0 , x1 , . . . , xn } là m®t phân hoach cua đoan
[a, b], nghĩa là a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Hàm so f (x) đưac GQI là
có bien phân b% ch¾n trên đoan [a, b], neu
V (f ) = V (f
) = sup
a

Σ
n

b

p

|f (xi ) − f (xi−1 )| < ∞.

i=1

∗ Ví dn ve bien phân b% ch¾n

1) Neu f (x) là hàm thnc đơn đi¾u trên [a, b], thìa V b (f ) = |f (b) − f (a)|.
2) Neu |f j (x)| ™ M, ∀x ∈ [a, b] thì
V b (f ) ™ M (b − a).
a


3) Neu
∫ x f là hàm liên tuc tuy¾t đoi trên [a, b], nghĩa là có dang f (x) = c +
g(t)dt, g ∈ L1(a, b), thì V b ™ ǁgǁ .
a

a

L1(a,b)

∗ Các tính chat cua hàm có bien phân b% ch¾n


1) Hàm nh¾n giá tr% phúc bien thnc f (x) có bien phân b% ch¾n trên [a,
b], khi và chi khi phan thnc và phan ao cna nó có bien phân b% ch¾n
trên [a, b].
b
2) Neu f (x) có bien phân b% ch¾n thì f (x) b% ch¾n: |f (x)| ≤ |f (a)|
a + V (f ).

3) Gia su f (x) là hàm so thnc. Hàm f (x) có bien phân b% ch¾n trên [a,
b] khi và chi khi nó là hi¾u hàm đơn đi¾u tăng và b% ch¾n trên [a, b]:

f (x) = g(x) − h(x).

1.2

Bien đoi Fourier trong L1(R)

1.2.1 Đ%nh nghĩa bien đoi Fourier trong L1(R)
Đ%nh nghĩa 1.2. Vái f ∈ L1(R) ta đ%nh nghĩa bien đői Fourier cua hàm f là:
∫
ˆ

1 ∞

ixξ


f (ξ) = F [f ](ξ) =

√

−∞

và bien đői Fourier ngưac cua f là:


f (x)e

dx,
1
f˘(ξ) = F −

[f ](ξ) = √

∫∞ f

−ix
ξ

ξ ∈ R,

(1.7)

dx.

(1.8)

(x)
2π
−∞ e

Nh¾n xét rang vì f ∈ L1(R) và |e±iξ| = 1, nên các tích phân (1.7) và (1.8)
h®i tu ∀ξ ∈ R. Ngoài ra, giua bien đői Fourier và bien đői Fourier ngưoc có
quan h¾ sau:
1
1
˘

ˆ

−1

f (ξ) = √

2π

f (−ξ), F

[f (x)](ξ) = √
(−x)](ξ).

(1.9)

2π

F [f


Ví dn 1.1 (Hach Dirichlet). Xét bien đői Fourier cua hàm đ¾c trưng χ[−N,N ]
(x). Ta có:
1 ∫N
χˆ[−N,N ] (ξ) =
√
2π

−N

Hàm so DN
sau đây:

sin

Nξ
(x) =
ξ

=
eix dx
√
ξ
2π

1

2 sin
Nξ
ξ

.

đưac GQI là hach Dirichlet và có liên quan đen tích phân
∫∞

sin
λy
y

0

dy
=

π
signλ.
2


Ví dn 1.2 (Hach Poisson). Xét bien đői Fourier cua hàm so e−t|x|, t > 0. Ta có:
−t
2 ∞∫ e cos xξ dx.

1 ∫∞ e−t| eix
I=√
2π−∞

x|

ξ

dx = √
2π
0

x

Thnc hi¾n tính toán ta
đưac
1

2t

I=√

, t > 0.
2 + ξ2
t
2π
1 t
Hàm so P (x) =
, t > 0 đưac GQI là hach Poisson.
t
2
π t + x2

1.2.2

Các tính chat cơ ban cua bien đoi Fourier

Sau đây là m®t so tính chat cơ ban cna bien đői Fourier
1) Bien đői Fourier và bien đői Fourier ngưoc là hàm b% ch¾n trong R. Th¾t
v¾y, theo (1.7) ta có:
∫
ˆ

1

∞

1


|f (ξ)| ≤ √

2π

|f (x)| dx = √

2π

ǁf ǁ1 .


−∞

2) fˆ(ξ) = F [f ](ξ) là hàm liên tuc trong R. Th¾t v¾y, vói ξ, h ∈ R, ta có:
∫
ˆ

ˆ

1 ∞

ixξ

ixh


−∞

|f (ξ + h) − f (ξ)| ≤
2

∫

∞

|f
||e
(x
)||
e

2


− 1| dx

™√

2π

|f (x)| dx = √
−∞

2π

ǁf ǁ1 .


Theo đ%nh lý Lebesque, ta có:
∫

1

∞ |f
ˆ
ˆ
(x)||e
lim |f (ξ + h) − f (ξ)| ≤ √
h→0
h→0
2πlim
−∞

∫

1 ∞
√
=
e

|
|
lim f (x)

2π

h→0

ixξ

ixξ

|

−
∞

||
e

ixh

− 1|
dx

ixh

||e